一元二次方程的根的分布

關(guān)于一元二次方程的根的分布求函數(shù)零點個數(shù)方法：（1）方程f(x)=0的根個數(shù)（2）函數(shù)圖像與x軸交點的個數(shù)（3）轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點的個數(shù)想一想,怎樣確定函數(shù)零點個數(shù)呢？第2頁,共33頁，2024年2月25日，星期天

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點.即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根.連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判別方法：思考:若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有零點，是否一定有f(a)·f(b)<0？第3頁,共33頁，2024年2月25日，星期天下面我們將主要結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，分兩種情況系統(tǒng)地介紹一元二次方程實根分布的條件及其運用一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容。但解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運用。一元二次方程根的分布強(qiáng)調(diào)：為簡化情況，我們在此只研究a>0的一元二次方程，當(dāng)二次項系數(shù)小于0時，先化為正。即把一元二次方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：

ax2+bx+c=0(a>0)第4頁,共33頁，2024年2月25日，星期天所謂一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相對于零的關(guān)系。比如二次方程有一正根，有一負(fù)根，其實就是指這個二次方程一個根比零大，一個根比零小，或者說，這兩個根分布在零的兩側(cè)。同理，一元二次方程根的K分布，是指兩根相對于K的分布。一元二次方程根的基本分布

——零分布和K分布第5頁,共33頁，2024年2月25日，星期天1：零分布（1）有兩正根（2）有兩負(fù)根（3）一正一負(fù)2：k分布（1）有兩個大于k的根（2）有兩個小于k的根（3）一個大于k，一個小于k（4）有一個根在區(qū)間(k1,k2)內(nèi)（5）區(qū)間(k1,k2)內(nèi)有兩個根3：數(shù)形結(jié)合思想

一元二次方程根的分布第6頁,共33頁，2024年2月25日，星期天情形一、方程ax2+bx+c=0（a>0）根的零分布第7頁,共33頁，2024年2月25日，星期天例1：x2+（m-3)x+m=0有兩正根，

求m的范圍。第8頁,共33頁，2024年2月25日，星期天第9頁,共33頁，2024年2月25日，星期天例2：x2+（m-3)x+m=0有兩個負(fù)根求m的范。

第10頁,共33頁，2024年2月25日，星期天xy1x2x0>aO0>c0>D第11頁,共33頁，2024年2月25日，星期天例3：x2+（m-3)x+m=0有一個正根，一個負(fù)根且正根絕對值較大，求m的范圍。

第12頁,共33頁，2024年2月25日，星期天第13頁,共33頁，2024年2月25日，星期天xyk2>-ab1x2x0>aO0>DkxyK2>-ab1x2x0>aO0>Dk情形二、方程ax2+bx+c=0（a>0）根的K分布第14頁,共33頁，2024年2月25日，星期天例1：x2+（m-3)x+m=0求m的范圍。

的兩個根都大于第15頁,共33頁，2024年2月25日，星期天xy02>-ab1x2x0>aO0>Dk第16頁,共33頁，2024年2月25日，星期天例2：x2+（m-3)x+m=0求m的范圍

的兩個根都小于1第17頁,共33頁，2024年2月25日，星期天第18頁,共33頁，2024年2月25日，星期天例3：x2+（m-3)x+m=0求m的范圍

且一個根大于1，另一個根小于1f(1)=2m-2<0

第19頁,共33頁，2024年2月25日，星期天第20頁,共33頁，2024年2月25日，星期天例4：x2+（m-3)x+m=0求m的范圍兩個根有且僅有一個在（0，2）內(nèi)f(0)f(2)=m(3m-2)<0當(dāng)m=0時，二根分別為0與3，不合題意；當(dāng)m=時，二根分別為2與，符合題意；m的范圍為第21頁,共33頁，2024年2月25日，星期天結(jié)論5、一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根滿足

第22頁,共33頁，2024年2月25日，星期天例5：x2+（m-3)x+m=0

求m的范圍

兩個根都在（0，2）內(nèi)第23頁,共33頁，2024年2月25日，星期天結(jié)論6、一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根滿足

x1<k1<k2<x2yxk2ok1第24頁,共33頁，2024年2月25日，星期天例6：x2+（m-3)x+m=0求m的范圍

一個根小于2，一個根大于4第25頁,共33頁，2024年2月25日，星期天例7：x2+（m-3)x+m=0求m的范圍

一個根在（-2，0）內(nèi)，另一個根在（0，4）內(nèi)第26頁,共33頁，2024年2月25日，星期天例8：x2+（m-3)x+m=0

求m的范圍

一個根在（-2，0）內(nèi)，另一個根在（1，3）內(nèi)第27頁,共33頁，2024年2月25日，星期天一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布兩個正根兩個負(fù)根一正根一負(fù)根一根為零一正一負(fù)，且負(fù)的絕對值大

C＝0

課堂小結(jié)第28頁,共33頁，2024年2月25日，星期天一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布兩個根都小于k兩個根都大于k一個根小于k,一個根大于k

yxkoyxkoyxkof(k)<0第29頁,共33頁，2024年2月25日，星期天兩個根都在（k1,k2)內(nèi)兩個根有且僅有一個在（k1,k2)內(nèi)x1<k1<

k2<x2

yxk2ok1yxk2ok1yxk2ok1一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布第30頁,共33頁，2024年2月25日，星期天數(shù)形結(jié)合解決二次方程根的分布問題需考慮的條件:(1)相應(yīng)函數(shù)值的正負(fù);(2)判別式△;(3)對稱軸第31頁,共33頁，2024年2月25日，星期天1、

若一元二次方程kx2+(2k-1)x+k-3=0有一根為零，則另一根是正根還是負(fù)根？

2、當(dāng)k為何值時，關(guān)于x的方程x