矩陣?yán)碚撆c方法的應(yīng)用

關(guān)于矩陣?yán)碚撆c方法的應(yīng)用12在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中分析投入多少財(cái)力、物力、人力，產(chǎn)出多少社會(huì)財(cái)富是衡量經(jīng)濟(jì)效益高低的主要標(biāo)志。投入產(chǎn)出技術(shù)正是研究一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各部門間的“投入”與“產(chǎn)出”關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，該方法最早由美國(guó)著名的經(jīng)濟(jì)學(xué)家瓦.列昂捷夫（W.Leontief）提出，是目前比較成熟的經(jīng)濟(jì)分析方法。第2頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天3一、投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型的概念投入～從事一項(xiàng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的消耗；產(chǎn)出～從事經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的結(jié)果；投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型～通過(guò)編制投入產(chǎn)出表，運(yùn)用線性代數(shù)工具建立數(shù)學(xué)模型，從而揭示國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門、再生產(chǎn)各環(huán)節(jié)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并據(jù)此進(jìn)行經(jīng)濟(jì)分析、預(yù)測(cè)和安排預(yù)算計(jì)劃。按計(jì)量單位不同，該模型可分為價(jià)值型和實(shí)物型。第3頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天4流量產(chǎn)出投入消耗部門最終需求總產(chǎn)出消費(fèi)累計(jì)出口合計(jì)生產(chǎn)部門新創(chuàng)價(jià)值工資純收入合計(jì)總投入表7.1：投入產(chǎn)出表第4頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天5投入產(chǎn)出表描述了各經(jīng)濟(jì)部門在某個(gè)時(shí)期的投入產(chǎn)出情況。它的行表示某部門的產(chǎn)出；列表示某部門的投入。如表7.1中第一行x1表示部門1的總產(chǎn)出水平，x11為本部門的使用量，(j=1,2,…,n)為部門1提供給部門j的使用量，各部門的供給最終需求（包括居民消耗、政府使用、出口和社會(huì)儲(chǔ)備等）為(j=1,2,…,n)。這幾個(gè)方面投入的總和代表了這個(gè)時(shí)期的總產(chǎn)出水平。第5頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天6投入產(chǎn)出的基本平衡關(guān)系從左到右：中間需求＋最終需求＝總產(chǎn)出(7-9)從上到下：

中間消耗＋凈產(chǎn)值＝總投入(7-10)由此得產(chǎn)出平衡方程組(也稱分配平衡方程組)：(7-11)(7-12)第6頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天7需求平衡方程組：(7-13)投入平衡方程組(也稱消耗平衡方程組)：(7-15)(7-14)第7頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天8由(7-11)和(7-14)，可得(7-16)這表明就整個(gè)國(guó)民經(jīng)濟(jì)來(lái)講，用于非生產(chǎn)的消費(fèi)、積累、儲(chǔ)備和出口等方面產(chǎn)品的總價(jià)值與整個(gè)國(guó)民經(jīng)濟(jì)凈產(chǎn)值的總和相等。第8頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天9二、直接消耗系數(shù)定義7.2.1

第j部門生產(chǎn)單位價(jià)值所消耗第i部門的價(jià)值稱為第j部門對(duì)第i部門的直接消耗系數(shù)，記作。由定義得(7-17)把投入產(chǎn)出表中的各個(gè)中間需求換成相應(yīng)的后得到的數(shù)表稱為直接消耗系數(shù)表，并稱n階矩陣為直接消耗系數(shù)矩陣。第9頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天10例1

已知某經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)投入產(chǎn)出情況如表7.2，試求直接消耗系數(shù)矩陣。表7.2產(chǎn)出投入中間消耗最終需求總產(chǎn)出123中間投入1231002530805030402560400250300凈產(chǎn)值總投入400250300第10頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天11解由直接消耗系數(shù)的定義，得直接消耗系數(shù)矩陣直接消耗系數(shù)具有下面重要性質(zhì)：性質(zhì)7.2.1

性質(zhì)7.2.2

第11頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天12由直接消耗系數(shù)的定義，代入(7-17)，得(7-18)令，(7-18)式可表示為，或(7-19)稱矩陣E-A為列昂捷夫矩陣。第12頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天13類似地把代入平衡方程(7-14)得到(7-20)寫成矩陣形式為(7-21)其中第13頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天14定理7.2.1

列昂捷夫矩陣E-A是可逆的。如果各部門的最終需求已知，則由定理7.2.1知，方程(7-19)存在惟一解。例2

設(shè)某工廠有三個(gè)車間，在某一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)各車間之間的直接消耗系數(shù)及最終需求如表7.3，求各車間的總產(chǎn)值。第14頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天15表7.3車間直耗系數(shù)車間ⅠⅡⅢ最終需求ⅠⅡⅢ0.250.10.10.20.20.10.10.10.2235125210解第15頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天16即三個(gè)車間的總產(chǎn)值分別為400，300，350。第16頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天17定理7.2.2

方程(E-D)X=Z的系數(shù)矩陣E-D是可逆的。證明因由性質(zhì)7.2.2知，，故所以E-D可逆。第17頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天18三、完全消耗系數(shù)直接消耗系數(shù)只反映各部門間的直接消耗，不能反映各部門間的間接消耗，為此我們給出如下定義。定義7.2.2

第j部門生產(chǎn)單位價(jià)值量直接和間接消耗的第i部門的價(jià)值量總和，稱為第j部門對(duì)第i部門的完全消耗系數(shù)，記作。第18頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天19由構(gòu)成的n階方陣稱為各部門間的完全消耗系數(shù)矩陣。定理7.2.3第j部門對(duì)第i部門的完全消耗系數(shù)滿足方程定理7.2.4設(shè)n個(gè)部門的直接消耗系數(shù)矩陣為

A，完全消耗系數(shù)矩陣為B，則有第19頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天20證明由定理7.2.3知，將個(gè)等式用矩陣表示為由定理7.2.1知(E-A)可逆，故第20頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天21例3

假設(shè)某公司三個(gè)生產(chǎn)部門間的報(bào)告價(jià)值型投入產(chǎn)出表如表7.4，產(chǎn)出投入中間消耗最終需求總產(chǎn)出123中間投入123150006000610600250152536004001840625250030506000表7.4求各部門間的完全消耗系數(shù)矩陣。第21頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天22解依次用各部門的總產(chǎn)值去除中間消耗欄中各列，得到直接消耗系數(shù)矩陣為第22頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天23故所求完全消耗系數(shù)矩陣為由此例可知，完全消耗系數(shù)矩陣的值比直接消耗系數(shù)矩陣的值要大的多。第23頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天24定理7.2.5如果第j部門最終需求增加，而其他部門的最終需求不變，那么部門總產(chǎn)出

X的增量為其中為單位坐標(biāo)向量。證明由定理7.2.4知，將此關(guān)系代入方程(7-19)，得第24頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天25由定理假設(shè)，部門最終需求增量于是第25頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天26定理7.2.5表明，由第j部門最終需求的增加（其他部門的最終需求不變），引起了各部門總產(chǎn)值的增加。從數(shù)量上表示了各部門的增加量。如果沒(méi)有這些追加，第j部門要完成增加最終需求的任務(wù)就不能實(shí)現(xiàn)。如果定理7.2.5的結(jié)論用分量表示第26頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天27特別取，則有上式的經(jīng)濟(jì)意義是，當(dāng)?shù)趈部門的最終需求增加一個(gè)單位，而其他部門最終需求不變時(shí)，第i部門總產(chǎn)值的增加量為，當(dāng)?shù)趇部門的最終需求增加一個(gè)單位而其他部門的最終需求不變時(shí)，第i部門總產(chǎn)值的增加量為。第27頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天28若令用矩陣表示為將代入上式，則第28頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天29例4

利用例1中的數(shù)據(jù)，求完全消耗系數(shù)矩陣B。解由例1知直接消耗系數(shù)矩陣于是有第29頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天30最后得完全消耗系數(shù)矩陣第30頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天31四、投入產(chǎn)出實(shí)現(xiàn)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用

投入產(chǎn)出法來(lái)源于一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各部門生產(chǎn)和消耗的實(shí)際統(tǒng)計(jì)資料。它同時(shí)描述了當(dāng)時(shí)各部門之間的投入與產(chǎn)出協(xié)調(diào)關(guān)系，反映了產(chǎn)品供應(yīng)與需求的平衡關(guān)系，因而在實(shí)際中有廣泛應(yīng)用。在經(jīng)濟(jì)分析方面可以用于結(jié)構(gòu)分析，還可以用于編制經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和進(jìn)行經(jīng)濟(jì)調(diào)整等。第31頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天32

編制計(jì)劃的一種作法是先規(guī)定各部門計(jì)劃期的總產(chǎn)量，然后計(jì)算出各部門的最終需求；另一種作法是確定計(jì)劃期各部門的最終需求，然后再計(jì)算出各部門的總產(chǎn)出。后一種作法符合以社會(huì)需求決定社會(huì)產(chǎn)品的原則，同時(shí)也有利于調(diào)整各部門產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)比例，是一種較合理的作法。第32頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天33例5

給定價(jià)值型投入產(chǎn)出表7.5，預(yù)先確定計(jì)劃期各部門最終需求如表7.6。根據(jù)投入產(chǎn)出表中的數(shù)據(jù)，算出報(bào)告期的直接消耗系數(shù)矩陣A。假定計(jì)劃期同報(bào)告期的直接消耗系數(shù)是相同的，因此把A作為計(jì)劃期的直接消耗系數(shù)矩陣。再按公式算出總產(chǎn)出向量X。第33頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天34表7.5

（單位：萬(wàn)元）中間需求消費(fèi)積累合計(jì)總產(chǎn)出123456中間投入123456201035515500650010302090101510101025555101525555520155551104015060258522580305155201782510515240160480809070表7.6

（單位：萬(wàn)元）部門

123456消費(fèi)積累1156224015181150281007106合計(jì)16590340222817第34頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天35解通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到第35頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天36由得出總產(chǎn)出向量第36頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天37這樣得到各部門在計(jì)劃期的總產(chǎn)出依次是(萬(wàn)元)：如果各部都能完成計(jì)劃期的上述總產(chǎn)出值，那么就能保證完成各部門最終需求的計(jì)劃任務(wù)。在求出了各部門總產(chǎn)出之后，根據(jù)公式可計(jì)算各部門間應(yīng)提多少中間需求。具體數(shù)值表如表7.7。第37頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天38部門123456合計(jì)123456合計(jì)表7.7第38頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天39

例6

某地有三個(gè)產(chǎn)業(yè)，一個(gè)煤礦，一個(gè)發(fā)電廠和一條鐵路，開采一元錢的煤，煤礦要支付0.25元的電費(fèi)及0.25元的運(yùn)輸費(fèi);生產(chǎn)一元錢的電力，發(fā)電廠要支付0.65元的煤費(fèi)，0.05元的電費(fèi)及0.05元的運(yùn)輸費(fèi);創(chuàng)收一元錢的運(yùn)輸費(fèi),鐵路要支付0.55元的煤費(fèi)和0.10元的電費(fèi)，在某一周內(nèi)煤礦接到外地金額50000元定貨，發(fā)電廠接到外地金額25000元定貨，外界對(duì)地方鐵路沒(méi)有需求。第39頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天40解