最優(yōu)蜘蛛網(wǎng)結(jié)構(gòu)

第五屆“認證杯”數(shù)學(xué)中國數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽承諾書我們仔細閱讀了第五屆“認證杯”數(shù)學(xué)中國數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽的競賽規(guī)那么。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式〔包括、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等〕與隊外的任何人〔包括指導(dǎo)教師〕研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)那么的,如果引用別人的成果或其他公開的資料〔包括網(wǎng)上查到的資料〕，必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)那么，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)那么的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們允許數(shù)學(xué)中國網(wǎng)站()公布論文，以供網(wǎng)友之間學(xué)習(xí)交流，數(shù)學(xué)中國網(wǎng)站以非商業(yè)目的的論文交流不需要提前取得我們的同意。 我們的參賽隊號為：1739參賽隊員： 隊員1：隊員2：隊員3：參賽隊教練員：參賽隊伍組別：第五屆“認證杯”數(shù)學(xué)中國數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽編號專用頁參賽隊伍的參賽隊號：#1739競賽統(tǒng)一編號〔由競賽組委會送至評委團前編號〕：競賽評閱編號〔由競賽評委團評閱前進行編號〕：2012年第五屆“認證杯”數(shù)學(xué)中國數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽題目蜘蛛網(wǎng)最優(yōu)模型關(guān)鍵詞蜘蛛網(wǎng)螺旋線層次分析法能量守恒摘要：世界上有很多種類的蜘蛛，而大局部種類的蜘蛛都是通過結(jié)網(wǎng)來捕食食物的。蜘蛛網(wǎng)的結(jié)構(gòu)主要受外因和內(nèi)因的影響，本文研究并建立合理的數(shù)學(xué)模型，確定出了蜘蛛網(wǎng)的最優(yōu)結(jié)構(gòu)，得出結(jié)果與實際情況根本相符。首先，蜘蛛織網(wǎng)是由一根絲完成整個工作，為了構(gòu)造合理的網(wǎng)狀，設(shè)蜘蛛只有材料，的情況下易知圓的面積最大，即捕食面的面積最大值，得到最大圓面積為，其中為捕絲間距。其次，由以上可以確定面積只與有關(guān)，根據(jù)相關(guān)生物學(xué)家的資料查得影響蜘蛛網(wǎng)捕絲間距的因素，主要有風(fēng)、濕度、空間、溫度、食物狀況等。再運用層次分析的方法計算出各個因素對的權(quán)重，從而計算出捕絲的間距。然而，以上并沒有計算出放射絲的間距。因此本文再利用能量守恒的關(guān)系，即假設(shè)食物的最大垂直速度與質(zhì)量，求解與該蜘蛛絲所受的最大彈性形變。隨后在做合理的假設(shè)與計算，就可以得到最大的放射絲間距。最后，針對蜘蛛網(wǎng)本身的的螺旋問題，使用極坐標(biāo)建立根本模型，其中變化那么其放射絲的半徑變化,由此模擬出捕絲的的螺旋線圖形。蜘蛛網(wǎng)的最外的邊框〔框絲、停泊絲〕根據(jù)各個外點對整個平面圖根據(jù)空間的具體關(guān)系可以得出，但是要保證整個蜘蛛網(wǎng)為平面狀，那么邊框至少為五邊形。參賽密碼〔由組委會填寫〕參賽密碼〔由組委會填寫〕所選題目A題ThebeststructureofcobwebTherearemanytypesofspidersintheworld,andmostspeciesofspiderspreyfoodbywebs.Thisarticlestudythatthestructureofspiderwebismainlyaffectedbytheexternalandinternalfactors，andarationalmathematicalmodelisestablished.Sowederivetheoptimalstructureofthespiderweb,whichisconsistentwiththerealsituation.First,thespiderwebisconstructedbyawire.Toestablishedabettermodelforthespiderweb,wesupposethatundertheconditionthatthelengthofspidersilkis,wecomputethebiggestcirculararea.Sowecanfindoutthebiggestmeasureofareais,wheremeansthespacingofspiderweb.Second,inaword,weknowthatthejustrelatedto.Accordingtosomebiologists’reporting,wecanseethereasonsofspacingofspiderwebsuchas,wind、humidity、space、temperature、sizeoffood.ThenusingthemethodofHierarchicalanalysis,wecanfindout.Hence,theanswerforourmathematicalmodelisgotten.Third,aboveall,wehaven’tfoundoutthespacingofRadialwire,sothisarticleusesTheEnergyConservationwhichis,andwesupposethefastestspeedandqualityareknown,thepurposeofusistofindoutthebiggestdeformation.Moreoverwhenwedosomereasonablehypothesesandcalculations,wecangetthebiggestspacingofRadialwire.Fourth,inthelightofspiderweb’sspiralquestion,withsomeknownresults,westudythebasicmodelis.SowecanuseMatlabtogetthefigureofSpiralcurve.However,inordertomaketheplanofwebbesupported,weneedtoknowthatwhataspacestateis.Whenwethinkofthegravity,wecandrawaconclusionthatthepolygonatleastisapentagon.問題重述蜘蛛目共有105個，可約37000種，世界各地均有分布。蜘蛛主要有結(jié)網(wǎng)、游獵和穴居3種生活類型。蛛網(wǎng)的進化經(jīng)歷了拌絲、偏網(wǎng)和圓網(wǎng)階段，并在圓網(wǎng)的根底上，繼續(xù)進化形成了其他類型的網(wǎng)。其中圓網(wǎng)在蛛網(wǎng)進化的地位較為特殊，且其結(jié)構(gòu)較其它種類比擬簡單、規(guī)那么，因此，本文在圓網(wǎng)的根底上分析、改良、求解。現(xiàn)在建立合理的數(shù)學(xué)模型，對蜘蛛網(wǎng)的最大面積、捕絲和放射絲間距合理性以及整個蜘蛛網(wǎng)的穩(wěn)定性的角度分析，并在有外來事物的沖擊下，怎樣的蜘蛛網(wǎng)才是最適宜的。圖1符號說明：捕絲的面積。：捕絲的圈數(shù)。：捕絲間距〔網(wǎng)眼〕。：捕絲最外圈的周長。：放射絲的最大間距。：捕絲間每一個小面積的切向長度：放射絲的條數(shù)〔半徑的條數(shù)〕。：蜘蛛從起始點螺旋運動到極心繞的圈的總共角度求和。：相鄰放射線的夾角。：捕絲的彈性系數(shù)。：捕絲的伸長量。：螺旋線半徑。：材料總長度。：外來食物的質(zhì)量。：外來食物垂直沖到蜘蛛網(wǎng)上。問題分析圖2蜘蛛網(wǎng)的結(jié)構(gòu)圖1、當(dāng)一只蜘蛛的材料一定時，假設(shè)該材料總長為，我們需要建立一個捕絲結(jié)構(gòu)有利于節(jié)約材料，且到達最大捕食效果，那么我們易知長度一定時，其圍成一個圓的面積都比其他圖形面積大，由此：由簡單到難，先假設(shè)其捕絲間的距離為，當(dāng)捕絲圈數(shù)為圈時，那么其最大的半徑可以確定為。那么此種情況選的可以求出，為一個與有關(guān)的式子。2、根據(jù)相關(guān)生物學(xué)家的調(diào)查可知，其一：蜘蛛絲具有多級結(jié)構(gòu)的蛋白質(zhì)纖維，外觀呈金黃色，透明，橫截面為圓形，具有皮芯層結(jié)構(gòu)，芯層內(nèi)含有數(shù)十根納米級的微纖維。蜘蛛絲具有高強度、高韌性、高彈性和良好的耐熱性能，被稱為“生物鋼”。而且蜘蛛為變溫動物，溫度過低時蜘蛛新陳代謝較慢，只有溫度到達一定了之后，蜘蛛新城代謝快且蜘蛛絲的黏性最好。其二：當(dāng)捕絲的間距越小時，結(jié)構(gòu)更牢固，捕獲的食物更大。但是不同的織網(wǎng)的蜘蛛種類不一樣，因此其間距適宜才能不浪費材料的同時，捕獲自身需要的足夠食物。其三：捕絲的搭建直接與當(dāng)時的空間有關(guān)系。只有空間允許條件下才能搭出合理的捕絲結(jié)構(gòu)。其四：空氣里有一定濕度，特別是凌晨時濕度最大，會影響到捕絲的黏性情況。其五：在沒有外來食物的情況，蜘蛛網(wǎng)還要受到空氣的流動的制約。因此我們可以得出捕絲的間距主要由食物的狀況、溫度、空間、濕度、空氣流動，那么就需要找出這五項因素與的關(guān)系。本文利用層次分析的方法求解出各項因素的權(quán)重，從而可以求解出。3、根據(jù)科學(xué)生物現(xiàn)象，知道蜘蛛是用一根絲即不會斷的情況下完成整個織網(wǎng)過程。因為要考慮其捕絲面積大，蜘蛛網(wǎng)為一根絲完成，可以得出其構(gòu)建的是一個螺旋線的形狀，且螺旋線的間距為。再者根據(jù)蜘蛛絲的本身的高韌性可知，捕絲的伸長率為原來的4到5倍，因此可以利用能量守恒定律求解出放射絲的間距和放射絲的條數(shù)。此處已完成整個網(wǎng)的根本框架。4、根據(jù)空間的關(guān)系以及為了能把蜘蛛網(wǎng)能穩(wěn)定的支撐起來，確定最后的框絲和停泊線滿足：瑞伊爾說：“當(dāng)昆蟲碰撞入網(wǎng)，蛛網(wǎng)必須承受住碰撞力，而對稱網(wǎng)的優(yōu)勢可能在于它可以使這種力均勻地分布在全網(wǎng)以減少某一處的受力，這樣可以盡可能地防止網(wǎng)被撕破?！彼詿o論是停泊絲還是邊框絲都為對稱形態(tài)。蜘蛛網(wǎng)停泊絲與邊框絲的形態(tài)主要受三個方面的影響，一是為了保證蜘蛛網(wǎng)在受昆蟲撞擊力或風(fēng)力的影響時結(jié)構(gòu)變化較小，二是為了把蜘蛛網(wǎng)撐平，有效利用捕食面積，三是受周圍空間形狀與大小的影響。具體情況，本文考慮蜘蛛網(wǎng)為一個平面狀，其目的那么是支撐它。那么本身其受到重力的作用，因此通過受力分析，知道其邊框至少為四的邊。但是四邊形不具有很好的穩(wěn)定性。因此我們可以得出此種蜘蛛網(wǎng)的的邊框為五邊。模型假設(shè)假設(shè)1：蜘蛛正常健康，吐的絲一定。假設(shè)2：此期間蜘蛛處于一個相對平安狀態(tài)，無天敵情況。假設(shè)3：天氣狀況良好。假設(shè)4：本文只考慮在空間織平面狀的一類蜘蛛，不考慮再空穴里會織網(wǎng)的蜘蛛。假設(shè)5：捕絲間距一定。模型建立5.1最大圓環(huán)捕絲模型一張蜘蛛網(wǎng)的有效期為一天，每年因蜘蛛的生物鐘的原因，蜘蛛會在每天一定的時間吐出新的蜘蛛網(wǎng)。因此我們可合理假設(shè)一只蜘蛛在一天的蜘蛛絲的總共有L。那么為了獲得最大面積，我們可以建立圓面積最大模型。設(shè)捕絲間距為，總共有圈的。那么總材料長L滿足的方程式為：，那么最大面積：此模型可以求解出最大的捕環(huán)形捕絲面積與捕絲的間距的關(guān)系。5．2層次分析得出捕絲間距通過問題的分析我們知道影響捕絲間距主要有食物狀況、溫度、空間、濕度、風(fēng)。建立層次分析模型如下：影響捕絲間距的因素風(fēng)濕度空間溫度食物確定準(zhǔn)那么對目標(biāo)的權(quán)重向量：兩兩比擬對目標(biāo)矩陣的重要程度，構(gòu)造準(zhǔn)那么對目標(biāo)的成比照擬判斷矩陣：利用MATLAB軟件求得判斷矩陣的最大特征值和相應(yīng)的特征向量，求得與〔〕的關(guān)系式子。具體結(jié)果見后文求解。5.3蜘蛛網(wǎng)的螺旋模型首先，蜘蛛由一根蜘蛛絲織成一個網(wǎng)狀，其先固定好4個點，再利用空間條件和穩(wěn)定條件，構(gòu)建條放射絲。最后由最外圈做等間距的向極心的螺旋運動。由此可建立模型為：，其中為捕絲面與中樞區(qū)的距離。上式可知：以求出，但是和未知。其次，第一步可以知道與的的關(guān)系：。由此可以知：〔1〕從的最外圈上任意一點出發(fā)，向極心螺旋運動。〔2〕螺旋線的角度的知識可以知道的范圍為：。再者，一般的濕性捕絲具有極高的彈性，根據(jù)生物學(xué)家的相關(guān)證明知道捕絲的最大伸長率為原長的倍，即：，此處為伸長量，為放射絲的間距。根據(jù)能量守恒，設(shè)外來食物重以速度垂直沖擊帶蜘蛛網(wǎng)上，極限假設(shè)食物的全部動能全部轉(zhuǎn)換為捕絲的勢能得：可以求解出La的大小范圍。當(dāng)最外圈捕絲的周長與做商時可以求解出放射絲〔半徑〕的條數(shù)：。易求出放射線平分圓的角度。一旦求出之后就可求出的大小。主要求解思想是根據(jù)中樞區(qū)與捕食面距離的大小主要材料節(jié)省的方面分析。前文已求出放射線之間的夾角與捕絲間距，如果靠近中心點的位置處捕絲間距仍為，那么靠近中心位置處捕絲排列得將非常密，會比擬浪費材料，所以本文適當(dāng)減少中間位置所用的材料，即產(chǎn)生了中樞區(qū)與捕食面之間無捕絲的現(xiàn)象，但是中樞區(qū)與捕食面距離滿足一定比值關(guān)系：捕絲間距，即網(wǎng)眼最短邊為，靠近中心點區(qū)域放射線切向間距較小、變化也較小，所以我們令放射線切向間距為，那么徑向長為，也就是蜘蛛在距中心處停止織網(wǎng)。這樣中樞區(qū)與捕食面之間放射線的切向距離近似于捕食面中的網(wǎng)眼，中樞區(qū)與捕食面之間的距離近似于捕食面中的，符合之前捕絲間距的影響因素最后，由以上可以得出。利用此結(jié)果再對前面環(huán)形的以及環(huán)形最外圈的周長進行修正：模型求解域誤差分析6.1層次分析的求解結(jié)果和層次單排序及一致性檢驗確定準(zhǔn)那么對目標(biāo)的權(quán)重向量：兩兩比擬對目標(biāo)的重要程度，構(gòu)造準(zhǔn)那么對目標(biāo)的比照擬判斷矩陣：利用MATLAB軟件求得判斷矩陣的最大特征值和相應(yīng)的特征向量為：一致性檢驗：故通過檢驗。故準(zhǔn)那么對目標(biāo)的權(quán)重向量為：6.2螺旋線圖形求解結(jié)果和圖形比擬〔1〕捕絲圈數(shù)，其中〔2〕由前文模型建立中所列的公式：可以求解出：放射線的間距：放射線數(shù)為：中樞區(qū)與捕絲面積：，其中可計算出即因此可以求解出的具體圖形。根據(jù)以上結(jié)果，帶入實際捕絲間距時，，運用matlab求解出圓面積和螺旋面積當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，6.2圓最大面積與螺旋最大面積的數(shù)據(jù)為：根據(jù)上一步驟，可見當(dāng)時，與實際效果最想符合，因此帶入此數(shù)據(jù)，通過網(wǎng)絡(luò)積分計數(shù)器求解出：20.3769911.7681931.005312.1699741.884962.5577653.015932.9528464.398233.3473376.031863.7421187.816814.13689910.08314.831681012.44074.97646其中為螺旋圈數(shù)，為最大圓環(huán)面積，為螺旋線的最大面積。由此數(shù)據(jù)表可以看出，以圓為根底求得的捕絲面積變化遠遠大于螺旋線的面積變化。分析原因：如果蜘蛛網(wǎng)為同心圓形，會發(fā)生半徑突變，但是因為蜘蛛是一根絲織完整個網(wǎng)，不可能會是同心圓的織法。如果為同心圓形，那么在確定半徑的情況下求得的圓面積會變化更大。但是如果是蜘蛛是以螺旋線的方式運動到中心，那么不會存在突變的問題，而且每增加一圈的螺距等間距，其螺旋線的半徑變化受螺旋線的的總角度來決定的。綜上所述，我們可以得出螺旋線更加能符合現(xiàn)實的蜘蛛網(wǎng)的捕絲的形狀和結(jié)構(gòu)。模型評價與改良7.1模型評價本文從節(jié)約材料的根底上，建立最大的捕絲面積的圓模型。在此根底上，針對蜘蛛本身的織網(wǎng)特性，建立切合實際的螺旋線的模型。求解捕絲間距時，根據(jù)生物學(xué)家的研究得出捕絲的間距主要由外界因素食物狀況、溫度等的影響。因此本文通過層次分析，找出各個因素影響捕絲間距的權(quán)重。此步驟，起到了關(guān)鍵性的作用，求解出了蜘蛛網(wǎng)網(wǎng)眼的大小，滿足此種織網(wǎng)結(jié)構(gòu)的為了獲得更多更大的捕食量的目的。以上，只是得出了在圓根底上改良的螺旋線的蜘蛛網(wǎng)的結(jié)構(gòu)，并不能得出復(fù)雜的蜘蛛網(wǎng)的結(jié)構(gòu)，例如六邊形的組合的蜘蛛網(wǎng)、蜘蛛網(wǎng)邊框的結(jié)構(gòu)等。這也正是模型改良所需要作的工作。7.2模型改良改良〔1〕針對蜘蛛網(wǎng)自身和蜘蛛的重力，利用受力平衡的方式，求解蜘蛛網(wǎng)的邊框數(shù)。假設(shè)此編織蜘蛛網(wǎng)的空間為墻角，此時蜘蛛先至出一個Y型的主軸。再在此根底上加放射線。對蜘蛛網(wǎng)受力分析：mgmg受力之后變成了四邊形，但是實際情況中，四邊形并不能穩(wěn)定，因此可以得出其邊框在空間的影響下，一般只是應(yīng)滿足五邊形。到達穩(wěn)定的效果。改良〔2〕蜘蛛網(wǎng)的捕絲結(jié)構(gòu)的網(wǎng)眼不只是有四邊形，還有六邊形和三角形的捕絲面。但是沒有五邊形的捕絲網(wǎng)眼。因為只有矩形、三角形、六邊形才能填滿捕絲面積減小空隙的存在。如下列圖所示：三角形六邊形五邊形間隙間隙因此還應(yīng)該考慮捕絲的網(wǎng)眼為三角形和六邊形的捕食狀況。此種分析，還應(yīng)結(jié)合蜘蛛本身需要什么樣的食物來確定。參考文獻[1]司守奎孫璽菁，《數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用》國防工業(yè)出版社，2011.[2]桌春暉蔣平等，蛛網(wǎng)結(jié)構(gòu)性能及適應(yīng)性，四川大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院生物資源生態(tài)環(huán)境教育部重點實驗室，1000-7083(2006)04-0898-05.[3]潘自娟，異力學(xué)性能的結(jié)構(gòu)機理及其模化，州大學(xué)紡織工程博士論文[4][5]宋大祥，蜘蛛的進化，中國科學(xué)院動物研究所，1997.附錄：1、>>A=[11/51/31/51/7;512/32/51/6;33/211/31/3;55/2311/2;76321]A=1.00000.20000.33330.20000.14295.00001.00000.66670.40000.16673.00001.50001.00000.33330.33335.00002.50003.00001.00000.50007.00006.00003.00002.00001.0000>>[V,D]=eig(A)V=0.0786-0.0736-0.0893i-0.0736+0.0893i0.0049-0.0029i0.0049+0.0029i0.2075-0.1965+0.2964i-0.1965-0.2964i0.0696+0.0602i0.0696-0.0602i0.23210.1413+0.0164i0.1413-0.0164i-0.0929-0.2483i-0.0929+0.2483i0.47820.1519-0.1835i0.1519+0.1835i-0.4668+0