新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修五典題精講(3.4基本不等式)

新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修五典題精講〔3.4根本不等式〕典題精講例1〔1〕0＜x＜，求函數(shù)y=x(1-3x)的最大值;〔2〕求函數(shù)y=x+的值域.思路分析：〔1〕由極值定理,可知需構(gòu)造某個和為定值，可考慮把括號內(nèi)外x的系數(shù)變成互為相反數(shù)；〔2〕中，未指出x＞0，因而不能直接使用根本不等式，需分x＞0與x＜0討論.〔1〕解法一：∵0＜x＜,∴1-3x＞0.∴y=x(1-3x)=·3x(1-3x)≤［］2=，當(dāng)且僅當(dāng)3x=1-3x，即x=時，等號成立.∴x=時，函數(shù)取得最大值.解法二：∵0＜x＜,∴-x＞0.∴y=x(1-3x)=3x(-x)≤3［］2=，當(dāng)且僅當(dāng)x=-x,即x=時，等號成立.∴x=時，函數(shù)取得最大值.〔2〕解：當(dāng)x＞0時，由根本不等式，得y=x+≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，等號成立.當(dāng)x＜0時，y=x+=-［(-x)+］.∵-x＞0,∴(-x)+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)-x=,即x=-1時，等號成立.∴y=x+≤-2.綜上,可知函數(shù)y=x+的值域為(-∞,-2］∪［2,+∞).綠色通道：利用根本不等式求積的最大值，關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值，為使根本不等式成立創(chuàng)造條件，同時要注意等號成立的條件是否具備.變式訓(xùn)練1當(dāng)x＞-1時，求f(x)=x+的最小值.思路分析：x＞-1x+1＞0,變x=x+1-1時x+1與的積為常數(shù).解：∵x＞-1,∴x+1＞0.∴f(x)=x+=x+1+-1≥2-1=1.當(dāng)且僅當(dāng)x+1=,即x=0時,取得等號.∴f(x)min=1.變式訓(xùn)練2求函數(shù)y=的最小值.思路分析：從函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)來看，它與根本不等式結(jié)構(gòu)相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事實上，我們可以把分母視作一個整體，用它來表示分子，原式即可展開.解：令t=x2+1，那么t≥1且x2=t-1.∴y==.∵t≥1,∴t+≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)t=,即t=1時，等號成立.∴當(dāng)x=0時，函數(shù)取得最小值3.例2x＞0,y＞0，且+=1，求x+y的最小值.思路分析：要求x+y的最小值，根據(jù)極值定理，應(yīng)構(gòu)建某個積為定值，這需要對條件進行必要的變形，下面給出三種解法，請仔細體會.解法一：利用“1的代換”,∵+=1,∴x+y=(x+y)·(+)=10+.∵x＞0,y＞0,∴≥2=6.當(dāng)且僅當(dāng)，即y=3x時，取等號.又+=1,∴x=4,y=12.∴當(dāng)x=4,y=12時，x+y取得最小值16.解法二：由+=1，得x=.∵x＞0,y＞0,∴y＞9.x+y=+y=y+=y++1=(y-9)++10.∵y＞9,∴y-9＞0.∴≥2=6.當(dāng)且僅當(dāng)y-9=，即y=12時，取得等號，此時x=4.∴當(dāng)x=4,y=12時，x+y取得最小值16.解法三：由+=1，得y+9x=xy,∴(x-1)(y-9)=9.∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2=16,當(dāng)且僅當(dāng)x-1=y-9時取得等號.又+=1,∴x=4,y=12.∴當(dāng)x=4,y=12時，x+y取得最小值16.綠色通道：此題給出了三種解法，都用到了根本不等式，且都對式子進行了變形，配湊出根本不等式滿足的條件，這是經(jīng)常需要使用的方法，要學(xué)會觀察,學(xué)會變形，另外解法二，通過消元,化二元問題為一元問題，要注意根據(jù)被代換的變量的范圍對另外一個變量的范圍的影響.黑色陷阱：此題容易犯這樣的錯誤：+≥2①,即≤1,∴≥6.∴x+y≥2≥2×6=12②.∴x+y的最小值是12.產(chǎn)生不同結(jié)果的原因是不等式①等號成立的條件是=，不等式②等號成立的條件是x=y.在同一個題目中連續(xù)運用了兩次根本不等式,但是兩個根本不等式等號成立的條件不同，會導(dǎo)致錯誤結(jié)論.變式訓(xùn)練正數(shù)a,b,x,y滿足a+b=10,=1，x+y的最小值為18，求a,b的值.思路分析：此題屬于“1”的代換問題.解：x+y=(x+y)()=a++b=10+.∵x,y＞0,a,b＞0，∴x+y≥10+2=18，即=4.又a+b=10，∴或例3求f(x)=3+lgx+的最小值〔0＜x＜1〕.思路分析：∵0＜x＜1,∴l(xiāng)gx＜0,＜0不滿足各項必須是正數(shù)這一條件，不能直接應(yīng)用根本不等式，正確的處理方法是加上負號變正數(shù).解：∵0＜x＜1,∴l(xiāng)gx＜0,＜0.∴-＞0.∴(-lgx)+(-)≥2=4.∴l(xiāng)gx+≤-4.∴f(x)=3+lgx+≤3-4=-1.當(dāng)且僅當(dāng)lgx=,即x=時取得等號.那么有f(x)=3+lgx+(0＜x＜1)的最小值為-1.黑色陷阱：此題容易忽略0＜x＜1這一個條件.變式訓(xùn)練1x＜，求函數(shù)y=4x-2+的最大值.思路分析：求和的最值，應(yīng)湊積為定值.要注意條件x＜，那么4x-5＜0.解：∵x＜,∴4x-5＜0.y=4x-5++3=-［(5-4x)+］+3≤-2+3=-2+3=1.當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=,即x=1時等號成立.所以當(dāng)x=1時，函數(shù)的最大值是1.變式訓(xùn)練2當(dāng)x＜時，求函數(shù)y=x+的最大值.思路分析：此題是求兩個式子和的最大值,但是x·并不是定值,也不能保證是正值,所以,必須使用一些技巧對原式變形.可以變?yōu)閥=〔2x-3〕++=-〔〕+,再求最值.解：y=〔2x-3〕++=-〔〕+，∵當(dāng)x＜時，3-2x＞0，∴≥=4，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=-時取等號.于是y≤-4+=，故函數(shù)有最大值.例4如圖3-4-1，動物園要圍成相同的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成.圖3-4-1〔1〕現(xiàn)有可圍36m長網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使每間虎籠面積最大？〔2〕假設(shè)使每間虎籠面積為24m2，那么每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋總長度最小？思路分析：設(shè)每間虎籠長為xm，寬為ym，那么〔1〕是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值；而(2)那么是在xy=24的前提下來求4x+6y的最小值.解：〔1〕設(shè)每間虎籠長為xm，寬為ym，那么由條件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.設(shè)每間虎籠的面積為S，那么S=xy.方法一：由于2x+3y≥2=2,∴2≤18,得xy≤，即S≤.當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時等號成立.由解得故每間虎籠長為4.5m，寬為3m時，可使面積最大.方法二:由2x+3y=18，得x=9-y.∵x＞0,∴0＜y＜6.S=xy=(9-y)y=(6-y)y.∵0＜y＜6,∴6-y＞0.∴S≤［］2=.當(dāng)且僅當(dāng)6-y=y,即y=3時，等號成立，此時x=4.5.故每間虎籠長4.5m,寬3m時，可使面積最大.(2)由條件知S=xy=24.設(shè)鋼筋網(wǎng)總長為l,那么l=4x+6y.方法一:∵2x+3y≥2=2=24,∴l(xiāng)=4x+6y=2(2x+3y)≥48,當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時,等號成立.由解得故每間虎籠長6m，寬4m時，可使鋼筋網(wǎng)總長最小.方法二:由xy=24，得x=.∴l(xiāng)=4x+6y=+6y=6(+y)≥6×2=48,當(dāng)且僅當(dāng)=y，即y=4時，等號成立，此時x=6.故每間虎籠長6m,寬4m時，可使鋼筋總長最小.綠色通道：在使用根本不等式求函數(shù)的最大值或最小值時，要注意：〔1〕x,y都是正數(shù)；〔2〕積xy〔或x+y〕為定值；〔3〕x與y必須能夠相等，特別情況下，還要根據(jù)條件構(gòu)造滿足上述三個條件的結(jié)論.變式訓(xùn)練某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200平方米的三級污水處理池(平面圖如圖3-4-2所示),由于地形限制,長、寬都不能超過16米,如果池外周壁建造單價為每米400元,中間兩道隔墻建造單價為每米248元,池底建造單價為每平方米80元,池壁的厚度忽略不計,試設(shè)計污水處理池的長和寬,使總造價最低,并求出最低造價.圖3-4-2思路分析：在利用均值不等式求最值時,必須考慮等號成立的條件,假設(shè)等號不能成立,通常要用函數(shù)的單調(diào)性進行求解.解：設(shè)污水處理池的長為x米,那么寬為米(0＜x≤16,0＜≤16),∴12.5≤x≤16.于是總造價Q(x)=400(2x+2×)+248×2×+80×200.=800(x+)+16000≥800×2+16000=44800,當(dāng)且僅當(dāng)x=(x＞0),即x=18時等號成立,而18［12.5,16］,∴Q(x)＞44800.下面研究Q(x)在［12.5,16］上的單調(diào)性.對任意12.5≤x1＜x2≤16,那么x2-x1＞0,x1x2＜162＜324.Q(x2)-Q(x1)=800［(x2-x1)+324()］=800×＜0,∴Q(x2)＞Q(x1).∴Q(x)在［12.5,16］上是減函數(shù).∴Q(x)≥Q(16)=45000.答:當(dāng)污水處理池的長為16米,寬為米時,總造價最低,最低造價為45000元.問題探究問題某人要買房,隨著樓層的升高,上下樓消耗的精力增多,因此不滿意度升高.當(dāng)住第n層樓時,上下樓造成的不滿意度為n.但高處空氣清新,嘈雜音較小,環(huán)境較為安靜,因此隨著樓層的升高,環(huán)境不滿意度降低.設(shè)住第n層樓時,環(huán)境不滿意程度為.那么此人應(yīng)選第幾樓,會有一個最正確滿意度.導(dǎo)思：本問題實際是求n為何值時,不滿意度最小的問題,先要根據(jù)問題列出一個關(guān)于樓層的函數(shù)式,再根據(jù)根本不等式求解即可.探究：設(shè)此人應(yīng)選第n層樓,此時的不滿意程度為y.由題意知y=n+.∵n+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)n=,即n=時取等號.但考慮到n∈N*,∴n≈2×1.414=2.828≈3,即此人應(yīng)選3樓,不滿意度最低.選校網(wǎng)高考頻道專業(yè)大全歷年分數(shù)線上萬張大學(xué)圖片大學(xué)視頻院校庫(按ctrl點擊翻開)選校網(wǎng)〔〕是為高三同學(xué)和家長提供高考選校信息的一個網(wǎng)站。國內(nèi)目前有2000多所高校，高考過后留給考生和家長選校的時間緊、高校多、專業(yè)數(shù)量更是龐大，高考選校信息紛繁、復(fù)雜，高三同學(xué)在面對高考選校時會不知所措。選校網(wǎng)就是為考生整理高考信息，這里有1517專業(yè)介紹，近2000所高校簡介、圖片、視頻信息。選校網(wǎng)，力致成為您最強有力的選校工具！產(chǎn)品介紹：1.大學(xué)搜索：介紹近2000所高校最詳細的大學(xué)信息，包括招生簡章，以及考生最需要的學(xué)校招生辦公室聯(lián)系方式及學(xué)校地址等.2.高校專業(yè)搜索：這里包含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