專題06一元二次方程根的判別式（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)3種題型1種中考考法）（原卷版）

專題06一元二次方程根的判別式（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)3種題型1種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.一元二次方程根的判別式知識(shí)點(diǎn)2.一元二次方程根的判別式的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)3.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【方法二】實(shí)例探索法題型1.不解方程，判別方程根的情況題型2.一元二次方程根的判別式的應(yīng)用題型3.根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1.根的判別式【方法四】成果評(píng)定法【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即（1）當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.【例1】（2021·上海市康城學(xué)校八年級(jí)期末）在下列方程中，有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的是（）．A． B．C． D．知識(shí)點(diǎn)2.一元二次方程根的判別式的應(yīng)用一元二次方程根的判別式的逆用在方程中，（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根﹥0；（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根=0；（3）方程沒有實(shí)數(shù)根﹤0.【例2】（2020·上海松江·八年級(jí)期末）如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍是___________．【變式】（2020·上海市育才初級(jí)中學(xué)）關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則_______．知識(shí)點(diǎn)3.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.也就是說，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.【例3】（2021秋?普陀區(qū)校級(jí)月考）閱讀下列材料：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）我們知道當(dāng)△＝b2﹣4ac≥0時(shí)，這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根可以表示為x1＝，x2＝；此時(shí)兩根之和為：x1+x2＝，兩根之積為：x1?x2＝．這就是一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系定理：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根分別為x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1?x2＝，利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系定理我們不解方程直接求出方程的兩根之和與兩根之積．例如，已知x1，x2分別為一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的兩根，則x1+x2＝﹣，x1x2＝＝＝﹣．回答下列問題：（一）已知x1，x2分別是一元二次方程﹣x2＝x﹣4的兩根，則x1+x2＝，x1?x2＝，x12+x22＝，+＝．（二）已知關(guān)于x的方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2．（1）若x1，x2滿足（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝1，則k＝；（2）當(dāng)+﹣2的值為整數(shù)時(shí)，求整數(shù)k的值．【變式】（2021秋?楊浦區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0，是否存在實(shí)數(shù)k，使（2x1﹣x2）（2x2﹣x1）+20＝0成立？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【方法二】實(shí)例探索法題型1.不解方程，判別方程根的情況1．不解方程，判斷方程根的情況：（1）4y（4y﹣6）+9=0．（2）2y2+5y+6=0．（3）2x2=3x+1．2.已知關(guān)于的方程．不解方程，判斷該方程根的情況；題型2.一元二次方程根的判別式的應(yīng)用3．（2020·上海外國語大學(xué)附屬雙語學(xué)校八年級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程，（1）求證：無論m為任意實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根．（2）如果這個(gè)方程的根的判別式的值等于1，求方程的解．4．（2020·上海金山區(qū)·八年級(jí)期中）已知關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求的值及方程的根．5．（2020·上海閔行區(qū)·）已知關(guān)于x的一元二次方程（m為常數(shù)）．（1）如果方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；（2）如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值；（3）如果方程沒有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；6．（2020·上海市育才初級(jí)中學(xué)）已知關(guān)于的方程，當(dāng)取何值時(shí)，此方程（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）沒有實(shí)數(shù)根．7．（2020·上海浦東新區(qū)·八年級(jí)期中）已知a、b、c是等腰△ABC的三邊長，其中a＝4，b和c是關(guān)于x的方程x2﹣mx+3m＝0的兩根，求m的值．8.已知a、b、c為三角形的三邊，求證：方程a2x2(a2+c2b2)x+c2=0沒有實(shí)數(shù)根.9.已知：關(guān)于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.(1)不解方程，判斷方程的根的情況；(2)若△ABC為等腰三角形，BC＝5，另外兩條邊是方程的根，求此三角形的周長題型3.根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用10.利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和與兩根之積．x2＋4x＝0；(2)2x2－3x＝5.11.若一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，求的值．12.關(guān)于x的一元二次方程－x＋p－1＝0有兩實(shí)數(shù)根、．（1）求p的取值范圍；（2）若p=0，求的值；（3）若[2＋（1－）][2＋（1－）]＝9，求p的值．13、已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：不論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，且，求m的值．14.已知關(guān)于的一元二次方程.（1）求證：無論取何實(shí)數(shù)，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的一根為3，求另一個(gè)根.15.已知關(guān)于x的方程.（1）當(dāng)該方程的一個(gè)根為1時(shí)，求a的值及該方程的另一根；（2）求證：不論a取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.16.已知關(guān)于x的方程x2﹣2x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若x1﹣x2=2，求實(shí)數(shù)m的值．【方法三】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1.根的判別式1．（2023?上海）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0沒有實(shí)數(shù)根，那么a的取值范圍是．2．（2022?上海）已知x2﹣2x+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是．3．（2021?上海）若一元二次方程2x2﹣3x+c＝0無實(shí)數(shù)根，則c的取值范圍為．4．（2020?上海）如果關(guān)于x的方程x2﹣4x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么m的值是．【方法四】成果評(píng)定法一、單選題1．（2022秋·上海奉賢·八年級(jí)校考期中）要使方程有實(shí)數(shù)根，則條件是（）A．， B．，C．，，異號(hào)或 D．，2．（2022秋·上海靜安·八年級(jí)新中初級(jí)中學(xué)?？计谀?duì)于二項(xiàng)方程，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．3．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且4．（2021秋·上?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期中）下列關(guān)于x的一元二次方程中，一定有實(shí)數(shù)解的是（

）A． B． C． D．5．（2021秋·上海青浦·八年級(jí)?？计谀╆P(guān)于的一元二次方程的根的情況（

）A．有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．由的取值確定6．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)?？计谥校╆P(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且二、填空題7．（2022秋·上海寶山·八年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍是．8．（2022秋·上海青浦·八年級(jí)?？计谥校┤絷P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為．9．（2022秋·上海普陀·八年級(jí)?？计谥校┮阎猰是常數(shù)，那么關(guān)于x的方程根的情況是.10．（2021秋·上海虹口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則．11．（2023春·上?！ぐ四昙?jí)上海民辦南模中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若一元二次方程有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．12．（2022秋·上海徐匯·八年級(jí)上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┤绻P(guān)于x的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍是．13．（2022秋·上海·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，則14．（2022秋·上海·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的方程的判別式的值為13，則．15．（2022秋·上海普陀·八年級(jí)校考階段練習(xí)）一元二次方程的根的情況是．16．（2021秋·上海青浦·八年級(jí)?？计谀┮辉畏匠痰母呐袆e式為．17．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)?？茧A段練習(xí)）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．18．（2021秋·上?！ぐ四昙?jí)期中）已知等腰△ABC的兩邊是關(guān)于x的方程x23mx+9m=0的兩根，第三邊的長是4，則m=.三、解答題19．（2022秋·上海靜安·八年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為，求這個(gè)方程的根的判別式的值．20．（2022秋·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，求能取的正整數(shù)值．21．（2022秋·上海黃浦·八年級(jí)上海外國語大學(xué)附屬大境初級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于的方程和有公共根，求：的值．22．（2022秋·上海普陀·八年級(jí)?？计谥校┤舴匠虥]有實(shí)數(shù)根，試判斷方程根的情況并說明理由．23．（2022秋·上海靜安·八年級(jí)上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于的方程，當(dāng)k是什么實(shí)數(shù)時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，并且求出這兩個(gè)根．24．（2022秋·上海靜安·八年級(jí)上海市市西中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程（m為實(shí)數(shù)）．(1)如果該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．(2)如果該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．(3)如果該方程沒有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍．25．（2022秋·上海楊浦·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)如果方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；(2)如果等腰三角形的一條邊長為，其余兩邊的邊