質(zhì)數(shù)全面解析

專題01 質(zhì)數(shù)那些事閱讀與思考一個大于1的自然數(shù)如果只能被1和本身整除，就叫作質(zhì)數(shù)(也叫素?cái)?shù))；如果能被1和本身以外的自然數(shù)整除，就叫作合數(shù)；自然數(shù)1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，叫作單位數(shù)．這樣，我們可以按約數(shù)個數(shù)將正整數(shù)分為三類：關(guān)于質(zhì)數(shù)、合數(shù)有下列重要性質(zhì)：1．質(zhì)數(shù)有無窮多個，最小的質(zhì)數(shù)是2，但不存在最大的質(zhì)數(shù)，最小的合數(shù)是4．2．1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)；2是唯一的偶質(zhì)數(shù)．3．若質(zhì)數(shù)|，則必有|或|．4．算術(shù)基本定理：任意一個大于1的整數(shù)N能唯一地分解成個質(zhì)因數(shù)的乘積(不考慮質(zhì)因數(shù)之間的順序關(guān)系)：N=，其中，為質(zhì)數(shù)，為非負(fù)數(shù)(=1，2，3，…，)．正整數(shù)N的正約數(shù)的個數(shù)為(1＋)(1＋)…(1＋)，所有正約數(shù)的和為(1＋＋…＋)(1＋＋…＋)…(1＋＋…＋)．例題與求解【例1】已知三個質(zhì)數(shù)，，滿足＋＋＋=99，那么的值等于_________________．(江蘇省競賽試題)解題思想：運(yùn)用質(zhì)數(shù)性質(zhì)，結(jié)合奇偶性分析，推出，，的值．【例2】若為質(zhì)數(shù)，＋5仍為質(zhì)數(shù)，則＋7為()A．質(zhì)數(shù) B．可為質(zhì)數(shù)，也可為合數(shù) C．合數(shù) D．既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)(湖北省黃岡市競賽試題)解題思想：從簡單情形入手，實(shí)驗(yàn)、歸納與猜想．【例3】求這樣的質(zhì)數(shù)，當(dāng)它加上10和14時(shí)，仍為質(zhì)數(shù)．(上海市競賽試題)解題思想：由于質(zhì)數(shù)的分布不規(guī)則，不妨從最小的質(zhì)數(shù)開始進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，另外，需考慮這樣的質(zhì)數(shù)是否唯一，按剩余類加以深入討論．【例4】⑴將1，2，…，2004這2004個數(shù)隨意排成一行，得到一個數(shù)，求證：一定是合數(shù)．⑵若是大于2的正整數(shù)，求證：－1與＋1中至多有一個質(zhì)數(shù)．⑶求360的所有正約數(shù)的倒數(shù)和．(江蘇省競賽試題)解題思想：⑴將1到2004隨意排成一行，由于中間的數(shù)很多，不可能一一排出，不妨找出無論怎樣排，所得數(shù)都有非1和本身的約數(shù)；⑵只需說明－1與＋1中必有一個是合數(shù)，不能同為質(zhì)數(shù)即可；⑶逐個求解正約數(shù)太麻煩，考慮整體求解．【例5】設(shè)和是正整數(shù)，≠，是奇質(zhì)數(shù)，并且，求＋的值．解題思想：由題意變形得出整除或，不妨設(shè)．由質(zhì)數(shù)的定義得到2－1=1或2－1=．由≠及2－1為質(zhì)數(shù)即可得出結(jié)論．【例6】若一個質(zhì)數(shù)的各位數(shù)碼經(jīng)任意排列后仍然是質(zhì)數(shù)，則稱它是一個“絕對質(zhì)數(shù)”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是質(zhì)數(shù)]．求證：絕對質(zhì)數(shù)的各位數(shù)碼不能同時(shí)出現(xiàn)數(shù)碼1，3，7，9．(青少年國際城市邀請賽試題)解題思想：一個絕對質(zhì)數(shù)如果同時(shí)含有數(shù)字1，3，7，9，則在這個質(zhì)數(shù)的十進(jìn)制表示中，不可能含有數(shù)字0，2，4，5，6，8，否則，進(jìn)行適當(dāng)排列后，這個數(shù)能被2或5整除．能力訓(xùn)練A級1．若，，，為整數(shù)，=1997，則=________．2．在1，2，3，…，這個自然數(shù)中，已知共有個質(zhì)數(shù)，個合數(shù)，個奇數(shù)，個偶數(shù)，則(－)＋(－)=__________．3．設(shè)，為自然數(shù)，滿足1176=，則的最小值為__________．(“希望杯”邀請賽試題)4．已知是質(zhì)數(shù)，并且＋3也是質(zhì)數(shù)，則－48的值為____________．(北京市競賽試題)5．任意調(diào)換12345各數(shù)位上數(shù)字的位置，所得的五位數(shù)中質(zhì)數(shù)的個數(shù)是( )A．4 B．8 C．12 D．0在2005，2007，2009這三個數(shù)中，質(zhì)數(shù)有( )A．0個 B．1個 C．2個 D．3個(“希望杯”邀請賽試題)7．一個兩位數(shù)的個位數(shù)字和十位數(shù)字變換位置后，所得的數(shù)比原來的數(shù)大9，這樣的兩位中，質(zhì)數(shù)有( )A．1個 B．3個 C．5個 D．6個(“希望杯”邀請賽試題)8．設(shè)，，都是質(zhì)數(shù)，并且＋=，<．求．9．寫出十個連續(xù)的自然數(shù)，使得個個都是合數(shù)．(上海市競賽試題)10．在黑板上寫出下面的數(shù)2，3，4，…，1994，甲先擦去其中的一個數(shù)，然后乙再擦去一個數(shù)，如此輪流下去，若最后剩下的兩個數(shù)互質(zhì)，則甲勝；若最后剩下的兩個數(shù)不互質(zhì)，則乙勝，你如果想勝，應(yīng)當(dāng)選甲還是選乙？說明理由．(五城市聯(lián)賽試題)11．用正方形的地磚不重疊、無縫隙地鋪滿一塊地，選用邊長為cm規(guī)格的地磚，恰用塊，若選用邊長為cm規(guī)格的地磚，則要比前一種剛好多用124塊，已知，，都是正整數(shù)，且(，)=1，試問這塊地有多少平方米？(湖北省荊州市競賽試題)B級1．若質(zhì)數(shù)，滿足5＋7=129，則＋的值為__________．2．已知，均為質(zhì)數(shù)，并且存在兩個正整數(shù)，，使得=＋，=×，則的值為__________．3．自然數(shù)，，，，都大于1，其乘積=2000，則其和＋＋＋＋的最大值為__________，最小值為____________．(“五羊杯”競賽試題)4．機(jī)器人對自然數(shù)從1開始由小到大按如下的規(guī)則染色：凡能表示為兩個合數(shù)之和的自然數(shù)都染成紅色，不合上述要求的自然數(shù)都染成黃色，若被染成紅色的數(shù)由小到大數(shù)下去，則第1992個數(shù)是_______________．(北京市“迎春杯”競賽試題)5．若，均為質(zhì)數(shù)，且滿足＋=2089，則49－=_________．A．0 B．2007 C．2008 D．2010(“五羊杯”競賽試題)6．設(shè)為質(zhì)數(shù)，并且7＋8和8＋7也都為質(zhì)數(shù)，記=77＋8，=88＋7，則在以下情形中，必定成立的是( )A．，都是質(zhì)數(shù) B．，都是合數(shù)C．，一個是質(zhì)數(shù)，一個是合數(shù) D．對不同的，以上皆可能出現(xiàn)(江西省競賽試題)7．設(shè)，，，是自然數(shù)，并且，求證：＋＋＋一定是合數(shù)．(北京市競賽試題)8．請同時(shí)取六個互異的自然數(shù)，使它們同時(shí)滿足：⑴6個數(shù)中任意兩個都互質(zhì)；⑵6個數(shù)任取2個，3個，4個，5個，6個數(shù)之和都是合數(shù)，并簡述選擇的數(shù)符合條件的理由．9．已知正整數(shù)，都是質(zhì)數(shù)，并且7＋與＋11也都是質(zhì)數(shù)，試求的值．