河南省開封市小石中學高三數學理上學期期末試卷含解析

河南省開封市小石中學高三數學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數f（x）=﹣lnx+x+h，在區(qū)間上任取三個實數a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）為邊長的三角形，則實數h的取值范圍是（） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，e﹣3） C．（﹣1，+∞） D．（e﹣3，+∞）參考答案：D【考點】導數在最大值、最小值問題中的應用． 【專題】轉化思想；綜合法；導數的綜合應用． 【分析】由條件可得2f（x）min＞f（x）max且f（x）min＞0，再利用導數求得函數的最值，從而得出結論． 【解答】解：任取三個實數a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）為邊長的三角形， 等價于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可轉化為2f（x）min＞f（x）max且f（x）min＞0． 令得x=1． 當時，f'（x）＜0；當1＜x＜e時，f'（x）＞0； 所以當x=1時，f（x）min=f（1）=1+h，==e﹣1+h， 從而可得，解得h＞e﹣3， 故選：D． 【點評】本題主要考查利用導數研究函數的單調性，函數的恒成立問題，求函數的最值，屬于中檔題． 2.設集合A={x|（x+1）（4﹣x）＞0}，B={x|0＜＜3}，則A∩B等于（）A．（0，4） B．（4，9） C．（﹣1，4） D．（﹣1，9）參考答案：A【考點】交集及其運算．【分析】求出A與B中不等式的解集分別確定出A與B，找出兩集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式變形得：（x+1）（x﹣4）＜0，解得：﹣1＜x＜4，即A=（﹣1，4），由B中不等式解得：0＜x＜9，即B=（0，9），則A∩B=（0，4），故選：A．3.的兩邊長為，其夾角的余弦為，則其外接圓半徑為（）（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）參考答案：B4.在中，，若為銳角，則實數的取值范圍是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D略5.°=

A．2

B．

C．

D．參考答案：答案:B6.等比數列{an}的前n項和為Sn，已知，，則（

）A．

B．

C．14

D．15參考答案：D由，得，即，又為等比數列，所以公比，又，所以..故選D.

7.已知定義在R上的函數滿足，且時，則A．-1

B．0

C．1

D．1或0參考答案：A略8.如下圖所示是一個半徑等于2的半球,現過半球底面的中心作一個與底面成80°角的截面,則截面的面積為（

A．

B．

C．

D．參考答案：C9.對于定義在R上的函數f（x），若存在正常數a、b，使得f（x+a）≤f（x）+b對一切x∈R均成立，則稱f（x）是“控制增長函數”，在以下四個函數中：①f（x）=x2+x+1；②f（x）=；③f（x）=sin（x2）；④f（x）=x?sinx．是“控制增長函數”的有（）A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②④參考答案：C【考點】3T：函數的值．【分析】假設各函數為“控制增長函數”，根據定義推倒f（x+a）≤f（x）+b恒成立的條件，判斷a，b的存在性即可得出答案．【解答】解：對于①，f（x+a）≤f（x）+b可化為：（x+a）2+（x+a）+1≤x2+x+1+b，即2ax≤﹣a2﹣a+b，即x≤對一切x∈R均成立，由函數的定義域為R，故不存在滿足條件的正常數a、b，故f（x）=x2+x+1不是“控制增長函數”；對于②，若f（x）=是“控制增長函數”，則f（x+a）≤f（x）+b可化為：≤+b，∴|x+a|≤|x|+b2+2b恒成立，又|x+a|≤|x|+a，∴|x|+a≤|x|+b2+2b，∴≥，顯然當a＜b2時式子恒成立，∴f（x）=是“控制增長函數”；對于③，∵﹣1≤f（x）=sin（x2）≤1，∴f（x+a）﹣f（x）≤2，∴當b≥2時，a為任意正數，使f（x+a）≤f（x）+b恒成立，故f（x）=sin（x2）是“控制增長函數”；對于④，若f（x）=xsinx是“控制增長函數”，則（x+a）sin（x+a）≤xsinx+b恒成立，∵（x+a）sin（x+a）≤x+a，∴x+a≤xsinx+b≤x+b，即a≤b，∴f（x）=xsinx是“控制增長函數”．故選C．【點評】本題考查了新定義的理解，函數存在性與恒成立問題研究，屬于中檔題．10.函數，（其中，，）的一部分圖象如圖所示，將函數上的每一個點的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍，得到的圖象表示的函數可以為（

）A. B.C. D.參考答案：A由圖象可知A=1，周期，所以，又過點，所以，即，每一個點的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍，得到，故選A.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若曲線的一條切線的斜率是3，則切點的橫坐標為________．參考答案：2【分析】根據曲線的切線斜率即對應的函數在切點處的導數值，令導數，解得x的值，結合函數定義域即可得解．【詳解】解：，，，解得（舍去）或，所以，故答案為：2.【點睛】本題考查導數的幾何意義，曲線上某點處的切線斜率的意義以及函數的定義域，屬于基礎題.12.過拋物線的焦點且傾斜角為的直線被圓截得的弦長是__________參考答案：略13.已知復數

，則．

參考答案：14.．正三棱錐內接于球，且底面邊長為，側棱長為2，則球的表面積為

．參考答案：如圖，設三棱錐的外接球球心為O，半徑為r，BC=CD=BD=，AB=AC=AD=2，，M為正的中心，則DM=1，AM=，OA=OD=r，所以，解得，所以．15.當k＞0時，兩直線kx－y＝0,2x＋ky－2＝0與x軸圍成的三角形面積的最大值為

.參考答案：16.設則的值等于__

參考答案：17.已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P-ABCD的體積為________．

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標系xoy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為．（1）求C的參數方程；（2）設點D在C上，C在D處的切線與直線垂直，根據（1）中的參數方程，確定點D的坐標．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標方程．【分析】（1）先求出半圓C的直角坐標方程，由此能求出半圓C的參數方程．（2）設點D對應的參數為α，則點D的坐標為（cosα，1+sinα），且α∈[﹣]，半圓C的圓心是C（0，1）因半圓C在D處的發(fā)線與直線l垂直，故直線DC的斜率與直線l的斜率相等，由此能求出點D的坐標．【解答】解：（1）∵半圓C的極坐標方程為．即ρ2=2ρsinθ，，∴半圓C的直角坐標方程為x2+y2﹣2y=0，x∈[0，1]，∴半圓C的參數方程為．（2）設點D對應的參數為α，則點D的坐標為（cosα，1+sinα），且α∈[﹣]，由（1）知半圓C的圓心是C（0，1）因半圓C在D處的發(fā)線與直線l垂直，故直線DC的斜率與直線l的斜率相等，，即tanα=，∵α∈[﹣]，∴α=，∴點D的坐標為D（，）．19.（本小題滿分12分）數列中，，滿足，

。⑴求數列的通項公式；(2)設=，求最大的整數，使得對任意，均有成立.參考答案：解：（1）由題意，，為等差數列，設公差為，由題意得，（2）若對任意成立，即對任意成立，的最小值是，的最大整數值是7即存在最大整數使對任意，均有略20.（14分）請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當帳篷的頂點O到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？參考答案：解析：設OO1為xm,則由題設可得正六棱錐底面邊長為（單位：m），于是底面正六邊形的面積為（單位：m2）帳篷的體積為（單位：m3）求導數，得令解得x=-2(不合題意，舍去),x=2.當1<x<2時，,V(x)為增函數；當2<x<4時，,V(x)為減函數。所以當x=2時,V(x)最大。答當OO1為2m時，帳篷的體積最大。21.（本小題滿分12分）已知函數．（Ⅰ）求函數的最小正周期及最小值；（Ⅱ）若為銳角，且，求的值．參考答案：（Ⅰ）函數的最小正周期為，函數的最小值為．（Ⅱ）．．

┅┅┅┅┅┅

3（Ⅰ）函數的最小正周期為，函數的最小值為．

┅┅┅┅┅┅

7分（Ⅱ）由得．

所以．

又因為，所以，┅┅┅┅┅┅

10分所以．

所以．

┅┅

12分22.（本小題滿分