專題09 二次函數(shù)的應用（解決實際問題）（講）-備戰(zhàn)2019年中考數(shù)學二輪復習講練測（原卷版）

備戰(zhàn)2019年中考二輪講練測（精選重點典型題）專題09二次函數(shù)的應用（解決實際問題）（講案）一講考點——考點梳理二次函數(shù)的應用關鍵在于建立二次函數(shù)的數(shù)學模型，這就需要認真審題，理解題意，利用二次函數(shù)解決實際問題，應用最多的是根據(jù)二次函數(shù)的最值確定最大利潤、最節(jié)省方案等問題． 應用二次函數(shù)解決實際問題的一般思路：理解題意；建立數(shù)學模型；解決題目提出的問題．（一）簡單應用對于題目明確給出兩個變量間是二次函數(shù)關系，并且給出幾對變量值，要求求出函數(shù)關系式，進行簡單的應用（或者直接給出二次函數(shù)的解析式，進行簡單應用）．解答的關鍵是熟練運用待定系數(shù)法，準確求出函數(shù)關系式．（二）建模應用利用二次函數(shù)解決拋物線型問題，一般是先根據(jù)實際問題的特點建立直角坐標系，設計合適的二次函數(shù)的解析式，把實際問題中的已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標，代入解析式求解，最后要把求出的結果轉(zhuǎn)化為實際問題的答案．（三）銷售問題二次函數(shù)解決銷售問題是我們生活中經(jīng)常遇到的問題，這類問題通常是根據(jù)實際條件建立二次函數(shù)關系式，然后利用二次函數(shù)的最值或自變量在實際問題中的取值解決利潤最大問題．（四）運用二次函數(shù)求實際問題中的最值即解二次函數(shù)最值應用題，設法把關于最值的實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，然后按求二次函數(shù)最值的方法求解，求最值時，要注意求的答案要符合實際問題．包括二次函數(shù)在沒有限制條件下的最值，二次函數(shù)在給定范圍條件下的最值和分段函數(shù)求最值．1．二次函數(shù)在沒有限制條件下的最值：二次函數(shù)的一般式()化成頂點式，如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值）．2．二次函數(shù)在給定范圍條件下的最值：如果自變量的取值范圍是，如果頂點在自變量的取值范圍內(nèi)，則需要計算當，，時，對應的函數(shù)值，比較結果，最大的函數(shù)值為最大值，最小的函數(shù)值為最小值，如果頂點不在此范圍內(nèi)，則只需要計算當，時的函數(shù)值，比較結果，最大的函數(shù)值為最大值，最小的函數(shù)值為最小值（或者用二次函數(shù)的增減性來解）．二講題型——題型解析（一）對簡單應用的考查．例1．一小球從距地面1m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下．（1）小球第3次著地時，經(jīng)過的總路程為m；（2）小球第n次著地時，經(jīng)過的總路程為m．（二）對建模應用的考查．例2．小明家的洗手盆上裝有一種抬啟式水龍頭（如圖1），完全開啟后，水流路線呈拋物線，把手端點A，出水口B和落水點C恰好在同一直線上，點A至出水管BD的距離為12cm，洗手盆及水龍頭的相關數(shù)據(jù)如圖2所示，現(xiàn)用高10.2cm的圓柱型水杯去接水，若水流所在拋物線經(jīng)過點D和杯子上底面中心E，則點E到洗手盆內(nèi)側(cè)的距離EH為cm．（三）對銷售問題的考查．例3．經(jīng)公司以30元/千克的價格收購一批農(nóng)產(chǎn)品進行銷售，為了得到日銷售量p（千克）與銷售價格x（元/千克）之間的關系，經(jīng)過市場調(diào)查獲得部分數(shù)據(jù)如下表：（1）請你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用所學過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識確定p與x之間的函數(shù)表達式；（2）農(nóng)經(jīng)公司應該如何確定這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價格，才能使日銷售利潤最大？（3）若農(nóng)經(jīng)公司每銷售1千克這種農(nóng)產(chǎn)品需支出a元（a＞0）的相關費用，當40≤x≤45時，農(nóng)經(jīng)公司的日獲利的最大值為2430元，求a的值．（日獲利=日銷售利潤﹣日支出費用）（四）對運用二次函數(shù)求實際問題中的最值的考查．例4．交通工程學理論把在單向道路上行駛的汽車看成連續(xù)的流體，并用流量、速度、密度三個概念描述車流的基本特征，其中流量q（輛/小時）指單位時間內(nèi)通過道路指定斷面的車輛數(shù)；速度v（千米/小時）指通過道路指定斷面的車輛速度，密度k（輛/千米）指通過道路指定斷面單位長度內(nèi)的車輛數(shù)．為配合大數(shù)據(jù)治堵行動，測得某路段流量q與速度v之間關系的部分數(shù)據(jù)如下表：（1）根據(jù)上表信息，下列三個函數(shù)關系式中，刻畫q，v關系最準確的是（只填上正確答案的序號）①q=90v+100；②q=；③．（2）請利用（1）中選取的函數(shù)關系式分析，當該路段的車流速度為多少時，流量達到最大？最大流量是多少？（3）已知q，v，k滿足q=vk，請結合（1）中選取的函數(shù)關系式繼續(xù)解決下列問題．①市交通運行監(jiān)控平臺顯示，當12≤v＜18時道路出現(xiàn)輕度擁堵．試分析當車流密度k在什么范圍時，該路段將出現(xiàn)輕度擁堵；②在理想狀態(tài)下，假設前后兩車車頭之間的距離d（米）均相等，求流量q最大時d的值．例5有一家苗圃計劃植桃樹和柏樹，根據(jù)市場調(diào)查與預測，種植桃樹的利潤（萬元）與投資成本x（萬元）滿足如圖①所示的二次函數(shù)；種植柏樹的利潤（萬元）與投資成本x（萬元）滿足如圖②所示的正比例函數(shù)=kx．（1）分別求出利潤（萬元）和利潤（萬元）關于投資成本x（萬元）的函數(shù)關系式；（2）如果這家苗圃以10萬元資金投入種植桃樹和柏樹，桃樹的投資成本不低于2萬元且不高于8萬元，苗圃至少獲得多少利潤？最多能獲得多少利潤？三講方法——方法點睛一、轉(zhuǎn)化思想————實際問題中的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題．1、方案設計最優(yōu)問題：費用最低？利潤最大？儲量最大？等等．2、面積最優(yōu)化問題：全面觀察幾何圖形的結構特征，挖掘出相應的內(nèi)在聯(lián)系，列出包含函數(shù)，自變量在內(nèi)的等式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，求最值問題．二、建模思想————從實際問題中發(fā)現(xiàn)、提出、抽象、簡化、解決、處理問題的思維過程．1、建立圖像模型：自主建立平面直角坐標系，構造二次函數(shù)關系式解決實際問題．2、方程模型和不等式模型：根據(jù)實際問題中的數(shù)量關系，列出方程或不等式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解決問題．3、根據(jù)實際問題情境抽象出二次函數(shù)模型．三、分類討論的思想————二次函數(shù)與其他知識的綜合題時經(jīng)常用到．四練實題——隨堂小練1．足球運動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度h（單位：m）與足球被踢出后經(jīng)過的時間t（單位：s）之間的關系如下表：下列結論：①足球距離地面的最大高度為20m；②足球飛行路線的對稱軸是直線t=；③足球被踢出9s時落地；④足球被踢出1.5s時，距離地面的高度是11m，其中正確結論的個數(shù)是（）A．1B．2C．3D．42．飛機著陸后滑行的距離s（單位：米）關于滑行的時間t（單位：秒）的函數(shù)解析式是，則飛機著陸后滑行的最長時間為秒．3．某商場購進一批單價為20元的日用商品，如果以單價30元銷售，那么半月內(nèi)可銷售出400件，根據(jù)銷售經(jīng)驗，提高銷售單價會導致銷售量的減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應減少20件，當銷售量單價是元/時，才能在半月內(nèi)獲得最大利潤．4．隨著新農(nóng)村的建設和舊城的改造，我們的家園越來越美麗，小明家附近廣場中央新修了個圓形噴水池，在水池中心豎直安裝了一根高為2米的噴水管，它噴出的拋物線形水柱在與水池中心的水平距離為1米處達到最高，水柱落地處離池中心3米．（1）請你建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担⑶蟪鏊鶔佄锞€的函數(shù)解析式；（2）求出水柱的最大高度的多少？5．某商店經(jīng)銷一種雙肩包，已知這種雙肩包的成本價為每個30元．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種雙肩包每天的銷售量y（單位：個）與銷售單價x（單位：元）有如下關系：y=﹣x+60（30≤x≤60）．設這種雙肩包每天的銷售利潤為w元．（1）求w與x之間的函數(shù)解析式；（2）這種雙肩包銷售單價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？（3）如果物價部門規(guī)定這種雙肩包的銷售單價不高于48元，該商店銷售這種雙肩包每天要獲得200元的銷售利潤，銷售單價應定為多少元？6．青島市某大酒店豪華間實行淡季、旺季兩種價格標準，旺季每間價格比淡季上漲．下表是去年該酒店豪華間某兩天的相關記錄：（1）該酒店豪華間有多少間？旺季每間價格為多少元？（2）今年旺季來臨，豪華間的間數(shù)不變．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果豪華間仍舊實行去年旺季價格，那么每天都客滿；如果價格繼續(xù)上漲，那么每增加25元，每天未入住房間數(shù)增加1間．不考慮其他因素，該酒店將豪華間的價格上漲多少元時，豪華間的日總收入最高？最高日總收入是多少元？7．怡然美食店的A、B兩種菜品，每份成本均為14元，售價分別為20元、18元，這兩種菜品每天的營業(yè)額共為1120元，總利潤為280元．（1）該店每天賣出這兩種菜品共多少份？（2）該店為了增加利潤，準備降低A種菜品的售價，同時提高B種菜品的售價，售賣時發(fā)現(xiàn)，A種菜品售價每降0.5元可多賣1份；B種菜品售價每提高0.5元就少賣1份，如果這兩種菜品每天銷售總份數(shù)不變，那么這兩種菜品一天的總利潤最多是多少？8．某廠按用戶的月需求量x（件）完成一種產(chǎn)品的生產(chǎn)，其中x＞0，每件的售價為18萬元，每件的成本y（萬元）是基礎價與浮動價的和，其中基礎價保持不變，浮動價與月需求量x（件）成反比，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，月需求量x與月份n（n為整數(shù)，1≤n≤12），符合關系式x=2n2﹣2kn+9（k+3）（k為常數(shù)），且得到了表中的數(shù)據(jù)．（1）求y與x滿足的關系式，請說明一件產(chǎn)品的利潤能否是12萬元；（2）求k，并推斷是否存在某個月既無盈利也不虧損；（3）在這一年12個月中，若第m個月和第（m+1）個月的利潤相差很大，求m．9．如圖，某日的錢塘江觀潮信息如圖：按上述信息，小紅將“交叉潮”形成后潮頭與乙地之間的距離s（千米）與時間t（分鐘）的函數(shù)關系用圖3表示，其中：“11：40時甲地‘交叉潮’的潮頭離乙地12千米”記為點A（0，12），點B坐標為（m，0），曲線BC可用二次函數(shù)（b，c是常數(shù)）刻畫．（1）求m的值，并求出潮頭從甲地到乙地的速度；（2）11：59時，小紅騎單車從乙地出發(fā)，沿江邊公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，問她幾分鐘后與潮頭相遇？（3）相遇后，小紅立即調(diào)轉(zhuǎn)車頭，沿江邊公路按潮頭速度與潮頭并行，但潮頭過乙地后均勻加速，而單車最高速度為0.48千米/分，小紅逐漸落后．問小紅與潮頭相遇到落后潮頭1.8千米共需多長時間？（潮水加速階段速度，v0是加速前的速度）．10.某農(nóng)場擬建一間矩形種牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠現(xiàn)有墻（墻足夠長），已知計劃中的建筑材料可建圍墻的總長度為50m．設飼養(yǎng)室為長為x（m），占地面積為．（1）如圖，問飼養(yǎng)室為長x為多少時，占地面積y最大？（2）如圖，現(xiàn)要求在圖中所示位置留2m的門，且仍使飼養(yǎng)室占地面積最大．小敏說：“只要飼養(yǎng)室長比（1）中的長多2m就行了．”請你通過計算，判斷小敏的說法是否正確．12．（2017金華）甲、乙兩人進行羽毛球比賽，羽毛球飛行的路線為拋物線的一部分，如圖，甲在O點正上方1m的P處發(fā)出一球，羽毛球飛行的高度y（m）與水平距離x（m）之間滿足函數(shù)表達式，已知點O與球網(wǎng)的水平距離為5m，球網(wǎng)的高度為1.55m．（1）當a=時，①求h的值；②通過計算判斷此球能否過網(wǎng)．（2）若甲發(fā)球過網(wǎng)后，羽毛球飛行到點O的水平距離為7m，離地面的高度為m的Q處時，乙扣球成功，求a的值．五練原創(chuàng)——預測提升1．某旅游景點的收入受季節(jié)的影響較大，有時候出現(xiàn)賠本的經(jīng)營狀況．因此，公司規(guī)定：若無利潤時，該景點關閉．經(jīng)跟蹤測算，該景點一年中的利潤W（萬元）與月份x之間滿足二次函數(shù)W=﹣x2+16x﹣48，則該景點一年中處于關閉狀態(tài)有（）月．A．5B．6C．7D．82．某公司在甲、乙兩地同時銷售某種品牌的汽車．已知在甲、乙兩地的銷售利潤y（單位：萬元）與銷售量x（單位：輛）之間分別滿足：，，若該公司在甲，乙兩地共銷售15輛該品牌的汽車，則能獲得的最大利潤為A．30萬元B．40萬元C．45萬元D．46萬元3．一件工藝品進價為100元，標價135元售出，每天可售出100件．根據(jù)銷售統(tǒng)計，一件工藝品每降價1元出售，則每天可多售出4件，要使每天獲得的利潤最大，每件需降價的錢數(shù)為()A．5元B．10元C．0元D．3600元4．如圖，在梯形ABCD中，AB鈥?/鈥塁D，AB=7，CD=1，AD=BC=5．點M，N分別在邊AD，BC上運動，并保持MN鈥?/鈥堿B，ME鈯B，NF鈯B，垂足分別為E，F(xiàn)．四邊形MEFN面積的最大值是（）A．493B．73C．495．某服裝店購進單價為15元童裝若干件，銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)：當銷售價為25元時平均每天能售出8件，而當銷售價每降低2元，平均每天能多售出4件．當每件的定價為________元時，該服裝店平均每天的銷售利潤最大．6.國際風箏節(jié)在濰坊市舉辦，王大伯決定銷售一批風箏，經(jīng)市場調(diào)研：蝙蝠型風箏進價每個為10元，當售價每個為12元時，銷售量為180個，若售價每提高1元，銷售量就會減少10個，請回答以下問題：（1）用表達式表示蝙蝠型風箏銷售量y（個）與售價x（元）之間的函數(shù)關系（12≤x≤30）；（2）王大伯為了讓利給顧客，并同時獲得840元利潤，售價應定為多少？（3）當售價定為多少時，王大伯獲得利潤最大，最大利潤是多少？7．某旅行社組團去外地旅游，30人起組團，每人單價800元．旅行社對超過30人的團給予優(yōu)惠，即旅行團的人數(shù)每增加一人，每人的單價就降低10元．當一個旅行團的人數(shù)是______人時，這個旅行社可以獲得最大的營業(yè)額．8.“丹棱凍粑”是眉山著名特色小吃，產(chǎn)品暢銷省內(nèi)外，現(xiàn)有一個產(chǎn)品銷售點在經(jīng)銷時發(fā)現(xiàn)：如果每箱產(chǎn)品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱產(chǎn)品漲價1元，日銷售量將減少2箱．（1）現(xiàn)該銷售點每天盈利600元，同時又要顧客得到實惠，那么每箱產(chǎn)品應漲價多少元？（2）若該銷售點單純從經(jīng)濟角度考慮，每箱產(chǎn)品應漲價多少元才能獲利最高？9.經(jīng)統(tǒng)計分析，某市跨河大橋上的車流速度v（千米/小時）是車流密度x（輛/千米）的函數(shù)，當橋上的車流密度達到220輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為80千米/小時，研究表明：當20≤x≤220時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．（1）求大橋上車流密度為100輛/千米時的車流速度；（2）在交通高峰時段，為使大橋上的車流速度大于40千米/小時且小于60千米/小時，應控制大橋上的車流密度在什么范圍內(nèi)？（3）車流量（輛/小時）是單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，即：車流量=車流速度×車流密度．求大橋上車流量y的最大值．1