中考數(shù)學(xué)思想方法之整體思想（學(xué)生版+解析版）（共2個）

解方程中的整體思想

知識方法精講

1.整體思想

從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征,

善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目

的的、有意識的整體處理。整體思想方法在代數(shù)式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證

等方面都有廣泛的應(yīng)用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設(shè)元、整體處理、幾何

中的補形等都是整體思想方法在解數(shù)學(xué)問題中的具體運用。

用整體思想解方程，就是先考慮方程中的某一個代數(shù)式整體去代入，然后再解出方程中的未

知數(shù)的值就可以。

2.解一元一次方程

（1）解一元一次方程的一般步驟：

去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1,這僅是解一元一次方程的一般步驟，針

對方程的特點，靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸向x=a形式轉(zhuǎn)化.

（2）解一元一次方程時先觀察方程的形式和特點，若有分母一般先去分母；若既有分母又

有括號，且括號外的項在乘括號內(nèi)各項后能消去分母，就先去括號.

（3）在解類似于“ov+"=c”的方程時，將方程左邊，按合并同類項的方法并為一項即（。+匕）

x=c.使方程逐漸轉(zhuǎn)化為數(shù)=6的最簡形式體現(xiàn)化歸思想.將ar=b系數(shù)化為1時，要準(zhǔn)確

計算，一弄清求x時，方程兩邊除以的是〃還是6,尤其〃為分?jǐn)?shù)時；二要準(zhǔn)確判斷符號,

〃、〃同號x為正，a、〃異號x為負(fù).

3.二元一次方程的解

（1）定義：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程

的解.

（2）在二元一次方程中，任意給出一個未知數(shù)的值，總能求出另一個未知數(shù)的一個唯一確

定的值，所以二元一次方程有無數(shù)解.

（3）在求一個二元一次方程的整數(shù)解時，往往采用“給一個，求一個”的方法，即先給出

其中一個未知數(shù)（一般是系數(shù)絕對值較大的）的值，再依次求出另一個的對應(yīng)值.

4.二元一次方程組的解

（1）定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

（2）一般情況下二元一次方程組的解是唯一的.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與出發(fā)點，當(dāng)遇到

有關(guān)二元一次方程組的解的問題時，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程

組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù).

5.解二元一次方程組

（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，

將這個方程組中的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來.②將變形后的關(guān)系式代

入另一個方程，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程.③解這個一元一次方程，求出x

（或y）的值.④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個未知數(shù)的值.⑤

把求得的x、y的值用“{”聯(lián)立起來，就是方程組的解.

（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)

的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個未知數(shù)的系數(shù)相

等或互為相反數(shù).②把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一

次方程.③解這個一元一次方程，求得未知數(shù)的值.④將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的

任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值.⑤把所求得的兩個未知數(shù)的值寫在一起，就得到

原方程組的解，用的形式表示.

Iy=b

6.二元一次方程組的應(yīng)用

（一）列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：

（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系.

（2）設(shè)元：找出題中的兩個關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來.

（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個等量關(guān)系，列出方程組.

（4）求解.

（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答.

（-）設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元.

當(dāng)問題較復(fù)雜時，有時設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元.無論怎

樣設(shè)元，設(shè)幾個未知數(shù)，就要列幾個方程.

7.一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解?又因為只含有一個未知

數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解.這xi,X2是一元二次方程a^+bx+c

=0(aWO)的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量.

ari2+/>xi+c?=O(。#0),ax22+bx2+c=0(。#0).

8.換元法解一元二次方程

1、解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，

這叫換元法.

換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將

問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得

容易處理.

2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母

來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn).把一些形式復(fù)雜的方程通過換元

的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的.

9.分式方程的解

求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解.

注意：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范

圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解.

10.解分式方程

(1)解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論.

(2)解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0,所以應(yīng)如

下檢驗：

①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式

方程的解.

②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0,則整式方程的解不是原分式

方程的解.

所以解分式方程時，一定要檢驗.

選擇題(共3小題)

1.(2021秋?沙坪壩區(qū)校級期中)關(guān)于x、y的二元一次方程組的解滿足

[2x-y=2k+3

x—3y=10+%,則%的值是()

A.2B.-2C.-3D.3

2.(2020秋?岳西縣期末)若方程組=I的解為[x=6.5,則方程組

[lx-5y=31y=8.5

5(x-13)-3(y+l)=7

的解為（)

7(x-13)-5(y+l)=3

x=19.5jx=19.5

y=9.5y=7.5

x=-6.5x=-6.5

y=9.5y=7.5

2ax+3y=18

3.（2021?越秀區(qū)校級一模）關(guān)于x,y的方程組（其中。，〃是常數(shù)）的解

-x+5〃y=17

x=32a(x+y)+3(x-y)=18

為,則方程組的解為（)

y=4(x+y)—5b(x-y)=-17

x=3.5x=3.5

D.

y=-0.5y=0.5

二.填空題（共5小題）

4.（2021秋?黃驊市期末）已知x,y滿足（x-y）2-2（x-y）+1=0.

（1）x-y的值為;

（2）若/+y2=6,則盯的值為.

5.（2021秋?蕪湖期末）觀察下列方程：@x+-=3；?x+-=5i@x+—=l,可以發(fā)

XXX

現(xiàn)它們的解分別是①x=l或2；②x=2或3；③x=3或4.利用上述材料所反映出來的規(guī)

2

律，可知關(guān)于X的方程X+￡^=2〃+4（〃為正整數(shù)）的解x=—.

x—3

6.（2021春?常熟市期中）在解決以下問題：”已知關(guān)于x,y的方程組（“/+瓦丫=。的

[a2x+b2y=c2

解是仁：求關(guān)于"y的方程組匿之式的解”的過程中，甲、乙兩位同學(xué)

分別提出了各自的想法.甲說：“兩個方程組外表很相似，且它們的系數(shù)有一定的規(guī)律，可

以試試."乙說："能不能把第二個方程組中的兩個方程利用等式性質(zhì)加以變形，再利用整

體思想通過換元的方法來解決.”參考他們倆的討論內(nèi)容，你認(rèn)為該方程組的解是/=—,

y'=-

7.（2021秋?花都區(qū)期末）已知x=2是一元二次方程/+如+〃=0的一個解，貝+

的值是—.

111O7

8.（2020秋?自貢期末）關(guān)于x的方程x+—=〃+—的兩個解為％x=—；x+—=Q+—

xa2axa

的兩個解為占=a,x2=-,則關(guān)于x的方程x+——=〃+一一的兩個解為_.

ax-2a-2

三.解答題（共11小題）

9.（2021春?婁底期中）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是=l,求

[2x+ny=6[y=2

3(〃+b)-m(a-〃)=5,

關(guān)于〃、b的二元一次方程組的解.

2(a+b)+n{a-b)=6

10.（2021秋?昌江區(qū)校級期中）解方程組:

3

?=10

3x-2y2x-5y

(1)

二----

3x-2y2x-5y

3x+my=5

(2)

x+2y=n

2xj+x2++x4+x5=6

x1+2X2++x4+x5=12

(3)<%14-x2+2X3+x4+x5=24,求2X4+3X5的值.

x}+x2+x3+2X4+毛=48

百+々+七+%+2X5=96

11.（2021春?濟源期末）題目：滿足方程組“='+的x與丫的值的和是2,求

[2x+3y=3-2A,（g）

k的值.

按照常規(guī)方法，順著題目思路解關(guān)于x、y的二元一次方程組，分別求出x、y的值（含有

字母外，再由x+y=2,構(gòu)造關(guān)于4的方程求解，從而得出％值.

（1）某數(shù)學(xué)興趣小組對本題的解法又進(jìn)行了探究，利用整體思想，對于方程組中每個方程

變形得到“x+y”這個整體，或者對方程組的兩個方程進(jìn)行加減變形，得到“x+y”整體

值，從而求出出值.

請你運用這種整體思想的方法，完成題目的解答過程.

（2）小勇同學(xué)的解答是：觀察方程①，令3x=Z,5y=i.

解得：又%+y=2,

9

x=—?

5

,927

..AC=3ox-=--?

55

把x=2,y=1代入方程②，得k=-2.

555

所以k的值為空或-3.

55

請診斷分析并評價“小勇同學(xué)的解答”.

12.（2021春?福州期末）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組（2X+5）'=3%時，采用

了一種“整體代換”的解法：

解：將方程②變形：4x+10y+y=5即2（2x+5y）+y=5③，

把方程①代入③得：2x3+y=5,

y=—1>

把y=-l代入①得x=4,

.??方程組的解為廠=4.

［y=-l

請你解決以下問題：

（1）模仿小軍的“整體代換”法解方程組［標(biāo)-2y=52；

（2）已知x,y滿足方程組［標(biāo)：一2刈+172=外，求》2+49與的值；

（3）在（2）的條件下，寫出這個方程組的所有整數(shù)解.

13.（2019秋?吉州區(qū)期末）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組［2*+5丫=3%時，采

［4x+lly=5②

用了一種“整體代換”的解法：

解：將方程②變形：4x+10.y+y=5,即2（2x+5y）+y=5③

把方程①代入③得：2x3+y=5,，y=-1,

所以y=_l代入①得x=4,??.方程組的解為卜=4,

[y=-l

請你解決以下問題：

（1）模仿小軍的“整體代換”法解方程組2y=5%，

[9x-4y=19②

（2）已知x,y滿足方程組卜：-2口+1?2=外），求產(chǎn)+42的值和葉&的值.

22+孫+8/=36②2x）>

14.善于思考的小軍在解方程組Fx+"=3g時，采用了一種“整體代換”的解法：

[4x+lly=5②

解：將方程②變形：4x+10y+y=5,

即2（2x+5y）+y=5,③

把方程①代入③，得2x3+y=5.，y=—1.

把y=-l代入①，得x=4.

.?.原方程組的解為卜=4.

請你解決以下問題：

（1）模仿小軍的“整體代換法”解方程組：[3》-2>=5巴

[9x-4y=190

（2）已知x,y滿足方程組卜，2沖+172=外，求產(chǎn)+42的值.

[2/+封+8y=36②

15.（2021春?饒平縣校級期末）已知方程組[以一"=由于甲看錯了方程①中的。得

[4x-by=-2@

到方程組的解為[尤=-3；乙看錯了方程②中的〃得到方程組的解為廠二：,若按正確的°,

[y=-i[y=4

〃計算，請你求原方程組的解.

16.（2020春?南關(guān)區(qū)月考）感知：解方程組①下列給出的兩種方法

中，方法簡單的是—.

（A）由①，得x=Zz越，代入②，先消去x,求出y,再代入求解.

（B）將①代入②，得4x7-y=27,解得y=l,再代入求解.

x+y=2018

探究：解方程組，

—^一5丁=1094

I2，

3元-2y=1+2。

應(yīng)用：若關(guān)于登y的二元一次方程組3x-2y的解中的不是正數(shù)，則。的取值范圍

------2尤=3

3

為—.

17.（2021春?江都區(qū)校級期中）閱讀感悟：

有些關(guān)于方程組的問題,欲求的結(jié)果不是每一個未知數(shù)的值,而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值.

如以下問題：

已知實數(shù)x、y滿足3x-y=5①，2x+3y=7②，求x-4y和7x+5y的值.

本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答

案，常規(guī)思路運算量比較大.其實，仔細(xì)觀察兩個方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可

以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①-②可得x-4y=-2,由①+②x2可得

7x+5y=19.這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”.

解決問題：

（1）己知二元一次方程組+―7,貝IJx-y=,x+y=;

（2）對于實數(shù)x、y,定義新運算：x*y=ax+hy+c,其中〃、b、c是常數(shù)，等式右邊

是通常的加法和乘法運算.已知3*5=15,4*7=28,求1*1的值.

18.（2021秋?長豐縣月考）已知關(guān)于x,y的二元一次方程組尸+2.、'=".

[2x-y=l

（1）當(dāng)方程組的解為卜=1時，求a的值.

（2）當(dāng)a=-2時，求方程組的解.

（3）小冉同學(xué)模仿第（1）問，提出一個新解法：將卜二"2代入方程x+2y=a中，即可求

卜=-2

出。的值.小冉提出的解法對嗎？若對，請完成解答；若不對，請說明理由.

19.（2021春?沐陽縣期末）仔細(xì)閱讀下列內(nèi)容，并回答問題：

用代入法解方程組fx=2）'=有以下步驟：

[x-2y=-12（2）

①由(1)得，y=.(3)；

②把(3)代入(1)得，7X—2X^Z^=3；

2

③整理得3=3；

④可取一切實數(shù)，原方程組有無數(shù)個解.

(1)選擇：以上解法中，造成錯誤的一步是

A.①

B.②

C.③

D.④

(2)用加減法解這個方程組.

解方程中的整體思想

知識方法精講

1.整體思想

從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征,

善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目

的的、有意識的整體處理。整體思想方法在代數(shù)式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證

等方面都有廣泛的應(yīng)用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設(shè)元、整體處理、幾何

中的補形等都是整體思想方法在解數(shù)學(xué)問題中的具體運用。

用整體思想解方程，就是先考慮方程中的某一個代數(shù)式整體去代入，然后再解出方程中的未

知數(shù)的值就可以。

2.解一元一次方程

（1）解一元一次方程的一般步驟：

去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1,這僅是解一元一次方程的一般步驟，針

對方程的特點，靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸向x=a形式轉(zhuǎn)化.

（2）解一元一次方程時先觀察方程的形式和特點，若有分母一般先去分母；若既有分母又

有括號，且括號外的項在乘括號內(nèi)各項后能消去分母，就先去括號.

（3）在解類似于“ov+"=c”的方程時，將方程左邊，按合并同類項的方法并為一項即（。+匕）

x=c.使方程逐漸轉(zhuǎn)化為數(shù)=6的最簡形式體現(xiàn)化歸思想.將ar=b系數(shù)化為1時，要準(zhǔn)確

計算，一弄清求x時，方程兩邊除以的是〃還是6,尤其〃為分?jǐn)?shù)時；二要準(zhǔn)確判斷符號,

〃、〃同號x為正，a、〃異號x為負(fù).

3.二元一次方程的解

（1）定義：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程

的解.

（2）在二元一次方程中，任意給出一個未知數(shù)的值，總能求出另一個未知數(shù)的一個唯一確

定的值，所以二元一次方程有無數(shù)解.

（3）在求一個二元一次方程的整數(shù)解時，往往采用“給一個，求一個”的方法，即先給出

其中一個未知數(shù)（一般是系數(shù)絕對值較大的）的值，再依次求出另一個的對應(yīng)值.

4.二元一次方程組的解

（1）定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

（2）一般情況下二元一次方程組的解是唯一的.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與出發(fā)點，當(dāng)遇到

有關(guān)二元一次方程組的解的問題時，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程

組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù).

5.解二元一次方程組

（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，

將這個方程組中的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來.②將變形后的關(guān)系式代

入另一個方程，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程.③解這個一元一次方程，求出x

（或y）的值.④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個未知數(shù)的值.⑤

把求得的x、y的值用“{”聯(lián)立起來，就是方程組的解.

（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)

的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個未知數(shù)的系數(shù)相

等或互為相反數(shù).②把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一

次方程.③解這個一元一次方程，求得未知數(shù)的值.④將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的

任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值.⑤把所求得的兩個未知數(shù)的值寫在一起，就得到

原方程組的解，用fx=a的形式表示.

Iy=b

6.二元一次方程組的應(yīng)用

（一）列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：

（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系.

（2）設(shè)元：找出題中的兩個關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來.

（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個等量關(guān)系，列出方程組.

（4）求解.

（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答.

（-）設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元.

當(dāng)問題較復(fù)雜時，有時設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元.無論怎

樣設(shè)元，設(shè)幾個未知數(shù)，就要列幾個方程.

7.一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解?又因為只含有一個未知

數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解.這xi,X2是一元二次方程a^+bx+c

=0(aWO)的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量.

ari2+/>xi+c?=O(。#0),ax22+bx2+c=0(。#0).

8.換元法解一元二次方程

1、解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，

這叫換元法.

換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將

問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得

容易處理.

2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母

來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn).把一些形式復(fù)雜的方程通過換元

的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的.

9.分式方程的解

求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解.

注意：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范

圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解.

10.解分式方程

(1)解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論.

(2)解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0,所以應(yīng)如

下檢驗：

①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式

方程的解.

②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0,則整式方程的解不是原分式

方程的解.

所以解分式方程時，一定要檢驗.

選擇題(共3小題)

1.(2021秋?沙坪壩區(qū)校級期中)關(guān)于x、y的二元一次方程組的解滿足

[2x-y=2k+3

x—3y=10+Z,則%的值是()

A.2B.-2C.-3D.3

【考點】二元一次方程的解；二元一次方程組的解；解二元一次方程組

【分析】將兩個方程作差，可得x-3y=2-34，從而解方程2-3%=10+%即可.

【解答】解：原方程組中兩個方程作差可得，

(3x-4y)~(2x-y)=(5-k)~(2k+3),

整理得，x-3y=2-3k,

由題意得方程，2-3Z=10+Z,

解得，k=2

故選：B.

【點評】此題考查了解決含有字母參數(shù)的二元一次方程組的能力，關(guān)鍵是能應(yīng)用整體思想進(jìn)

行求解.

2.(2020秋?岳西縣期末)若方程組=7的解為卜=6.5,則方程組

[7x-5y=3[y=8.5

5(x-13)-3(y+l)=7

的解為()

7(x-13)-5(y+l)=3

x=19.5

y=7.5

.x=-6.5

D.《

[y=7.5

【考點】解二元一次方程組；二元一次方程組的解

【分析】由整體思想可得[XT3：65,求出x、y即可.

[y+l=8.5

5x-3y=7,,...、匚x=6.5

【解答】解：?.■方程組r/'的解為

7x-5y=3y=8.5'

5(x-13)-3(y+l)=7x-13=6.5

方程組的解

7(x-13)-5(y+l)=3y+l=8.5

x=19.5

y=7.5

故選：B.

【點評】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解與二元一次方程組的

關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

3.(2021?越秀區(qū)校級一模)關(guān)于x,，的方程組匕上&；(其中j是常數(shù))的解

為、，kfx=3，則方程組\M2a(xJ+y)4如-3(x.-yy)工=187的解為()

fx=3fx=7Jx=3.5[x—3.5

A.jy=4B.(y=TD.

c.(y=-o.5ly=o.5

【考點】二元一次方程組的解

【分析】由原方程組的解及兩方程組的特點知，x+y、x-y分別相當(dāng)于原方程組中的x、y,

據(jù)此列出方程組，解之可得.

【解答】解：由題意知，卜+13

[x-y=4②

①+②，得：2x=7,x=3.5,

①—②，得：2y=-1,y=-0.5,

所以方程組的解為["='5,

b=-o.5

故選：C.

【點評】本題主要考查二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是得出兩方程組的特點并據(jù)此得出關(guān)于

x、y的方程組.

二.填空題(共5小題)

4.(2021秋?黃驊市期末)已知x,y滿足(x-y)2-2(x-y)+1=0.

(I)x-y的值為1；

(2)若/+)2=6,則與的值為__|_.

【考點】換元法解一元二次方程.

【分析】(1)把尤-y看成一個整體，利用完全平方公式求解；

(2)利用(1)的結(jié)果，變形完全平方公式得結(jié)論.

【解答】解：(1)；(x-y)2-2G-y)+i=o.

(x-y-1)2=0.

.*.x-y-}=0.

*.x-y=1.

故答案為：1.

(2)(x-y)2=?-2xy+y2,

，2盯=7+y2_(x-y)2

=6-I2

=5.

***xy=

2

故答案為：”.

2

【點評】本題考查了一元二次方程、完全平方公式等知識點.掌握一元二次方程的因式

分解法及完全平方公式的變形是解決本題的關(guān)鍵.

5.(2021秋?蕪湖期末)觀察下列方程：0x+-=3;@x+-=5；?x+—=7,可以發(fā)

XXX

現(xiàn)它們的解分別是①x=l或2；②x=2或3；③x=3或4.利用上述材料所反映出來的規(guī)

律，可知關(guān)于x的方程x+巴士=2〃+4(〃為正整數(shù))的解x=_〃+3或“+4_.

x-3

【考點】解分式方程；分式方程的解

2

【分析】將所求方程化為(X-3)+口上=2〃+4-3,再將x-3作為整體求解即可.

x—3

22

【解答】解：方程x+^^=2〃+4可化為(x-3)+^^=2〃+4-3,

x-3x-3

(x—3)H-----—2〃+1,

x—3

令x-3=r，

n2+n-.

貝nihl+-----=2〃+1,

t

由題意可得%一3=〃+1,x-3=n,

.“=〃+4或%=〃+3,

故答案為：〃+3或〃+4.

【點評】本題考查分式方程的解，通過觀察發(fā)現(xiàn)方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，再由整體思想

進(jìn)行解方程即可.

6.(2021春?常熟市期中)在解決以下問題：“已知關(guān)于x,y的方程組+=G的

[a2x+b2y=c2

解是「=4,求關(guān)于1，y的方程組杼；+*）：=?的解”的過程中，甲、乙兩位同學(xué)

分別提出了各自的想法.甲說：“兩個方程組外表很相似，且它們的系數(shù)有一定的規(guī)律，可

以試試."乙說："能不能把第二個方程組中的兩個方程利用等式性質(zhì)加以變形，再利用整

體思想通過換元的方法來解決.”參考他們倆的討論內(nèi)容，你認(rèn)為該方程組的解是x'=8,

y=-

【考點】二元一次方程組的解

【分析】把卜=4代入原方程，進(jìn)行變形，解答即可.

【解答】解：?.?原方程的解為：r=4,

[y=9

二原方程可化卜+汕=，*，

+9b2=c2?

4

方程①②兩邊都乘4,得1c、'，

[16%+36%=4C2

+34y'=4q

12。2f+3。2y'=%'

尸8

故答案為：8,12.

【點評】本題主要考查了二元一次方程的解法和應(yīng)用知識的掌握，掌握二元一次方程的解法

是解題的關(guān)鍵.

7.（2021秋?花都區(qū)期末）已知x=2是一元二次方程/+〃a+〃=0的一個解，則4〃?+2〃

的值是_-8_.

【考點】一元二次方程的解

【分析】由x=2是一元二次方程/+如+〃=0的一個解，將x=2代入原方程，即可求得

2帆+”的值，從而得解.

【解答】解：?rx=2是一元二次方程V+如+〃=（）的一個根，

「.4+2m+〃=0，

.\2m+n=-4.

/.4/7?+2/1=-8.

故答案為：—8.

【點評】本題主要考查了方程解的定義.解題的關(guān)鍵是將x=2代入原方程，利用整體思想

求解.

8.(2020秋?自貢期末)關(guān)于x的方程x=〃+4的兩個解為％=〃，&；x+—=a+—

xaaxa

的兩個解為玉=Q,￡=2,則關(guān)于x的方程x+4=〃+4的兩個解為_x=a或

ax-2a-2

【考點】解分式方程；分式方程的解

【分析】將所求方程化為x-2+±=〃-2+」,由已知可得x—2=。一2或x-2=±

x—2a—2〃—2

再對所求的根進(jìn)行檢驗即可求解.

【解答】解：x+4=a+4可化為4-2+4=〃-2T———,

x-2a-2x—2a-2

+—=a+—的兩個解為芭=a,=—,

xaa

、4

x—2=a—2xikx—2=----,

a-2

解得彳=”或工=且，

a-2

經(jīng)檢驗x=a或x=2是分式方程的解，

。一2

x4-=aH—的解為1=a或x=2a,

x-2a-2a-2

故答案為：X=4或X=2"?

a-2

【點評】本題考查分式方程的解，理解題意，能夠求出方程的根，對所求的根進(jìn)行檢驗，運

用整體的數(shù)學(xué)思想解題是關(guān)鍵.

三.解答題(共11小題)

9.(2021春?婁底期中)已知關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是(''I,求

[2x+ny=6[y=2

、，一八一、匚、[3(a+h)-m(a-b)=5,

關(guān)于。、8的二兀一次方程組)二」的解.

[2(a+b)+n(a-b)=6

【考點】二元一次方程組的解

【分析】對比兩個方程組，可得就是第一個方程組中的X,即a+b=l,同理：a-6=2,

可得方程組解出即可.

【解答】解一?關(guān)于，、，的二元一次方程組《f片的解是

3(。+h)-m(a-/?)=5,、計已a+h=\

關(guān)于力的二元一次方程組,,,滿足

2(。+b)+n(a-b)=6a-b=2

3

a=—

解得2

3

a--

3(。+b)-m(a-Z?)=5,2

故關(guān)于a.匕的二元一次方程組的解是

2(a+b)+n(a-b)=6

h=——

2

【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了整體換元的思想解決問題，注意第一個和第

二個方程組中的右邊要統(tǒng)一.

10.(2021秋?昌江區(qū)校級期中)解方程組:

43

------+-------=10

3x-2y2x-5y

3x-2y2x-5y

3x+my=5

(2)

x-\-2y=n

2x,+x2++x4+x5=6

x1+2X2+x3+x4+x5=12

(3)<%+Z+2七+%+無5=24,求2X4+3天的值.

再+/+/+2X4+/=48

F+冗2+芻+Z+2/=96

【考點】解分式方程；多元一次方程組

43

—I—=10

【分析】(1)令3x-2y=a,2x-5y=n,解方程組n,求出加、"再求解方程

'521

-----=1

mn

組即可；

(2)用加減消元法解二元一次方程組即可；

(3)先將五個方程相加得到內(nèi)+毛+匕+毛=31，再分別求出占=17,x5=65,即可

求解.

---------------1---------------

3x-2y2x-5y

【解答】解:

3x-2y2x-5y

令3x-2y=〃？，2x-5y=n9

—4--=10①

原方程可化為［?

---=1?

mn

①x2+②x3,得藥=23,

m

解得〃2=1,

將/n=1代入①得，n=—9

2

'3x-2y=l?

<1?

2x-5y=-@

③x5-④x2,得Ux=4,

解得x=—,

11

將x=百代入③，得y='

11-22

4

x=—

經(jīng)檢驗，，1：是方程的解,

y=—

22

4

x=一

.??原方程的解為11

1

y——

22

3x+my-5①

(2)

x+2y=幾②

②x3-①，得y=上網(wǎng)，

m-6

將y=3代入②，得x=22

in-6m-6

mn+\O

x=

原方程的解為，m-6

5-3〃

）'=

機一6

2Xj4-x2+x3+x4+x5=6①

xi+2X2+x3+x4+x5=12②

(3)%+々+2X34-x4+x5=24@,

%+々+/+24+x5=48?

X[+々+/+Z+2X5=96⑤

①+②+③+④+⑤得，6（X]+/+芻+8+毛）=186，

x[+x2-^-x3+x4+x5=31?,

④一⑦，得％=17,

⑤一⑦，得毛=65,

2X4+3X5=2X17+3X65=229.

【點評】本題考查多元一次方程組的解法，熟練掌握代入消元法和加減消元法解多元一次方

程組的方法是解題的關(guān)鍵.

11.（2021春?濟源期末）題目：滿足方程組（3'+5丫="+1，上的x與），的值的和是2,求

[2x+3y=3-2左，②

上的值.

按照常規(guī)方法，順著題目思路解關(guān)于X、y的二元一次方程組，分別求出X、y的值（含有

字母外，再由x+y=2,構(gòu)造關(guān)于k的方程求解，從而得出左值.

（1）某數(shù)學(xué)興趣小組對本題的解法又進(jìn)行了探究，利用整體思想，對于方程組中每個方程

變形得到“x+y”這個整體，或者對方程組的兩個方程進(jìn)行加減變形，得到“x+y”整體

值，從而求出女值.

請你運用這種整體思想的方法，完成題目的解答過程.

（2）小勇同學(xué)的解答是：觀察方程①，令3x=Z,5y=1.

解得：y=；，又x+y=2,

9

x=—.

5

7c927

/.K=3X—=—.

55

tEx=-,y代入方程②，彳尋％=—3.

555

所以女的值為2或一3.

55

請診斷分析并評價“小勇同學(xué)的解答”.

【考點】解一元一次方程；二元一次方程的解；二元一次方程組的應(yīng)用

【分析】（1）由兩種方法分別得出2=5-5%,求解即可；

（2）從二元一次方程的解和二元一次方程組的解的概念進(jìn)行診斷分析，再從創(chuàng)新的角度進(jìn)

行評價即可.

【解答】解：（1）方法一：②x2得：4x+6y=6-4Z③，

由③-①得：x+y=5-5k,

vx+y=2,

「.2=5—5k,

解得：k=—；

5

方法二：由①-②得：x+2y=3"2③，

由②-③得：x+y=5-5Z,

\-x+y=2,

:.2=5-5k,

解得：k=-（方法不唯一）；

5

（2）“小勇同學(xué)的解答”錯誤，理由如下：

■:令3x=k,5y=1,求出的x、y的值只是方程①的一個解，而方程①有無數(shù)個解，根據(jù)

方程組的解的概念，僅有方程①或方程②的某一個解中的x、y求出的k值不一定適合方程

組中的另一個方程；只有當(dāng)方程①、②取公共解時，人和x、y之間對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系才能成

立，這時，求得的k=3才是正確答案；

5

另一方面，小勇的解答雖然錯誤，但他的思維給我們有創(chuàng)新的感覺，也讓我們鞏固加深了對

方程組解的概念的連接，同時啟發(fā)我們平時在學(xué)習(xí)中，要善于多角度去探索問題，尋求新穎

的解題方法.

【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、二元一次方程的解、一元一次方程的解法以及

整體思想的應(yīng)用等知識；熟練掌握二元一次方程組的解法，由整體思想得出2=5-5Z是解

題的關(guān)鍵.

12.（2021春?福州期末）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組產(chǎn)+5）'=3（上時，采用

了一種“整體代換”的解法：

解：將方程②變形：4x+10y+y=5即2（2x+5y）+y=5③，

把方程①代入③得：2x3+y=5,

y=-1,

把＞'=-1代入①得x=4,

.?.方程組的解為卜=4.

[y=-l

請你解決以下問題：

（1）模仿小軍的“整體代換”法解方程組[版-2）'=5%；

（2）已知x,y滿足方程組13/一2》，+1支2=外，求V+4y2與沖的值；

（3）在（2）的條件下，寫出這個方程組的所有整數(shù)解.

【考點】解一元一次方程；解二元一次方程組

【分析】（1）把第2個方程變形為3x+2（3x-2y）=19,