四川省瀘州市敘永第一中學(xué)高三下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)（文）試題

敘永一中高2021級高三下期開學(xué)考試文科數(shù)學(xué)本試卷共4頁，23小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二次函數(shù)的值域得集合M，由得集合N，再求交集即可.【詳解】集合，由，解得，所以，所以.故選：A2若復(fù)數(shù)，則（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用除法法則求出，再根據(jù)模的計(jì)算公式計(jì)算.【詳解】，則.故選：B3.右圖是2012年在某大學(xué)自主招生考試的面試中，七位評委為某考生打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（）A.84，4.84 B.84，1.6 C.85，1.6 D.85，4【答案】C【解析】【分析】去掉最高分93和最低分79計(jì)算出平均數(shù)再代入方差公式即可.【詳解】由圖易知最高分為93,最低分為79，則剩余數(shù)的平均數(shù)為，代入方差公式：則剩余數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為85和1.6故選：C.4.已知變量滿足，若目標(biāo)函數(shù)取到最大值3，則a的值為（）A.2 B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知畫出可行域，由目標(biāo)函數(shù)最大值，數(shù)形結(jié)合討論參數(shù)a，判斷函數(shù)所過的點(diǎn)列方程求參數(shù)，即可得答案.【詳解】畫出可行域知，該區(qū)域是由點(diǎn)所圍成的三角形區(qū)域（包括邊界），直線在y軸上的截距為，斜率為，要使目標(biāo)函數(shù)取到最大值3，當(dāng)時(shí)，過時(shí)有最大值，，不符；當(dāng)時(shí)，過時(shí)有最大值，，不符；當(dāng)時(shí)，過時(shí)有最大值，，滿足.當(dāng)時(shí)，過時(shí)有最大值，，不符.所以.故選：A5.已知直線分別與軸、軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，加上半徑最大，再利用三角形的面積公式即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，則，，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.6.函數(shù)的部分圖像大致是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域和絕對值的幾何意義可知，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的單調(diào)性，由此可得出答案．【詳解】解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域和絕對值的幾何意義可知，則C、D錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，，由得，由得，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則A對，B錯(cuò)；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．7.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題知，再根據(jù)三角函數(shù)定義得，進(jìn)而根據(jù)誘導(dǎo)公式計(jì)算即可得答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，所以函數(shù)的最小正周期為，所以，因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以所以故選：D8.甲、乙、丙、丁四人商量是否參加志愿者服務(wù)活動(dòng).甲說：“乙去我就肯定去.”乙說：“丙去我就不去.”丙說：“無論丁去不去，我都去.”丁說：“甲、乙中只要有一人去，我就去.”則以下推論可能正確的是A.乙、丙兩個(gè)人去了 B.甲一個(gè)人去了C.甲、丙、丁三個(gè)人去了 D.四個(gè)人都去了【答案】C【解析】【分析】直接利用甲、乙、丙、丁四位同學(xué)所說結(jié)合丙說：“無論丁去不去，我都去．”分別分析得出答案．【詳解】對于選項(xiàng)A，∵丙說：“無論丁去不去，我都去．”∴丙一定去出游，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，∵乙說：“丙去我就不去．”，∴由選項(xiàng)A可知，乙一定沒去，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，∵丁說：“甲乙中至少有一人去，我就去．”∴由選項(xiàng)B可知，甲、丁一定都出游，故甲、丙、丁三個(gè)人去了，此選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)D，∵乙說：“丙去我就不去．”∴四個(gè)人不可能都去出游，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了推理與論證，依次分析得出各選項(xiàng)正確性是解題關(guān)鍵．9.已知，，下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)、作差法比較大小，以及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，即可容易判斷.【詳解】由，，可得，故A不正確；由，，則，則，可得，故B正確；由，，，故C錯(cuò)誤；由可得，故D不正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由已知條件判斷不等式的正誤，涉及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬綜合簡單題.10.的外接圓的圓心為O，半徑為1，，且，則向量在向量方向上的投影為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化簡，可得，則共線，由均在圓上，且為圓心，故為直徑，求得，利用數(shù)量積的幾何意義可得結(jié)果,.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所以共線，因?yàn)榫趫A上，且為圓心，故為直徑，長度為2，在圓上直徑所對的角為直角，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，如圖所示．所以向量在向量方向上的投影為.【點(diǎn)睛】向量的運(yùn)算有兩種方法，一是幾何運(yùn)算往往結(jié)合平面幾何知識和三角函數(shù)知識解答，運(yùn)算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標(biāo)運(yùn)算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答（求最值與范圍問題，往往利用坐標(biāo)運(yùn)算比較簡單）．11.已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，且，則的離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可知，點(diǎn)在雙曲線的左支上，利用勾股定理計(jì)算得出，利用雙曲線的定義可得出、所滿足的等量關(guān)系式，進(jìn)而可求得雙曲線的離心率.【詳解】因?yàn)闉殡p曲線的左焦點(diǎn)，且，則點(diǎn)在雙曲線的左支上，，由勾股定理可得，由雙曲線的定義可得，所以，雙曲線的離心率為.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.12.已知，，若對于、，，都有恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題首先可以求出，并證得在上為增函數(shù)，然后設(shè)以及，將轉(zhuǎn)化為證明在上恒成立，再然后將在上恒成立轉(zhuǎn)化為，令，得到，最后通過求出即可求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以在上為增函?shù)，不妨設(shè)，則等價(jià)于，即，設(shè)，則證明，即證明在上恒成立，化簡得，，設(shè)，則，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查通過導(dǎo)數(shù)求不等式恒成立，考查函數(shù)單調(diào)性的定義的靈活應(yīng)用，考查通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力，是難題.第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.等差數(shù)列中，，，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則_________.【答案】【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得出的值，然后利用等差數(shù)列的求和公式可求出的值.【詳解】由等差數(shù)列的基本性質(zhì)可得，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列求和，同時(shí)也考查了等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.已知在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若，則滿足的x的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性，可得函數(shù)值，整理不等式，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，化簡不等式，可得答案.【詳解】由函數(shù)為奇函數(shù)，則，由不等式，則，可得，由函數(shù)在單調(diào)遞減，則，解得.故答案為：.15.三棱柱中，面，所有頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，，則該球的表面積為________.【答案】【解析】【分析】由題設(shè)所求外接球是以為鄰邊長方體的外接球，進(jìn)而求出球體半徑，即可求球的表面積.【詳解】由題意，三棱柱是以為鄰邊長方體截得的，其外接球是其長方體的外接球，其直徑是長方體的對角線長為，所以，所以該球的表面積為.故答案為：16.在中，，，是角，，所對應(yīng)邊，且，，成等比數(shù)列，則的取值范圍___.【答案】【解析】【分析】將所求式子進(jìn)行化簡得到，根據(jù)題意得到，再由三角形三邊關(guān)系，得到不等式，從而得到關(guān)于的不等式組，解出的范圍，得到答案.【詳解】因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，在中，，即，所以，設(shè)，所以，即，解得，所以，即故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變形，三角形三邊關(guān)系，正弦定理角化邊，解一元二次不等式，屬于中檔題.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)是的前n項(xiàng)和，求使成立的最大正整數(shù)n.【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，根據(jù)，得到，兩式相減得，再利用等差數(shù)列的定義求解.（2）根據(jù)（1）得到，用裂項(xiàng)相消法求，然后再代入求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，當(dāng)時(shí)，，且所以數(shù)列是等差數(shù)列，；（2），，解得，所以最大的正整數(shù)為5.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和間的關(guān)系以及裂項(xiàng)相消法求和，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18.如圖在四棱錐中，底面為正方形，為等邊三角形，平面平面.（1）證明：平面平面；（2）若，為線段的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由面面垂直和線面垂直的性質(zhì)可知；由正方形特點(diǎn)知，由線面垂直和面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）由中點(diǎn)性質(zhì)可知，利用體積橋的方式可求得結(jié)果.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，為等邊三角形，，平面，平面平面，平面平面，平面，又平面，，底面為正方形，.又，平面，平面，平面，平面平面（2）為線段的中點(diǎn)，到平面的距離為到平面的距離的.由（1）知：平面平面，由面面垂直的性質(zhì)可知：在中，邊上的高即為三棱錐的高，，.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中面面垂直關(guān)系的證明、三棱錐體積的求解問題，涉及到線面垂直和面面垂直的判定與性質(zhì)定理、三棱錐體積公式的應(yīng)用；求解三棱錐體積的常用方法是采用體積橋的方式，將問題轉(zhuǎn)化為高易求的三棱錐的體積的求解問題.19.某外賣平臺(tái)為提高外賣配送效率，針對外賣配送業(yè)務(wù)提出了兩種新的配送方案，為比較兩種配送方案的效率，共選取50名外賣騎手，并將他們隨機(jī)分成兩組，每組25人，第一組騎手用甲配送方案，第二組騎手用乙配送方案.根據(jù)騎手在相同時(shí)間內(nèi)完成配送訂單的數(shù)量（單位：單）繪制了如下莖葉圖：（1）根據(jù)莖葉圖，求各組內(nèi)25位騎手完成訂單數(shù)的中位數(shù)，已知用甲配送方案的25位騎手完成訂單數(shù)的平均數(shù)為52，結(jié)合中位數(shù)與平均數(shù)判斷哪種配送方案的效率更高，并說明理由；（2）設(shè)所有50名騎手在相同時(shí)間內(nèi)完成訂單數(shù)的平均數(shù)，將完成訂單數(shù)超過記為“優(yōu)秀”，不超過記為“一般”，然后將騎手的對應(yīng)人數(shù)填入下面列聯(lián)表；優(yōu)秀一般甲配送方案乙配送方案（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷能否有的把握認(rèn)為兩種配送方案的效率有差異.附：，其中.0.050.0100.0053.8416.6357.879【答案】（1）甲中位數(shù)為53；乙中位數(shù)為49；甲配送方案的效率更高，詳見解析（2）填表見解析；（3）有的把握認(rèn)為兩種配送方案的效率有差異【解析】【分析】（1）莖葉圖完全反映所有的原始數(shù)據(jù)，由莖葉圖直接得甲中位數(shù)53，乙中位數(shù)49（2）求出平均數(shù)由莖葉圖數(shù)據(jù)直接填入列聯(lián)表，（3）代入公式，計(jì)算出的值，與獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷表比較作出判斷.【詳解】解：（1）用甲配送方案的騎手完成外賣訂單數(shù)的中位數(shù)為53，用乙配送方案的騎手完成外賣訂單數(shù)的中位數(shù)為49，因?yàn)橛靡遗渌头桨傅尿T手完成外賣訂單數(shù)的平均數(shù)為且，所以，甲配送方案的效率更高.（2）由莖葉圖知.列聯(lián)表如下：優(yōu)秀一般甲配送方案178乙配送方案916（3）因?yàn)?，所以有的把握認(rèn)為兩種配送方案的效率有差異.【點(diǎn)睛】本題考查利用莖葉圖求中位數(shù)和平均數(shù)問題及獨(dú)立性檢驗(yàn).獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)鍵是正確列出2×2列聯(lián)表，并計(jì)算出的值；獨(dú)立性檢驗(yàn)是對兩個(gè)變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對它們是否有關(guān)系的判斷．20.已知右焦點(diǎn)為的橢圓經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過的直線與橢圓分別交于、（不與點(diǎn)重合），直線、分別與軸交于、，是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，且直線的方程為.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出、的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，設(shè)直線、的斜率分別為、，將韋達(dá)定理代入等式，求出的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，且該橢圓的右焦點(diǎn)為.所以，，解得，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）存在直線，使得，理由如下：若直線與軸垂直，則直線過點(diǎn)，不合乎題意，由已知可設(shè)所在直線的方程為，代入橢圓的方程，得，，設(shè)、，則，，記直線、的斜率分別為、，欲使直線滿足，只需.因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，所以，即.即.由，即，可得.所以存在直線，使得，此時(shí)直線的方程為，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21.已知函數(shù)，且.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極大值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為，極大值，無極小值；（2）【解析】【分析】（1）將代入，求，由和可得的單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性即可得極值；（2），即當(dāng)時(shí)，恒成立，利用導(dǎo)數(shù)分、討論的單調(diào)性和最值，最小值小于即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，由，可得，單調(diào)遞增；由，可得，單調(diào)遞減；所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值，無極小值.（2）由題意可得：對于恒成立，，①當(dāng)，時(shí)，；時(shí)，恒成立，所以在上是增函數(shù)，且，所以不符合題意；③當(dāng)時(shí)，時(shí)恒有，故在上是減函數(shù)，所以對任意都成立只需，即，解得：，故.綜上所述：的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)函數(shù)，由（或）解出相應(yīng)的的范圍，對應(yīng)的區(qū)間為的增區(qū)間（或減區(qū)間）；（2）確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)函數(shù)，解方程，利用的根將函數(shù)的定義域分為若干個(gè)子區(qū)間，在這些子區(qū)間上討論的正負(fù)，由符號確定在子區(qū)間上的單調(diào)性.（二）選考題，共10分．請考生在第22、23