專題5-2平面向量共線定理與等和線

專題52平面向量共線定理與等和線一、平面向量共線定理：已知，是三點共線的充要條件證明若點A,B,C互不重合，P是A,B,C三點所在平面上的任意一點，且，證明：A，B，C三點共線是的充要條件.證明:(1)由A，B，C三點共線.由得.即，共線，故A，B，C三點共線.(2)由A，B，C三點共線.由A，B，C三點共線得，共線，即存在實數(shù)使得.故.令，則有.二、等和線相關(guān)性質(zhì)平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點p在直線AB上或在平行于AB的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線。1.當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時，k等于1.2.定值k的變化與等和線到O點的距離成正比.平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點p在直線AB上或在平行于AB的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線。1.當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時，k等于1.2.定值k的變化與等和線到O點的距離成正比.2017全國3卷（理）T12在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若=+，則+的最大值為A．3 B．2 C． D．2【答案】A【詳解】法一：等和線設(shè),，則,設(shè)，則，即而∵PE過點C時取最大值，則，故，則法二：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè),易得圓的半徑，即圓C的方程是，，若滿足，則，，所以，設(shè)，即，點在圓上，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A.2020年江蘇省高考在中，，，，在邊上（不與端點重合）．延長到，使得．當(dāng)為中點時，的長度為；若為常數(shù)且，則的長度是 ．【解答】解：當(dāng)為中點時，在中，，，，則，所以，又，所以，即當(dāng)為中點時，的長度為．為常數(shù)且，如圖，以為坐標(biāo)原點，分別以，所在直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，由，整理得，，，，．由，得，解得或（舍．所以直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立兩直線方程可得，．即，，．的長度是．重點題型·歸類精講重點題型·歸類精講題型一向量共線定理：構(gòu)造方程組求系數(shù)2023·深圳二模已知中，，，與相交于點，，則有序數(shù)對（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量共線定理得到，，利用、分別表示出，再根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得、，再代入計算可得.【詳解】依題意、、三點共線，故，所以，又、、三點共線，故，則，所以，解得，所以，又，所以，所以有序數(shù)對.江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2023屆高三下學(xué)期3月教學(xué)情況調(diào)研(一)在中，已知，，與交于點O.若，則.【答案】【分析】根據(jù)向量線性運算的幾何表示可得，，然后利用共線向量的推論即得.【詳解】因為，，所以，，又，所以，，又與交于點O，所以，所以，即在中，，，E是AB的中點，EF與AD交于點P，若，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】利用向量的線性運算求得，由此求得m，n，進(jìn)而求得.【詳解】因為，所以，則.因為A，P，D三點共線，所以.因為，所以.因為E是邊AB的中點，所以.因為E，P，F(xiàn)三點共線，所以，則，解得，從而，，故.題型二向量共線定理：結(jié)合不等式求最值2024屆·湖南師大附中月考（二）中，為上一點且滿足，若為上一點，且滿足為正實數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為 B．的最大值為1C．的最小值為4 D．的最大值為16【答案】C【分析】利用基本不等式可求得的最大值為，判斷A、B；將化為，結(jié)合基本不等式可求得其最小值，判斷C；，結(jié)合可判斷D.【詳解】為正實數(shù)，，，而共線，，當(dāng)且僅當(dāng)時，結(jié)合，即時取等號，A，B錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時取等號，即的最小值為4，C正確；又，由于為正實數(shù)，，則，則，時取最大值，當(dāng)趨近于0時，可無限趨近于0，故，故無最大值，D錯誤，如圖，在中，是線段上的一點，且，過點的直線分別交直線，于點，.若，，則的最小值是.【答案】【分析】平面向量基本定理，借助三點共線，找出的關(guān)系式，的最值利用消元法求解范圍即可.【詳解】平面向量基本定理，借助三點共線可知：，得解得，所以2024屆·重慶市西南大學(xué)附中、重慶育才中學(xué)十月聯(lián)考（多選）在三角形ABC中，點D足AB邊上的四等分點且，AC邊上存在點E滿足，直線CD和直線BE交于點F，若，則（

）A． B．C．的最小值為17 D．【答案】ABD【分析】根據(jù)平面向量的線性運算、共線定理、數(shù)量積的運算性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】因為，所以，所以，故A正確；又因為，則，因為，所以又三點共線，所以，整理得，故B正確；由可得，所以，因為，當(dāng)時，，故的最小值不為，故C不正確；由于，所以，則，所以又，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立所以的最大值為，故D正確（多選）如圖所示,在凸四邊形ABCD中，對邊BC，AD的延長線交于點E，對邊AB，DC的延長線交于點F,若，，，則（）A.B.C.的最大值為1D.【答案】ABD【解析】顯然A正確，注意規(guī)律（分點恒等式）對于B選項：,（分點恒等式）（三點共線定理），故B正確補(bǔ)充：也可以同梅涅勞斯定理求出B選項.對于C選項：，故C錯誤；對于D選項：，故D正確題型三等和線：求系數(shù)和最值，范圍如圖正六邊形ABCDEF中，P點三角形CDE內(nèi)（包括邊界）的動點，設(shè)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】令,易證，，∴如圖，在直角梯形中，，，，，動點在以點為圓心，且與直線相切的圓上或圓內(nèi)移動，設(shè)，則取值范圍是．【答案】【分析】以為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，先求出以點為圓心，且與直線相切的圓方程，設(shè)，再根據(jù)，可求出點的坐標(biāo)，再根據(jù)在圓內(nèi)或圓上，可得關(guān)于的一個不等關(guān)系，設(shè)，進(jìn)而可得出答案.【詳解】如圖所示以為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，直線的方程為，化簡得，點到的距離，可得以點為圓心，且與直線相切的圓方程為，設(shè)，則，，，，，可得且，的坐標(biāo)為，在圓內(nèi)或圓上，，設(shè)，得，代入上式化簡整理得，若要上述不等式有實數(shù)解，則，化簡得，解得，即，取值范圍是．故答案為：．給定兩個長度為3的平面向量和，它們的夾角為120°，如圖所示,點C在以O(shè)為圓心的圓弧上運動，若，其中，則的最大值是_____；的最大值是______.【答案】【解析】（1）AB交CO于D，設(shè),，易證，當(dāng)時，取最大值，；（2）取OA中點E，則OC交BE于F，設(shè),，易證，當(dāng)時，取最大值，.如圖，在正方形ABCD中，E為BC的中點，P是以AB為直徑的半圓弧上任意一點，設(shè)，則2x+y的最小值為()A．－1B．1C．2D．3【答案】【解析】取AD中點F，則直線FP交AE于G，設(shè)∵FPG三點共線∴當(dāng)P在EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),AB)中點時，G與E重合，此時t取到最小值，在直角中，，，以為直徑的半圓上有一點（包括端點），若，則的最大值為（

）A．4 B．C．2 D．【答案】C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示，結(jié)合三角函數(shù)最值的求法，求得的最大值.【詳解】依題意在直角中，，，以為原點建立如圖所示平面直角坐