2024年初三上冊(cè)數(shù)學(xué)專項(xiàng)一元二次方程的解法（二）配方法-鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）

2024年初三上冊(cè)數(shù)學(xué)專項(xiàng)一元二次方程的解法（二）配方法—鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1.（2016?貴州）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0時(shí)，原方程可變形為（）A．（x+2）2=1 B．（x+2）2=7 C．（x+2）2=13 D．（x+2）2=192．下列各式是完全平方式的是（）A．B．C．D．3．若x2+6x+m2是一個(gè)完全平方式，則m的值是（）A．3B．-3C．D．以上都不對(duì)4．用配方法將二次三項(xiàng)式a2-4a+5變形，結(jié)果是（）A．（a-2）2+1B．（a+2）2-1C．（a+2）2+1D．（a-2）2-15．把方程x2+3=4x配方，得（）A．（x-2）2=7B．（x+2）2=21C．（x-2）2=1D．（x+2）2=26．用配方法解方程x2+4x=10的根為（）A．2±B．-2±C．-2+D．2-二、填空題7．（1）x2+4x+=（x+）2；（2）x2-6x+=（x-）2；（3）x2+8x+=（x+）2.8．（2016春?長(zhǎng)興縣月考）用配方法將方程x2-6x+7=0化為（x+m）2=n的形式為．9．若是一個(gè)完全平方式，則m的值是________．10．求代數(shù)式2x2-7x+2的最小值為.11．（2014?資陽(yáng)二模）當(dāng)x=時(shí)，代數(shù)式﹣x2﹣2x有最大值，其最大值為．12．已知a2+b2-10a-6b+34=0，則的值為．三、解答題13.用配方法解方程（1）（2）14.（2014秋?西城區(qū)校級(jí)期中）已知a2+b2﹣4a+6b+13=0，求a+b的值．15．已知a，b，c是△ABC的三邊，且．(1)求a，b，c的值；(2)判斷三角形的形狀．【答案與解析】一、選擇題1.【答案】B．【解析】x2+4x=3，x2+4x+4=7，（x+2）2=7．2．【答案】C；【解析】．3.【答案】C；【解析】若x2+6x+m2是一個(gè)完全平方式，則m2=9,解得m=；4.【答案】A；【解析】a2-4a+5=a2-4a+22-22+5=（a-2）2+1；5.【答案】C；【解析】方程x2+3=4x化為x2-4x=-3，x2-4x+22=-3+22，（x-2）2=1.6.【答案】B；【解析】方程x2+4x=10兩邊都加上22得x2+4x+22=10+22，x=-2±.二、填空題7．【答案】（1）4；2；（2）9；3；（3）16；4.【解析】配方:加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.8.【答案】（x﹣3）2=2．【解析】移項(xiàng)，得x2﹣6x=﹣7，在方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方得，x2﹣6x+9=﹣7+9，（x﹣3）2=2．9．【答案】±3；【解析】．∴.10．【答案】-；【解析】∵2x2-7x+2=2（x2-x）+2=2（x-）2-≥-，∴最小值為-，11．【答案】-1,1【解析】∵﹣x2﹣2x=﹣（x2+2x）=﹣（x2+2x+1﹣1）=﹣（x+1）2+1，∴x=﹣1時(shí)，代數(shù)式﹣x2﹣2x有最大值，其最大值為1；故答案為：﹣1，1．【解析】-3x2+5x+1=-3（x-）2+≤，∴最大值為．12．【答案】4.【解析】∵a2+b2-10a-6b+34=0

∴a2-10a+25+b2-6b+9=0

∴（a-5）2+（b-3）2=0，解得a=5，b=3，

∴=4．三、解答題13.【答案與解析】（1）x2-4x-1=0x2-4x+22=1+22(x-2)2=5x-2=x1=x2=(2)14.【答案與解析】解：∵a2+b2﹣4a+6b+13=0，∴a2﹣4a+4+b2+6b+9=0，∴（a﹣2）2+（b+3）2=0，∴a﹣2=0，b+3=0，∴a=2，b=﹣3，∴a+b=2﹣3=﹣1．15.【答案與解析】（1）由，得又，，，∴，，，∴，，．（2）∵即，∴△ABC是以c為斜邊的直角三角形．一元二次方程的解法（二）配方法—知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解配方法的概念，會(huì)用配方法解一元二次方程；2．掌握運(yùn)用配方法解一元二次方程的基本步驟；3．通過用配方法將一元二次方程變形的過程，進(jìn)一步體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想方法，并增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力.【要點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一、一元二次方程的解法---配方法

1．配方法解一元二次方程：

(1)配方法解一元二次方程：

將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.

(2)配方法解一元二次方程的理論依據(jù)是公式：.

(3)用配方法解一元二次方程的一般步驟：

①把原方程化為的形式；

②將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)的系數(shù)，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④再把方程左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

⑤若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開平方，求出方程的解；若右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解.

要點(diǎn)詮釋：（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式．

知識(shí)點(diǎn)二、配方法的應(yīng)用1．用于比較大?。涸诒容^大小中的應(yīng)用，通過作差法最后拆項(xiàng)或添項(xiàng)、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比較出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)?，左邊配成完全平方式后，再運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（?。┲禃r(shí)的應(yīng)用，將原式化成一個(gè)完全平方式后可求出最值．4．用于證明：“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應(yīng)用，我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)后還會(huì)知道“配方法”在二次函數(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用．要點(diǎn)詮釋：“配方法”在初中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，是恒等變形的重要手段，是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用技巧，是挖掘題目當(dāng)中隱含條件的有力工具，同學(xué)們一定要把它學(xué)好．

【典型例題】類型一、用配方法解一元二次方程1.（2016?淄博）解方程：x2+4x﹣1=0．

【思路點(diǎn)撥】首先進(jìn)行移項(xiàng)，得到x2+4x=1，方程左右兩邊同時(shí)加上4，則方程左邊就是完全平方式，右邊是常數(shù)的形式，再利用直接開平方法即可求解．【答案與解析】解：∵x2+4x﹣1=0∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4∴（x+2）2=5∴x=﹣2±∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．【總結(jié)升華】配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．舉一反三：

【變式】用配方法解方程.

(1)x2-4x-2=0；(2)x2+6x+8=0.

【答案】(1)方程變形為x2-4x=2．

兩邊都加4，得x2-4x+4=2+4．

利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6．

解這個(gè)方程，得x-2=或x-2=-．

于是，原方程的根為x=2+或x=2-．

(2)將常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊x2+6x=-8．

兩邊都加“一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”=32，得x2+6x+32=-8+32，

∴(x+3)2=1．

用直接開平方法，得x+3=±1，

∴x=-2或x=-4．類型二、配方法在代數(shù)中的應(yīng)用2．若代數(shù)式，，則的值（）Ａ．一定是負(fù)數(shù) Ｂ．一定是正數(shù) Ｃ．一定不是負(fù)數(shù) Ｄ．一定不是正數(shù)【答案】B；【解析】（作差法）．故選Ｂ．【總結(jié)升華】本例是“配方法”在比較大小中的應(yīng)用，通過作差法最后拆項(xiàng)、配成完全平方，使此差大于零而比較出大小.【高清ID號(hào)：388499關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：配方法與代數(shù)式的最值—例4】3．（2014?甘肅模擬）用配方法證明：二次三項(xiàng)式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．【答案與解析】解：﹣8x2+12x﹣5=﹣8（x2﹣x）﹣5=﹣8[x2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x﹣）2﹣，∵（x﹣）2≥0，∴﹣8（x﹣）2≤0，∴﹣8（x﹣）2﹣＜0，即﹣8x2+12﹣5的值一定小于0．【總結(jié)升華】利用配方法將代數(shù)式配成完全平方式后，再分析代數(shù)式值的符號(hào).注意在變形的過程中不要改變式子的值．舉一反三：【高清ID號(hào)：388499關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：配方法與代數(shù)式的最值—例4變式1】【變式】求代數(shù)式x2+8x+17的最小值【答案】x2+8x+17=x2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴當(dāng)（x+4）2=0時(shí)，代數(shù)式x2+8x+17的最小值是1.4．已知，求的值．【思路點(diǎn)撥】解此題關(guān)鍵是把拆成，可配成兩個(gè)完全平方式．【答案與解析】將原式進(jìn)行配方，得，即，∴且，∴，．∴．【總結(jié)升華】本題可將原式用配方法轉(zhuǎn)化成平方和等于0的形式，進(jìn)而求出a．b的值．一元二次方程的解法（二）配方法—鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1.（2016?新疆）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方組可變形為（）A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=42．用配方法解下列方程時(shí)，配方有錯(cuò)誤的是（）A．化為B．化為C．化為D．化為3．（2015?河北模擬）把一元二次方程x2﹣6x+4=0化成（x+n）2=m的形式時(shí)，m+n的值為（）A．8B．6C．3D．24．不論x、y為何實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值()A．總小于2B．總不小于7C．為任何實(shí)數(shù)D．不能為負(fù)數(shù)5．已知，則的值等于（）A.4B.-2C.4或-2D.-4或26．若t是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關(guān)系是()

A.△=MB.△＞MC.△＜MD.大小關(guān)系不能確定二、填空題7．（1）x2-x+=（）2；（2）x2+px+=（）2.8．（2015?忻州校級(jí)模擬）把代數(shù)式x2﹣4x﹣5化為（x﹣m）2+k的形式，其中m，k為常數(shù)，則4m+k=．9．已知4x2-ax+1可變?yōu)椋?x-b）2的形式，則ab=_______．10．將一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式為_______，所以方程的根為_________．11．把一元二次方程3x2-2x-3=0化成3(x+m)2=n的形式是___________；若多項(xiàng)式x2-ax+2a-3是一個(gè)完全平方式，則a=_________.12．已知.則的值為.三、解答題13.用配方法解方程.

（1）（2016?安徽）解方程：x2﹣2x=4．（2）（2015?大連）解方程：x2﹣6x﹣4=0．14．分解因式．15．（2015春?龍泉驛區(qū)校級(jí)月考）當(dāng)x，y取何值時(shí)，多項(xiàng)式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．【答案與解析】一、選擇題1.【答案】A．【解析】x2﹣6x﹣5=0，x2﹣6x=5，x2﹣6x+9=5+9，（x﹣3）2=14，故選：A．2．【答案】C；【解析】選項(xiàng)C：配方后應(yīng)為．3．【答案】D；【解析】x2﹣6x=﹣4，∴x2﹣6x+9=﹣4+9，即得（x﹣3）2=5，∴n=﹣3，m=5，∴m+n=5﹣3=2．故選D．4．【答案】D；【解析】．5．【答案】A；【解析】原方程化簡(jiǎn)為：（x2+y2）2-2(x2+y2)-8=0,解得x2+y2=-2或4，-2不符題意舍去.故選A.6．【答案】A.【解析】由t是方程的根得at2+bt+c=0,M=4a2t2+4abt+b2=4a(at2+bt)+b2=b2-4ac=△.故選A.二、填空題7．【答案】（1）；；（2）；.【解析】配方:加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.8．【答案】﹣1；【解析】x2﹣4x﹣5=x2﹣4x+4﹣4﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴m=2，k=﹣9，∴4m+k=4×2﹣9=﹣1．故答案為﹣1．9．【答案】4；【解析】4x2-ax+1=(2x-b)2化為4x2-ax+1=4x2-4bx+b2,所以解得或所以.10．【答案】（x-1）2=5；．【解析】方程兩邊都加上1的平方得（x-1）2=5，解得x=.11．【答案】；2或6.【解析】3x2-2x-3=0化成；即，a=2或6.12.【答案】5；【解析】原式三、解答題13.【答案與解析】解：（1）配方x2﹣2x+1=4+1∴（x﹣1）2=5∴x=1±∴x1=1+，x2=1﹣．（2015?大連）解方程：x2﹣6x﹣4=0．（2）解：移項(xiàng)得x2﹣6x=4，配方得x2﹣6x+9=4+9，即（x﹣3）2=13，開方得x﹣3=±，∴x1=3+，x2=3﹣．14.【答案與解析】．15.【答案與解析】解：x2+4x+4y2﹣4y+1=x2+4x+4+4y2﹣4y+1﹣4=（x+2）2+（2y﹣1）2﹣4，又∵（x+2）2+（2y﹣1）2的最小值是0，∴x2+4x+4y2﹣4y+1的最小值為﹣4．∴當(dāng)x=﹣2，y=時(shí)有最小值為﹣4．一元二次方程的解法（二）配方法—知識(shí)講解（提高）1．了解配方法的概念，會(huì)用配方法解一元二次方程；2．掌握運(yùn)用配方法解一元二次方程的基本步驟；3．通過用配方法將一元二次方程變形的過程，進(jìn)一步體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想方法，并增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力?！疽c(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一、一元二次方程的解法---配方法

1．配方法解一元二次方程：

(1)配方法解一元二次方程：

將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.

(2)配方法解一元二次方程的理論依據(jù)是公式：.

(3)用配方法解一元二次方程的一般步驟：

①把原方程化為的形式；

②將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)的系數(shù)，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④再把方程左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

⑤若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開平方，求出方程的解；若右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解.

要點(diǎn)詮釋：（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式．

知識(shí)點(diǎn)二、配方法的應(yīng)用1．用于比較大?。涸诒容^大小中的應(yīng)用，通過作差法最后拆項(xiàng)或添項(xiàng)、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比較出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)?，左邊配成完全平方式后，再運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值時(shí)的應(yīng)用，將原式化成一個(gè)完全平方式后可求出最值．4．用于證明：“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應(yīng)用，我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)后還會(huì)知道“配方法”在二次函數(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用．要點(diǎn)詮釋：“配方法”在初中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，是恒等變形的重要手段，是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用技巧，是挖掘題目當(dāng)中隱含條件的有力工具，同學(xué)們一定要把它學(xué)好．

【典型例題】類型一、用配方法解一元二次方程1.（2016春?石景山區(qū)期末）用配方法解方程：2x2﹣12x﹣2=0．【思路點(diǎn)撥】首先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，再將方程的常數(shù)項(xiàng)移動(dòng)方程右邊，兩邊都加上9，左邊化為完全平方式，右邊合并，開方轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【答案與解析】解：2x2﹣12x﹣2=0，系數(shù)化為1得：x2﹣6x﹣1=0，移項(xiàng)得：x2﹣6x=1，配方得：x2﹣6x+9=10，即（x﹣3）2=10，開方得：x﹣3=±，則x1=3+，x2=3﹣．【總結(jié)升華】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程時(shí)，首先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，常數(shù)項(xiàng)移動(dòng)方程右邊，然后兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并，開方轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來求解．舉一反三：【高清ID號(hào)：388