2024年初三下冊數(shù)學(xué)專項(xiàng)《圖形的相似》全章復(fù)習(xí)與鞏固-鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）

2024年初三下冊數(shù)學(xué)專項(xiàng)《圖形的相似》全章復(fù)習(xí)與鞏固--鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1．如圖，已知，那么下列結(jié)論正確的是()

A．B．C．D．2.在和中，，如果的周長是16，面積是12，那么的周長、面積依次為()

A．8，3B．8，6C．4，3D．4，63．如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形(陰影部分)與相似的是()

4.如右圖所示為我市某農(nóng)村一古老的搗碎器，已知支撐柱AB的高為0.3米，踏板DE長為1.6米，支撐點(diǎn)A到踏腳D的距離為0.6米，現(xiàn)在踏腳著地，則搗頭點(diǎn)E上升了（）米． A．0.6 B． 0.8 C． 1 D． 1.25.（2015?咸寧）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，則△ABC與△DEF的面積之比為（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：66.如圖，在正方形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，P是BC邊上的點(diǎn)，下列條件中不能推出△ABP與以點(diǎn)E、C、P為頂點(diǎn)的三角形相似的是()

A．∠APB=∠EPCB．∠APE=90°C．P是BC的中點(diǎn)D．BP：BC=2：3

第6題第7題第8題7.如圖，在△ABC中，EF∥BC，,S四邊形BCFE=8，則S△ABC=（）A．9B．10C．12D．138.如圖，六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，則下列結(jié)論正確的是（）A．∠E=2∠KB．BC=2HIC．六邊形ABCDEF的周長=六邊形GHIJKL的周長D．S六邊形ABCDEF=2S六邊形GHIJKL二、填空題9.在□ABCD中，在上，若，則___________.10.如圖，在△ABC中，D、E分別是AB和AC中點(diǎn)，F(xiàn)是BC延長線上一點(diǎn)，DF平分CE于點(diǎn)G，CF=1，則BC=_______，△ADE與△ABC的面積之比為_______，△CFG與△BFD的面積之比為________.

第9題第10題第11題11.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O點(diǎn)，S△AOD:S△COB=1:9，則S△DOC:S△BOC=_______.12.在相同時(shí)刻的物高與影長成比例.小明的身高為1.5米，在地面上的影長為2米，同時(shí)一古塔在面上的影長為40米，則古塔高為________.13.（2015?金華）如圖，直線l1、l2、…l6是一組等距的平行線，過直線l1上的點(diǎn)A作兩條射線，分別與直線l3、l6相交于點(diǎn)B、E、C、F．若BC=2，則EF的長是．14．如圖，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，則∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________.15.如圖，點(diǎn)D,E分別在AB、AC上，且∠ABC=∠AED.若DE=4，AE=5，BC=8，則AB的長為_________.第14題第15題第16題16.如圖，△ABC頂角是36°的等腰三角形（底與腰的比為的三角形是黃金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黃金三角形，已知AB=4，則DE=__________________.三、解答題17.如圖，等腰直角△ABC的斜邊AB所在的直線上有點(diǎn)E、F，且∠E+∠F=45°，AE=3，設(shè)AB=x，BF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.

18.一塊直角三角形木板，一直角邊是1.5米，另一直角邊長是2米，要把它加工成面積最大的正方形桌面，甲、乙二人的加式方法分別如圖1、圖2所示，請運(yùn)用所學(xué)知識說明誰的加工方法符合要求.

圖1圖219.如圖，已知△ABC中，AE︰EB＝1︰3，BD︰DC＝2︰1，AD與CE相交于F，求＋的值．20.（2015?岳陽）如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AM的中點(diǎn)，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長線于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)N．（1）求證：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的長．【答案與解析】一．選擇題1．【答案】A.

【解析】考點(diǎn)：平行線分線段成比例.2．【答案】A.【解析】考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì).3．【答案】A【解析】考點(diǎn)：相似三角形的判定.4．【答案】B.【解析】∵AB∥EF，∴△DAB∽△DEF，∴AD：DE=AB：EF，∴0.6：1.6=0.3：EF，∴EF=0.8米．5．【答案】B.【解析】∵以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC放大得到△DEF，AD=OA，∴OA：OD=1：2，∴△ABC與△DEF的面積之比為：1：4．故選：B．6．【答案】C.7.【答案】A.【解析】求出的值，推出△AEF∽△ABC，得出，把S四邊形BCFE=8代入求出即可．8.【答案】B.【解析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．二．填空題9．【答案】3:5.10．【答案】2，1:4，1:6.11．【答案】1:3.【解析】∵S△AOD:S△COB=1:9，，∵△AOD與△DOC等高，∴S△AOD:S△DOC=1:3，

∴S△DOC:S△BOC=1:3.12．【答案】30m.13．【答案】5.【解析】∵l3∥l6，∴BC∥EF，∴△ABC∽△AEF，∴=，∵BC=2，∴EF=5．14．【答案】68°，1:2.【解析】首先，想到定理的含義，再結(jié)合圖形分析（或進(jìn)行比例變形）就可直接求出結(jié)果.15.【答案】10.【解析】∵∠ABC=∠AED，∠BAC=∠EAD∴△AED∽△ABC，∴，DE=10.16.【答案】6-2．【解析】根據(jù)題意可知，BC=AB，

∵△ABC頂角是36°的等腰三角形，

∴AB=AC，∠ABC=∠C=72°，

又∵△BDC也是黃金三角形，

∴∠CBD=36°，BC=BD，

∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=36°=∠A，

∴BD=AD，同理可證DE=DC，

∴DE=DC=AC-AD=AB-BC=AB-AB=6-2.三.解答題17．【解析】解：△ABC為等腰直角三角形，∠CAB=∠CBA=45°，∠E+∠F=45°，

∠E+∠ECA=∠CAB=45°，∠F+∠BCF=∠CBA=45°，

所以∠ECA=∠F，∠E=∠BCF，

所以△ECA∽△CFB，，3y=CA2=x2，即y=x2.18．【解析】乙加工的方法符合要求.

解：設(shè)甲加工桌面長xm，

過點(diǎn)C作CM⊥AB，垂足是M，與GF相交于點(diǎn)N，

由GF∥DE，可得三角形相似，

而后由相似三角形性質(zhì)可以得到CN：CM=GF：AB，即(CM-x)：CM=x：AB.

由勾股定理可得AB=2.5m，由，可求得CM=1.2m，

故此可求得x=m；

設(shè)乙加工桌面長ym，

由FD∥BC，得到Rt△AFD∽Rt△ACB，

所以AF：AC=FD：BC，即(2-y)：2=y：1.5，解得y=，

很明顯x＜y，故x2＜y2，所以乙加工的方法符合要求.19．【解析】作EG∥BC交AD于G，則由＝，即＝，得EG＝BD＝CD，∴＝＝．作DH∥BC交CE于H，則DH＝BE＝AE．∴＝＝1，∴＋＝＋1＝．20.【解析】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，∵F是AM的中點(diǎn)，∴AF=AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴，即，∴AE=16.9，∴DE=AE﹣AD=4.9．《圖形的相似》全章復(fù)習(xí)與鞏固--知識講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、了解比例的基本性質(zhì)，線段的比、成比例線段；2、掌握黃金分割的定義、性質(zhì)及應(yīng)用；3、理解相似三角形、相似多邊形、相似比的概念；熟練掌握三角形相似的判定方法以及相似三角形的性質(zhì)，并能夠運(yùn)用性質(zhì)與判定解決有關(guān)問題；4、了解位似的概念，做的位似是特殊的相似變換，會(huì)利用位似的方法，講一個(gè)圖形放大或縮??；5、了解平行投影和中心投影的基本概念與性質(zhì)，能綜合運(yùn)用圖形相似的知識解決一些簡單的實(shí)際問題.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、比例線段及黃金分割1.比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．要點(diǎn)詮釋：（1）若a:b=c:d，則ad=bc；（d也叫第四比例項(xiàng)）（2）若a:b=b:c，則b2=ac（b稱為a、c的比例中項(xiàng)）．2.黃金分割的定義：如圖，將一條線段AB分割成大小兩條線段AP、PB，若小段與大段的長度之比等于大段的長度與全長之比，即（此時(shí)線段AP叫作線段PB、AB的比例中項(xiàng)），則P點(diǎn)就是線段AB的黃金分割點(diǎn)（黃金點(diǎn)），這種分割就叫黃金分割．《圖形的相似》全章復(fù)習(xí)與鞏固--知識講解（提高）1、了解比例的基本性質(zhì)，線段的比、成比例線段；2、掌握黃金分割的定義、性質(zhì)及應(yīng)用；3、理解相似三角形、相似多邊形、相似比的概念；熟練掌握三角形相似的判定方法以及相似三角形的性質(zhì)，并能夠運(yùn)用性質(zhì)與判定解決有關(guān)問題；4、了解位似的概念，做的位似是特殊的相似變換，會(huì)利用位似的方法，講一個(gè)圖形放大或縮小；5、了解平行投影和中心投影的基本概念與性質(zhì)，能綜合運(yùn)用圖形相似的知識解決一些簡單的實(shí)際問題.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、比例線段及黃金分割1.比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．要點(diǎn)詮釋：（1）若a:b=c:d，則ad=bc；（d也叫第四比例項(xiàng)）（2）若a:b=b:c，則b2=ac（b稱為a、c的比例中項(xiàng)）．2.黃金分割的定義：如圖，將一條線段AB分割成大小兩條線段AP、PB，若小段與大段的長度之比等于大段的長度與全長之比，即（此時(shí)線段AP叫作線段PB、AB的比例中項(xiàng)），則P點(diǎn)就是線段AB的黃金分割點(diǎn)（黃金點(diǎn)），這種分割就叫黃金分割．3.黃金矩形與黃金三角形：黃金矩形：若矩形的兩條鄰邊長度的比值約為0.618，這種矩形稱為黃金矩形.黃金三角形：頂角為36°的等腰三角形，它的底角為72°，恰好是頂角的2倍，人們稱這種三角形為黃金三角形．黃金三角形性質(zhì)：底角平分線將其腰黃金分割．要點(diǎn)二、相似圖形1．相似圖形：在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similarfigures).要點(diǎn)詮釋：

(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時(shí)，兩個(gè)圖形全等.2.相似多邊形各角分別相等，各邊成比例的兩個(gè)多邊形，它們的形狀相同，稱為相似多邊形．要點(diǎn)詮釋：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì)．（2）相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比.要點(diǎn)三、相似三角形相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似.判定方法（二）：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.要點(diǎn)詮釋：

要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對應(yīng)角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.判定方法（三）：兩邊成比例夾角相等的兩個(gè)三角形相似.要點(diǎn)詮釋：

此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必須是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.判定方法（四）：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.

相似三角形的性質(zhì)：（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；（2）相似三角形對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；（3）相似三角形周長的比等于相似比；（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方.3.相似多邊形的性質(zhì)：（1）相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．（2）相似多邊形的周長比等于相似比．（3）相似多邊形的面積比等于相似比的平方．要點(diǎn)四、圖形的位似及投影1.位似多邊形定義:如果兩個(gè)相似多邊形任意一組對應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)O，且每組對應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)O點(diǎn)的距離之比都等于一個(gè)定值k，例如，如下圖，OA′=k·OA（k≠0），那么這樣的兩個(gè)多邊形叫做位似多邊形，點(diǎn)O叫做位似中心.要點(diǎn)詮釋：位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.

2.位似圖形的性質(zhì):（1）位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)相交于同一點(diǎn)，此點(diǎn)就是位似中心；

（2)位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；

（3）位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行.3.作位似圖形的步驟

第一步：在原圖上找若干個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并任取一點(diǎn)作為位似中心；

第二步：作位似中心與各關(guān)鍵點(diǎn)連線；

第三步：在連線上取關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，使之滿足放縮比例；

第四步：順次連接各對應(yīng)點(diǎn).要點(diǎn)詮釋：位似中心可以取在多邊形外、多邊形內(nèi)，或多邊形的一邊上、或頂點(diǎn)，下面是位似中心不同的畫法.4.平行投影在平行光的照射下，物體所產(chǎn)生的影稱為平行投影.(1)等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在太陽光下，它們的影子一樣長.

(2)等長的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度.

(3)在同一時(shí)刻，不同物體的物高與影長成正比例.

即：

利用上面的關(guān)系式可以計(jì)算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.

注意：利用影長計(jì)算物高時(shí)，要注意的是測量兩物體在同一時(shí)刻的影長.

5.中心投影在點(diǎn)光源的照射下，物體所產(chǎn)生的影稱為中心投影.(1)等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長.

(2)等長的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示.一般情況下，離點(diǎn)光源越近，影子越長；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)比物體本身的長度還短.【典型例題】類型一、黃金分割1.如圖，用紙折出黃金分割點(diǎn)：裁一張正方的紙片ABCD，先折出BC的中點(diǎn)E，再折出線段AE，然后通過折疊使EB落到線段EA上，折出點(diǎn)B的新位置B′，因而EB′=EB．類似地，在AB上折出點(diǎn)B″使AB″=AB′．這是B″就是AB的黃金分割點(diǎn)．請你證明這個(gè)結(jié)論．【答案與解析】設(shè)正方形ABCD的邊長為2，

E為BC的中點(diǎn)，

∴BE=1

∴AE=，

又B′E=BE=1，

∴AB′=AE-B′E=-1，

∵AB″=AB′=-1∴AB″：AB=(-1):2

∴點(diǎn)B″是線段AB的黃金分割點(diǎn)．【總結(jié)升華】本題考查了黃金分割的應(yīng)用，知道黃金比并能求出黃金比是解題的關(guān)鍵．舉一反三

【變式】如圖，已知△ABC中，D是AC邊上一點(diǎn)，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．

求證：（1）AD=BD=BC；（2）點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)．【答案】（1）∵∠A=36°，∠C=72°，

∴∠ABC=72°，∠ADB=108°，

∴∠ABD=36°，

∴△ADB、△BDC是等腰三角形，

∴AD=BD=BC．（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，

∴△ABC∽△BDC，

∴BC：AC=CD：BC，

∴BC2=AC?DC，

∵BC=AD，

∴AD2=AC?DC，

∴點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)．類型二、相似三角形2.已知：如圖，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，當(dāng)BD與a、b之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，這兩個(gè)三角形相似？【答案與解析】解：∵AC=a，BC=b，∴AB=，①當(dāng)△ABC∽△BDC時(shí)，,即.②當(dāng)△ABC∽△CDB時(shí)，，即.【總結(jié)升華】相似三角形中未明確對應(yīng)點(diǎn)和對應(yīng)邊時(shí)，要注意分類討論.舉一反三【變式】如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直線MN對折，使A、C重合，直線MN交AC于O.（1）求證：△COM∽△CBA；（2）求線段OM的長度.【答案】（1）證明：A與C關(guān)于直線MN對稱，∴ACMN，∴∠COM=90°，在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠COM=∠B，又∠ACB=∠ACB，∴△COM∽△CBA，（2）在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴OC=5，△COM∽△CBA，∴，∴OM=.類型三、相似三角形的綜合應(yīng)用3.（2015?杭州）如圖，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，點(diǎn)D在AB邊上，DE⊥AC于點(diǎn)E．（1）若=，AE=2，求EC的長；（2）設(shè)點(diǎn)F在線段EC上，點(diǎn)G在射線CB上，以F，C，G為頂點(diǎn)的三角形與△EDC有一個(gè)銳角相等，F(xiàn)G交CD于點(diǎn)P．問：線段CP可能是△CFG的高線還是中線？或兩者都有可能？請說明理由．【答案與解析】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴，∵，AE=2，∴EC=6；（2）①如圖1，若∠CFG=∠ECD，此時(shí)線段CP是△CFG的FG邊上的中線．證明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，又∵∠CFG=∠ECD，∴∠CGF=∠PCG，∴CP=PG，∵∠CFG=∠ECD，∴CP=FP，∴PF=PG=CP，∴線段CP是△CFG的FG邊上的中線；②如圖2，若∠CFG=∠EDC，此時(shí)線段CP為△CFG的FG邊上的高線．證明：∵DE⊥AC，∴∠EDC+∠ECD=90°，∵∠CFG=∠EDC，∴∠CFG+∠ECD=90°，∴∠CPF=90°，∴線段CP為△CFG的FG邊上的高線．③如圖3，當(dāng)CD為∠ACB的平分線時(shí)，CP既是△CFG的FG邊上的高線又是中線．【總結(jié)升華】本題主要考查了平行線分線段成比例定理、等腰三角形的判定、三角形的有關(guān)概念，分類討論，能全面的思考問題是解決問題的關(guān)鍵．4.如圖，M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）寫出圖中三對相似三角形，并證明其中的一對；（2）連結(jié)FG，如果α＝45°，AB＝，AF＝3，求FG的長．【答案與解析】（1）△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM以下證明△AMF∽△BGM．∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B∴△AMF∽△BGM．（2）當(dāng)α＝45°時(shí)，可得AC⊥BC且AC＝BC∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴AM＝BM＝，又∵AMF∽△BGM，∴，∴，又∵α＝45°，AB＝，∴AC=BC=4，∴，，∴.【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形知識的綜合運(yùn)用，并且滲透了轉(zhuǎn)化思想．5.如圖，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD=2，BC=4，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，△MBC是等邊三角形．（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形．（2）動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段BC和MC上運(yùn)動(dòng)，且∠MPQ=60°保持不變．設(shè)PC=x，MQ=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．【答案與解析】（1）∵是等邊三角形∴∵是中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴梯形是等腰梯形．（2）在等邊中，又∵，∴，∴，∴， ∴，∵∴ ，∴，∴. 【總結(jié)升華】利用相似三角形得到的比例式，構(gòu)建線段關(guān)系求得函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識來解題.舉一反三【變式】如圖所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A為止，運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長度．過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，設(shè)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，AE的長為y．

(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，△BDE的面積S有最大值，最大值為多少?

【答案】(1)∵DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，

∴.

又∵AB=8，AC=6，，，

∵，即，

自變量x的取值范圍為.

(2)

.

所以當(dāng)時(shí)，S有最大值，且最大值為6.

類型四、圖形的位似6.如圖，△ABC中，A、B兩點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣1，0）．以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍．設(shè)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)是2，求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)．【思路點(diǎn)撥】過B和B′向x軸引垂線，構(gòu)造相似比為1：2的相似三角形，那么利用相似比和所給B′的橫坐標(biāo)即可求得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)．【答案與解析】解：過點(diǎn)B、B'分別作BD⊥x軸于D，B'E⊥x軸于E，∴∠BDC=∠B'EC=90°．∵△ABC的位似圖形是△A'B'C，∴點(diǎn)B、C、B'在一條直線上，∴∠BCD=∠B'CE，∴△BCD∽△B'CE．∴，又∵，∴，又∵點(diǎn)B'的橫坐標(biāo)是2，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣1，0），∴CE=3，∴．∴，∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為．【總結(jié)升華】難點(diǎn)是利用對應(yīng)點(diǎn)向x軸引垂線構(gòu)造相似三角形，關(guān)鍵是利用相似比解決問題．類型五、用相似三角形解決問題7.（2014?陜西）某一天，小明和小亮來到一河邊，想用遮陽帽和皮尺測量這條河的大致寬度，兩人在確保無安全隱患的情況下，先在河岸邊選擇了一點(diǎn)B（點(diǎn)B與河對岸岸邊上的一棵樹的底部點(diǎn)D所確定的直線垂直于河岸）．①小明在B點(diǎn)面向樹的方向站好，調(diào)整帽檐，使視線通過帽檐正好落在樹的底部點(diǎn)D處，如圖所示，這時(shí)小亮測得小明眼睛距地面的距離AB=1.7米；②小明站在原地轉(zhuǎn)動(dòng)180°后蹲下，并保持原來的觀察姿態(tài)（除身體重心下移外，其他姿態(tài)均不變），這時(shí)視線通過帽檐落在了DB延長線上的點(diǎn)E處，此時(shí)小亮測得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距離CB=1.2米．根據(jù)以上測量過程及測量數(shù)據(jù)，請你求出河寬BD是多少米？【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意求出∠BAD=∠BCE，然后根據(jù)兩組角對應(yīng)相等，兩三角形相似求出△BAD和△BCE相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．【答案與解析】解：由題意得，∠BAD=∠BCE，∵∠ABD=∠CBE=90°，∴△BAD∽△BCE，∴=，∴=，解得BD=13.6．答：河寬BD是13.6米．【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，讀懂題目信息得到兩三角形相等的角并確定出相似三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．《圖形的相似》全章復(fù)習(xí)與鞏固--鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1．如圖所示，給出下列條件：①；②；③；④.其中單獨(dú)能夠判定的個(gè)數(shù)為()

A．1B．2C．3D．4

2.（2015?十堰）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）3．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE平分∠ABC，則下列關(guān)系式中成立的有()①；②；③；④CE2=CD×BC；⑤BE2=AE×BC.A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)4.如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于O，且將這個(gè)四邊形分成①、②、③、④四個(gè)三角形．若OA∶OC=OB∶OD，則下列結(jié)論中一定正確的是()

A．①和②相似B．①和③相似C．①和④相似D．②和④相似5．如圖，在正方形網(wǎng)格上有6個(gè)斜三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，其中②～⑥中與三角形①相似的是()A．②③④B．③④⑤C．④⑤⑥D(zhuǎn)．②③⑥

第4題第5題第6題6.如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2eq\r(,2)，CD=，點(diǎn)P在四邊形ABCD的邊上．若P到BD的距離為，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．47.如圖，路燈距地面8米，身高1.6米的小明從距離燈的底部(點(diǎn)O)20米的點(diǎn)A處，沿OA所在的直線行走14米到點(diǎn)B時(shí)，人影的長度()

A.增大1.5米B.減小1.5米C.增大3.5米D.減小3.5米第7題第8題8.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點(diǎn)E，沿AE將△ABE向上折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=（）A.B.C.D.2二、填空題9.頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形．如圖，△ABC、△BDC、△DEC都是黃金三角形，已知AB=1，則DE=____________．第9題第10題10.如圖，M是ABCD的邊AB的中點(diǎn)，CM交BD于E，則圖中陰影部分的面積與ABCD的面積之比為_____.11.在中華經(jīng)典美文閱讀中，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己的一本書的寬與長之比為黃金比。已知這本書的長為20cm，則它的寬約為_______________.12.如圖是幻燈機(jī)的工作情況，幻燈片與屏幕平行，光源距幻燈片30cm，幻燈片距屏幕1.5m，幻燈片中的小樹高8cm，則屏幕上的小樹高是______.

13.（2015?婁底）一塊直角三角板ABC按如圖放置，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3，0），∠B=30°，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．14.如圖，O為矩形ABCD的中心，M為BC邊上一點(diǎn)，N為DC邊上一點(diǎn)，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，設(shè)OM=x，ON=y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為__________________．15.如圖，ABCD中，E是CD的延長線上一點(diǎn)，BE與AD交于點(diǎn)F，CD=2DE.若△DEF的面積為a，則ABCD中的面積為.(用a的代數(shù)式表示)第14題第15題第16題16.如圖，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一點(diǎn)，且AD=AB，DF∥BC，E為BD的中點(diǎn)．若EF⊥AC，BC=6，則四邊形DBCF的面積為_______________.三、解答題17.如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，EF與BD相交于點(diǎn)M.(1)求證：△EDM∽△FBM；(2)若DB=9，求BM.

18.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．點(diǎn)P是AB邊上任意一點(diǎn)，直線PE⊥AB，與邊AC或BC相交于E．點(diǎn)M在線段AP上，點(diǎn)N在線段BP上，EM＝EN，（注解=）．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求CM的長；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在邊AC上時(shí)，點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合，設(shè)AP＝x，BN＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的自變量取值范圍；（3）若△AME∽△ENB（△AME的頂點(diǎn)A、M、E分別與△ENB的頂點(diǎn)E、N、B對應(yīng)），求AP的長．

圖1圖2備用圖

19.（1）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D，E，Q分別在AB，AC，BC上,且DE∥BC,AQ交DE于點(diǎn)P．求證：．

（2）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的邊上，連接AG，AF分別交DE于M，N兩點(diǎn)．

①如圖2，若AB=AC=1，直接寫出MN的長；

②如圖3，求證MN2=DM·EN．

20.（2015?黃石）在△AOB中，C，D分別是OA，OB邊上的點(diǎn)，將△OCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△OC′D′．（1）如圖1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分別為OA，OB的中點(diǎn)，證明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如圖2，若△AOB為任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′與BD′交于點(diǎn)E，猜想∠AEB=θ是否成立？請說明理由．【答案與解析】一．選擇題1．【答案】C.【解析】①②④正確，考點(diǎn)：三角形相似的判定.2．【答案】D.【解析】∵點(diǎn)A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，∴點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．故選：D．3．【答案】B.【解析】提示：②③④成立.4．【答案】B.5．【答案】B.6．【答案】B；【解析】A到BD的距離為2，故在AB、AD上存在P.7.【答案】D；【解析】由題意，，由相似，，同理，.8.【答案】B.【解析】∵AB=1，設(shè)AD=x，則FD=x-1，F(xiàn)E=1，

∵四邊形EFDC與矩形ABCD相似，

∴,

，

解得x1=，x2=（負(fù)值舍去），

經(jīng)檢驗(yàn)x1=是原方程的解．故選B．二．填空題9．【答案】.【解析】∵△ABC、△BDC、△DEC都是黃金三角形，AB=1

∴AB=AC，AD=BD=BC，DE=BE=CD，DE∥AB

∴設(shè)DE=x，則CD=BE=x，AD=BC=1-x，

∴EC=BC-BE=1-x-x=1-2x

∴

解得：DE=．10．【答案】.【解析】，，

(三角形等高，面積比等于底邊比)

，

陰影部分的面積與ABCD的面積之比為1：3.11．【答案】12.36cm.12．【答案】48cm.13.【答案】.【解析】過點(diǎn)B作BD⊥OD于點(diǎn)D，∵△ABC為直角三角形，∴∠BCD+∠CAO=90°，∴△BCD∽△COA，∴=，設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（x，y），則=，y=﹣3x﹣9，∴BC==，AC==，∵∠B=30°，∴==，解得：x=﹣3﹣，則y=3．即點(diǎn)B的坐標(biāo)為．14．【答案】.【解析】求兩條線段的關(guān)系，把兩條線段放到兩個(gè)三角形中，利用兩個(gè)三角形的關(guān)系求解．15.【答案】12a.【解析】根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，利用已知得出△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)分別得出△CEB、△ABF的面積為4a、9a，然后推出四邊形BCDF的面積為8a即可.16.【答案】15.三.綜合題17．【解析】(1)證明：∵E是AB的中點(diǎn)，

∴AB=2EB，∵AB=2CD，∴CD=EB.

又AB∥CD，∴四邊形CBED是平行四邊形.∴CB∥DE，

∴∴△EDM∽△FBM.

(2)解：∵△EDM∽△FBM，∴.

∵F是BC的中點(diǎn)，

∴DE=2BF.∴DM=2BM.∴BM=DB=3.

18．【解析】(1)由AE=40，BC=30，AB=50，∴CP=24，又sin∠EMP=，∴CM=26。

(2)在Rt△AEP與Rt△ABC中，∵∠EAP=∠BAC，∴Rt△AEP∽Rt△ABC，

∴，即，∴EP=x，

又sin∠EMP=，∴tan∠EMP==，∴=，∴MP=x=PN，

y=BN=AB-AP-PN=50-x-x=50-x(0<x<32).

(3)①當(dāng)E在線段AC上時(shí)，由(2)知，，即，∴EM=x=EN，

又AM=AP-MP=x-x=x，

由題設(shè)△AME∽△ENB，∴，∴=，解得x=22=AP.

②當(dāng)E在線段BC上時(shí)，由題設(shè)△AME∽△ENB，∴∠AEM=∠EBN.

由外角定理，∠AEC=∠EAB+∠EBN=∠EAB+∠AEM=∠EMP，

∴Rt△ACE∽Rt△EPM，∴，即，∴CE=…①.

設(shè)AP=z，∴PB=50-z，

由Rt△BEP∽Rt△BAC，∴，即=，∴BE=(50-z)，

∴CE=BC-BE=30-(50-z)…②.

由①，②，解=30-(50-z)，得z=42=AP.

∴AP的長為22或42．19．【解析】（1）證明：在△ABQ中，由于DP∥BQ，

∴△ADP∽△ABQ，∴．

同理△APE∽△AQC，．

∴．

（2）①．

②證明：∵∠B＋∠C=90°，∠CEF＋∠C=90°．

∴∠B=∠CEF，

又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC．

∴，∴DG·EF＝CF·BG

又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG

由（1）得，

∴.

∴MN2＝DM·EN.20.【解析】（1）證明：①∵△OCD旋轉(zhuǎn)到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D為OA、OB的中點(diǎn)，∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′；②延長AC′交BD′于E，交BO于F，如圖1所示：∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如圖2所示：∵△OCD旋轉(zhuǎn)到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∴∠AEB=∠AOB=θ．3.黃金矩形與黃金三角形：黃金矩形：若矩形的兩條鄰邊長度的比值約為0.618，這種矩形稱為黃金矩形.黃金三角形：頂角為36°的等腰三角形，它的底角為72°，恰好是頂角的2倍，人們稱這種三角形為黃金三角形．黃金三角形性質(zhì)：底角平分線將其腰黃金分割．要點(diǎn)二、相似圖形1．相似圖形：在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similarfigures).要點(diǎn)詮釋：

(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時(shí)，兩個(gè)圖形全等.2.相似多邊形各角分別相等，各邊成比例的兩個(gè)多邊形，它們的形狀相同，稱為相似多邊形．要點(diǎn)詮釋：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì)．（2）相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比.要點(diǎn)三、相似三角形相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似.判定方法（二）：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.要點(diǎn)詮釋：

要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對應(yīng)角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.判定方法（三）：兩邊成比例夾角相等的兩個(gè)三角形相似.要點(diǎn)詮釋：

此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必須是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.判定方法（四）：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.

2.相似三角形的性質(zhì)：（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；（2）相似三角形對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；（3）相似三角形周長的比等于相似比；（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方.3.相似多邊形的性質(zhì)：（1）相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．（2）相似多邊形的周長比等于相似比．（3）相似多邊形的面積比等于相似比的平方．要點(diǎn)四、圖形的位似及投影1.位似多邊形定義:如果兩個(gè)相似多邊形任意一組對應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)O，且每組對應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)O點(diǎn)的距離之比都等于一個(gè)定值k，例如，如下圖，OA′=k·OA（k≠0），那么這樣的兩個(gè)多邊形叫做位似多邊形，點(diǎn)O叫做位似中心.要點(diǎn)詮釋：位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.

2.位似圖形的性質(zhì):（1）位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)相交于同一點(diǎn)，此點(diǎn)就是位似中心；

（2)位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；

（3）位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行.3.作位似圖形的步驟

第一步：在原圖上找若干個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并任取一點(diǎn)作為位似中心；

第二步：作位似中心與各關(guān)鍵點(diǎn)連線；

第三步：在連線上取關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，使之滿足放縮比例；

第四步：順次連接各對應(yīng)點(diǎn).要點(diǎn)詮釋：位似中心可以取在多邊形外、多邊形內(nèi)，或多邊形的一邊上、或頂點(diǎn)，下面是位似中心不同的畫法.4.平行投影在平行光的照射下，物體所產(chǎn)生的影稱為平行投影.(1)等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在太陽光下，它們的影子一樣長.

(2)等長的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度.

(3)在同一時(shí)刻，不同物體的物高與影長成正比例.

即：

利用上面的關(guān)系式可以計(jì)算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.

注意：利用影長計(jì)算物高時(shí)，要注意的是測量兩物體在同一時(shí)刻的影長.

5.中心投影在點(diǎn)光源的照射下，物體所產(chǎn)生的影稱為中心投影.(1)等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長.

(2)等長的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示.一般情況下，離點(diǎn)光源越近，影子越長；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)比物體本身的長度還短.【典型例題】類型一、比例線段及黃金分割1.已知:a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28,求3a-2b+c的值.

【答案與解析】

∵a:b:c=3:5:7

設(shè)a=3k,b=5k,c=7k

∵2a+3b-c=28

∴6k+15k-7k=28，∴k=2

∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12【總結(jié)升華】題目中已知三個(gè)量a,b,c的比例關(guān)系和有關(guān)a,b,c的等式,我們可以利用這個(gè)等量關(guān)系,通過設(shè)參數(shù)k,轉(zhuǎn)化成關(guān)于k的一元方程,求出k后,使得問題得解.舉一反三【變式】如圖，已知直線a∥b∥c，直線m、n與a、b、c分別交于點(diǎn)A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，則BF＝（）

A．7B．7.5C．8D．8.5【答案】B.2.以長為2cm的定線段AB為邊，作正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)P．在BA的延長線上取點(diǎn)F，使PF=PD，以AF為邊作正方形AMEF，點(diǎn)M落在AD上，如圖所示．

（1）試求AM、DM的長；

（2）點(diǎn)M是線段AD的黃金分割點(diǎn)嗎？請說明理由．【答案與解析】（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，

由勾股定理知PD==，

∴AM=AF=PF-AP=PD-AP=-1，

DM=AD-AM=3-；

（2）∵AM2=（-1）=6-2，

AD?DM=2×（3-）=6-2，

∴AM2=AD?DM，

所以點(diǎn)M是線段AD的黃金分割點(diǎn)．【總結(jié)升華】能夠根據(jù)已知條件結(jié)合勾股定理求得線段的長，能夠用黃金分割點(diǎn)的定義進(jìn)行證明．類型二、相似三角形3.如圖所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在邊長為1的小正方形的頂點(diǎn)上．

(1)∠ABC=________，BC=________；

(2)判斷△ABC與△DEF是否相似，并說明理由.【答案與解析】(1)135°，

(2)△ABC和△DEF相似(或△ABC∽△DEF).∵，，∴.又∵∠ABC=∠DEF=90°+45°=135°，∴△ABC∽△DEF.【總結(jié)升華】根據(jù)正方形的性質(zhì)和格點(diǎn)三角形的特點(diǎn)，從邊角方面去探究兩三角形有關(guān)角的度數(shù)和邊的長度，利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等證明兩三角形相似．舉一反三：【變式】下列