第2課時　指數(shù)函數(shù)及其圖象、性質(zhì)(二) 高一數(shù)學

4.2

指數(shù)函數(shù)第2課時

指數(shù)函數(shù)及其圖象、性質(zhì)(二)自主預習·新知導學合作探究·釋疑解惑規(guī)范解答

自主預習·新知導學一、與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域與值域2.(1)對于函數(shù)y=af(x)(a>0,a≠1),其定義域即為函數(shù)

f(x)的定義域;(2)對于函數(shù)y=af(x)(a>0,且a≠1),求其值域時,可先求t=f(x)的值域,再利用y=at的單調(diào)性結(jié)合t=f(x)的值域求y=af(x)的值域.答案:R,(0,1]二、與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性1.對于函數(shù)y=af(x)(a>0,且a≠1),其定義域為區(qū)間I,若令t=f(x),則y=at.(1)當a>1時,在區(qū)間I上,如果t隨x的增大而增大,那么y隨t怎樣變化?y隨x怎樣變化?(2)當0<a<1時,在區(qū)間I上,如果t隨x的增大而增大,那么y隨t怎樣變化?y隨x怎樣變化?提示:(1)y隨t的增大而增大,y隨x的增大而增大;(2)y隨t的增大而減小,y隨x的增大而減小.2.(1)若a>1,則函數(shù)y=af(x)的單調(diào)遞增區(qū)間就是f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,y=af(x)的單調(diào)遞減區(qū)間就是f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若0<a<1,則函數(shù)y=af(x)的單調(diào)遞增區(qū)間就是f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間,y=af(x)的單調(diào)遞減區(qū)間就是f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.3.函數(shù)

的單調(diào)遞增區(qū)間是

,單調(diào)遞減區(qū)間是

.

解析:令t=-x2+2,則y=4t,因為y=4t在定義域上是增函數(shù),且t=-x2+2的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0],單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+∞),所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0],單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+∞).答案:(-∞,0]

(0,+∞)【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)若函數(shù)g(x)=af(x)(a>0,且a≠1),則g(x)與f(x)的定義域與值域相同.(×)(2)函數(shù)y=4-|x|的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0).(×)(3)若a>1,則當f(x)有最大值時,g(x)=af(x)也有最大值.(√)(4)若函數(shù)g(x)=af(x)(a>0,且a≠1)的值域為(0,+∞),則f(x)的值域必為R.(√)

合作探究·釋疑解惑探究一

與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域與值域反思感悟求形如y=f(ax)的函數(shù)的定義域與值域,首先利用換元法,設ax=t,將函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=f(t),然后根據(jù)函數(shù)t=ax,y=f(t)確定原函數(shù)的定義域與值域.探究二

與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的奇偶性及其應用反思感悟判斷與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的奇偶性的方法判斷與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的奇偶性的方法與一般函數(shù)奇偶性的判斷方法基本一樣,先要確定函數(shù)的定義域,在其定義域關(guān)于原點對稱的前提下,再探究f(-x)與f(x)的關(guān)系,這時往往需要將f(-x)的表達式利用指數(shù)運算的一些法則和性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化變形,以明確f(-x)與f(x)的關(guān)系,從而得出奇偶性的結(jié)論.探究三

與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性及其應用(2)令h(x)=ax2-4x+3,則由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知,應使h(x)=ax2-4x+3的值域為R,若a≠0,則h(x)為二次函數(shù),其值域不可能為R,因此只能a=0,故a的值為0.反思感悟形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(1)當a>1時,y=af(x)的單調(diào)區(qū)間與y1=f(x)的單調(diào)區(qū)間完全相同;(2)當0<a<1時,y=af(x)的單調(diào)區(qū)間與y1=f(x)的單調(diào)區(qū)間完全相反.規(guī)范解答與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的綜合應用問題【典例】

已知定義在區(qū)間[-1,1]上的奇函數(shù)f(x),當x∈(0,1]時,(1)求f(x)在區(qū)間[-1,1]上的解析式;(2)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f(x)在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞減;(3)若f(x)=x+b在區(qū)間[-1,1]上有解,求b的取值范圍.審題策略:(1)由f(x)在區(qū)間(0,1]上的解析式以及f(x)為奇函數(shù)可求出f(0)=0以及f(x)在區(qū)間[-1,0)內(nèi)的解析式,從而得到f(x)在區(qū)間[-1,1]上的解析式;(2)利用單調(diào)性的定義證明;(3)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題.答題模板:第1步:求f(x)在區(qū)間[-1,0)內(nèi)的解析式.?第2步:結(jié)合f(0)=0即得函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的解析式.?第3步:根據(jù)取值、作差變形、定號、下結(jié)論的步驟證明函數(shù)的單調(diào)性.?第4步:轉(zhuǎn)化為方程b=f(x)-x有解問題.?第5步:求g(x)=f(x)-x的值域即得b的取值范圍.失誤展示造成失分的主要原因如下:(1)思維混亂,求f(x)在區(qū)間[-1,0)內(nèi)的解析式時設x∈(0,1];(2)缺少f(0)=0的說明;(3)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明單調(diào)性的過