2024年初一上冊(cè)數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)01-1有理數(shù)的意義－知識(shí)講解

2024年初一上冊(cè)數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)有理數(shù)的意義【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．掌握用正負(fù)數(shù)表示實(shí)際問(wèn)題中具有相反意義的量；2．理解正數(shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)的概念；3.掌握有理數(shù)的分類方法，初步建立分類討論的思想．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、正數(shù)與負(fù)數(shù)像+3、+1.5、、+584等大于0的數(shù)，叫做正數(shù)；像－3、－1.5、、－584等在正數(shù)前面加“－”號(hào)的數(shù)，叫做負(fù)數(shù)．要點(diǎn)詮釋：（1）一個(gè)數(shù)前面的“+”“-”是這個(gè)數(shù)的性質(zhì)符號(hào)，“+”常省略，但“-”不能省略.（2）用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時(shí)，哪種為正可任意選擇，但習(xí)慣把“前進(jìn)、上升”等規(guī)定為正，而把“后退、下降”等規(guī)定為負(fù)．（3）0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，它是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線．要點(diǎn)二、有理數(shù)的分類（1）按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類：（2）按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類：

要點(diǎn)詮釋：（1）有理數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，整數(shù)也可以看作是分母為1的數(shù).（2）分?jǐn)?shù)與有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以互化，所以有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)可看作分?jǐn)?shù)，但無(wú)限不循環(huán)小數(shù)不是分?jǐn)?shù)，例如．（3）正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)；正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)．【典型例題】類型一、正數(shù)與負(fù)數(shù) 1．中國(guó)人很早開(kāi)始使用負(fù)數(shù)，中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》的“方程”一章，在世界數(shù)學(xué)史上首次正式引入負(fù)數(shù)．如果收入100元記作+100元．那么﹣80元表示（）A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元【思路點(diǎn)撥】在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．【答案】C【解析】解：根據(jù)題意，收入100元記作+100元，則﹣80表示支出80元．故選：C．【總結(jié)升華】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，確定一對(duì)具有相反意義的量．舉一反三：【變式1】一種大米的質(zhì)量標(biāo)識(shí)為“（50±0.5）千克”，則下列各袋大米中質(zhì)量不合格的是（）A．50.0千克B．50.3千克C．49.7千克D．49.1千克【答案】D．解：“50±0.5千克”表示最多為50.5千克，最少為49.5千克．【變式2】（1）如果收入300元記作+300元，那么支出500元用___________表示，0元表示__________.(2)若購(gòu)進(jìn)50本書(shū)，用-50本表示，則盈利30元如何表示？【答案】(1)-500元；既沒(méi)有收入也沒(méi)有支出.(2)不是一對(duì)具有相反意義的量，不能表示.

【變式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示為（）．

A．－20mB．－40mC．20mD．40m

【答案】B2．體育課上，華英學(xué)校對(duì)九年級(jí)男生進(jìn)行了引體向上測(cè)試，以能做7個(gè)為標(biāo)準(zhǔn)，超過(guò)的次數(shù)記為正數(shù)，不足的次數(shù)記為負(fù)數(shù)，其中8名男生的成績(jī)?nèi)缦拢?，-1，0，3，-2，-3，1，0這8名男生有百分之幾達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)？他們共做了多少引體向上？【答案與解析】（1）由題意可知：正數(shù)或0表示達(dá)標(biāo)，而正數(shù)或0的個(gè)數(shù)共有5個(gè)，所以百分率為：；答：這8名男生有62.5%達(dá)到標(biāo)準(zhǔn).（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（個(gè)）答：他們共做了引體向上56個(gè).【總結(jié)升華】一定要先弄清“基準(zhǔn)”是什么.類型二、有理數(shù)的分類3．下面說(shuō)法中正確的是()．A．非負(fù)數(shù)一定是正數(shù)．B．有最小的正整數(shù)，有最小的正有理數(shù)．C．一定是負(fù)數(shù)． D．正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱正有理數(shù)．【答案】D【解析】(A)不對(duì)，因?yàn)榉秦?fù)數(shù)還包括0；(B)最小的正整數(shù)為1，但沒(méi)有最小的正有理數(shù)；(C)不對(duì)，當(dāng)為負(fù)數(shù)或0時(shí)，則為正數(shù)或0，而不是負(fù)數(shù)；(D)對(duì)【總結(jié)升華】一個(gè)有理數(shù)既有性質(zhì)符號(hào)，又有除性質(zhì)符號(hào)外的數(shù)值部分，兩者合在一起才表示這個(gè)有理數(shù).舉一反三：【變式1】判斷題：（1）0是自然數(shù)，也是偶數(shù)．（）（2）0既可以看作是正數(shù)，也可以看成是負(fù)數(shù).（）（3）整數(shù)又叫自然數(shù).（）（4）非負(fù)數(shù)就是正數(shù)，非正數(shù)就是負(fù)數(shù).（）【答案】√，，，【變式2】下列四種說(shuō)法，正確的是().

(A)所有的正數(shù)都是整數(shù)(B)不是正數(shù)的數(shù)一定是負(fù)數(shù)

(C)正有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)(D)0不是最小的有理數(shù)【答案】D4．請(qǐng)把下列各數(shù)填入它所屬于的集合的大括號(hào)里.

1,0.0708,-700,-3.88,0,3.14159265,，.

正整數(shù)集合:{…}，負(fù)整數(shù)集合:{…}，

整數(shù)集合:{…}，正分?jǐn)?shù)集合:{…}，負(fù)分?jǐn)?shù)集合:{…}，分?jǐn)?shù)集合:{…}，非負(fù)數(shù)集合：{…}，非正數(shù)集合：{…}.【答案】正整數(shù)：1；負(fù)整數(shù)：-700；整數(shù)：1，0，-700；正分?jǐn)?shù)：0.0708，3.14159265，；

負(fù)分?jǐn)?shù)：-3.88，；分?jǐn)?shù)：0.0708，3.14159265，，-3.88，；非負(fù)數(shù)：1,0.0708，3.14159265，0，；非正數(shù)：-700,-3.88,0,【解析】【總結(jié)升華】填數(shù)的方法有兩種：一種是逐個(gè)考察，一一進(jìn)行填寫；二是逐個(gè)填寫相關(guān)的集合，從給出的數(shù)中找出屬于這個(gè)集合的數(shù).此外注意幾個(gè)概念：非負(fù)數(shù)包括0和正數(shù)；非正數(shù)包括0和負(fù)數(shù).舉一反三：【變式】在有理數(shù)、﹣5、3.14中，屬于分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)共有個(gè)．【答案】2.類型三、探索規(guī)律5．某校生物教師李老師在生物實(shí)驗(yàn)室做實(shí)驗(yàn)時(shí)，將水稻種子分組進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)：第1組取3粒，第2組取5粒，第3組取7粒，第4組取9粒，.按此規(guī)律，那么請(qǐng)你推測(cè)第n組應(yīng)該有種子是粒.【答案】()【解析】第1組取3粒，第2組取5粒，第3組取7粒，第4組取9粒，，由此我們觀察到的粒數(shù)與組數(shù)之間有一定關(guān)系：，，，，，按此規(guī)律，第n組應(yīng)該有種子數(shù)（）粒.【總結(jié)升華】研究一列數(shù)的排列規(guī)律時(shí)，其中的數(shù)與符號(hào)往往都與序數(shù)有關(guān).舉一反三：【變式1】有一組數(shù)列：2，-3，2，-3，2，-3，，根據(jù)這個(gè)規(guī)律，那么第2010個(gè)數(shù)是：【答案】-3【變式2】觀察下列有規(guī)律的數(shù)：根據(jù)其規(guī)律可知第9個(gè)數(shù)是：【答案】有理數(shù)與無(wú)理數(shù)知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解有理數(shù)的意義，知道無(wú)理數(shù)是客觀存在的，了解無(wú)理數(shù)的概念．會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、有理數(shù)我們把能夠?qū)懗煞謹(jǐn)?shù)形式（m,n是整數(shù)，n≠0）的數(shù)叫做有理數(shù)．要點(diǎn)詮釋：（1）有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)，他們都是有理數(shù)．（2）所有整數(shù)都可以寫成分母是1的分?jǐn)?shù)，因此可以理解為整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)．要點(diǎn)二、無(wú)理數(shù)1．定義：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)．要點(diǎn)詮釋：（1）無(wú)理數(shù)的特征：無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無(wú)限．無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式．（2）目前常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有兩種形式：①含類．②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111……．2．有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的區(qū)別（1）無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)是有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)．（2）任何一個(gè)有理數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)的形式，而無(wú)理數(shù)則不能．要點(diǎn)三、循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)1．定義：如果一個(gè)無(wú)限小數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字，從小數(shù)部分的某一位起，按一定順序不斷重復(fù)出現(xiàn)，那么這樣的小數(shù)叫做無(wú)限循環(huán)小數(shù)，簡(jiǎn)稱循環(huán)小數(shù)，其中重復(fù)出現(xiàn)的一個(gè)或幾個(gè)數(shù)字叫做它的一個(gè)循環(huán)節(jié)．2．純循環(huán)小數(shù)從小數(shù)點(diǎn)后面第一位起就開(kāi)始循環(huán)的小數(shù)，叫做純循環(huán)小數(shù)．例如：0．666…、．．純循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)的方法是：分子是一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)；分母的各位數(shù)字都是9，9的個(gè)數(shù)等于一個(gè)循環(huán)節(jié)的位數(shù)．例如，．3．混循環(huán)小數(shù)如果小數(shù)點(diǎn)后面的開(kāi)頭幾位不循環(huán)，到后面的某一位才開(kāi)始循環(huán)，這樣的小數(shù)叫做混循環(huán)小數(shù)．例如：、0．3456456…．混循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)的方法是：分子是不循環(huán)部分和一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)減去不循環(huán)部分的數(shù)字組成的數(shù)所得的差，分母就是按一個(gè)循環(huán)節(jié)的位數(shù)寫幾個(gè)9，再在后面按不循環(huán)部分的位數(shù)添寫幾個(gè)0組成的數(shù)．例如，，．要點(diǎn)詮釋：（1）任何一個(gè)循環(huán)小數(shù)都可化為分?jǐn)?shù)．（2）混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)也可以先化為純循環(huán)小數(shù)，然后再化為分?jǐn)?shù)．【典型例題】類型一、有理數(shù) 1．下列說(shuō)法正確的是（）A．整數(shù)就是正整數(shù)和負(fù)整數(shù)B．分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)C．正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)D．無(wú)限小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)【答案】B【解析】A選項(xiàng)整數(shù)包括正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和0；C選項(xiàng)正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和0統(tǒng)稱有理數(shù)；D選項(xiàng)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)才叫做無(wú)理數(shù)，所以選B．【總結(jié)升華】概念問(wèn)題同學(xué)們往往忽略0的存在而模糊分類的界限，只有對(duì)定義達(dá)到真正的理解認(rèn)識(shí)才不會(huì)出錯(cuò)．舉一反三：【變式1】下列說(shuō)法：①一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)；②有理數(shù)包括正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)；

③分?jǐn)?shù)可分為正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)；④存在最大的負(fù)整數(shù)；⑤不存在最小的正有理數(shù)．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)【答案】C【變式2】是（）A．整數(shù)B．有限小數(shù)C．無(wú)限循環(huán)小數(shù)D．無(wú)限不循環(huán)小數(shù)【答案】C2．在實(shí)數(shù)，，0，，，﹣1.414，有理數(shù)有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)有理數(shù)是有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)，可得答案．【答案】D【解析】解：，0，，﹣1.414，是有理數(shù)，【總結(jié)升華】本題考查了有理數(shù)，有理數(shù)是有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)．類型二、無(wú)理數(shù)3．下列實(shí)數(shù)中，是無(wú)理數(shù)的為（）A．﹣4 B．0.101001 C． D．【思路點(diǎn)撥】無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．理解無(wú)理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【答案】D【解析】解：A、﹣4是整數(shù)，是有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B、0.101001是小數(shù)，屬于分?jǐn)?shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C、是小數(shù)，屬于分?jǐn)?shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；D、是無(wú)理數(shù)，正確；故選D．【總結(jié)升華】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無(wú)理數(shù)有：π，2π等；開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．舉一反三：【變式】以下各正方形的邊長(zhǎng)是無(wú)理數(shù)的是（

）A.面積為25的正方形；

B.面積為16的正方形；C.面積為8的正方形；

D.面積為1．44的正方形．【答案】C4．將下列各數(shù)填入相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)，-2，，3．020020002…，0，，-（-2），2012，-整數(shù)集合： 分?jǐn)?shù)集合： 負(fù)有理數(shù)集合： 無(wú)理數(shù)集合： 【答案與解析】整數(shù)集合：-2，0，-（-2），2012分?jǐn)?shù)集合：，，-負(fù)有理數(shù)集合：-2，，-無(wú)理數(shù)集合：，3．020020002…，【總結(jié)升華】本題考查了對(duì)有理數(shù)的有關(guān)概念的理解和應(yīng)用，關(guān)鍵是能區(qū)分有關(guān)定義，注意：整數(shù)包括正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)；有理數(shù)包括正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)；無(wú)理數(shù)是指無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．類型三、循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)5．把下列循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)【思路點(diǎn)撥】按循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的規(guī)律方法化即可．【答案與解析】（1）（2），所以（3）（4）【總結(jié)升華】循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)時(shí)，整數(shù)部分不動(dòng)，在掌握兩種化簡(jiǎn)規(guī)律的基礎(chǔ)上把小數(shù)部分進(jìn)行相應(yīng)的化簡(jiǎn)即可．舉一反三：【變式】在6.4040…、3.333、9．505三個(gè)數(shù)中，是循環(huán)小數(shù)，把這個(gè)數(shù)化為分?jǐn)?shù)可以寫作．【答案】6.4040…；數(shù)軸——知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解數(shù)軸的概念及三要素，能正確畫(huà)出數(shù)軸；2．能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，初步感受數(shù)形結(jié)合的思想方法；3．能利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大?。疽c(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、數(shù)軸定義：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸．要點(diǎn)詮釋：（1）定義中的“規(guī)定”二字是說(shuō)原點(diǎn)的選定、正方向的取向、單位長(zhǎng)度大小的確定，都是根據(jù)需要“規(guī)定”的．通常，習(xí)慣取向右為正方向．（2）長(zhǎng)度單位與單位長(zhǎng)度是不同的，單位長(zhǎng)度是根據(jù)需要選取的代表“1”的線段，而長(zhǎng)度單位是為度量線段的長(zhǎng)度而制定的單位．有km、m、dm、cm等．要點(diǎn)二、數(shù)軸的畫(huà)法（1）畫(huà)一條直線（通常畫(huà)成水平位置）；（2）在這條直線上取一點(diǎn)作為原點(diǎn)，這點(diǎn)表示0；（3）規(guī)定直線上向右為正方向，畫(huà)上箭頭；（4）再選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度，從原點(diǎn)向右每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，依次標(biāo)上1，2，3，…從原點(diǎn)向左，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)，依次標(biāo)上-1，-2，-3，…要點(diǎn)詮釋：（1）原點(diǎn)的位置、單位長(zhǎng)度的大小可根據(jù)實(shí)際情況適當(dāng)選取．（2）確定單位長(zhǎng)度時(shí)根據(jù)實(shí)際情況，有時(shí)也可以每隔兩個(gè)（或更多的）單位長(zhǎng)度取一點(diǎn)．要點(diǎn)三、數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)，還可以表示其他數(shù)，比如．要點(diǎn)詮釋：

（1）一般地，數(shù)軸上原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示正數(shù)，左邊的點(diǎn)表示負(fù)數(shù)；反過(guò)來(lái)也對(duì)，即正數(shù)用數(shù)軸上原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)數(shù)用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，零用原點(diǎn)表示．

（2）一般地，在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．【典型例題】類型一、數(shù)軸的概念及畫(huà)法1．下列各圖中，能正確表示數(shù)軸的是（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度，即可解答．【答案】D

【解析】解：由數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度，可知D正確；故選：D．【總結(jié)升華】數(shù)軸是一條直線，可以向兩端無(wú)限延伸；數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度缺一不可．2．一只螞蟻沿?cái)?shù)軸從點(diǎn)A向右直爬15個(gè)單位到達(dá)點(diǎn)B，點(diǎn)B表示的數(shù)為﹣2，則點(diǎn)A所表示的數(shù)為（）A.15B.13C.-13D.-17【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)A所表示的數(shù)為x，x+15=﹣2，解得：x=﹣17，故選：D．【總結(jié)升華】本題考查的是數(shù)軸的知識(shí)，掌握數(shù)軸的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，點(diǎn)在數(shù)軸上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是向左減，向右加．舉一反三：【變式】如圖為北京地鐵的部分線路．假設(shè)各站之間的距離相等且都表示為一個(gè)單位長(zhǎng)．現(xiàn)以萬(wàn)壽路站為原點(diǎn)，向右的方向?yàn)檎?，那么木樨地站表示的?shù)為_(kāi)_______，古城站表示的數(shù)為_(kāi)_