2024年初一下冊(cè)數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)44平行線的性質(zhì)及平移(基礎(chǔ))知識(shí)講解

2024年初一下冊(cè)數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)平行線的性質(zhì)及平移（基礎(chǔ)）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．掌握平行線的性質(zhì)，并能依據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理；2．了解平行線的判定與性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系，理解兩條平行線的距離的概念；3．了解圖形的平移變換，知道一個(gè)圖形進(jìn)行平移后所得的圖形與原圖形之間所具有的聯(lián)系和性質(zhì)，能用平移變換有關(guān)知識(shí)說(shuō)明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題及進(jìn)行圖形設(shè)計(jì).【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平行線的性質(zhì)性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).要點(diǎn)詮釋：

（1）“同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等”、“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”都是平行線的性質(zhì)的一部分內(nèi)容，切不可忽視前提“兩直線平行”．(2)從角的關(guān)系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補(bǔ)關(guān)系，是平行線的性質(zhì)．要點(diǎn)二、兩條平行線的距離

同時(shí)垂直于兩條平行線，并且?jiàn)A在這兩條平行線間的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩條平行線的距離．要點(diǎn)詮釋：（1）求兩條平行線的距離的方法是在一條直線上任找一點(diǎn)，向另一條直線作垂線，垂線段的長(zhǎng)度就是兩條平行線的距離．(2)兩條平行線的位置確定后，它們的距離就是個(gè)定值，不隨垂線段的位置的改變而改變，即平行線間的距離處處相等．要點(diǎn)三、圖形的平移1.定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做平移．要點(diǎn)詮釋：（1）圖形的平移的兩要素：平移的方向與平移的距離．（2）圖形的平移不改變圖形的形狀與大小，只改變圖形的位置.2.性質(zhì)：圖形的平移實(shí)質(zhì)上是將圖形上所有點(diǎn)沿同一方向移動(dòng)相同的距離，平移不改變線段、角的大小，具體來(lái)說(shuō)：（1）平移后，對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等；（2）平移后，對(duì)應(yīng)角相等；（3）平移后，各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或在同一條直線上）且相等；（4）平移后，新圖形與原圖形是一對(duì)全等圖形.要點(diǎn)詮釋：（1）“連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段”的線段的長(zhǎng)度實(shí)際上就是平移的距離．(2)要注意“連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段”與“對(duì)應(yīng)線段”的區(qū)別，前者是通過(guò)連接平移前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)得到的，而后者是原來(lái)的圖形與平移后的圖形上本身存在的.3.作圖：平移作圖是平移基本性質(zhì)的應(yīng)用，在具體作圖時(shí)，應(yīng)抓住作圖的“四步曲”——定、找、移、連．(1)定：確定平移的方向和距離；(2)找：找出表示圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；(3)移：過(guò)關(guān)鍵點(diǎn)作平行且相等的線段，得到關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；(4)連：按原圖形順次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)．【典型例題】類(lèi)型一、平行線的性質(zhì) 1．如圖，AB∥CD，∠1=58°，F(xiàn)G平分∠EFD，則∠FGB的度數(shù)等于（）A．122° B．151° C．116° D．97°【思路點(diǎn)撥】根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠EFD，再根據(jù)角平分線的定義求出∠GFD，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)解答．【答案】B．【解析】解：∵AB∥CD，∠1=58°，∴∠EFD=∠1=58°，∵FG平分∠EFD，∴∠GFD=∠EFD=×58°=29°，∵AB∥CD，∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°．【總結(jié)升華】題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，比較簡(jiǎn)單，準(zhǔn)確識(shí)圖并熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，已知，且∠1=48°，則∠2＝，∠3＝，∠4＝.【答案】48°，132°，48°類(lèi)型二、兩平行線間的距離2．如圖所示，直線l1∥l2，點(diǎn)A、B在直線l2上，點(diǎn)C、D在直線l1上，若△ABC的面積為S1，△ABD的面積為S2，則()A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不確定【答案】B【解析】因?yàn)閘1∥l2，所以C、D兩點(diǎn)到l2的距離相等．同時(shí)△ABC和△ABD有共同的底AB，所以它們的面積相等．【總結(jié)升華】三角形等面積問(wèn)題常與平行線間距離處處相等相結(jié)合．舉一反三：【變式】如圖，在五邊形ABCDE中，AB∥DE，若△ABE的面積為5，則△ABD的面積為（）A．4 B．5 C．10 D．無(wú)法判斷【答案】B．解：∵在五邊形ABCDE中，AB∥DE，∴點(diǎn)E、點(diǎn)D到直線AB上的垂線段相等，即在△ABE與△ABD中，邊AB上的高線相等，∴△ABE與△ABD是同底等高的兩個(gè)三角形，S△ABE=S△ABD=5．類(lèi)型三、圖形的平移3．如圖所示，平移△ABC，使點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)A′，畫(huà)出平移后的△A′B′C′．【思路點(diǎn)撥】平移一個(gè)圖形，首先要確定它移動(dòng)的方向和距離，連接AA′后這個(gè)問(wèn)題便獲得解決．根據(jù)平移后的圖形與原來(lái)的圖形的對(duì)應(yīng)線段平行(或在一條直線上)且相等，容易畫(huà)出所求的線段．【答案與解析】解：如圖所示，（1）連接AA′，過(guò)點(diǎn)B作AA′的平行線，在上截取BB′＝AA′，則點(diǎn)B′就是點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．（2）用同樣的方法做出點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′，連接A′B′、B′C′、C′A′，就得到平移后的三角形A′B′C′．【總結(jié)升華】平移一個(gè)圖形，首先要確定它移動(dòng)的方向和距離．連接AA′，這個(gè)問(wèn)題就解決了，然后分別把B、C按AA′的方向平移AA′的長(zhǎng)度，便可得到其對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′、C′，這就是確定了關(guān)鍵點(diǎn)平移后的位置，依次連接A′B′，B′C′，C′A′便得到平移后的三角形A′B′C′．4．(湖南益陽(yáng))如圖所示，將△ABC沿直線AB向右平移后到達(dá)△BDE的位置，若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，則∠CBE的度數(shù)為_(kāi)_______．【答案】30°【解析】根據(jù)平移的特征可知：∠EBD＝∠CAB＝50°而∠ABC＝100°所以∠CBE＝180°-∠EBD-∠ABC＝180°-50°-100°＝30°【總結(jié)升華】圖形在平移的過(guò)程有“一變兩不變”、“一變”是位置的變化，“兩不變”是形狀和大小不變．本例中由△ABC經(jīng)過(guò)平移得到△BED．則有AC＝BE，AB＝BD，BC＝DE，∠A＝∠EBD，∠C＝∠E，∠ABC＝∠BDE．舉一反三：【變式】如圖所示，三角形FDE經(jīng)過(guò)怎樣的平移可以得到三角形ABC()A．沿EC的方向移動(dòng)DB長(zhǎng)B．沿BD的方向移動(dòng)BD長(zhǎng)C．沿EC的方向移動(dòng)CD長(zhǎng)D．沿BD的方向移動(dòng)DC長(zhǎng)【答案】A類(lèi)型四、平行的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用5．如圖所示，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝()A．180°B．270°C．360°D．540°【答案】C【解析】過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB，∵CD∥AB，∴∠BAC+∠ACD=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))又∵EF∥AB∴EF∥CD．∴∠DCE+∠CEF=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°【總結(jié)升華】這是平行線性質(zhì)與平行公理的綜合應(yīng)用，利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，”可以得到∠BAC+∠ACE+∠CEF＝360°．舉一反三：【變式】如圖所示，如果∠BAC+∠ACE+∠CEF＝360°，則AB與EF的位置關(guān)系．【答案】平行平行線的性質(zhì)及平移（提高）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．掌握平行線的性質(zhì)，并能依據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理；2．了解平行線的判定與性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系，理解兩條平行線的距離的概念；3．了解圖形的平移變換，知道一個(gè)圖形進(jìn)行平移后所得的圖形與原圖形之間所具有的聯(lián)系和性質(zhì)，能用平移變換有關(guān)知識(shí)說(shuō)明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題及進(jìn)行圖形設(shè)計(jì).【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平行線的性質(zhì)性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).要點(diǎn)詮釋：

（1）“同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等”、“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”都是平行線的性質(zhì)的一部分內(nèi)容，切不可忽視前提“兩直線平行”．(2)從角的關(guān)系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補(bǔ)關(guān)系，是平行線的性質(zhì)．要點(diǎn)二、兩條平行線的距離

同時(shí)垂直于兩條平行線，并且?jiàn)A在這兩條平行線間的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩條平行線的距離．要點(diǎn)詮釋：（1）求兩條平行線的距離的方法是在一條直線上任找一點(diǎn)，向另一條直線作垂線，垂線段的長(zhǎng)度就是兩條平行線的距離．(2)兩條平行線的位置確定后，它們的距離就是個(gè)定值，不隨垂線段的位置的改變而改變，即平行線間的距離處處相等．要點(diǎn)三、圖形的平移1.定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做平移．要點(diǎn)詮釋：（1）圖形的平移的兩要素：平移的方向與平移的距離．（2）圖形的平移不改變圖形的形狀與大小，只改變圖形的位置.2.性質(zhì)：圖形的平移實(shí)質(zhì)上是將圖形上所有點(diǎn)沿同一方向移動(dòng)相同的距離，平移不改變線段、角的大小，具體來(lái)說(shuō)：（1）平移后，對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等；（2）平移后，對(duì)應(yīng)角相等；（3）平移后，各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或在同一條直線上）且相等；（4）平移后，新圖形與原圖形是一對(duì)全等圖形.要點(diǎn)詮釋：（1）“連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段”的線段的長(zhǎng)度實(shí)際上就是平移的距離．(2)要注意“連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段”與“對(duì)應(yīng)線段”的區(qū)別，前者是通過(guò)連接平移前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)得到的，而后者是原來(lái)的圖形與平移后的圖形上本身存在的.3.作圖：平移作圖是平移基本性質(zhì)的應(yīng)用，在具體作圖時(shí)，應(yīng)抓住作圖的“四步曲”——定、找、移、連．(1)定：確定平移的方向和距離；(2)找：找出表示圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；(3)移：過(guò)關(guān)鍵點(diǎn)作平行且相等的線段，得到關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；(4)連：按原圖形順次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)．【典型例題】類(lèi)型一、平行線的性質(zhì) 1.如圖，已知AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度數(shù).【答案與解析】解：作PM∥AB，交AC于點(diǎn)M，如圖：∵AB∥CD∴∠CAB+∠ACD=180°∵PA平分∠CAB，PC平分∠ACD∴∠1+∠4=90°∵AB∥PM∥CD∴∠1=∠2，∠3=∠4∴∠2+∠3=90°∴∠APC=90°【總結(jié)升華】平行線與角的關(guān)系非常密切，平行線的性質(zhì)都是以角的關(guān)系來(lái)體現(xiàn)，在求角度的過(guò)程中，如果能夠適時(shí)運(yùn)用平行線的性質(zhì)，將會(huì)使問(wèn)題的解決顯得簡(jiǎn)便快捷．舉一反三：【變式】如圖，已知AB⊥GH，CD⊥GH，直線CD，EF，GH相交于一點(diǎn)O，若∠1=42°，則∠2等于（）A．130° B．138° C．140° D．142°【答案】B解：如圖：∵AB⊥GH，CD⊥GH，∴∠GMB=∠GOD=90°，∴AB∥CD，∴∠BPF=∠1=42°，∴∠2=180°﹣∠BPF=180°﹣42°=138°，故選B．類(lèi)型二、兩平行線間的距離2.下面兩條平行線之間的三個(gè)圖形，圖的面積最大，圖的面積最?。?/p>

【思路點(diǎn)撥】?jī)蓚€(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形，每個(gè)三角形的面積是拼成的平行四邊形面積的一半；兩個(gè)完全一樣的梯形可以拼成一個(gè)平行四邊形，每個(gè)梯形的面積是拼成的平行四邊形面積的一半.因?yàn)楦呦嗤钥梢酝ㄟ^(guò)比較平行四邊形的底的長(zhǎng)短，得出平行四邊形面積的大小.【答案】圖3，圖2【解析】解：因?yàn)樗鼈兊母呦嗟龋切蔚牡资?，8÷2=4，梯形的上、下底之和除以2，（2+7）÷2=4.5；5＞4.5＞4；

所以，圖3平行四邊形的面積最大，圖2三角形的面積最小.

【總結(jié)升華】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出梯形、三角形、平行四邊形的高相等，求出三角形底的一半，梯形上、下底之和的一半，與平行四邊形的底進(jìn)行比較，由此得出正確答案.舉一反三：【變式】下圖是一個(gè)方形螺線．已知相鄰均為1厘米，則螺線總長(zhǎng)度是厘米.【答案】35類(lèi)型三、圖形的平移3.如圖所示，①、②兩圖中，哪個(gè)圖形中的一個(gè)三角形可以經(jīng)過(guò)另一個(gè)三角形平移得到?【答案與解析】解：圖①DE和AC平行，但不相等，DE和BC相等，但不平行，不符合平移的特征，無(wú)論怎樣平移其中一個(gè)三角形也得不到另一個(gè)三角形．圖②符合平移的特征，三角形PQR沿射線PM方向移動(dòng)PM長(zhǎng)即可得到三角形MNO．所以，圖②中一個(gè)三角形可以經(jīng)過(guò)另一個(gè)三角形平移得到．【總結(jié)升華】平移變換的實(shí)質(zhì)是圖形沿直線運(yùn)動(dòng)，它的形狀、大小都不發(fā)生變化，否則就不是平移變換．舉一反三：【變式】下面生活中的物體的運(yùn)動(dòng)情況可以看成平移的是(填寫(xiě)序號(hào))．（1）擺動(dòng)的鐘擺；（2）在筆直的公路上行駛的汽車(chē)；（3）隨風(fēng)擺動(dòng)的旗幟；（4）搖動(dòng)的大繩；（5）汽車(chē)玻璃上雨刷的運(yùn)動(dòng)；（6）從樓頂自由落下的球（球不旋轉(zhuǎn)）．【答案】（2）（6）．解：（1）擺動(dòng)的鐘擺，方向發(fā)生改變，不屬于平移；

（2）在筆直的公路上行駛的汽車(chē)沿直線運(yùn)動(dòng)，屬于平移；

（3）隨風(fēng)擺動(dòng)的旗幟，形狀發(fā)生改變，不屬于平移；

（4）搖動(dòng)的大繩，方向發(fā)生改變，不屬于平移；

（5）汽車(chē)玻璃上雨刷的運(yùn)動(dòng)，方向發(fā)生改變，不屬于平移；

（6）從樓頂自由落下的球沿直線運(yùn)動(dòng)，屬于平移．

∴可以看成平移的是（2）（6）．4.某景點(diǎn)擬在如圖的矩形荷塘上架設(shè)小橋，若荷塘中小橋的總長(zhǎng)為100米，則荷塘周長(zhǎng)為．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖形得出荷塘中小橋的總長(zhǎng)為矩形的長(zhǎng)與寬的和，進(jìn)而得出答案．【答案】200m．【解析】解：∵荷塘中小橋的總長(zhǎng)為100米，∴荷塘周長(zhǎng)為：2×100=200（m）故答案為：200m．【總結(jié)升華】此題主要考查了生活中的平移現(xiàn)象，得出荷塘中小橋的總長(zhǎng)為矩形的長(zhǎng)與寬的和是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖①，在寬為20m、長(zhǎng)為30m的矩形地面上修建兩條同樣寬度的道路，余下部分作為耕地．根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得耕地的面積為()A．600m2B．551m2C．550m2D．500m2【答案】B類(lèi)型四、平行的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用5.如圖所示，∠ABC的邊BC與∠DEF的邊DE交于點(diǎn)K，下面給出三個(gè)論斷：①∠B＝∠E；②AB∥DE；③BC∥EF．請(qǐng)你以其中的兩個(gè)論斷為條件，填入“已知”欄中，以一個(gè)論斷為結(jié)論，填人“試說(shuō)明”欄中，使之成為一個(gè)完整的正確命題，并將理由敘述出來(lái)．已知：如圖所示，∠ABC的邊BC與∠DEF的邊DE交于點(diǎn)K，________，________，試說(shuō)明________．【答案與解析】解：三個(gè)論斷分別可以組成①②③；①③②；②③①三種不同情形的命題，選擇其中任何一個(gè)即可．以①②③為例，說(shuō)明如下已知：如圖所示，∠ABC的邊BC與∠DEF的邊DE交于點(diǎn)K，∠B＝∠E，AB∥DE，試說(shuō)明BC∥EF．理由敘述：因?yàn)锳B∥DE，所以∠B＝∠CKD．又因?yàn)椤螧＝∠E，所以∠E＝∠CKD，所以BC∥EF．【總結(jié)升華】此類(lèi)問(wèn)題具有較強(qiáng)的靈活性，解決這類(lèi)題的基本思路是先寫(xiě)出可能的結(jié)果，再判斷其是否正確．舉一反三：【變式】已知，如圖，∠1=∠2，∠3=65°，則∠4＝.【答案】115°6.如圖，AB∥CD，點(diǎn)M，N分別為AB，CD上的點(diǎn).（1）若點(diǎn)P1在兩平行線內(nèi)部，∠BMP1＝45°，∠DNP1＝30°，則∠MP1N＝；（2）若P1，P2在兩平行線內(nèi)部，且P1P2不與AB平行，如圖，請(qǐng)你猜想∠AMP1+∠P1P2N與∠MP1P2+∠P2ND的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖，若P1，P2，P3在兩平行線內(nèi)部，順次連結(jié)M，P1，P2，P3，N，且P1P2，P2P3不與AB平行，直接寫(xiě)出你得到的結(jié)論.【答案與解析】解：（1）75°；（2）結(jié)論：∠AMP1+∠P1P2N＝∠MP1P2+∠P2ND證明：如圖，分別過(guò)P1，P2作P1Q1∥AB，P2Q2∥AB.又∵AB∥CD，∴∠AMP1＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠P2ND.∴∠AMP1+∠P1P2N＝∠AMP1+∠3+∠4＝∠1+∠2+∠P2ND＝∠MP1P2+∠P2ND.（3）∠BMP1+∠P1P2P3+∠P3ND＝∠MP1P2+∠P2P3N.【總結(jié)升華】通過(guò)作平行線，問(wèn)題便迅速得到解決.舉一反三：【變式】如圖所示，一條公路修到湖邊時(shí)，需拐彎繞湖而過(guò)，如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，這時(shí)的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則∠C是()A．120°B．130°C．140°D．150°【答案】D認(rèn)識(shí)三角形（基礎(chǔ)）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解三角形及與三角形有關(guān)的概念,掌握它們的文字、符號(hào)語(yǔ)言及圖形表述方法．2.理解并會(huì)應(yīng)用三角形三邊間的關(guān)系．3.理解三角形的高、中線、角平分線的概念，學(xué)會(huì)它們的畫(huà)法．4.對(duì)三角形的穩(wěn)定性有所認(rèn)識(shí)，知道這個(gè)性質(zhì)有廣泛的應(yīng)用．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、三角形的定義由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的基本元素：①三角形的邊：即組成三角形的線段．②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角．③三角形的頂點(diǎn)：即相鄰兩邊的公共端點(diǎn).（2）三角形的定義中的三個(gè)要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符號(hào)“△”表示，頂點(diǎn)為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨(dú)的△沒(méi)有意義；△ABC的三邊可以用大寫(xiě)字母AB、BC、AC來(lái)表示，也可以用小寫(xiě)字母a、b、c來(lái)表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示．要點(diǎn)二、三角形的三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.推論：三角形任意兩邊的之差小于第三邊.要點(diǎn)詮釋：（1）理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長(zhǎng)之和大于最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長(zhǎng)，可求第三邊長(zhǎng)的取值范圍．（3）證明線段之間的不等關(guān)系．要點(diǎn)三、三角形的分類(lèi)1.按角分類(lèi)：要點(diǎn)詮釋：①銳角三角形：三個(gè)內(nèi)角都是銳角的三角形．②鈍角三角形：有一個(gè)內(nèi)角為鈍角的三角形.2.按邊分類(lèi)：要點(diǎn)詮釋：①不等邊三角形：三邊都不相等的三角形．②等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角．③等邊三角形：三邊都相等的三角形.要點(diǎn)四、三角形的三條重要線段三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關(guān)系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語(yǔ)言從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段．三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段．圖形語(yǔ)言作圖語(yǔ)言過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點(diǎn)D．標(biāo)示圖形符號(hào)語(yǔ)言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點(diǎn)D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．2．AD是△ABC中BC邊上的中線．3．BD＝DC＝BC4．點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)．1．AD是△ABC的角平分線．2．AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理語(yǔ)言因?yàn)锳D是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因?yàn)锳D是△ABC的中線，所以BD＝DC＝BC．因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途舉例1．線段垂直．2．角度相等．1．線段相等．2．面積相等．角度相等．注意事項(xiàng)1．與邊的垂線不同．2．不一定在三角形內(nèi)．—與角的平分線不同．重要特征三角形的三條高(或它們的延長(zhǎng)線)交于一點(diǎn)．一個(gè)三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．一個(gè)三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．要點(diǎn)五、三角形的穩(wěn)定性

三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個(gè)內(nèi)角不會(huì)改變，大小固定指三條邊長(zhǎng)不改變．

（2）三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅(jiān)固而穩(wěn)定；在柵欄門(mén)上斜著釘一條(或兩條)木板，構(gòu)成一個(gè)三角形，就可以使柵欄門(mén)不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個(gè)道理．

（3）四邊形沒(méi)有穩(wěn)定性，也就是說(shuō)，四邊形的四條邊長(zhǎng)確定后，不能確定它的形狀，它的各個(gè)角的大小可以改變．四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動(dòng)掛架，伸縮尺．有時(shí)我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門(mén)框未安好之前，先在門(mén)框上斜著釘一根木板，使它不變形．【典型例題】類(lèi)型一、三角形的定義及表示 1．如圖，圖中共有三角形（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)【思路點(diǎn)撥】對(duì)比三角形的相關(guān)概念分析和思考．【答案】D．【解析】解：圖中三角形有：△ABC，△ABE，△ACD，△BCF，△BCD，△BCE，△BFD，△CFE，共8個(gè)三角形．【總結(jié)升華】本題考查了三角形，注意找的時(shí)候要有順序，也可從小到大找．舉一反三：【變式】如圖，以A為頂點(diǎn)的三角形有幾個(gè)？用符號(hào)表示這些三角形．【答案】3個(gè),分別是△EAB,△BAC,△CAD.類(lèi)型二、三角形的三邊關(guān)系2.三根木條的長(zhǎng)度如圖所示，能組成三角形的是()【思路點(diǎn)撥】三角形三邊關(guān)系的性質(zhì)，即三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．注意這里有“兩邊”指的是任意的兩邊，對(duì)于“兩邊之差”它可能是正數(shù)，也可能是負(fù)數(shù)，一般取“差”的絕對(duì)值．【答案】D【解析】要構(gòu)成一個(gè)三角形．必須滿足任意兩邊之和大于第三邊．在運(yùn)用時(shí)習(xí)慣于檢查較短的兩邊之和是否大于第三邊．A、B、C三個(gè)選項(xiàng)中，較短兩邊之和小于或等于第三邊．故不能組成三角形．D選項(xiàng)中，2cm+3cm＞4cm．故能夠組成三角形．【總結(jié)升華】判斷以三條線段為邊能否構(gòu)成三角形的簡(jiǎn)易方法是：①判斷出較長(zhǎng)的一邊；②看較短的兩邊之和是否大于較長(zhǎng)的一邊，大于則能夠成三角形，不大于則不能夠成三角形．舉一反三：【變式】判斷下列三條線段能否構(gòu)成三角形.(1)3，4，5；(2)3，5，9；(3)5，5，8.【答案】（1）能；（2）不能；（3）能.3.若三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和7,則第三邊長(zhǎng)c的取值范圍是_______.