采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

§8.6采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析8.6.1采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定條件在線性連續(xù)系統(tǒng)中，判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性是根據(jù)特征方程的根在s平面的位置。若系統(tǒng)特征方程的所有根都在s平面左半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定。對(duì)線性離散系統(tǒng)進(jìn)行了Z變換以后，對(duì)系統(tǒng)的分析要采用Z平面，因此需要弄清這兩個(gè)復(fù)平面的相互關(guān)系。s域到z域的映射復(fù)變量s和z的相互關(guān)系為

z=esT

，式中T為采樣周期則為s域中的任意點(diǎn)可表示為s=σ+jω，映射到z域z

=

e（σ+

jω）T

=

eσT

e

jωT于是，s域到z域的基本映射關(guān)系式為z

=

eσT，∠z

=

ωT若設(shè)復(fù)變量s在S平面上沿虛軸移動(dòng)，這時(shí)s＝j(luò)ω，對(duì)應(yīng)的復(fù)變量z=e

jωT。后者是Z平面上的一個(gè)向量，其模等于1，與頻率ω?zé)o關(guān)；其相角為ωT，隨頻率ω而改變?？梢?，S平面上的虛軸映射到Z平面上，為以原點(diǎn)為圓心的單位圓。當(dāng)s位于S平面虛軸的左邊時(shí)，σ為負(fù)數(shù)，z=eσT小于1。反之，當(dāng)s位于s平面虛軸的右半平面時(shí)，為正數(shù)，z=eσT

大于1。s平面的左、右半平面在z平面上的映像為單位圓的內(nèi)、外部區(qū)域。圖8-21：線性采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖線性采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件線性采樣系統(tǒng)如圖8-21所示。其特征方程為D（z）=1

+GH（z）=

0顯然，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根λ1、λ2、?λn即是閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。在z域中，離散系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件是：當(dāng)且僅當(dāng)離散特征方程的全部特征根均分布在z平面上的單位圓內(nèi)，或者所有特征根的模均小于1，相應(yīng)的線性定常系統(tǒng)是穩(wěn)定的。應(yīng)當(dāng)指出，如同分析連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性一樣，用解特征方程根的方法來判別高階采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性是很不方便的。因此，需要采用一些比較實(shí)用的判別系統(tǒng)穩(wěn)定的方法。其中比較常用的代數(shù)判據(jù)就是勞斯判據(jù)。8.6.2

勞斯穩(wěn)定判據(jù)對(duì)于線性連續(xù)系統(tǒng)，可以應(yīng)用勞斯判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但是，對(duì)于線性采樣系統(tǒng)，直接應(yīng)用勞斯判據(jù)是不行的，因?yàn)閯谒古袚?jù)只能判別特征方程的根是否在復(fù)變量s平面虛軸的左半部。因此，必須采用一種新的變換，使z平面上的單位圓，在新的坐標(biāo)系中的映象為虛軸。這種新的坐標(biāo)變換，稱為雙線性變換，又稱為W變換。根據(jù)復(fù)變函數(shù)雙線性變換公式，令w藝1z

=

w

+1z藝1w

=

z

+1或式中z和w均為復(fù)數(shù)，分別把它們表示成實(shí)部和虛部相加的形式，即z

=

x

+

jy

w

=u

+

jv2222

y(x藝1)+y2

藝j(x藝1)+yx2

+y2

藝1=x+jy藝1x

+

jy

+1w

=當(dāng)動(dòng)點(diǎn)z在Z平面的單位圓上和單位圓之內(nèi)時(shí)，應(yīng)滿足：x2

+

y2

≤1x2

+y2

藝1u

=

≤0(x藝1)2

+y2左半W平面對(duì)應(yīng)Z平面單位圓內(nèi)的部分，W平面的虛軸對(duì)應(yīng)Z平面的單位圓上，可見圖8-22。因此經(jīng)過雙線性變換后，可以使用勞斯判據(jù)了。圖8-22：Z平面和W平面的對(duì)應(yīng)關(guān)系離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，由特征方程1+GH（z）=0的所有根嚴(yán)格位于z平面上的單位圓內(nèi)，轉(zhuǎn)換為特征方程1+GH（w）=0的所有根嚴(yán)格位于左半

W平面。例8-16設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖8-23所示，其中采樣周期T=0.1(s)，試求系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)k的變化范圍。圖8-23：例8-16閉環(huán)系統(tǒng)圖s

(1

+

0.1s)

s

s

+1解：求出G(s)的z變換G(s)

=

k

=

k

藝

kkz

0.632kzz

藝1

z

藝0.368G(z)

=

kz

藝

=z2

藝1.368

z+0.368Φ(z)

=

G(z)1

+G(z)閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為故閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為1+G(z)=z2

+(0.632k藝1.368)z+0.368=0令z=w+1代入上式，得+(0.632k藝1.368)(w+1)+0.368=0w藝1w藝1(

w

+1)2w藝1化簡(jiǎn)后，得W域特征方程0.632kw2

+1.264w+(2.736藝0.632k)=0列出勞斯表w2w1w00.632k1.2642.736藝0.632k2.736藝0.632k00從勞斯表第一列系數(shù)可以看出，為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，必須使k>0，2.736-0.632k>0，即k<4.33。8.6.3

朱利穩(wěn)定判據(jù)朱利判據(jù)是直接在Z域內(nèi)應(yīng)用的穩(wěn)定判據(jù)，類似于連續(xù)系統(tǒng)中的赫爾維茨判據(jù)，朱利判據(jù)是根據(jù)離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程D(z)=1+GH(z)=0的系數(shù)，判別其根是否位于Z平面上的單位圓內(nèi)，從而判斷該離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程可寫為D(z)=a

nzn+?+a

2z2+a

1z+a

0=0 an

>0特征方程的系數(shù)，按照下述方法構(gòu)造(2n－3)行、(n+1)列朱利陣列，見表8-2：表8-2朱利陣列在朱利陣列中，第2k+2行各元，是2k+1行各元的反序排列。從第三行起，陣列中各元的定義如下：n

kka

aba

a=

0

n藝kkkb

bbn藝k藝1n藝1b0c

=kc

ccn藝k藝2n藝2

kc0d

=0p0

p3q

=p3

p01301p

p2p

pq

=232p1p pp0q

=k=0,1,?,n－1k=0,1,?,n－2k=0,1,?,n－3?????朱利穩(wěn)定判據(jù)

特征方程D(z)=0的根，全部位于z平面上單位圓內(nèi)的充分必要條件是D(1)>0，D(－1)>0，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)；

D(－1)<0，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)；以及下列(n－1)個(gè)約束條件成立|a

0|<

an，

|b0|>|bn－1|，

|c0|>|cn－2||d0|>|dn－3|，▲▲▲▲▲▲，

|q0|>|q2|只有當(dāng)上述諸條件均滿足時(shí)，離散系統(tǒng)才是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。例8-17：已知離散系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為D（z）=z4

藝1.368

z3

+0.4

z2

+0.08

z+0.002試用朱利判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解由于n=4,2n－3=5,故朱利陣列有5行5列。根據(jù)給定的D(z)知：a

0=0.002,

a

1=0.08,

a

2=0.4,

a

3=－1.368,

a

4=1計(jì)算朱利陣列中的元素bk和ck：4

00a

aa

0

a

4b=

=藝11401=

1.368b

=242=藝0.399a

aa

0

a

2b

=3403=藝0.082a

a

3a

aa

a1a

ab

=1201=藝1.401b

b2b

bc

=232=

0.511b0

b1c

=b

b030=

0.993b0

b3c

=b

b作出如下朱利陣列：因?yàn)镈(1)=0.114>0,D(－1)=2.69>0|a

0|=0.002,a

4=1,

滿足|a

0|<a

4|b0|=1,|b3|=0.082,滿足|b0|>|b3||c0|=0.993,|c2|=0.511,滿足|c0|>|c2|故由朱利