第02講 三角恒等變換（九大題型）（講義）-2024年高考數(shù)學復習講練測（新教材新高考）（解析版）

第第頁第02講三角恒等變換目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）會推導兩角差的余弦公式（2）會用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式（3）掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會簡單應用（4）能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進行簡單的恒等變換2023年II卷第7題，5分2023年I卷II卷第8題，5分2022年II卷第6題，5分2021年甲卷（文）第11題，5分三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學變換的結(jié)合點上，高考會側(cè)重綜合推理能力和運算能力的考查，體現(xiàn)三角恒等變換的工具性作用，以及會有一些它們在數(shù)學中的應用．這就需要同學熟練運用公式，進一步提高運用聯(lián)系轉(zhuǎn)化的觀點去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想、換元的思想、方程的思想等數(shù)學思想在三角恒等變換中的作用．知識點一．兩角和與差的正余弦與正切①；②；③；知識點二．二倍角公式①；②；③；知識點三：降次（冪）公式知識點四：半角公式知識點五．輔助角公式（其中）．【解題方法總結(jié)】1、兩角和與差正切公式變形；．2、降冪公式與升冪公式；．3、其他常用變式．4、拆分角問題：①；；②；③；④；⑤．注意：特殊的角也看成已知角，如．題型一：兩角和與差公式的證明例1．（浙江省紹興市2022-2023學年高一下學期6月期末數(shù)學試題）為了推導兩角和與差的三角函數(shù)公式，某同學設計了一種證明方法：在直角梯形ABCD中，，，點E為BC上一點，且，過點D作于點F，設，.

(1)利用圖中邊長關(guān)系，證明：；(2)若，求.【解析】（1）在中，，，，則，在中，，，，則，在中，，，則，依題意，四邊形是矩形，則，所以.（2）由及（1）知，，則，而為銳角，即有，，又是銳角，于是，所以.例2．（2023·遼寧·高一遼寧實驗中學校考期中）某數(shù)學學習小組研究得到了以下的三倍角公式：①；②根據(jù)以上研究結(jié)論，回答：(1)在①和②中任選一個進行證明：(2)求值：.【解析】（1）若選①，證明如下：.若選②，證明如下：.（2）由題，，因為，則，所以由公式②及正弦的二倍角公式得，又因為，所以，所以，整理得解得或，又，所以.例3．（2023·全國·高三專題練習）(1)試證明差角的余弦公式：；(2)利用公式推導：①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式；②倍角公式，，.【解析】(1)不妨令.如圖，設單位圓與軸的正半軸相交于點，以軸非負半軸為始邊作角，它們的終邊分別與單位圓相交于點，，.連接.若把扇形繞著點旋轉(zhuǎn)角，則點分別與點重合.根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性可知，與重合，從而，＝，∴.根據(jù)兩點間的距離公式，得：，化簡得：當時，上式仍然成立.∴，對于任意角有：.(2)①公式的推導：.公式的推導：正切公式的推導：②公式的推導：由①知，.公式的推導：由①知，.公式的推導：由①知，.變式1．（2023·全國·高三專題練習）如圖，考慮點，，，，從這個圖出發(fā).（1）推導公式：；（2）利用（1）的結(jié)果證明：，并計算的值.【解析】（1）因為，根據(jù)圖象，可得，即，即.即.（2）由（1）可得，①②由①+②可得：所以，所以.變式2．（2023·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期中）在推導很多三角恒等變換公式時，我們可以利用平面向量的有關(guān)知識來研究，在一定程度上可以簡化推理過程．如我們就可以利用平面向量來推導兩角差的余弦公式：．具體過程如下：如圖，在平面直角坐標系內(nèi)作單位圓，以為始邊作角，．它們的終邊與單位圓的交點分別為A，B．則，，由向量數(shù)量積的坐標表示，有．設，的夾角為，則，另一方面，由圖（1）可知，；由圖（2）可知，于是，．所以，也有；所以，對于任意角，有：．此公式給出了任意角，的正弦、余弦值與其差角的余弦值之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，簡記作．有了公式以后，我們只要知道，，，的值，就可以求得的值了．閱讀以上材料，利用圖（3）單位圓及相關(guān)數(shù)據(jù)（圖中M是AB的中點），采取類似方法（用其他方法解答正確同等給分）解決下列問題：(1)判斷是否正確？（回答“正確”，“不正確”，不需要證明）(2)證明：．【解析】（1）正確；因為對于非零向量，是方向上的單位向量，又且與共線，所以.（2）因為為的中點，則，從而在中，，又M是AB的中點，∴，又，，所以，化簡得，．【解題方法總結(jié)】推證兩角和與差公式就是要用這兩個單角的三角函數(shù)表示和差角的三角公式，通過余弦定理或向量數(shù)量積建立它們之間的關(guān)系，這就是證明的思路．題型二：兩角和與差的三角函數(shù)公式例4．（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學?？级＃┮阎?，則（

）A．－1 B． C． D．【答案】A【解析】由，得，即，則，得，則，所以．故選：A．例5．（2023·福建三明·高三統(tǒng)考期末）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，，即，故，故選：A例6．（2023·廣東廣州·高三華南師大附中?？茧A段練習），，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，則有，，.故選：B.變式3．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學?？寄M預測）設，則等于（

）A．-2 B．2 C．-4 D．4【答案】C【解析】因為，所以，故，故選：C．變式4．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學?？寄M預測）已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，因為，所以，所以.故選：C.【解題方法總結(jié)】兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導公式的推廣，可用α，β的三角函數(shù)表示的三角函數(shù)，在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，特別要注意角與角之間的關(guān)系，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的．題型三：兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用與變形例7．（2023·安徽安慶·安慶一中校考模擬預測）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，且，則，整理得，則，整理得，所以.故選：D.例8．（2023·上海靜安·高三?？计谥校┮阎⑹遣煌膬蓚€銳角，則下列各式中一定不成立的是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為、是不同的兩個銳角，即，所以，，對于A，因為，所以一定成立，故A錯誤；對于D，可能成立，故D錯誤；對于B，因為，所以恒成立，即一定不成立，故B正確；對于C，可能成立，故C錯誤.故選：B.例9．（2023·北京海淀·高三101中學?？茧A段練習）已知O為坐標原點，點．給出下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．①④ C．①③ D．③④【答案】C【解析】對于①：，，所以，，故，故①正確；對于②：，，，，因為關(guān)系不定，故不一定相等，故②不正確；對于③，，，，，，故③正確；對于④，，，因為未知，所以與不一定相等，故④不正確.故選：C變式5．（2023·全國·高三專題練習）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，兩式相加得，.故選：C.變式6．（2023·河南平頂山·高三校聯(lián)考階段練習）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，可得，即，化簡可得，即，所以，，即，，可得．故選：C．變式7．（2023·全國·高三專題練習）已知第二象限角滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，且為第二象限角，所以，于是.故選：D.【解題方法總結(jié)】運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟練、準確，而且要熟悉公式的逆用及變形．公式的逆用和變形應用更能開拓思路，增強從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力．題型四：角的變換問題例10．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】由，解得，所以.故選：A.例11．（2023·寧夏·高三六盤山高級中學校考期中）已知，則（

）A． B． C． D．3【答案】D【解析】因為，所以，解得=，則，故選：D.例12．（2023·江西·校聯(lián)考二模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，所以，即，所以，則，所以.故選：D變式8．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）若為銳角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由為銳角，且，所以，則.故選：D變式9．（2023·全國·高三專題練習）已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，所以；.故選：A.變式10．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考二模）已知，則（

）A． B． C．或 D．0或【答案】A【解析】因為，所以，因為，所以，因為，所以當時，，因為，所以，故滿足題意，當時，因為，故不合題意，舍去；故選：A變式11．（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）已知，為銳角，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，又，為銳角，所以，，且．因為，為銳角，，所以，又，所以，故．故選：D.變式12．（2023·山東日照·高三?？茧A段練習）已知，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為=-.，；，，所以，故．故選：D.變式13．（2023·吉林四平·高一四平市第一高級中學?？奸_學考試）已知則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵∴∴，∴，∴．故選：D【解題方法總結(jié)】常用的拆角、配角技巧：；；；；；等．題型五：給角求值例13．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）式子化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】原式.故選：B.例14．（2023·全國·高三專題練習）計算：（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以原式故選：C例15．（2023·陜西西安·西安中學?？寄M預測）若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得.故選：A.變式14．（2023·全國·高三專題練習）（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】．故選：A．變式15．（2023·全國·高三專題練習）求值：（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】原式，故選：D.【解題方法總結(jié)】（1）給角求值問題求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法．（2）給角求值問題的一般步驟①化簡條件式子或待求式子；②觀察條件與所求之間的聯(lián)系，從函數(shù)名稱及角入手；③將已知條件代入所求式子，化簡求值．題型六：給值求值例16．（2023·山東濟寧·嘉祥縣第一中學統(tǒng)考三模）已知，則________.【答案】/【解析】因為，則.故答案為：.例17．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知，則______．【答案】【解析】由題意可得，.故答案為：例18．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學?？寄M預測）若，則__________.【答案】/【解析】因為，所以，所以，即.所以，解得.所以.故答案為:.變式16．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）已知，則_______.【答案】【解析】因為，故可得，則故答案為：.變式17．（2023·全國·高三專題練習）已知，則_________【答案】【解析】因為，所以.故答案為：.變式18．（2023·全國·高三專題練習）已知，則________．【答案】【解析】由兩角差與和的余弦公式，等式右邊變?yōu)椋?，等式左邊將看作整體，按照兩角差的正弦公式展開，左邊得到：.于是根據(jù)左邊等于右邊得到：，即，顯然，否則，這與矛盾，于是等式兩邊同時除以，得到.故答案為：【解題方法總結(jié)】給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，解題的基本方法是：①將待求式用已知三角函數(shù)表示；②將已知條件轉(zhuǎn)化而推出結(jié)論，其中“湊角法”是解此類問題的常用技巧，解題時首先要分析已知條件和結(jié)論中各種角之間的相互關(guān)系，并根據(jù)這些關(guān)系來選擇公式．題型七：給值求角例19．（2023·四川·高三四川外國語大學附屬外國語學校?？计谥校懗鲆粋€使等式成立的的值為_______.【答案】（答案不唯一）【解析】因為所以所以解得：當時，所以使等式成立的的一個值為：故答案為：（答案不唯一）例20．（2023·北京·高三專題練習）若實數(shù)，滿足方程組，則的一個值是_______.【答案】（滿足或的值均可）【解析】實數(shù)，滿足方程組，則，由于，所以，則；所以，整理得，所以或，即得或.故可以取時，．故答案為：（滿足或的值均可）例21．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知，，且，，則的值是___________.【答案】【解析】因為，，且，，所以，，且，則，所以.故答案為：.變式19．（2023·上海嘉定·高三?？计谥校┤魹殇J角，，則角__________.【答案】【解析】由于為銳角，所以，所以，所以，所以.故答案為：變式20．（2023·全國·高三專題練習）已知，，則______．【答案】【解析】由題知，則，即，即，即，則或，．因為，所以，所以，解得．故答案為：變式21．（2023·全國·高三專題練習）已知，且，求的值為_____．【答案】/【解析】，則，注意到，于是，不妨記，于是，而，于是（負值舍去），又，則（正值舍去），于是計算可得：，而，于是.故答案為：.變式22．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，，則________．【答案】【解析】因為，，則，，，所以，，，所以，，因此，.故答案為：.【解題方法總結(jié)】給值求角：解此類問題的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函數(shù)值，再確定“所求角”的范圍，最后借助三角函數(shù)圖像、誘導公式求角．題型八：正切恒等式及求非特殊角例22．（2023·全國·高三對口高考）的值是__________.【答案】1【解析】因為，所以，故.故答案為：.例23．（2023·陜西商洛·高三陜西省山陽中學校聯(lián)考期中）已知，滿足，則______．【答案】【解析】∵，即，∴，即，∴．故答案為：.例24．（2023·江蘇南通·高三?？计谥校┰谥校?，則_________.【答案】【解析】因為，所以，，由題意可得，若，則，不妨設為銳角，則，則，不合乎題意，所以，，故，因此，.故答案為：.變式23．（2023·全國·高三專題練習）____________．【答案】【解析】．故答案為：.變式24．（2023·山東·高三濟寧市育才中學校考開學考試）若角的終邊經(jīng)過點，且，則實數(shù)___________.【答案】【解析】因為角的終邊經(jīng)過點，所以因為，，所以角是第一象限的角，所以，不妨取，則，所以，所以，所以，所以，故答案為：變式25．（2023·上海金山·高一華東師范大學第三附屬中學?？茧A段練習）若是的內(nèi)角，且，則等于______.【答案】【解析】由題意知，，即，∴，又，∴.變式26．（2023·全國·統(tǒng)考模擬預測）若，為銳角，且，則__________；__________【答案】【解析】利用兩角和差正切公式來構(gòu)造出，代入可求得結(jié)果；根據(jù)的規(guī)律可整理得到結(jié)果.

即故答案為：；變式27．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知，則，即，所以，即，又，，則，所以，，，則所以有即.故選：A.【解題方法總結(jié)】正切恒等式：當時，．證明：因為，，所以故．題型九：三角恒等變換的綜合應用例25．（2023·陜西咸陽·校考二模）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的對稱軸和對稱中心；(2)當，求函數(shù)的值域．【解析】（1）因為，令，解得；令，解得；所以函數(shù)的對稱軸為，對稱中心.（2）因為，則，當，即時，函數(shù)取到最大值；當，即時，函數(shù)取到最小值；所以函數(shù)的值域為.例26．（2023·上海松江·高三上海市松江二中?？茧A段練習）已知.(1)求在上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若，求的值.【解析】（1），由，解得，又，函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）知，又，，，.例27．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當時，求的最大值，并求當取得最大值時x的值．【解析】（1