湖南省長沙市高新區(qū)延風(fēng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析

湖南省長沙市高新區(qū)延風(fēng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，則當(dāng)時(shí)，的值為

A.-7

B.1

C.17

D.25參考答案：D略2.已知集合A＝{x|}，B＝{x|x≤2}，則A∩B＝()

A．(0,1)

B．(0,2]

C．(1,2)

D．(1,2]參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】交集及其運(yùn)算；其他不等式的解法．A1

【答案解析】D

解析：由A中的不等式變形得：log41＜log4x＜log44，解得：1＜x＜4，即A=（1，4），∵B=（﹣∞，2]，∴A∩B=（1，2]．故選D【思路點(diǎn)撥】求出集合A中其他不等式的解集，確定出A，找出A與B的公共部分即可求出交集．3.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若，，則（

）A．－32

B．12

C．16

D．32參考答案：D4.給出下列四個(gè)命題：（1）命題“若，則”的逆否命題為假命題；（2）命題．則，使；（3）“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的充要條件；（4）命題“，使”；命題“若，則”，那么為真命題．其中正確的個(gè)數(shù)是（）．

．

．

．

參考答案：B5..已知數(shù)列{an}滿足：+=(n+1)cos(n≥2,n∈N*),Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若+m=1010,·m>0,則的最小值為（）A.2

B.

C.2

D.2+參考答案：A6.已知函數(shù)的圖像如圖，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，

B.，

C.，

D.，參考答案：B7.命題“”的否定是(A)(B)(C)(D)參考答案：D略8.函數(shù)與(且)在同一直角坐標(biāo)系下的圖象可能是

參考答案：D略9.設(shè)x、y都是正數(shù)，則的最小值是

（

）

A．6 B．16

C．26

D．36參考答案：答案:B10.運(yùn)行如圖所示的程序，若結(jié)束時(shí)輸出的結(jié)果不小于3，則t的取值范圍為A． B．

C． D．參考答案：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，，則

．參考答案：12.圓C：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0的圓心到直線3x+4y+14=0的距離是

．參考答案：3【考點(diǎn)】圓的一般方程；點(diǎn)到直線的距離公式．【專題】計(jì)算題．【分析】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求出圓心到已知直線的距離．【解答】解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x+1）2+（y﹣1）2=4，可得圓心坐標(biāo)為（﹣1，1），則圓心到直線3x+4y+14=0的距離d==3．故答案為：3【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，以及點(diǎn)到直線的距離公式，解題思路為：根據(jù)題意找出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離公式來解決問題．13.對(duì)于大于或等于2的自然數(shù)n的二次方冪有如下分解方式：根據(jù)上述分解規(guī)律，對(duì)任意自然數(shù)n,當(dāng)時(shí)，有

；參考答案：觀察分解式的規(guī)律：由此可以得到對(duì)任意自然數(shù)n,當(dāng)時(shí)，有。14.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部為

.參考答案：略15.已知95個(gè)數(shù)a1，a2，a3，…，a95，每個(gè)都只能取+1或－1兩個(gè)值之一，那么它們的兩兩之積的和a1a2+a1a3+…+a94a95的最小正值是

．.參考答案：13解：設(shè)有m個(gè)+1，(95－m)個(gè)－1．則a1+a2+…+a95=m－(95－m)=2m－95∴2(a1a2+a1a3+…+a94a95)=(a1+a2+…+a95)2－(a12+a22+…+a952)=(2m－95)2－95>0．取2m－95=±11．得a1a2+a1a3+…+a94a95=13．為所求最小正值．16.已知函數(shù)f（x）=+alnx，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)x1，x2都有＞2恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：[1，+∞）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】方法一：由題意可知：當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞2恒成立，則a＞2x﹣2x2，在（0，+∞）上恒成立，即a＞g（x）max，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；方法二：構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）﹣2x，x＞0，求導(dǎo)，由題意可知f′（x）＞2，（0，+∞）上恒成立，則a＞h（x）max，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：方法一：對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)x1，x2都有＞2恒成立，則當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞2恒成立f′（x）=x+＞2，在（0，+∞）上恒成立，則a＞2x﹣x2，在（0，+∞）上恒成立，設(shè)g（x）=2x﹣x2，x＞0，函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1，則當(dāng)x=1時(shí)，取最大值，最大值為g（x）max=1，∴a＞1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍[1，+∞），故答案為：[1，+∞）．方法二：設(shè)g（x）=f（x）﹣2x，x＞0，求導(dǎo)g′（x）=f′（x）﹣2，由＞2，則g′（x）=f′（x）﹣2＞0，則f′（x）＞2，即f′（x）=x+≥2，在（0，+∞）上恒成立，則a≥2x﹣x2，在（0，+∞）上恒成立，設(shè)h（x）=2x﹣x2，x＞0，函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1，則當(dāng)x=1時(shí)，取最大值，最大值為h（x）max=1，∴a≥1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍[1，+∞），故答案為：[1，+∞）．17.已知函數(shù)，給出如命題：①是偶函數(shù)；②在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，恒成立；其中正確的命題序號(hào)是__________.參考答案：①④略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)離心率為的橢圓E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是E上一點(diǎn)，PF1⊥PF2，△PF1F2內(nèi)切圓的半徑為﹣1．（1）求E的方程；（2）矩形ABCD的兩頂點(diǎn)C、D在直線y=x+2，A、B在橢圓E上，若矩形ABCD的周長為，求直線AB的方程．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）由橢圓的離心率求得a=c，根據(jù)勾股定理及橢圓的定義，求得a﹣c=﹣1．b2=a2﹣c2=1，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及弦長公式求得丨AB丨，由兩平行之間的距離公式，由矩形的周長公式2（丨AB丨+d）=，代入即可求得m的值，求得直線AB的方程．【解答】解：（1）∵離心率為e==，則a=c，①由PF1⊥PF2，則丨PF1丨2+丨PF2丨2=丨F1F2丨2=4c2，由橢圓的定義可知；丨PF1丨+丨PF2丨=2a，則丨F1F2丨2=（丨PF1丨+丨PF2丨）2﹣2丨PF1丨?丨PF2丨，∴丨PF1丨?丨PF2丨=2a2﹣2c2，，△PF1F2的面積S，S=丨PF1丨?丨PF2丨=×R×（丨PF1丨+丨PF2丨+丨F1F2丨），則a﹣c=﹣1．②由①②解得：a=，c=1，b2=a2﹣c2=1，∴橢圓E的方程為．（2）由題意設(shè)直線l的方程：y=x+m，A（x1，y1）、B（x2，y2），則，整理得：3x2+4mx+2m2﹣2=0，由△=16m2﹣4×3（2m2﹣2）=﹣2m2+3＞0，解得﹣＜m＜，由韋達(dá)定理可知：x1+x2=﹣，x1x2=，則丨AB丨=?=?=，直線AB，CD之間的距離d==，由矩形ABCD的周長為，則2（丨AB丨+d）=，則2（+）=，解得：m=1，則直線AB的方程為y=x+1．19.某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù).（1）試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論。參考答案：20.(本小題滿分12分)如圖，在幾何體ABCDE中，DA平面EAB,EA⊥AB，CB∥DA，F(xiàn)為DA上的點(diǎn)，EA=DA=AB=2CB，M是EC的中點(diǎn)，N為BE的中點(diǎn)．(1)若AF=3FD，求證：FN∥平面MBD；(2)若EA=2，求三棱錐M—ABC的體積．參考答案：解:（I）證明：連接,因分別是，的中點(diǎn)，且,又,,又，即,，四邊形為平行四邊形，…3分又平面，平面所以平面.

……6分(Ⅱ)連接AN，MN，則,所以，又在中，,

……8分

，所以三棱錐的體積為.

……12分

21.已知函數(shù)在處的切線方程為.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若k為整數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求k的最大值（其中為的導(dǎo)函數(shù)）.參考答案：（1），由已知得，故，解得，又，得，解得，，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)區(qū)間遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）法一：由已知，及整理得，當(dāng)時(shí)恒成立，令，，當(dāng)時(shí)，，；由（1）知在上為增函數(shù)，又，，所以存在，使得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，故整數(shù)的最大值為.法二：由已知，及整理得，，令，，得，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，在上為減函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，，為增函數(shù)，時(shí)，，為減函數(shù)，∴，由已知，令，，在上為增函數(shù).又，，故整數(shù)的最大值為.22.（本小題滿分15分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PC垂直平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，，E為PB的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）求直線PD與平面AEC所成角的正弦值.

參考答案：（Ⅰ）證明:PC⊥平面ABCD，故PC⊥AC．

………………2分又AB＝2，CD＝1，AD⊥AB，所以AC＝BC＝．故AC2＋BC2＝AB2，即AC⊥BC．

………………4分所以AC⊥平面PBC，所以平面ACE⊥平面PBC．

…………6分（Ⅱ）解:PC⊥平面ABCD，故PC⊥CD．又PD＝2，所以PC＝．…………8分在平面ACE內(nèi)，過點(diǎn)P作PF垂直CE，垂足為F．由（Ⅰ）知平面ACE⊥平面PBC，所以PF垂直平面ACE．

…………10分由面積法得：即．又點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，．所以．

……12分又點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)P到平面ACE的距離與點(diǎn)B到平面ACE的距離相等．連結(jié)BD交AC于點(diǎn)G，則G