計算機組成原理

計算機組成原理

數(shù)值型數(shù)據(jù)：可用來表示數(shù)量的多少，可比較其大小，具有特定值的一類數(shù)據(jù)。

非數(shù)值型數(shù)據(jù)：主要指字符數(shù)據(jù)、邏輯數(shù)據(jù)等。在一些專用處理器上指令集可對多媒體信息進行處理，此時圖形、聲音和活動圖象數(shù)據(jù)看成非數(shù)值型數(shù)據(jù)。

信息：根據(jù)ISO定義，可以通俗認(rèn)為，信息是對人有用的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)可能影響到人們的行為和決策。

計算機信息處理，簡言之由計算機進行數(shù)據(jù)處理，處理主要目標(biāo)是獲取有用信息。即通過數(shù)據(jù)采集和輸入、有效地把數(shù)據(jù)組織到計算機中，由計算機系統(tǒng)對數(shù)據(jù)進行相應(yīng)的處理加工(如存儲、建庫、轉(zhuǎn)換、合并、分類、計算統(tǒng)計、匯總、傳送等操作)，最后提供有用的信息給用戶。媒體—承載信息的載體。根據(jù)ITU下屬CCITT的定義，與計算機信息處理有關(guān)的媒體有5種：第2頁,共119頁，2024年2月25日，星期天⑴感覺媒體⑵表示媒體⑶存儲媒體⑷表現(xiàn)媒體：⑸傳輸媒體：通信載體數(shù)字計算機內(nèi)部所處理的所有數(shù)字都是“數(shù)字化編碼”了的數(shù)據(jù)，即都是一種表示媒體信息。第3頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

“數(shù)字化編碼”過程：指對感覺媒體信息進行定時采樣，將現(xiàn)實世界中的連續(xù)信息轉(zhuǎn)換成計算機中的離散的“樣本”信息。然后對這些離散的“樣本”信息用“0”或“1”這兩個基本符號進行數(shù)字化編碼，即對樣本值進行二進制編碼。

編碼：就是用少量簡單的基本符號，對大量復(fù)雜多樣的信息進行一定規(guī)律的組合。

基本符號和組合規(guī)則是一切信息編碼的兩大要素。

計算機內(nèi)部采用二進制表示的原因有以下三個原因：⑴二進制只有兩種基本狀態(tài)，與兩個穩(wěn)定狀態(tài)的物理器件的狀況相符，易實現(xiàn)。⑵二進制的編碼、計數(shù)和運算規(guī)則簡單易行。⑶“0”和“1”兩個符號正好與邏輯命題的兩個邏輯值“假”和“真”相對應(yīng)，為計算機應(yīng)用于邏輯判斷提供了方便。

計算機內(nèi)部處理的對象分為兩大類：數(shù)值型數(shù)據(jù)和非數(shù)值型數(shù)據(jù)。數(shù)值數(shù)據(jù)的編碼表示

輸入到計算機內(nèi)部的數(shù)據(jù)若有確定的值，即在數(shù)軸上能找到其對應(yīng)的點，則稱為數(shù)值數(shù)據(jù)。第4頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

計算機內(nèi)部的數(shù)值數(shù)據(jù)的表示方法有兩大類：直接用二進制數(shù)表示或采用二進制編碼的十進制(BCD碼—BinaryCodedDecimalNumber)表示。2.1進位計數(shù)制與數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換

進位計數(shù)制—用少量的符號(也稱數(shù)碼)，按先后次序把它們排列成序列，由低到高進行計數(shù)，計滿進位。

基數(shù)—計數(shù)制中所用到的數(shù)字符號個數(shù)。

位權(quán)(權(quán)數(shù))—以基數(shù)為底的指數(shù)，指數(shù)的冪是數(shù)位的序號。一般而言，在任一個進位計數(shù)制中，若具有0，1，…，R-1共R個數(shù)字字符，則稱該數(shù)字系統(tǒng)為R進制數(shù)字系統(tǒng)，其基數(shù)為R，采用的是“逢R進一”的運算規(guī)則，第i位上的位權(quán)為Ri。其位權(quán)展開式如下：=xn-1

Rn-1+

xn-2

Rn-2+

…+

x1

R1+

x0

R0+x-1

R-1+

x-2

R-2+

…

+

x-m

R-m（2-1）第5頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

一般地，一個十進制數(shù)D=dn-1dn-2…d1d0.d-1d-2…

d-m

其對應(yīng)值為：

V(D)10=dn-210n-2

+dn-110n-1+…+

d1101+d0100+d-110-1+d-210-2+

…

+

d-m

10-m

其中di(i=n-1，…，1，0，-1，-2，…，-m)可是0~9十個數(shù)字符號中任何一個，故基數(shù)為“10”。10i為第i位上的位權(quán)。在十進制數(shù)進行運算時，每位計滿十之后要向高位進一。

例：十進制數(shù)2059.65代表的實際值用位權(quán)展開為V(2059.65)10=2103+0102+5101+9100+610-1+510-2

同理，二進制數(shù)的基數(shù)是2，只有兩個數(shù)字符號“0”和“1”，采用“逢二進一”的規(guī)則。

例：二進制數(shù)(100101.01)2的實際值(100101.01)2=125+024+023+122+021+

020+02-1+12-2

一般地，一個二進制數(shù)B=bn-1

bn-2…b1b0.b-1b-2…

b-m第6頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

其對應(yīng)值為：

V(B)2=bn-1

2n-1+bn-2

2n-2+…+b121+b020+b-12-1+b-22-2+…+b-m

2-m

其中bi(i=n-1，n-2，…，1，0，-1，-2，…，-m)可是0或1兩個數(shù)字之一。

例2.1計算機系統(tǒng)中常用的進位計數(shù)制有：

二進制數(shù)：基數(shù)為2，各位數(shù)字的取值范圍是0～l，計數(shù)規(guī)則是“逢二進一”，后綴為B。如(10100011.1101)2=10100011.1101B。

八進制數(shù)：基數(shù)為8，各位數(shù)字的取值范圍是0～7，計數(shù)規(guī)則是“逢八進一”，后綴為O或Q。如(137.67)8=137.67Q。

十進制數(shù)：基數(shù)為10，各位數(shù)字的取值范圍是O～9，計數(shù)規(guī)則是“逢十進一”，后綴為D或不用后綴。如(2357.89)10=2357.89或(2357.89)10=2357.89D。

十六進制數(shù)：基數(shù)為16，基本符號0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F(xiàn)。計數(shù)規(guī)則是“逢十六進一”，后綴為H，如(A9BF.36E)16=A9BF.36EH。第7頁,共119頁，2024年2月25日，星期天四種進位計數(shù)制之間的關(guān)系見下表。F15171111E14161110D13151101C12141100B11131011A10121010991110018810100077701116660110555010144401003330011222001011100010000000十六進制十進制八進制二進制四種進位計數(shù)制之間對應(yīng)關(guān)系表第8頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

在進行不同進制數(shù)的轉(zhuǎn)換時，應(yīng)注意以下幾個方面的問題：

1)不同進制數(shù)的基數(shù)不同，所使用的數(shù)字的取值范圍也不同。

2)將任意進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)的方法是“按權(quán)相加”，即利用按權(quán)展開多項式將系數(shù)xi與位權(quán)值相乘后，將乘積逐項求和。

例(100101.01)2=(125+024+023+122+021+120+02-1+12-2)10=(37.25)10

例(307.4)8=(382+081+780+48-1)10=(199.5)10

例(4A.2)16=(416+10160+416-1)10=(74.125)10

3)將十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為任意進制數(shù)時，整數(shù)部分與小數(shù)部分需分別進行轉(zhuǎn)換。整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換方法是“除以基取余”，小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換方法是“乘以基取整”。第9頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

(1)利用除以基取余法將十進制整數(shù)轉(zhuǎn)換為R進制整數(shù)的規(guī)則：①把被轉(zhuǎn)換的十進制整數(shù)除以基數(shù)R，所得余數(shù)即為R進制整數(shù)的最低位數(shù)字。②將前次計算所得到的商再除以基數(shù)R，所得余數(shù)即為R進制整數(shù)的相應(yīng)位數(shù)字。③重復(fù)步驟②，直到商為0為止。

(2)利用乘以基取整法將十進制小數(shù)轉(zhuǎn)換為R進制小數(shù)的規(guī)則：①把被轉(zhuǎn)換的十進制小數(shù)乘以基數(shù)R，所得乘積的整數(shù)部分即為R進制小數(shù)的最高位數(shù)字。②將前次計算所得到的乘積的小數(shù)部分再乘以基數(shù)R，所得新的乘積的整數(shù)部分即為R進制小數(shù)的相應(yīng)位數(shù)字。③重復(fù)步驟②，直到乘積的小數(shù)部分為0或求得所要求的位數(shù)為止。

4)因為23=8，24=16，所以二進制數(shù)與八進制數(shù)、十六進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換可以利用它們之間的對應(yīng)關(guān)系直接進行轉(zhuǎn)換。第10頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

(1)將二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進制數(shù)的方法：①將二進制數(shù)的整數(shù)部分從最低有效位開始，每三位二進制數(shù)對應(yīng)一位八進制數(shù)，不足三位，高位補0。②將二進制數(shù)的小數(shù)部分從最高有效位開始，每三位二進制數(shù)對應(yīng)一位八進制數(shù)，不足三位，低位補0。

(2)將二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進制數(shù)的方法：①將二進制數(shù)的整數(shù)部分從最低有效位開始，每四位二進制數(shù)對應(yīng)一位十六進制數(shù)，不足四位，高位補0。②將二進制數(shù)的小數(shù)部分從最高有效位開始，每四位二進制數(shù)對應(yīng)一位十六進制數(shù)，不足四位，低位補0。

例2.2將二進制數(shù)110011.101轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)。

解：利用按權(quán)展開多項式，采用“按權(quán)相加”的方法進行轉(zhuǎn)換。

(110011.101)2=25+24+21+20+2-1+2-3

=32+16+2+1+0.5+0.125=(51.625)10

第11頁,共119頁，2024年2月25日，星期天8104……………0

例2.3將(10101.0110101)2轉(zhuǎn)換為八進制數(shù)和十六進制數(shù)。

解：①根據(jù)二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進制數(shù)的方法可得

(10101.0110101)2=(010101.011010100)2=(25.324)8

②根據(jù)二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進制數(shù)的方法可得

(10101.0110101)2=(00010101.01101010)2=(15.6A)8

例2.4①將十進制數(shù)834轉(zhuǎn)換成八進制數(shù)余數(shù)低位8834……………281……………1813……………50高位

所以(834)10=(1502)8

②將十進制數(shù)834轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)第12頁,共119頁，2024年2月25日，星期天0高位2834

………………02417

………………12208

………………02104

………………0252………………0226………………0213………………026………………023………………121………………1

所以，所以(835)10=(1101000010)2余數(shù)低位第13頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

1

………1.50

2

0

………0.75

2

1………

1.375

2

例①將(0.6875)10轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)。高位整數(shù)位0.6875

2

1

………1.0

低位故(0.6875)10=(0.1011)2第14頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

②將(0.6875)10轉(zhuǎn)換為八進制數(shù)。

高位

整數(shù)位

低位

故(0.6875)10=(0.54)8

注意：由于計算機的位數(shù)限制，或者被轉(zhuǎn)換的十進制實數(shù)不一定表達成

2-i的形式，其轉(zhuǎn)換的結(jié)果，一般為近似值。

例:將(0.15)10轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)，設(shè)計算機系統(tǒng)為8位二進制，則小數(shù)為7位，轉(zhuǎn)換過程如下：0.6875

8

5………5.5

8

4………4.0

第15頁,共119頁，2024年2月25日，星期天0.15

2

0…………0.30

20…………0.60

2

0…………0.40

2

高位整數(shù)位

1…………1.20

2

0…………0.80

2

1…………1.20

1…………1.60

2

低位故(0.15)10≈(0.0010011)2第16頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2.2帶符號數(shù)的表示2.2.1機器數(shù)與真值采用二進制表示形式的連同數(shù)符一起代碼化了的數(shù)據(jù)，在計算機中統(tǒng)稱為機器數(shù)或機器碼。

真值-用正、負(fù)符號加絕對值來表示的實際數(shù)值。

機器數(shù)可分為無符號數(shù)和帶符號數(shù)兩種。

無符號數(shù)-是指計算機字長的所有二進制位均表示數(shù)值。

帶符號數(shù)-是指機器數(shù)分為符號和數(shù)值部分，且均用二進制代碼表示。

例2．5設(shè)某機器的字長為8位，無符號整數(shù)在機器中的表示形式為：

70數(shù)據(jù)帶符號整數(shù)在機器中的表示形式為：70S數(shù)據(jù)第17頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

分別寫出機器數(shù)10011001作為無符號整數(shù)和帶符號整數(shù)對應(yīng)的真值。

解：10011001作為無符號整數(shù)時，對應(yīng)的真值是(10011001)2=(153)10

10011001作為有符號整數(shù)時，其最高位的數(shù)碼1代表符號“-”，所以與機器數(shù)10011001對應(yīng)的真值是(-0011001)2=(-25)10

綜上所述，可得機器數(shù)的特點為：

(1)數(shù)的符號采用二進制代碼化，0代表“+”，1代表“-”。通常將符號的代碼放在數(shù)據(jù)的最高位。

(2)小數(shù)點本身是隱含的，不占用存儲空間。

(3)每個機器數(shù)數(shù)據(jù)所占的二進制位數(shù)受機器硬件規(guī)模的限制，與機器字長有關(guān)。超過機器字長的數(shù)值要舍去。第18頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

例如，如果要將數(shù)x=+0.101100111在字長為8位的機器中表示為一個單字長的數(shù)，則只能表示為01011001，最低位的兩個1無法在機器中表示。因為機器數(shù)的長度是由機器硬件規(guī)模規(guī)定的，所以機器數(shù)表示的數(shù)值是不連續(xù)的。

例如8位二進制無符號數(shù)可以表示256個整數(shù)：00000000～11111111可表示0～127；

8位二進制帶符號數(shù)中：

00000000～01111111可表示正整數(shù)0～127，

11111111～10000000可表示負(fù)數(shù)-127～0，共256個數(shù)，其中00000000表示+0，10000000表示-0。

2.2.2原碼表示

編碼系統(tǒng)

確定一個數(shù)值數(shù)據(jù)的三要素是：進位計數(shù)制、定點/浮點表示和編碼表示。它們分別用來解決數(shù)值數(shù)據(jù)的基本符號、小數(shù)點位置和數(shù)的正負(fù)號。第19頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

設(shè)n+1位機器數(shù)X的數(shù)字化編碼后的機器數(shù)X表示為：xnxn-1…x1x0。其中xi為0或1。

機器數(shù)X的第一位xn為數(shù)的符號，它的取值與真值XT有關(guān)。大多數(shù)情況下，取值0表示該數(shù)為正，取值1表示該數(shù)為負(fù)。機器數(shù)X中除了xn之外的后n位：xn-1…x1x0是數(shù)值部分，各位取值與編碼有關(guān)，各位取值規(guī)定如下：

⑴當(dāng)XT＞0時，xi=xi

(X為定點整數(shù))，或xi=xi-n

(X為定點小數(shù))

⑵當(dāng)XT≤0時，數(shù)值部分各位取值依賴于相應(yīng)的編碼方式，常用的編碼方式有原碼、補碼和反碼三種。

⒈原碼表示法

原碼表示法也稱“數(shù)值-符號”表示法。符號用“0”表示“+”，“1”表示“-”。

⑴設(shè)有定點小數(shù)

0.x1x2

…

xn

，其原碼用n+1位字長表示形式為xs.x1x2

…

xn，其中xs為符號位。那么，原碼的定義如下：第20頁,共119頁，2024年2月25日，星期天⑵設(shè)有定點整數(shù)

xnxn-1

…

x0

，其原碼用n+1位字長表示形式為xs，xn-1xn-2

…

x0，其中xs為符號位。那么，原碼的定義如下：

例2.6已知x，求x的原碼[x]原。①x=+0.1010110②x=-0.1010110③x=+1010110④x=+1010110

解：根據(jù)原碼的定義，可得①[x]原=x=0.1010110②[x]原=1-x=1+|x|=1+0.1010110=1.1010110③[x]原=x=01010110

④[x]原=2n-x=2n+|x|=10000000+01010110=11010110第21頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

由例2.6的結(jié)果可知：

(1)[x]原的表示形式x0.x1x2

…

xn為符號位加上x的絕對值。

當(dāng)x≥0時，符號位x0=0；當(dāng)x≤0時，符號位x0=1。

(2)當(dāng)x為純小數(shù)時，[X]原中的小數(shù)點默認(rèn)在符號位x0和數(shù)值最高位x1之間；

當(dāng)x≥0時，[x]原=x；

當(dāng)x≤0時，

[x]原=l+|x|，即符號位加上x的小數(shù)部分的絕對值。

當(dāng)x為純整數(shù)時，[x]原中的小數(shù)點默認(rèn)在數(shù)值最低位xn之后；當(dāng)x≥0時，[x]原=x；

當(dāng)x≤0時，[x]原=2n-x=2n+|x|，其中2n是符號位的權(quán)值，2n+|x|相當(dāng)于使符號為l。

(3)將[x]原的符號取反，即可得到[-x]原。

2．原碼中0的表示

純小數(shù)+0和-0的原碼表示：

[+0]原=0.00…0[-0]原=1.00…0第22頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

純整數(shù)+0和-0的原碼表示：

[+0]原=000…0[-0]原=100…0

3．原碼的左移和右移對于二進制純小數(shù)x=0.x1x2

…

xn

求2x時，只需將0.x1x2

…

xn依次左移一位，最低位的空位填0即可，即2x=x1.x2

…

xn0。當(dāng)然，為了保證x左移后仍然是純小數(shù)，0.x1x2

…

xn中的x1應(yīng)為0，否則2x就會大于1，而不是純小數(shù)了。只需將x1x2…xn依次右移一位，移出的最高位的空位填0即可

原碼的移位規(guī)則是：符號位不變，數(shù)值部分左移或右移，移出的空位填0。

例2.7已知[x]原，求[2x]原、[x/2]原。

第23頁,共119頁，2024年2月25日，星期天①[x]原=0.0101001②[x]原=10011010

解：①[2x]原=0.1010010

左移后，符號位保持不變，最高位移出，最低位填0。

[x/2]原=1.0010100右移后，符號位保持不變，最高位填0，末尾的1移出。②[2x]原=10110100[x/2]原=10001101

在原碼的左移過程中，注意不要將高位的有效數(shù)值位移出，否則將會出錯(稱為上溢)。

4．原碼的特點

(1)原碼表示直觀、易懂，與真值的轉(zhuǎn)換容易。

(2)原碼表示中0有兩種不同的表示形式，給使用帶來了不便。

(3)原碼表示法的缺點：原碼表示的加減運算復(fù)雜。

第24頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2.2.3補碼表示補碼表示法也稱“符號-2”表示法。也就是補碼表示的機器數(shù)由符號后跟上真值的模2補碼構(gòu)成。

⒈模運算①剩下的低n位不能正確反映運算結(jié)果，也即舍棄的高位是運算的一部分，意味著計算結(jié)果超出了計算機所能表示的范圍，我們稱之為“溢出”。②剩下的n位數(shù)能正確表示運算結(jié)果，也即舍棄的高位是并不影響運算結(jié)果。

對于一個多于n位的數(shù)丟棄高位而保留低n位數(shù)的過程，實際上是等價于將這個多于n位的數(shù)去除以2，然后丟去商保留余數(shù)，這種操作運算就是模運算。

在模運算中，若A，B，M滿足下列關(guān)系：A=B+K

M(K為整數(shù))

則記為A≡B(modM)

上式表示A和B分別除以M后所得余數(shù)相同。稱B和A關(guān)于模M同余。也就是說，一個數(shù)與除以一個模M后所得的余數(shù)是等價的。第25頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

例：時鐘系統(tǒng)的模數(shù)是12。設(shè)現(xiàn)在時間是6點，而表停在10點上，則有兩種校正方法：①10-4=6②10+8=18=10+(12-4)≡6

(mod12)

所以在模12系統(tǒng)中：10-4≡10+8

(mod12)，即

-4≡8

(mod12)

稱8是-4對模12的補碼。同理稱9是-3對模12的補碼?！?/p>

由上例可得如下結(jié)論：對于一個確定的模，某數(shù)減去小于模的一個數(shù)，總可以用該數(shù)加上模與減數(shù)的絕對值之差來代替，即用該數(shù)加上另一數(shù)對于模的補碼來代替。對于任意x，在模M的條件下的補數(shù)[x]補，可由式(2-4)給出：

[x]補=m+x(modM)(2-4)

例時鐘系統(tǒng)

10-4≡10+(12-4)≡10+8≡6

(mod12)

第26頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

例4位十進制計數(shù)器

9828-1928≡9828+(104-1928)≡9828+8072

≡7900

(mod104)

根據(jù)式(2-4)可知：

(1)當(dāng)x≥0時，m+x大于M，把M丟掉，得[x]補=x，即正數(shù)的補數(shù)等于其本身。

(2)當(dāng)x＜0時，[x]補＝m+x＝M-|x|，即負(fù)數(shù)的補數(shù)等于模與該數(shù)絕對值之差。

例2.8求模M=2時，二進制數(shù)x的補數(shù)。

①x＝+0.10110101②x＝-0.10110101

解：

①因為x≥0，把模2丟掉，所以[x]補=2+x=0.10110101(mod2)②因為x＜0，所以[x]補=2+x=2-|x|=10.00000000-0.10110101=1.01001011(mod2)

2．補碼的定義

設(shè)補碼的位數(shù)為n+1位(其中符號占1位)，數(shù)值部分為n位。則補碼定義如下：第27頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

①設(shè)有定點小數(shù)

0.x1x2

…

xn

，其補碼用n+1位字長表示形式為xs.x1x2

…

xn

，其中xs為符號位。那么，其補碼的定義如下：

②設(shè)有定點整數(shù)

xnxn-1

…

x0

，其原碼用n+1位字長表示形式為xs，xn-1xn-2

…

x0，其中xs為符號位。那么，補碼的定義如下：

例2.9已知x，求x的補碼[x]補

①x=+0.1010110②x=-0.1010110③x=+1010110④x=-1010110

解：根據(jù)補碼的定義，可得

①[x]補=x=0.1010110②[x]補=2+x=10.0000000+(-0.1010110

)=1.0101010

③[x]補=x=01010110④[x]補=27+x=10000000+(-1010110

)=1010101049第28頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

3．特殊數(shù)的補碼表示

(1)真值0的補碼表示

根據(jù)補碼的定義可知，真值0的補碼表示是惟一的，即：

[+0]補=[-0]補=2±0.00….0=0.00…0(純小數(shù))[+0]補=[-0]補=2n+1±000…0=000…0(純整數(shù))(2)-1和-2n的補碼表示在純小數(shù)補碼表示中，[-1]補=2+(-1.00….0)=1.00…0在純整數(shù)補碼表示中，[-2n]補=100….0

+(-100….0)=100…0

n+1個0n個0n個0

4．補碼的簡便求法給定一個二進制數(shù)x，如果需要求其補碼，可以直接根據(jù)定義求得。但當(dāng)x＜0時，根據(jù)定義需要做減法運算，不太方便，因此可采用以下簡便方法：

(1)若x≥0，則[x]補=x，并使符號位為0。

(2)若x＜0，符號固定為1，數(shù)值部分的各位取反，末位加1。即得[x]補第29頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

例2.10證明補碼的簡便求法。

證：設(shè)x為純小數(shù)，根據(jù)式(2-5)的定義，有當(dāng)x=+0.x1x2

…

xn

時，[x]補=0.x1x2

…

xn

，這時符號位x0=0，表示x≥0；當(dāng)=-0.x1x2

…

xn時，[x]補=2+x=2-0.x1x2

…

xn=1.11…1+0.00…1-0.x1x2

…

xn=1.11…1-0.x1x2

…

xn+0.00…1所以當(dāng)x＜0時，將x的各位取反，再在最低位上加1，即可求得x的補碼[x]補。

還有一種簡單的方法求負(fù)數(shù)x的補碼：

x＜0，符號位固定為1，從右往左查其原碼，遇到第1個時，其右各位0和該位1照寫，該位1之左各位取反即可。

例2.11用簡便方法求出例2.9中x的補碼。

①x=+0.1010110，∵x≥0，∴[x]補=0.1010110②x=-0.1010110，∵x＜0，∴[x]補=1.0101010

③x=+1010110，∵x≥0，∴[x]補=01010110④x=-1010110，∵x＜0，∴[x]補=10101010

第30頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

例已知[x]補=10100110，求x。

解：∵

x0=1，表明x＜0，可用下面兩種方法求x真值。

①將x的各位取反，再在最低位上加1，即可求得

[x]補的真值xx=-(1011001+1)=-1011010

②符號位為1，則真值符號取“-”，數(shù)值位從右往左遇到第1個時，其右各位0和該位1照寫，該位1之左各位取反即可。x=-1011010表2-1n=3位時所有整數(shù)的補碼真值補碼真值補碼+111(+7)0111-001(-1)1111+110(+6)0110-010(-2)1110+101(+5)0101-011(-3)1101+100(+4)0100-100(-4)1100+011(+3)0011-101(-5)1011+010(+2)0010-110(-6)1010+001(+1)0001-111(-7)1001+000(+0)0000-1000(-8)1000第31頁,共119頁，2024年2月25日，星期天圖2-1補碼的幾何性質(zhì)

補碼的幾何性質(zhì)說明了以下兩點：

(1)正數(shù)的補碼表示就是其本身，負(fù)數(shù)的補碼表示的實質(zhì)是把負(fù)數(shù)映像到正值區(qū)域，因此加上一個負(fù)數(shù)或減去一個正數(shù)可以用加上另一個數(shù)(負(fù)數(shù)或減數(shù)對應(yīng)的補碼)來代替。(2)從補碼表示的符號看，補碼中符號位的值代表了數(shù)的正確符號，0表示正數(shù)，1表示負(fù)數(shù)；而從映像值來看，符號位的值是映像值的一個數(shù)位，因此在補碼運算中，符號位可以與數(shù)值位一起參加運算。第32頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

6．補碼的幾個關(guān)系⑴補碼與原碼的轉(zhuǎn)換關(guān)系①若x≥0，則[x]原=[x]補。②若x＜0，則將[x]原除符號位以外的各位取反后(即符號位不變)，再在最低位上加1，即可得到[x]補；反之，將[x]補除符號位以外的各位取反后，再在最低位上加1，即可得到[x]原。

例2.12將下列x的原碼表示轉(zhuǎn)換為補碼表示。①[x]原=0.1010110②[x]原=1.1010110③[x]原=01010110④[x]原=11010110

解：根據(jù)原碼與補碼的轉(zhuǎn)換原則，得

①[x]原=0.1010110，∵x≥0∴[x]補=0.1010110

②[x]原=1.1010110，∵x＜0∴[x]補=1.0101010③[x]原=01010110，∵x≥0∴[x]補=01010110④[x]原=11010110

，∵x＜0∴[x]補=10101010

例2.13將下列x的補碼表示轉(zhuǎn)換為原碼表示，并求出對應(yīng)的真值。①[x]補=1.10110②[x]補=1.11101第33頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

解：①∵[x]補=1.10110∴[x]原=1.01010，x=-0.01010②∵[x]補=1.11101∴[x]原=1.00011，x=-0.00011⑵補碼與機器負(fù)數(shù)的關(guān)系

由[x]補求[-x]補規(guī)則是：連符號位一起取反，末位加1。證明如下：設(shè)[x]補=1.0100110，求[-x]補

[x]原=1.1011010

x

=-0.1011010

則-x

=+0.1011010

所以[-x]補=0.1011010

例2.14已知[x]補，求[-x]補。①[x]補=01001101②[x]補=10110010。解：根據(jù)對[X]補求補的規(guī)則，得①∵[x]補=01001101,∴[-x]補=10110011②∵[x]補=10110010,∴[-x]補=01001110第34頁,共119頁，2024年2月25日，星期天⑶補碼的左移和右移例：由[x]補求[x/2]補。設(shè)[x]補=x0.x1x2

…

xn

當(dāng)x0=0時，即x值為正，[x]補=0.x1x2

…

xn=

即x=1.x1x2

…

xn-2=-1+0.x1x2

…

xn=-1+

故x=-x0+

而

當(dāng)x0=1時，即x值為負(fù)，[x]補=1.x1x2

…

xn=2+x

寫成補碼形式，即得：

[x/2]補=x0.x0x1x2

…

xn第35頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

由此可見，[x/2]補是[x]補連同符號一起右移1位，依此類推求[2-ix]補，則[x]補連同符號一起右移i位即可。

根據(jù)二進制數(shù)的移位規(guī)則和補碼的定義，可知補碼的移位規(guī)則：

①補碼的左移：符號位不變，數(shù)值部分左移，最低位移出的空位填0。

②補碼的右移：符號位不變，數(shù)值部分右移，最高位移出的空位填補與符號位相同的代碼。

例2.15已知[x]補，求[2x]補，[x/2]補

①[x]補=0.0101001

②[x]補=11011010

解：①∵[x]補=0.0101001，∴[2x]補=0.1010010

左移后，符號位保持不變，數(shù)值最高位移出，最低位填0。

[x/2]補=0.0010100

右移后，符號位保持不變，數(shù)值最高位填與符號位相同的0，末尾的1移出。第36頁,共119頁，2024年2月25日，星期天②∵[x]補=1

1011010，

∴[2x]補=10110100

左移后，符號位保持不變，數(shù)值最高位移出，最低位填0。

[x/2]補=11101101

右移后，符號位保持不變，數(shù)值最高位填與符號位相同的1，末尾的0移出?！钤O(shè)[X]補=1.0100110，則

[X/2]補=1.1010011，[X/4]補=1.1101001，…。

7．補碼的特點

(1)在補碼表示中，用符號位x0表示數(shù)值的正負(fù)，形式與原碼表示相同，即0為正；l為負(fù)。但補碼的符號可以看做是數(shù)值的一部分參加運算。

(2)在補碼表示中，數(shù)值0只有一種表示方法，即00…0。

(3)負(fù)數(shù)補碼的表示范圍比負(fù)數(shù)原碼的表示范圍略寬。純小數(shù)的補碼可以表示到-l，純整數(shù)的補碼可以表示到-2n。第37頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2.2.4反碼表示反碼表示也是一種機器數(shù)，它實質(zhì)上是一種特殊的補碼，其特殊之處在于反碼的模比補碼的模小一個最低位上的1。

1．反碼的定義根據(jù)補碼的定義可以推出反碼的定義如式(2-7)和式(2-8)所示。

①設(shè)有定點小數(shù)

0.x1x2

…

xn

，其反碼用n+1位字長表示形式為x0.x1x2

…

xn

，其中x0為符號位。那么，其反碼的定義如下：

②設(shè)有定點整數(shù)

xnxn-1

…

x0

，其反碼用n+1位字長表示形式為xn，xn-1xn-2

…

x0，其中xn為符號位。那么，反碼的定義如下：其中，n為數(shù)值位的長度。第38頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

根據(jù)反碼的定義可得反碼表示的求法：

(1)若x≥0，則使符號位為0，數(shù)值部分與x相同，即可得到[x]反。

(2)若x≤0，則使符號位為1，x的數(shù)值部分各位取反，即可得到[x]反。

例2.16已知x

，求[x]反。①x=+0.0101001②x=+1011010③x=-0.0101001④x=-1011010

解：根據(jù)反碼的定義，可得

①[x]反=0.0101001②[x]反=01011010

③[x]反=1.1010110④[x]反=10100101

設(shè)[x]反=x0.x1x2

…

xn，根據(jù)反碼表示和原碼表示的特點，可以得到反碼與原碼的關(guān)系：

(1)若x≥0，即x0=0，則[x]反=[x]原=

x0.x1x2

…

xn

。(2)若x≤0，即x0=1，則[x]反=

，即保持[x]原的符號不變，將[x]原的其他位取反，就可得到[x]反。第39頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

例2.17已知[x]原和[x]補，求[x]反。①[x]原=0.0101001②[x]原=11011010③[x]補=0.0101001④[x]補=11011010

解：

①∵[x]原=0.0101001，∴x＞0，[x]反=[x]原=0.0101001②∵[x]原=11011010，∴x＜0，保持[x]原的符號不變，將[x]原的其他位取反，得[x]反=10100101

③∵[x]補=0.0101001，∴x＞0，[x]反=[x]原=[x]補=0.0101001④∵[x]補=11011010，∴x＜0，根據(jù)[x]原與[x]補的關(guān)系，得[x]原=

10100110，再根據(jù)[x]反與[x]原的關(guān)系，得[x]反=11011001。

2．反碼的特點

(1)在反碼表示中，用符號位x0表示數(shù)值的正負(fù)，形式與原碼表示相同，即0為正；1為負(fù)。

(2)在反碼表示中，數(shù)值0有兩種表示方法：第40頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

純小數(shù)的+0和-0的反碼表示：

[+0]反=0.00…0[-0]反=1.11…1

純整數(shù)的+0和-0的反碼表示：

[+0]反=000…0[-0]反=111…1(3)反碼的表示范圍與原碼的表示范圍相同。注意，純小數(shù)的反碼不能表示-1，純整數(shù)的反碼不能表示-2n。

(4)反碼表示在計算機中往往作為數(shù)碼變換的中間環(huán)節(jié)?！钭ⅲ孩欧创a又稱基數(shù)減1補碼。即一個數(shù)的反碼的各位數(shù)字由基數(shù)R減去1后再減去該數(shù)的對應(yīng)位而成。

從定義看，反碼也就是以(Rn

-R-m)為模的補碼。m為小數(shù)部分位數(shù)。若R=2，則對于n位定點整數(shù)(即m=0)，此時模為2n-1。對于m位定點小數(shù)(即n=1)，此時模為2-2-m。二進制數(shù)1010的反碼=(24-1)-1010=1111-1010=0101。它又稱為1-補碼(1的補碼)。對于十進制系統(tǒng)的3725反碼=(104-1)-3725=9999-3725=6274。又稱9的補碼。第41頁,共119頁，2024年2月25日，星期天⑵反碼運算是以(Rn

-R-m)為模的條件下進行的。所以Rn-R-m≡0(modRn

-R-m)

Rn

≡R-m(modRn

-R-m)

這意味著若運算中產(chǎn)生了Rn(即最高進位)，就必須把它加到末位上去，這叫“循環(huán)進位”。例：用反碼運算來計算9828.45-1928.45

9828.45-1928.45=9828.45+(104-102-1928.45)=9828.45+(9999.99-1928.45)=9828.45+8071.549828.45

+8071.5417899.99

17900.00第42頁,共119頁，2024年2月25日，星期天★★三種碼制的比較主要區(qū)別如下：⑴對于正數(shù)，三種碼制均等于真值本身，正號用0表示。而負(fù)數(shù)各有不同的表示。⑵最高位均表示符號，補、反碼的符號位可看作數(shù)值一部分，各數(shù)值一起參與運算；原碼符號位則和數(shù)值部分別對待，不能參與運算。⑶對于真值0，原、反碼各有兩種表示形式，補碼的0的表示是唯一的。⑷原、反碼表示的正負(fù)數(shù)范圍相對于0而言是對稱的，對于n+1位的二進制數(shù)來說，原碼和反碼表示的范圍是：定點整數(shù)

(2n-1)

定點小數(shù)

(1-2-n)

補碼表示正負(fù)數(shù)范圍相對于0是不對稱的，其負(fù)數(shù)表示范圍比正數(shù)表示范圍寬，能多表示一個最小的負(fù)數(shù)(即絕對值最大的負(fù)數(shù))。定點整數(shù)-2n~(2n-1)

定點小數(shù)-1~1-2-n

定點整數(shù)是其最小值等于-2n，定點小數(shù)的最小的數(shù)為-1。第43頁,共119頁，2024年2月25日，星期天⑸各種編碼采用不同的方法進行移位處理。對于帶符號的定點數(shù)，應(yīng)采用算術(shù)移位方法(即對數(shù)值部分進行移位，符號位不動)。

各種編碼的數(shù)值部分的移位規(guī)則如下：

①原碼左移：高位移出，末位補0。若移出非0時，發(fā)生溢出。右移：低位移出，高位補0。移出時要進行四舍五入。

②補碼左移：高位移出，末位補0。若移出位與符號位不同時，發(fā)生溢出。右移：低位移出，高位用符號補足。移出時要進行四舍五入。

③反碼左移：高位移出，末位補符。若移出位與符號位不同時，發(fā)生溢出。右移：低位移出，高位補符。移出時要進行四舍五入。

例已知[X]補=1.0100110，假定補碼為8位，求[x/2]補，[x/4]，[2x]補。第44頁,共119頁，2024年2月25日，星期天[x/2]補=1.10100110=1.1010011[x/4]補=1.11010011=1.1101010(四舍五入)

[2x]補=1.1001100移出的最高位為0與符號位1不同，故產(chǎn)生溢出。

⑹不同的編碼在擴展時采用不同的方法進行填充處理。對于定點小數(shù)的擴展，是在低位進行填充處理；定點整數(shù)的擴展，是在高位進行填充處理。①原碼定點小數(shù)：在原數(shù)的末位補足0。定點整數(shù)：符號不變，在原數(shù)符號位后補足0。

②補碼定點小數(shù)：在原數(shù)的末位補足0。定點整數(shù)：符號不變，在原數(shù)符號位后用數(shù)符補足所需的位數(shù)。2.2.5移碼表示

1．移碼的定義移碼的定義如式(2-9)和式(2-10)所示。第45頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

純小數(shù)移碼的定義：

[x]移=1+x

-1≤x＜1(2-9)

純整數(shù)移碼的定義：

[x]移=2n+x

-2n≤x＜2n(2-10)

下面以，n=3時純整數(shù)的移碼為例，看一下移碼的幾何性質(zhì)。為[x]移=23+x，如表2-2所示。表2-2n=3位時所有整數(shù)的補碼真值移碼真值移碼+111(+7)1111-001(-1)0111+110(+6)1110-010(-2)0110+101(+5)1101-011(-3)0101+100(+4)1100-100(-4)0100+011(+3)1011-101(-5)0011+010(+2)1010-110(-6)0010+001(+1)1001-111(-7)0001+000(+0)1000-1000(-8)0000第46頁,共119頁，2024年2月25日，星期天圖2-2移碼的幾何性質(zhì)第47頁,共119頁，2024年2月25日，星期天

2.移碼與補碼的關(guān)系根據(jù)式(2-6)給出的純整數(shù)的補碼定義可知：

(1)當(dāng)0≤x＜2n時，[x]補=x，因為[x]移=2n+x，所以[x]移=2n+[x]補。

(2)當(dāng)-2n≤x＜0時，[x]補=2n+1+x，∵[x]移=2n+x，∴[x]移=2n+[x]補-2n+1

其中，n為數(shù)值部分的長度。

例2.18已知x，求[x]補和[x]移。①x=+1011010②x=-1011010

解：①∵x＞0，∴[x]補=01011010，

[x]移=2n+x=2n+1011010=11011010②∵x＜0，∴[x]補=10100110，

[x]移=2n+x=2n+(-1011010)=00100110

3．移碼的特點

(1)設(shè)[x]移=x0.x1x2

…

xn

，符號位x0表示真值x的正負(fù)。

x0=1，x為正；x0=0，x為負(fù)。第48頁,共119頁，2024年2月25日，星期天(2)真值0的移碼表示只有一種形式：[+0]移=[-0]移=100…0。

(3)移碼與補碼的表示范圍相同。

純小數(shù)的移碼可以表示到-1，

[-1]移=0.00…0；

純整數(shù)的移碼可以表示到-2n

，n為數(shù)值部分的長度，

[-2n]移=00…0。

(4)真值大時，對應(yīng)的移碼也大；真值小時，對應(yīng)的移碼也小。綜上所述，各種碼制之間的關(guān)系以及轉(zhuǎn)換方法如圖2-3所示。若真值x為正，使符號位x0=0；若真值為負(fù)，x0=1，數(shù)值部分不變，就得到x對應(yīng)的原碼。

真值x為正數(shù)時，[x]原=[x]反=[x]補。

當(dāng)真值x為負(fù)時，x對應(yīng)的原碼、補碼、反碼表示各不相同。保持原碼符號位不變，數(shù)值位各位取反即得反碼；反碼末位加1即得補碼。不論真值x是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，將其對應(yīng)的補碼的符號位取反，數(shù)值位不變，即可得到x對應(yīng)的移碼。各種碼制之間關(guān)系與轉(zhuǎn)換方法見下圖第49頁,共119頁，2024年2月25日，星期天表2-3相同的機器數(shù)在不同表示形式中對應(yīng)的十進制真值255+127-0-1-12711111111173+45-82-83-451010110173-55+73+73+7301001001無符號數(shù)移碼反碼補碼原碼表示方法機器數(shù)

例2.19設(shè)某計算機的字長為8位，采用純整數(shù)表示。表2-3中給出了相同的機器數(shù)在不同表示形式中對應(yīng)的十進制真值。第50頁,共119頁，2024年2月25日，星期天無符號數(shù)值的大小01┆127128129┆255真值(十進制)真值(十進制)[x]補[x]移-128-10000000100000000

0000000-127-011111111000000100000001┇┇┇┇-1-00000001111111110

11111110000000000

0000000100000001000000010

000000110000001┇┇┇┇127011111110

11111111

1111111

真值與補碼、移碼和無符號數(shù)對應(yīng)關(guān)系見下表第51頁,共119頁，2024年2月25日，星期天2.3數(shù)的定點表示與浮點表示例如：

(N)10=123.456=123456

10-3=0.123456

103

。同理，同一個二進制數(shù)也可以表示成不同的形式，例如

(N)2=1101.0011=11010011

2-3=0.11010011

2+3。由此可見，任何一個R進制數(shù)N均可以寫成式(2-11)所示的形式：

(N)R=±S×R±e(2-11)

其中，S：尾數(shù)，代表數(shù)N的有效數(shù)字；

R：基值，由計算機系統(tǒng)的設(shè)計人員約定，不同的機器，R的取值不同。計算機中常用的R的取值為2、4、8、16；

e：階碼，代表數(shù)N的小數(shù)點的實際位置。根據(jù)小數(shù)點的位置是否固定，計算機采用兩種不同的數(shù)據(jù)格式，即定點表示和浮點。2.3.1定點表示

⑴定點小數(shù)

假想小數(shù)點