2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破第8章平面解析幾何第7講拋物線考點(diǎn)1拋物線的定義及應(yīng)用

拋物線的定義及應(yīng)用角度1軌跡問(wèn)題動(dòng)圓與定圓A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直線x＝1相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡是(D)A．直線 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線[解析]設(shè)動(dòng)圓的圓心為C半徑為r，則C到定圓A：(x＋2)2＋y2＝1的圓心的距離等于r＋1，而動(dòng)圓的圓心到直線x＝1的距離等于r，所以動(dòng)圓到直線x＝2距離為r＋1，即動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)(－2,0)和定直線x＝2的距離相等，根據(jù)拋物線的定義知，動(dòng)圓的圓心軌跡為拋物線，所以答案為D.角度2到焦點(diǎn)與到定點(diǎn)距離之和最小問(wèn)題已知M是拋物線x2＝4y上一點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，C為圓(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圓心，則|MF|＋|MC|的最小值為(B)A．2 B．3C．4 D．5[解析]設(shè)拋物線x2＝4y的準(zhǔn)線方程為l：y＝－1，C為圓(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圓心，所以C的坐標(biāo)為(－1,2)，過(guò)M作l的垂線，垂足為E，根據(jù)拋物線的定義可知|MF|＝|ME|，所以問(wèn)題求|MF|＋|MC|的最小值，就轉(zhuǎn)化為求|ME|＋|MC|的最小值，由平面幾何的知識(shí)可知，當(dāng)C，M，E在一條直線上時(shí)，此時(shí)CE⊥l，|ME|＋|MC|有最小值，最小值為|CE|＝2－(－1)＝3，故選B.[引申]本例中，(ⅰ)|MC|－|MF|的最大值為eq\r(2)；最小值為－eq\r(2)；(ⅱ)若N為⊙C上任一點(diǎn)，則|MF|＋|MN|的最小值為2.角度3到準(zhǔn)線與到定點(diǎn)距離之和最小問(wèn)題(2023·四川大學(xué)附中期中)設(shè)點(diǎn)P是拋物線C1：x2＝4y上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是圓C2：(x－5)2＋(y＋4)2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，d是點(diǎn)P到直線y＝－2的距離，則d＋|PM|的最小值是(B)A．5eq\r(2)－2 B．5eq\r(2)－1C．5eq\r(2) D．5eq\r(2)＋1[解析]拋物線C1：x2＝4y的焦點(diǎn)為F(0,1)，∴d＋|PM|＝|PF|＋1＋|PC2|－2＝|PF|＋|PC2|－1≥|FC2|－1＝5eq\r(2)－1.(當(dāng)且僅當(dāng)F、P、C2共線時(shí)取等號(hào))．故選B.角度4到兩定直線的距離之和最小問(wèn)題(2024·陜西西安質(zhì)檢)已知直線l：4x－3y＋6＝0，拋物線y2＝8x上一動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)到直線l的距離為d，則d＋|x0|的最小值是eq\f(4,5).[解析]如圖所示：若PC⊥直線l，PB⊥拋物線準(zhǔn)線且交y軸于A點(diǎn)，則d＝|PC|，|x0|＝|PA|，由拋物線定義知：|PF|＝|PB|＝|PA|＋eq\f(p,2)，則|PA|＝|PF|－eq\f(p,2)＝|PF|－2，所以d＋|x0|＝|PC|＋|PF|－2，要使目標(biāo)式最小，即|PC|＋|PF|最小，當(dāng)F，P，C共線時(shí)，又F(2,0)，此時(shí)(d＋|x0|)min＝eq\f(|8－0＋6|,5)－2＝eq\f(4,5).名師點(diǎn)撥：利用拋物線的定義可解決的常見問(wèn)題1．軌跡問(wèn)題：用拋物線的定義可以確定動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定直線距離有關(guān)的軌跡是否為拋物線．2．距離問(wèn)題：涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離問(wèn)題時(shí)，注意在解題中利用兩者之間的關(guān)系進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化．注：看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線，這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問(wèn)題的重要途徑．【變式訓(xùn)練】1．(角度1)到定點(diǎn)A(0,2)的距離比到定直線l：y＝－1大1的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2＝8y.[解析]由題意知P到A的距離等于其到直線y＝－2的距離，故P的軌跡是以A為焦點(diǎn)，直線y＝－2為準(zhǔn)線的拋物線，所以其方程為x2＝8y.2．(角度2)(2024·江蘇無(wú)錫等四地模擬)已知P(3,3)，M是拋物線y2＝4x上的動(dòng)點(diǎn)(異于頂點(diǎn))，過(guò)M作圓C：(x－2)2＋y2＝4的切線，切點(diǎn)為A，則|MA|＋|MP|的最小值為3.[解析]依題意，設(shè)M(x0，y0)，x0>0，有yeq\o\al(2,0)＝4x0，圓C：(x－2)2＋y2＝4的圓心C(2,0)，半徑r＝2，于是|MA|＝eq\r(|MC|2－r2)＝eq\r(x0－22＋y\o\al(2,0)－4)＝eq\r(x\o\al(2,0))＝x0，因此|MA|＋|MP|＝x0＋|MP|，表示拋物線C上的點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離與到定點(diǎn)P的距離的和，而點(diǎn)P在拋物線C內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)M是過(guò)點(diǎn)P垂直于y軸的直線與拋物線C的交點(diǎn)時(shí)，x0＋|MP|取得最小值3，所以|MA|＋|MP|的最小值為3.3．(角度3)已知點(diǎn)Q(2eq\r(2)，0)及拋物線y＝eq\f(x2,4)上一動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，則y＋|PQ|的最小值是2.[解析]拋物線y＝eq\f(x2,4)即x2＝4y，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1.因?yàn)辄c(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2eq\r(2)，0)，所以|FQ|＝eq\r(2\r(2)2＋12)＝3.過(guò)點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線PH，交x軸于點(diǎn)D，如圖所示．結(jié)合拋物線的定義，有y＋|PQ|＝|PD|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|－1＝|PF|＋|PQ|－1≥|FQ|－1＝3－1＝2，即y＋|PQ|的最小值是2.4．(角度4)已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和l2的距離之和的最小值為(C)A.eq\f(37,16) B．eq\f(11,5)C．2 D．eq\f(7,4)[解析]直線l2：x＝－1是拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，則點(diǎn)P到直線l2：x＝－1的距離等于|PF|，過(guò)點(diǎn)F作直線l1：4x－3y＋6＝0的