2023年陜西省安康市統(tǒng)招專升本數(shù)學(xué)自考真題(含答案帶解析)

2023年陜西省安康市統(tǒng)招專升本數(shù)學(xué)自考

真題(含答案帶解析)

學(xué)校:班級:姓各考號:

一、單選題(30題)

1.

曲線^=1皿+)工2+1的凸區(qū)間是)

Lt

A.(—8,—1)B.(—1,0)C.(0,1)D.(1,+℃)

2.

設(shè)當(dāng)時與g(外均為工的同階無窮小量,則下列命題正確的是()

A./(x)+g(x)一定是1的高階無窮小

B./(x)-g(x)一定是z的高階無窮小

C./(.r)g(x)一定是.r的高階無窮小

D.9?(g(.r)豐0)一定是w的高階無窮小

3.

d：

)

工~~iF

A.OB.1C.2“D.21d

4.

方程M+J=l(a>0,/>>0)確定變量y為I的函數(shù).則導(dǎo)數(shù)學(xué)=

alrdi

5.

./(j-)在點(diǎn)上=1處可導(dǎo).且取得極小值.則lim￡口士2工)_[S11()

r>0工

A.0B.1C.2D.T

6.

設(shè)ln/(.r)=co&z'?則|4；((；?dr=()

A..r(COST+sin.r)+CB.jsinj—COSJ,+C

C..rcos.r-sin.r+CD..rsinr+C

7.

.若/"(.r)連續(xù)?則下列等式正確的是()

AJd/(、r)=/(i)BdJ|./(x)d.r=/(X)

|/(f)(h=/(j2)da

cj/(^)d.r=/(z)D.d

8.

若F(i)是fix)的一個原函教,C為常數(shù)，則下列函數(shù)中仍是/(I)的原函教的是

()

A.F(Cx)B,F(T+C)C,CF(Z)D.F(z)+C

9.

X—t,

直線，y=-2，+9,與平而3才一4y+7z-10=0的位置關(guān)系是()

z=9z—4

A.平行B.垂直

C.斜交D.直線在平面內(nèi)

10.

某公司要用鐵板做成一個容積為27n?的有蓋長方體水箱.為使用料最省,則該水箱

的最小表面積應(yīng)為()

A.54m2B.27m2C.9m2D.6m2

11.

已知函數(shù)./（J-）=X?則/[/（J）1=

)

A.xB..t2C.-D.4

XX1

12.

設(shè)極限lim學(xué)~勺2=-1,則點(diǎn)工=H,是函數(shù)八外的（）

A.極大值點(diǎn)B.極小值點(diǎn)

C.駐點(diǎn)，但非極值點(diǎn)D.非駐點(diǎn)

13.

已知函數(shù)/（才）在（-8.+8）內(nèi)可導(dǎo)，周期為4,且1質(zhì)/（“二/（】二三）=一1,則曲線

X-*wLjC

y=/（T）在點(diǎn)（5J（5））處的切線斜率為（）

A.-j-B.OC.-1D.-2

14.

若D={（xj）a2244a2,a>o},則二重積分口必行改切=（）

D

C28,314

A.3naB.-naC.—na2D.——ita2

323

15.

設(shè)/(①)在(0.+8)上連續(xù).且［M,則/(2016)=()

A.0B.1C.2D.無法求出

16.

下列級數(shù)發(fā)散的是

A.X(

艮

匕5即一3〃

cV-2^-DV______________

W-1,士(5〃+4)(5〃-1)

17.

函數(shù)/(x)=e'-x的單調(diào)增加區(qū)間為)

A.[0,+8)B.[—1,1]C.(-2,0]D.(-oo,0]

18.

函數(shù)丁=lnx-x的單調(diào)增區(qū)間是(

A.(0,1]B.(-oo,l]C.(l,+oo)D.(0,-K?)

19.

已知向量W=3；-2，+Z,^=7+2j-3k,則2a[-3Zj=()

A.-4B.-24C.4D.24

20.

.下列級數(shù)絕對收斂的是

A.玄(一七

n=—1VJI

C+2〃+3

21.

設(shè)矩陣48為可逆方陣，其行列式分別為國樹.則下列各式中，正確的是（）

A.,耳=|聞理B.（24尸=2》

C.|2[=2|4D.（48尸=才寸

22.

??8

正頂級數(shù)則下列說法正確的是（）

?=■1?=1

A.若（1）發(fā)散.則（2）必發(fā)散

B.若（2）收斂.則（1）必收斂

C.若（D發(fā)散，則（2）可能發(fā)散也可能收斂

D.（1）,（2）散散性相同

x-1,x<0,

存在，則。=)

{2x+a.x>0/

_一_\B.OD.2

23.

24.

已知/(*)+C=Jsinndx,則/'團(tuán)=<)

V2n

A.0B.sinx-C.—D.cosx

2

25.

設(shè)??=（D”sin孑（a>0）,則無窮級數(shù))

Vn*7

A.條件收斂B.絕對收斂

C.發(fā)散D.斂散性與。的取值有關(guān)

26.

曲線，=之辛一」的水平及垂直漸近線共有（）

工一-5#-6

A.1條B.2條C.3條D.4條

27.

若函數(shù)八］）在點(diǎn)心有極大值,則在-點(diǎn)的某充分小鄰域內(nèi)?函數(shù)/1）在點(diǎn)八的左側(cè)

和右側(cè)的變化情況是（）

A.左側(cè)上升右側(cè)下降

B.左側(cè)下降右側(cè)上升

C.左右側(cè)均先降后升

［）.不能,確定

28.

設(shè)區(qū)數(shù)<*）=cos.r.劃不定積分)

sin-*CC.cos-+「D.

XX

29.

sin(x-1)/、

rlim----；----：—=()

zI—1

A.1B.2C.OD.y

30.

-sin"i#0,

設(shè)/(/)=Jr3要使/(/)在(-8,+8)上連續(xù).則a=()

a.r=0?

A.0B.1C.JD.3

J

二、填空題(20題)

不定積分為1jC°SJda-=

31.i+sini

32.

設(shè)函數(shù)/.(])滿足/(0)=0"'(0)=2.則極限lim9=

lOX

(Inj'+1)di=

33.______________

34.

現(xiàn)有10張獎券,其中8張為2元,2張為5元.今某人從中隨機(jī)地?zé)o放回地抽取3張.則

此人得獎金額的數(shù)學(xué)期望為

已知|a|=1,|b,==5?且a?b=3,則aXb|=

35.

不定積分|cos2.rdi=

36.J

37設(shè)y—Iny—2Nnz=0確定了函數(shù)y=y(z),則y=

積分

J

如果X?B(〃，/>),且E(X)=6,D(X)=3.6,則〃=

jy.____

40.

已知函數(shù)/Q)=￡—，則定積分的值等于

1+*J1\x--------

極限lim

a-f8

已知e，+j/=1,則取=

2

向半圓0VyVy2ar-x(a>0)內(nèi)任擲一點(diǎn),點(diǎn)落隹半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率均與該

區(qū)域的面積成正比.則該點(diǎn)與原點(diǎn)連線與/軸的夾角小耳的概率為

lim(，〃+]--Jn)\/n-1=

不定積分11:誓dx=

45J1十SUIT

函數(shù)/Q)=ln(14-jr2)的極值為

46.___

47函數(shù)y=G1+”在區(qū)間［5,10］上滿足拉格朗日中值定理4=

微分方程—,ylnv=0的通解為

4o.___

49曲線歹=-lna+l)+l在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為一

lim(/.+］-4n)y/n—1=

50.____

三、計(jì)算題(15題)

求極限lim-一a------

k。，1+tan#一-彳

51.

求不定積分arclanCdz.

設(shè)^=6-*$111",求y”.

53.

x-sinx

求極限lim

x-y02x(1-cosx)

54.

oo

求基級數(shù)￡（：一2）：的收斂域.

，r=07^7+T

55.

求極限則

56.

57.

—1,X&-1,

設(shè)/（/）=4JT"+ajc+b,—1＜、了＜1,在（一8,十8）內(nèi)連續(xù)?求。和機(jī)

1.1〉1

1

求不定積分

X)

58.J1—

3J-29—la-dv

已知）=/（W（i）=arctan,f?永吉

5w+2.r=0

59.

求定積分―dr

Jo

60.

計(jì)算不定積分jx（cosx+e2x）dx.

61.

求極限lim與吟.

62<-ruarcsin.r

63.

過鼾（1,0）作嬲知二口的嬤族峨與上或艘及瑞毓-平醐

形，求此圖形繞支軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

求微分方程＞7-4，+4）=Q+l）e，的通解.

64.

65.

r

設(shè)y=3（i）是由方程e—e，=sin（/y）所確定，求y|J=0.

四、證明題（10題）

66.

已知/（X）在［0,1］上連續(xù)，在（0,1）內(nèi)可導(dǎo)，且/（o）=/（l）=o,試證，在（0,1）內(nèi)至

少存在一點(diǎn)g,使得/岱）COSJ=/（^）sing成立.

67.

求拋物線y=1-.r:及其在點(diǎn)（1,0）處的切線和y軸所圍成圖形的面積,并計(jì)算該圖

形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積.

68.

設(shè)/(.r)在[-上連續(xù)(a>0.為常數(shù))，證明「/(.r)d.z=["[/(.r)+/(-x)]dj-,

J-aJ0

并計(jì)算COSJC

J一.X1+e-

證明：方程F-4x?+1=0在區(qū)間（oj）內(nèi)至少有一個根.

69.

70.

證明：當(dāng)才〉。時，一,久〉ln（1+JC）.

71.

證明：當(dāng)i>0時，ln(i++/)>一二'.

vTT?

72.

證明方程lni=￡—『—cos27dl在區(qū)間(e,S)內(nèi)僅有一個實(shí)根.

eJo

73.

證明方程1=asini+b(a>O.b>0)至少有一個不超過(a+。)的正根.

74.

已知方程4.r+3x3—=0有一負(fù)根］=-2.證明方程4+9/—5、，=0必有一個

大于一2的負(fù)根.

75.

設(shè)函數(shù)/(工)在閉區(qū)間［0,1］上可導(dǎo),且八0)?/(DV0.證明在開區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在

一點(diǎn)好使得”(8+4(￡)=0.

五、應(yīng)用題(10題)

76.

求平面卷+弓+多=1和柱面^+丁=1的交線上與./Oy平面距離最短的點(diǎn).

343

77.

某公司主營業(yè)務(wù)是生產(chǎn)自行車,而且產(chǎn)銷平衡.公司的成本函數(shù)CQ)=40000+2002-

0.002/.收入函數(shù)R(.r)=35O.Z--0.004./.則生產(chǎn)多少輛自行車時，公司的利潤最大？

78.

某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租.當(dāng)月租金定為2000元時.公寓會全部租出去，當(dāng)月

租金每增加100元時.就會多一套公寓租不出去.而租出去的公寓每月需花費(fèi)200元的維修

費(fèi).試問租金定為多少可獲得最大收入？最大收入是多少？

79.

平面圖形由拋物線=2］與該曲線在點(diǎn)處的法線圍成.試求:

（1）該平面圖形的面積;

（2）該平面圖形繞/軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積.

80.

求曲線y=Ini在區(qū)間（2,6）內(nèi)的一點(diǎn)，使該點(diǎn)的切線與直線x=2.1=6以及

y=ln.r所圍成的平面圖形面積最小.

求z=6—+所圍立體體積.

81.

82.

已知曲線_y=adT（a>0）與曲線y=InJF在點(diǎn)（々，刈）處有公切線,試求:

（1）常數(shù)。和切點(diǎn)（￡o，W）;

（2）兩曲線與工軸圍成的平面圖形的面積S.

83.

一曲線通過點(diǎn)（e，3）且在任一點(diǎn)處的切線的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的倒數(shù).求：

（1）該曲線的方程；

（2）該曲線與才軸及直線工=e?所圍成的圖形繞>軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積.

84.

設(shè)平面圖形Q由曲線1y=：和直線,y=1=2及/軸圍成.求:

（1）平面圖形D的面積；

（2）這圖形繞h軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

85.

擴(kuò)音器桿頭為圓柱形.截面半徑r=0.15cm,長度/=4cm,為了提高它的導(dǎo)電性能,

要在這1柱體的側(cè)面上皺一層厚度為0.001cm的純銅，問大約需要多少克鈍銅?（已知第的比

重為8.9g/cm3）

六、綜合題（2題）

86.

求該曲線及其在點(diǎn)（1.0）和點(diǎn)（一1,0）處的法線所圍成的平面圖形的面積；

設(shè)曲線/（工）=*一.

（D求其在點(diǎn)（0,0）處的切線方程；

（2）證明：當(dāng)0Vz<1時，/Cr）>/（-X）.

87.

參考答案

1.C

【精析】首先我們可得到函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+8）,y'=>=

匚」,當(dāng)丁<0時?在定義域內(nèi)0VzVI，所以其凸區(qū)間為（0,1）.

2.C

［答案1c

【精析】lim=lim'(')?limg(w)=aX0=0.

j—*0JCx-*0、TJ*-*0

［答案1A

【精析】I-―=2ni?1'=0.

3AJ--2(Z-1)e-i

4.B

【精析】對方程兩邊.r同時求導(dǎo)得4-2x+-V?2.y?孚=0.即乎=一《。故本題選B.

aITdry

5.A

【精析】因?yàn)?(.r＞在工=1處可導(dǎo)，且取得極小值，所以/(D=0.

因此lim“1+2工)―/⑴=lim/(1+2：)-/⑴*2=2/(1)=0,故應(yīng)選A.

l。Xx-0LX

6.C

L答案」c

【精析】對lnf(.r)cow求導(dǎo)得￡(')-rin.r'所以''‘''dr—.rsiri.rcLr

/(.r)j(.r)

.rcos.7,—cos.rd.z.rcos.rsin.2,!C.

7.D

|d/(.r)=/(.z)+C,A錯,d"(外業(yè)=/(.r)ch、B錯.|/(.r)Q=/(z)+C,C借，

D正確.

8.D

【精析】同一個函數(shù)的兩個原函數(shù)相差一個常數(shù)，故選D.

9.C

【精析】直線的方向向量為(1，-2,9),平面的法向量為(3,—4,7),它們對應(yīng)坐標(biāo)不

成比例，所以不平行，即直線不垂直于平面；它們的數(shù)量積也不等于零，所以不垂直，即

直線與平面不平行,故直線和平面斜交.

10.A

［答案1A

【精析】設(shè)長方體的長寬分別為。力?則高為學(xué).

an

于是，表面積5=2(而+■+紅)=2漏+更+%

baab

(54八

0_S9//,__0,

=2=a=3.

得1

JS954..〃=3,

-=2a-v=0.

27?7

由實(shí)際問題最值一定存在.可知最小表面積S=2(3X3+會+等)=54(mD.

ll.C

【精析】因?yàn)樾?=處則/R)=j所以/［,+)］=/什)=］，故選c.

12.A

【精析】由題可知，當(dāng)X一工。時,勺)一八郎)＜0,又(上一H。尸＞0,故在4的鄰域

2(z—工。)"

內(nèi)JQ)/(x0)＜。，即/(/)＜八H0),根據(jù)極值的定義可知/(x0)是/(x)的極大

值,故應(yīng)選A.

13.D

［答案］D

【精析】由導(dǎo)數(shù)定義可得Jin/⑴―一'=1淞八1一"―/(1)=￡/⑴=-1.

J-*OJLL

所以/(l)=-2,乂函數(shù)周期為1,故/(5)=/(D=-2.

D解析：考查極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分.

||yjx2+y2dxdy=『d6『Mdr=—7ra3.

14.D口3

15.B

【精析】兩邊對7求導(dǎo)得f(M)?2r=2,所以/(.r2)=1,從而/(2016)=1.故選B.

［答案］C

【精析】lim士=1W0,所以￡告發(fā)散.

16.C-〃+1仁”+1

17.A

A

【評注】定義域?yàn)?-8,48),/。)=1-1=0,得x=0.當(dāng)x>0時，r(x)>0即/㈤

遞增；當(dāng)x<0時，/(x)<0即/(x)遞減.

18.A

【評注】本題考查函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，函數(shù)定義域?yàn)?0,+8),導(dǎo)數(shù)

y=--i>o=>x<i,所以單調(diào)增區(qū)間為(05.

X

A

19.A【評注】根據(jù)正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法.

20.B

［答案］B

【精析】選項(xiàng)A是條件收斂.選項(xiàng)B是絕對收斂.而選項(xiàng)C與D均為發(fā)散.故應(yīng)選B.

21.A

.A

【評注】(24尸=工41；|四=2"|3(其中〃為方陣的階數(shù))；(407=次|41;所以，

只能選A(該題考查行列式和矩陣的性質(zhì)).

22.C

［答案1C

【精析】令".=L則Z-發(fā)散，下*=Z4收斂,故A、D不正確.同理.若

n…〃…11n

OUOOCOOL>

、比3收斂，則\!發(fā)散.排除B,故選C.

M"1O,1'1■■■1"

23.A

［答案］A

【精析】由于li?/(x)存在，則liW(x)=lin叭x),由題可知lin叭幻=lim(/-l)=-1,

lim/(x)=lim(2x+?)=〃，故a=-1.

x-O*x-4)*

24.C

空吧=/(x),便可得到

【評注】等式左右兩端同時關(guān)于X求導(dǎo)，應(yīng)用公式:

QX

K烏，答案選C.

f\x)=sinx.所以

2

25.A

【精析】當(dāng)8時，總存在N.使得”>^7時,0<%<太=手恒成立，其中N

=竽.取i=［竽+1，則級數(shù)次”.為交錯級數(shù)，且sin翕〉sin-1：］》0,又

88

limsin--=。，所以由萊布尼茲定理可知級數(shù)53un收斂，又￡un=%T即十…十

Vn一叫1

8

+2由級數(shù)的性質(zhì)可知有限項(xiàng)不會影響其斂散性，故原級數(shù)收斂；對于級數(shù)

e=i

-e,卜皿閔

S|M?=百卜in月如一產(chǎn)?=a.根據(jù)P級數(shù)的收斂條件知X2是發(fā)散的,

co

所以由比較審斂法的極限形式知級數(shù)X???是發(fā)散的?所以X““是條件收斂?故應(yīng)

K-1”工!

選A.

26.C

/_2\2?1

【精析】因?yàn)閥=/(“)=J---j--------------------2------4=1,從而y=1

r*-5?r-6(x-2)(x—3)

是水平漸近線；lim/(z)=oo,lim/(jr)=8.從而工=2?N=3是垂直漸近線；故該曲

LZ一y

線共有3條漸近線.

27.D

［答案］D

【精析】/(,??)在點(diǎn).r,,有極大值.則在:點(diǎn),r?的充分小的左、右鄰域內(nèi).有./<.r)<

但/(X)不一定連續(xù)，比如/(1)=則f(T)的變化情況不能確定.故選D.

10,1W網(wǎng).

28.A

29.D

［答案］D

【精析】limsin?-I)=［mi「『八、二】).^7T=］XJ=)?故應(yīng)選D.

z-1x-1x-ix-1z-ixT12Z

30.C

【精析】limIsinf=lim--f=“?根據(jù)連續(xù)的定義可知”=

.23x-?03O3

31.

In|JT+sinr|+C.

InI①+sin,z'1+C

1+cos.i———L.—d(J7+sina)=In|J-+sin.r|+

J1+sin.rJi+siikr

32.

2

【精析】由于f(.r)=O.lim'(')=lim/丁，=/7(0)=2.

rOXL。1

33.

jtlnjt'+C

【精析】(ln.r十l)d_r=In^dj-+di=彳?Inz—|di+dz=;rlnj■十C.

34.7

［答案LI7.8

【精析】得獎金額W的可能取值為6.9.12.E(e)=6.P(f=6)+9.P(5=9)+

12)=6義舁+9X^^+12X

12?P(S==7.8.

C；?C；<,

［答案］4

【精析】因?yàn)閏os《a.b；>=,廠丁=W?.又0&《a.b>《“?

aW)ho

所以sin(a.￡>>=Jl—冷)=4-.

、15/o

從而|aX61=absin<a.&>=1,5,4-=4.

35.40

36.

-^-sin2.r+C

J

1r?1

cos2、rdw=—cos21d(2、r)=—sin2a+C.

37.

2y(1+Injc)

~"1+)

【精析】因.y+Inv-=0,令F(=.y+In》2x\nx，

njllJ=_Fr(x.*)=21nz+2=2.y(l丁Inj)

人”-Fy(x.y)~14.114-.y,

y

38.

l-ln(l+e)

-2

【精析】I-r^~rdi=-\—cl(1—c4)=—(In|1—cJ|)

J-i1—eJ-)1—e-1

=ln(e—1)—1—ln(e2—1)+2

=1—ln(1+c).

39.15

［答案115

【精析】E(X)=nf)=6.Q(X)=np(\—p)=6(1—p)=3.6,所以1-p=0.6?

得p=0.」,所以〃=信=15.

40.

1

1出dr=ln(l+_r)|：

【精析】=ln3-ln2=

符=l+.r

1+-

X

Iny.

41.

e4

92.Z-0y

【精析】+=limfl+-\=e1.

42.

e

【精析】方程兩邊同時對彳求導(dǎo)得1+2)改=0.則用=—裊

drcLrLy

43.

11

2+7T

［答案］i+-

L7T

【精析】此問題為幾何概型問題.半圓面積為SI

點(diǎn)與原點(diǎn)連線與Z軸夾角小于手的面積為Sz=午相+梟2.

44Z

所以p=I1=］+L

O1Z7t

44.

1

T

lim(+］--Jn)y/n—1=lim:，~~--一［

45.

In|i+sinj-|+C

【精析】f1COS~rd.r=-——d(j-+sin.r)=In|z+sior|+C.

JJC+siorJx+sirw

46.

/(0)=0

【精析】/"(.r)=「『二.令/'(i)=0得&=().當(dāng)時/VO：當(dāng).r>0時，

/'(公>0.所以z=0為/(a)的極小值點(diǎn)，極小值為/(0)=0.

47.

29

~4

29【評注】利用，0=迤二］@計(jì)算得出.

4b-a

48.

、,=e°(C為任意常數(shù))

【精析】方程分離變量得業(yè)-羋.兩邊枳分得InIInUuv.即y—e”.

.rvIn^

其中c為任意常數(shù).

49.

x+y-l=O

,x+.y-l=0

［評注】曲線y=/(x)過點(diǎn)(工口為)的切線方程為y_y0=/'(%0)(刀_4),對于函數(shù)

y=-In(x+l)+l而言，/==-1,所以切線方程為：y-l=(-l)(x-O),

X+】

即x+y-1=0.

50.

J_

T

［精析］lim(，〃+1-G){n—］=lim:十1~--\/n—1

L8L86j+1+6

Ar

1

2

51.

_______________工3(s/1+tartr-+工)_________

原式=litn

("1|tan.r—Ioj(，lItanj-|(11/)

【精析】令右=Z?則t2，&r=2，df?

原式=jarctant?dr=rarctanf—||/

,f1+f—1.

=farctanZ—：-----；—dz

J1+r

=f2arctan/力

=rarctanz-t+arctanZ+C.

將？=G代入得arctan-fxAx=xarctan\fx-\fx+arctan-fx+C.

53.

【評注】解：y'=e-x(-x)/sinx+e-xcosx=e-x(cosx-sinx),

y"=-e-I(cosx-sinx)+e-x(-sinx-cosx)

=-Q~X{cosx-sinx+sinx+cosx)=-2e~Tcosx.

54.

5x-sinxx-sinx1-cosxsinx1

解：lun--------------=lim-------=hm-----：一=lim---------.

x2x(l-cosx)z2x-x2z3x36x6

2

55.

］

【精析】因?yàn)閜=lim.=lim=lim+1=1,

W-*°OCln川-*81〃f8U

\Jn4-1

故收斂半徑為R=-=l,

P

即當(dāng)一1V、r-2V1,即1VrV3時,原級數(shù)收斂.

oo

當(dāng)支=i時,原級數(shù)為x與"?因?yàn)?/p>

n-0yfl+1

un=_1>.1=I,lim&=lim】=0.所以收斂.

x/n+1x/n+2—oo“-.8/〃+］

oo

當(dāng)i=3時,原級數(shù)為￡亍^，發(fā)散，

n-05/〃+1

所以，原級數(shù)的收斂域?yàn)椋?,3).

56.

［精析］原式二lim-十2c產(chǎn)一2二］im2中皿=Hmz^nx

xLQ4rLQLX

57.

【精析】由/(])在(一CXD,+OO)內(nèi)連續(xù)，知

/(—1)=limf(j)—limf(a'),

.r-*-I1'—I1-ab——1

/(1)=lim/(j')=lim/O,〕1+a+〃=1.

58.

--------d(2/)=—arcsin2/+C

JJl-(2f)z

=-arcsin2(y—T)+C=-arcsind-21)+C.

Li

59.

31—23.r-2、3,r-2?16

【精析】57T2)=arctan

57+257T2)(5.r+2)2

所喻

=K.

1=0

60.

【精析】

=r—arccosjcK

_____等修______

yi-j-2'+yi-x2?

0J0

7t?7C_翼=5TT_翼

衣萬一2一衣—2.

61.

2x2j

解:Jx(cosx+e)dx=jxcosxdx+Jxedx=Jxdsinx+gjxde^

=xsinx-jsinxdx+gxe2x-gJe2xdr

.12*121c

=xsinx+cosx+-xe——e-+C.

24

62.

原式=匚曾

L。JC

63.

1_JrT-Q

64.

【精析】對應(yīng)齊次方程的特征方程為，一4r+4=0,

求解得特征根為力=2,b=2.

2

所以對應(yīng)齊次方程的通解為Y=(G+C2x)e\

設(shè)原方程特解形式為y*=(&r+，〉)eL

代入原方程得a=1.6=3,

所以可得原方程的一個特解為V=(i+3)e。

2j

故原方程的通解為y=(G+C2x)e+(r+3)e^

其中G,C2為任意常數(shù).

65.

【精析】方程兩邊對才求導(dǎo)得er-e5'?y=cos(iy)?(y+ij'),

e‘一ycosjry

化簡得J=

ev+jrcos/y

又當(dāng)支=0時=0,故3/L=o=1.

66.

證明：令F(x)=/(x)cosx,/'(x)=//(x)cosx-/(x)sinx

因?yàn)?(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，所以尸(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),

又因?yàn)?(0)=/(1)=0,所以尸(0)=尸(1)=0

由羅爾定理，在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)g,使得尸't)=0,

/紇)cosJ-/(g)sin“0,即/'團(tuán)cos匕=/⑥sin4.

67.

【精析】平面圖形如圖所示，困，=一2工,所以總

從而經(jīng)過點(diǎn)（1,0）的切線方程為y=—2工|2.

所求平面圖形的面積為

S=￡［（-2工+2）—（1］

=［（］。2x4-1）dx

=（#7+工）|：

—1

3?

該圖形繞＞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積為

第21題圖

V=j-n-I2-2-K￡（1-j-）dy

68.

【證明】因f(-r)=yE/(-r)+./(—J')]+yE/(^)-/(—.?)].

而9/(.r)—/(—i)]是奇函數(shù).4[/(①)+/(-.r)]是偶函數(shù)。

乙乙

故|yE/(J)—/(一幻[dr=0,

所以jf(.r)cLr=21+f(—/)[dr=f[/1)+/(—/)[Ur;

JjJo/Jo

「手COSJTi「手「cosj-,cos(—J)-|,「于「e’coszcos.r-),

%rr^d-r=Jo[TT^7+1T^-]d'r=Jo_T+F+(TT7_dr

=cos.rd.z*=sin.r=丁.

JooL

69.

證明：令/。)=必-4必+1,/(x)在[0,1]上連續(xù)，/(0)=l>0./(1)=-2<0.

由零點(diǎn)存在定理知，存在4e（0,1）使/團(tuán)=0,即J是方程工3-4必+1=0的根.

70.

【證明】原不等式即為一ln(l+r)>0,令/(i)=一ln(l+r),則

Ji+hvT+T

x/T-j-7——；_

12yTT7_i=工+2-2AT7

l+il+r2(l+z)/f+7

(71下7-1)2

>0(7〉0),

2(14-Jr)./TTT

故故z)在［0,+8)上單調(diào)增加，則故Z)>故0)=0(I>0),

即當(dāng)7>0時，T=-ln(l+_z)>0