邏輯代數(shù)基礎(chǔ)知識

邏輯代數(shù)基礎(chǔ)知識課時安排總課時：56/8:理論48實驗：8課時

5-6周：8-13周周4課時8*4=32課時16-17周：周8課時：2*8=16課時第2頁,共46頁，2024年2月25日，星期天主要內(nèi)容：第1章：邏輯代數(shù)基礎(chǔ)知識6課時第2章：集成門電路6第3章：組合邏輯電路6第四章觸發(fā)器6第5章:時序邏輯電路6第6章脈沖產(chǎn)生與整型電路6第7章：數(shù)模與模數(shù)轉(zhuǎn)換電路4第8章：半導(dǎo)體存儲器4第10章：數(shù)學(xué)電路應(yīng)用4第3頁,共46頁，2024年2月25日，星期天本課程地位前續(xù)課程：電工基礎(chǔ)，模擬電路后續(xù)課程：計算機(jī)、自動控制，等電子技術(shù)及應(yīng)用。電子技術(shù)國民經(jīng)濟(jì)、國防技術(shù)、日常生活學(xué)習(xí)方法：理論、實驗、作業(yè)?；グ罨W(xué)聯(lián)系：方法顧偉東304辦公室

第4頁,共46頁，2024年2月25日，星期天主要內(nèi)容：1.1數(shù)字電路概述1.2數(shù)制與碼制1.3邏輯代數(shù)基礎(chǔ)1.4邏輯代數(shù)中的基本公式1.5邏輯代數(shù)化簡1.6邏輯代數(shù)表示方法及其相互之間的轉(zhuǎn)換第5頁,共46頁，2024年2月25日，星期天內(nèi)容提要：邏輯代數(shù)是分析和設(shè)計數(shù)字電路的重要工具。本章主要介紹數(shù)字信號和數(shù)字電路的基本概念和基本知識.邏輯代數(shù)和邏輯函數(shù)的化簡及其表示方法。其主要內(nèi)容概念，數(shù)字電路中常用的各種進(jìn)制數(shù)的表示方法及其轉(zhuǎn)換和編碼的概念，最后重點講解邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算、公式和定理及其邏輯函數(shù)的化簡方法和常用的表示方法。第6頁,共46頁，2024年2月25日，星期天1.1數(shù)字電路概述模擬信號：在時間和幅值上都連續(xù)變化的信號。數(shù)字信號：在時間和幅值上都離散變化的（即間斷的）信號。圖1.1.1模擬信號和數(shù)字信號

1.1.1數(shù)字信號與數(shù)字電路第7頁,共46頁，2024年2月25日，星期天模擬電路：對模擬信號進(jìn)行傳輸、加工和處理的電子電路。數(shù)字電路：對數(shù)字信號進(jìn)行傳輸、加工和處理的電子電路。1.1.2數(shù)字電路的特點（1）工作信號是二進(jìn)制的數(shù)字信號，反映在電路上就是低電平和高電平兩種狀態(tài)（即0和1兩個邏輯值）。（2）數(shù)字信號中的0和1沒有任何數(shù)量上的含義，只是代表兩種不同的狀態(tài)。（3）電路中的電子器件工作在開關(guān)狀態(tài)。（4）研究的主要問題是電路的邏輯功能，即輸入信號的狀態(tài)和輸出信號的狀態(tài)之間的邏輯關(guān)系。（5）分析的主要工具是邏輯代數(shù)，表達(dá)電路的功能主要是真值表、邏輯表達(dá)式及波形圖等。第8頁,共46頁，2024年2月25日，星期天1.1.3數(shù)字電路的優(yōu)點（1）抗干擾能力強(qiáng)，工作準(zhǔn)確可靠，精度高。（2）結(jié)構(gòu)簡單，便于集成化、系列化生產(chǎn)，成本低廉，使用方便。（3）主要應(yīng)用：數(shù)值運(yùn)算；邏輯運(yùn)算與判斷。（4）數(shù)字信號便于存儲、加密、壓縮、傳輸和再現(xiàn)。（5）可編程數(shù)字電路可以根據(jù)用戶需要方便地實現(xiàn)各種運(yùn)算，具有很大的靈活性。第9頁,共46頁，2024年2月25日，星期天1.1.4數(shù)字電路的分類（1）按集成度分小規(guī)模（SSI)、中規(guī)模(MSI)、大規(guī)模(LSI)、超大規(guī)模(VLSI)、甚大規(guī)模（ULSI）（2）按所用器件制作工藝的不同雙極型（TTL）、單極型（MOS）（3）按照電路的結(jié)構(gòu)和工作原理的不同組合邏輯電路、時序邏輯電路第10頁,共46頁，2024年2月25日，星期天1.2數(shù)制與編碼1.2.1數(shù)制

其中，J為進(jìn)位制的基數(shù)，對于J進(jìn)制計數(shù)制，可供選用的數(shù)碼有J個；i為數(shù)字符號所處位置的序號，Ki為第i位的系數(shù)；Ji為第i位的位權(quán)，簡稱權(quán)，計數(shù)規(guī)律為“逢J進(jìn)1”。（1.2.1）

第11頁,共46頁，2024年2月25日，星期天1.2.2不同進(jìn)制數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換1．二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)

若將J進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為等值的十進(jìn)制數(shù)，只要根據(jù)式1.2.1寫出J進(jìn)制數(shù)的按權(quán)展開式，然后按照十進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，求出該多項式的和數(shù)即可得到等值的十進(jìn)制數(shù)。

2．十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)、八進(jìn)制、十六進(jìn)制數(shù)將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制數(shù)，其整數(shù)部分采用“除基取余”法，小數(shù)部分采用“乘基取整”法。

第12頁,共46頁，2024年2月25日，星期天【例1.2.2】將(106.375)10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。

第13頁,共46頁，2024年2月25日，星期天由此可得(106.375)10＝(1101010.011)2第14頁,共46頁，2024年2月25日，星期天3．二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)間的相互轉(zhuǎn)換

（1）二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換

整數(shù)部分從低位往高位進(jìn)行，三位二進(jìn)制數(shù)換一位八進(jìn)制數(shù)，不足三位高位補(bǔ)零。小數(shù)部分從高位往低位進(jìn)行，三位二進(jìn)制數(shù)換一位八進(jìn)制數(shù)，不足三位低位補(bǔ)零?！纠?.2.4】

將二進(jìn)制數(shù)(11011001.01101)2轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)。解：二進(jìn)制數(shù)

011

011

001.011

010八進(jìn)制數(shù)

3

3

1.3

2所以(11011001.01101)2＝(331.32)8

第15頁,共46頁，2024年2月25日，星期天（2）二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換

整數(shù)部分從低位往高位進(jìn)行，四位二進(jìn)制數(shù)換一位十六進(jìn)制數(shù)，不足四位高位補(bǔ)零。小數(shù)部分從高位往低位進(jìn)行，四位二進(jìn)制數(shù)換一位十六進(jìn)制數(shù)，不足四位低位補(bǔ)零。

【例1.2.6】

將二進(jìn)制數(shù)(1011011001.101101)2轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)。解：二進(jìn)制數(shù)

0010

1101

1001.1011

0100十六進(jìn)制數(shù)

2D

9.B4第16頁,共46頁，2024年2月25日，星期天1.2.3編碼

將若干位二進(jìn)制數(shù)碼組合起來，表示數(shù)字、文字符號以及其他不同的信息，稱這種二進(jìn)制數(shù)碼為代碼；賦予每個代碼以固定的信息，稱為編碼。

1．二—十進(jìn)制碼（BCD碼）

所謂二—十進(jìn)制碼，指的是用4位二進(jìn)制數(shù)來表示1位十進(jìn)制數(shù)的編碼方式，稱為二進(jìn)制編碼的十進(jìn)制數(shù)（BinaryCodedDecimal），簡稱BCD碼。表1.2.2列出了幾種常見的BCD碼，

2．可靠性編碼

目前，常采用的代碼有格雷碼、奇偶校驗碼等。

第17頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

（1）格雷碼格雷（Gray）碼有多種編碼形式，但所有的格雷碼都有一個共同的特點，就是任意兩組相鄰的代碼之間只有一位不同。表1.2.3列出的是一種典型的格雷碼與四位二進(jìn)制數(shù)碼的對照表。（2）奇偶檢驗碼在信息碼組中增加1位奇偶校驗位，使得增加校驗位后的整個碼組具有奇數(shù)個1（奇校驗碼）或偶數(shù)個1（偶校驗碼）。表1.2.4列出了8421BCD碼的奇校驗和偶校驗碼。

3．字符編碼

ASCII碼是美國信息交換標(biāo)準(zhǔn)代碼的簡稱，是目前國際上最通用的一種字符編碼，如表1.2.5所示。它采用7位二進(jìn)制編碼表示十進(jìn)制符號、英文大小寫字母、運(yùn)算符、控制符以及特殊符號等27=128種編碼，高三位表示列，低四位表示行，使用時加第8位作為奇偶校驗位。

第18頁,共46頁，2024年2月25日，星期天常用的BCD碼第19頁,共46頁，2024年2月25日，星期天1.3邏輯代數(shù)基礎(chǔ)1.3.1邏輯代數(shù)的基本概念與基本運(yùn)算1．邏輯代數(shù)的基本概念

（1）邏輯變量

決定事物的原因的稱為邏輯自變量，也稱為輸入變量。被決定的事物的結(jié)果稱為邏輯應(yīng)變量，也稱為輸出變量。（2）邏輯函數(shù)

Y=F(A,B,C…)

邏輯變量和邏輯函數(shù)只有1和0兩種取值，這里的1和0并不表示數(shù)值的大小，而是分別用來表示客觀世界中存在的既完全對立又相互依存的兩種邏輯狀態(tài)。第20頁,共46頁，2024年2月25日，星期天2．邏輯代數(shù)的3種基本運(yùn)算

（1）與邏輯關(guān)系及與運(yùn)算

ABY=A·B

或Y=AB

圖1.3.1與邏輯符號（2）或邏輯關(guān)系及或運(yùn)算

ABY=A+B圖1.3.2或邏輯符號

第21頁,共46頁，2024年2月25日，星期天非門電路

A函數(shù)表達(dá)式

Y=A

邏輯符號

（3）非邏輯關(guān)系及非運(yùn)算當(dāng)條件不成立時，事件就會發(fā)生，條件成立時，事件反而不會發(fā)生，將這種因果關(guān)系稱為非邏輯關(guān)系，簡稱非邏輯。非邏輯關(guān)系用表達(dá)式表示為

Y=A

第22頁,共46頁，2024年2月25日，星期天4，與或非邏輯符號第23頁,共46頁，2024年2月25日，星期天與、或、非、門真值表1、真值表：描述邏輯函數(shù)全部真值的表與門真值表或門真值表非門真值表ABYABYAY0000000101001110100101111111Y=A*BY=A+BY=A第24頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

1.3.2幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算

除了與、或、非這三種基本邏輯關(guān)系外，還可以把它們組合起來，形成關(guān)系比較復(fù)雜的復(fù)合邏輯關(guān)系，相應(yīng)地運(yùn)算稱為復(fù)合邏輯運(yùn)算。常用的復(fù)合運(yùn)算有下面幾種：（1）與非運(yùn)算（2）或非運(yùn)算（3）與或非運(yùn)算（4）異或邏輯（5）同或邏輯第25頁,共46頁，2024年2月25日，星期天5．復(fù)合邏輯運(yùn)算：與非、或非、與或非、異或、同或與非的邏輯運(yùn)算符號：z=

與非真值表與非邏輯符號z=A*B第26頁,共46頁，2024年2月25日，星期天或非的邏輯運(yùn)算符號：

圖:或非的邏輯符號或非的真值表z=第27頁,共46頁，2024年2月25日，星期天與或非的邏輯運(yùn)算符號是：圖:與或非的邏輯符號

與或非的真值表Y=第28頁,共46頁，2024年2月25日，星期天異或運(yùn)算定義是輸入相異，輸出為1；輸入相同輸出為0。

其邏輯運(yùn)算符號是異或真值表圖:異或的邏輯符號YY=AB=AB+AB第29頁,共46頁，2024年2月25日，星期天同或運(yùn)算的定義是輸入相同，輸出為1；輸入相異，輸出為0。其邏輯運(yùn)算符號是⊙Y=A⊙B=AB+AB同或真值表

圖:同或的邏輯符號Y第30頁,共46頁，2024年2月25日，星期天1.4邏輯代數(shù)中的基本公式、定理和規(guī)則1.4.1基本公式1.常量和常量的公式①與運(yùn)算

②或運(yùn)算

③非運(yùn)算

（1.4.3）

（1.4.1）

（1.4.2）2.常量和變量的公式①0、1律

（1.4.4）

（1.4.5）

（1.4.6）②互補(bǔ)律

第31頁,共46頁，2024年2月25日，星期天3.變量和變量的公式①交換律

（1.4.7）

（1.4.8）

（1.4.9）

（1.4.10）

（1.4.11）

（1.4.12）⑥反演律

(摩根定律)

⑤非非律

(還原律)④重疊律

③分配律

②結(jié)合律

第32頁,共46頁，2024年2月25日，星期天4．若干常用公式

（1）并項公式

AB+AB=A(A+B)(A+B)=A

（2）吸收公式

（1.4.13）

A+AB=AA(A+B)=A（1.4.14）

（3）消去公式

A+AB=A+BA(A+B)=AB（1.4.15）

（4）多余項公式

（1.4.16）

【例1.4.1】

利用邏輯代數(shù)的基本定律證明多余項公式。證：第33頁,共46頁，2024年2月25日，星期天3．邏輯函數(shù)的最簡表達(dá)式最簡表達(dá)式歸納起來，可以分為以下5種形式。（1）最簡與或式

（2）最簡與非-與非式（3）最簡與或非式（4）最簡或與式（5）最簡或非-或非式

【例1.5.1】

求其它幾種形式的最簡表達(dá)式。第34頁,共46頁，2024年2月25日，星期天1.5.2邏輯函數(shù)的公式化簡法

公式法化簡就是利用邏輯代數(shù)的基本公式、基本規(guī)則和常用公式來簡化邏輯函數(shù)的。常見的方法有

1.并項法2.吸收法3.消去法4.配項法5.取消法

【例1.5.2】

利用代數(shù)法化簡并將結(jié)果變換為與非-與非式。解：

第35頁,共46頁，2024年2月25日，星期天1.5.3邏輯函數(shù)的圖形化簡法1．用卡諾圖表示邏輯函數(shù)（1）卡諾圖的構(gòu)成及其特點卡諾圖是邏輯函數(shù)的另一種表示方法，是真值表的一種特定的圖示形式。將真值表中的每一行，在卡諾圖中都用一個小方格來代替，也就是卡諾圖中的每一個小方格都對應(yīng)一個最小項。所以卡諾圖又稱最小項方格圖。

第36頁,共46頁，2024年2月25日，星期天圖1.5.1卡諾圖的構(gòu)成

第37頁,共46頁，2024年2月25日，星期天【例1.5.3】

利用卡諾圖求

的最簡與或式和反函數(shù)的最簡與或式。

第38頁,共46頁，2024年2月25日，星期天1.5.4具有約束的邏輯函數(shù)的化簡1．約束、約束項和有約束的邏輯函數(shù)

約束指的是邏輯函數(shù)的各個變量之間所具有的相互制約的關(guān)系。我們把這樣的變量稱為具有約束的邏輯變量，而這些不允許出現(xiàn)，或不可能出現(xiàn)的取值組合所對應(yīng)的最小項統(tǒng)稱為約束項。由有約束的變量所決定的邏輯函數(shù)，叫做有約束的邏輯函數(shù)。約束項可以用di表示，其中下標(biāo)i=0～（2n?1）為最小項的編號，在列真值表或填卡諾圖時，將約束項所對應(yīng)的函數(shù)值記作“×”、或。

2．約束條件和具有約束的邏輯函數(shù)的表示方法將所有約束項相加所構(gòu)成的函數(shù)值恒為零的邏輯表達(dá)式叫做“約束條件”，記做。

第39頁,共46頁，2024年2月25日，星期天3．具有約束的邏輯函數(shù)的化簡方法

約束項的邏輯函數(shù)參與化簡，用X表示，既可以取0，也可以取1，視需要而定。

【例1.5.16】

利用圖形法化簡下列具有約束的邏輯函數(shù)。第40頁,共46頁，2024年2月25日，星期天1.6邏輯函數(shù)的表示方法及其相互之間的轉(zhuǎn)換1.6.1邏輯函數(shù)的幾種表示方法1.真值表2.邏輯函數(shù)表達(dá)式3.邏輯圖4.卡諾圖5.波形圖1.6.25種表示方法的轉(zhuǎn)換

邏輯函數(shù)的5種表示方法，是完全一一對應(yīng)的關(guān)系，只要知道其中的任意一種表示形式，都可以方便地得到其他4種表示形式。

第41頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

邏輯函數(shù)的表示方法邏輯函數(shù)：輸出變量和輸入變量之間是一種函數(shù)關(guān)系。當(dāng)輸入變量取值確定之后，輸出變量取值便隨之而定.邏輯函數(shù)的表示方法：邏輯函數(shù)式、邏輯真值表、邏輯電路圖和卡諾圖,波形圖。如:1、邏輯函數(shù)式:Y=A+B+C

2、真值表3電路圖4卡諾圖ABCY00000011010101111001101111011111≧&&&ABYCABC

000111100011111111ABCY5波形圖第42頁,共46頁，2024年2月25日，星期天【例1.6.1】

某邏輯函數(shù)的邏輯圖如圖所示，試用其他4種方法表示該邏輯函數(shù)。

解：（1）邏輯表達(dá)式由邏輯圖逐級寫出輸出端函數(shù)表達(dá)式,最后得到函數(shù)Y的表達(dá)式為

第43頁,共4