高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-3課件2-3習(xí)題課-離散型隨機(jī)變量的均值與方差的綜合應(yīng)用

習(xí)題課——離散型隨機(jī)變量的均值與方差的綜合應(yīng)用1.常用分布的均值與方差(1)兩點(diǎn)分布的均值與方差若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布,則E(X)=1×p+0×(1-p)=p,D(X)=p(1-p).(2)二項(xiàng)分布的均值與方差在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,若X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p).2.離散型隨機(jī)變量均值與方差的性質(zhì)當(dāng)a,b為常數(shù)時(shí),隨機(jī)變量Y=aX+b,則E(ax+b)=aE(x)+b,D(Y)=D(aX+b)=a2D(X).(1)當(dāng)a=0時(shí),D(Y)=D(b)=0;(2)當(dāng)a=1時(shí),D(Y)=D(X+b)=D(X);(3)當(dāng)b=0時(shí),D(Y)=D(aX)=a2D(X).【做一做1】

若隨機(jī)變量X的方差D(X)=1,則D(2X+1)的值為(

)A.2 B.3 解析:D(2X+1)=4D(X)=4×1=4.答案:C【做一做2】

已知離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1=-1,x2=0,x3=1,且E(X)=0.1,D(X)=0.89,則對(duì)應(yīng)x1,x2,x3的概率p1,p2,p3分別為

,

,

.

解析:由題意知,-p1+p3=0.1,1.21p1+0.01p2+0.81p3=0.89.又p1+p2+p3=1,解得p1=0.4,p2=0.1,p3=0.5.答案:0.4

0.1

0.5探究一探究二探究三均值與方差的綜合例1

在某地舉辦的射擊比賽中,規(guī)定每位射手射擊10次,每次一發(fā),記分的規(guī)則為:擊中目標(biāo)一次得3分;未擊中目標(biāo)得0分;并且凡參賽者一律另加2分.已知射手小李擊中目標(biāo)的概率為0.9,求小李在比賽中得分的數(shù)學(xué)期望與方差.思路分析:首先理解題意,將實(shí)際問題正確地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,直接代入隨機(jī)變量的方差計(jì)算公式.規(guī)范解答當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三解:設(shè)擊中次數(shù)為X,比賽得分為Y,則Y=3X+2.由題意知X~B(10,0.9),所以E(X)=10×0.9=9,D(X)=10×0.9×(1-0.9)=0.9.E(Y)=E(3X+2)=3E(X)+2=29,D(Y)=D(3X+2)=9D(X)=8.1.所以小李在比賽中得分的數(shù)學(xué)期望為29,方差為8.1.反思感悟通過審題,明確判斷出隨機(jī)變量X(擊中次數(shù))服從二項(xiàng)分布是解決這個(gè)題的關(guān)鍵,然后利用二項(xiàng)分布的均值和方差的計(jì)算公式即可求出E(X),D(X).規(guī)范解答當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三變式訓(xùn)練1某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率P=0.6.(1)求1次投籃命中次數(shù)ξ的期望與方差;(2)求重復(fù)5次投籃時(shí),命中次數(shù)η的期望與方差.思路分析:(1)投籃1次可能投中,也可能不中,投中次數(shù)ξ若用0和1作為可能取值,則服從兩點(diǎn)分布;(2)重復(fù)5次投籃的投中次數(shù)η服從二項(xiàng)分布.解:(1)投籃1次只有兩種結(jié)果,投籃命中ξ=1,不中ξ=0,服從兩點(diǎn)分布列:則E(ξ)=1×0.6=0.6,D(ξ)=(1-0.6)×0.6=0.24.(2)由題意,重復(fù)5次投籃,命中的次數(shù)η服從二項(xiàng)分布,即η~B(5,0.6).由二項(xiàng)分布期望與方差的計(jì)算公式知,E(η)=5×0.6=3,D(η)=5×0.6×0.4=1.2.規(guī)范解答當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三已知離散型隨機(jī)變量的均值與方差,求參數(shù)值例2設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球,b個(gè)黃球,c個(gè)藍(lán)球,且規(guī)定:取出一個(gè)紅球得1分,取出一個(gè)黃球得2分,取出一個(gè)藍(lán)球得3分.(1)當(dāng)a=3,b=2,c=1時(shí),從該袋子中任取一個(gè)球,記下顏色后放回,再取一個(gè)球(每球取到的機(jī)會(huì)均等),記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和,求ξ的分布列;(2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球,記隨機(jī)變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù).若規(guī)范解答當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三規(guī)范解答當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三規(guī)范解答當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三反思感悟離散型隨機(jī)變量的均值與方差的常見類型及解題策略(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差.可依題設(shè)條件求出離散型隨機(jī)變量的分布列,然后利用均值、方差公式直接求解.(2)由已知均值或方差求參數(shù)值.可依據(jù)條件利用均值、方差公式得出含有參數(shù)的方程(組),解方程(組)即可求出參數(shù)值.(3)由已知條件,作出對(duì)兩種方案的判斷.可依據(jù)均值、方差的意義,對(duì)實(shí)際問題作出判斷.規(guī)范解答當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三變式訓(xùn)練2為迎接2022年北京冬奧會(huì),推廣滑雪運(yùn)動(dòng),某滑雪場(chǎng)開展滑雪促銷活動(dòng).該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是:滑雪時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi),超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算).有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng),設(shè)甲、乙不超過1小時(shí)離開的概率分別為;1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)離開的概率分別為;兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí).(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率;(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ,求ξ的分布列與均值E(ξ),方差D(ξ).規(guī)范解答當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三規(guī)范解答當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三規(guī)范解答當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三均值與方差在決策中的應(yīng)用例3計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站.過去50年的水文資料顯示,水庫(kù)年入流量X(年入流量:一年內(nèi)上游來水與庫(kù)區(qū)降水之和.單位:億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過120的年份有35年,超過120的年份有5年,將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)各年的入流量相互獨(dú)立.規(guī)范解答當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三(1)求未來4年中,至多有1年的年入流量超過120的概率;(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行,但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制,并有如下關(guān)系:若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年利潤(rùn)為5000萬元;若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行,則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年虧損800萬元.欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)?規(guī)范解答當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三規(guī)范解答當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三(2)記水電站年總利潤(rùn)為Y(單位:萬元).①安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.由于水庫(kù)年入流量總大于40,故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1,對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)Y=5

000,E(Y)=5

000×1=5

000.②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.依題意,當(dāng)40<X<80時(shí),一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5

000-800=4

200,因此P(Y=4

200)=P(40<X<80)=p1=0.2;當(dāng)X≥80時(shí),兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5

000×2=10

000,因此P(Y=10

000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8.由此得Y的分布列如下:所以,E(Y)=4

200×0.2+10

000×0.8=8

840.規(guī)范解答當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三③安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形.依題意,當(dāng)40<X<80時(shí),一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5

000-1

600=3

400,因此P(Y=3

400)=P(40<X<80)=p1=0.2;當(dāng)80≤X≤120時(shí),兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5

000×2-800=9

200,因此P(Y=9

200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7;當(dāng)X>120時(shí),三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行,此時(shí)Y=5

000×3=15

000,因此P(Y=15

000)=P(X>120)=p3=0.1,由此得Y的分布列如下:所以,E(Y)=3

400×0.2+9

200×0.7+15

000×0.1=8

620.綜上,欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).規(guī)范解答當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三反思感悟隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平,方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度,它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量,是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值,若均值相同,再用方差來決定.規(guī)范解答當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三變式訓(xùn)練3某投資公司在2018年年初準(zhǔn)備將1000萬元投資到“低碳”項(xiàng)目上,現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇:項(xiàng)目一:新能源汽車.據(jù)市場(chǎng)調(diào)研,投資到該項(xiàng)目上,到年底可能獲利30%,也可能虧損15%,且這兩種情況發(fā)生的概率分別為項(xiàng)目二:通信設(shè)備.據(jù)市場(chǎng)調(diào)研,投資到該項(xiàng)目上,到年底可能獲利50%,可能損失30%,也可能不賠不賺,且這三種情況發(fā)生的概率分別為針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目,請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目,并說明理由.規(guī)范解答當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三規(guī)范解答當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三規(guī)范解答當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三列表法求離散型隨機(jī)變量的分布列與期望典例

如圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖,空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良,空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染,某人隨機(jī)在3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市,并停留2天.規(guī)范解答當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三(1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率.(2)設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù),求X的分布列與均值.(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大?(結(jié)論不要求證明)【審題策略】

第一步,審條件.給出了3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖,空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良與重度污染的數(shù)據(jù).第二步,審結(jié)論.第(1)問求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率;第(2)問求分布列與均值;第(3)問求從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.第三步,建聯(lián)系.(1)重度污染只有2天,由于到達(dá)是隨機(jī)的,根據(jù)古典概型求得;(2)隨機(jī)變量X=0,1,2,求出分布列與期望;(3)根據(jù)方差表示數(shù)據(jù)偏離均值的程度,結(jié)合圖中數(shù)據(jù)可得.規(guī)范解答當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三【規(guī)范展示】

解:設(shè)Ai表示事件“此人于3月i日到達(dá)該市”(i=1,2,…,13),根據(jù)題意,P(Ai)=,且Ai∩Aj=?(i≠j).(1)設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染”,則B=A5∪A8.(2)由題意可知,X的所有可能取值為0,1,2,規(guī)范解答當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三所以X的分布列為

(3)從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.【答題模板】

①求隨機(jī)變量的取值—明確隨機(jī)變量的所有可能取值以及每個(gè)值所表示的意義;②求概率—利用概率有關(guān)知識(shí)求出隨機(jī)變量每個(gè)取值的概率;③求分布列、均值—規(guī)范寫出分布列,并用分布列的性質(zhì)驗(yàn)證,求均值.規(guī)范解答當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三跟蹤訓(xùn)練一次考試共有12道選擇題,每道選擇題都有4個(gè)選項(xiàng),其中有且只有一個(gè)是正確的.評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:“每題只選一個(gè)選項(xiàng),答對(duì)得5分,不答或答錯(cuò)得零分”.某考生已確定有8道題的答案是正確的,其余題中:有兩道題可以判斷兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的,有一道題可以判斷一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的,還有一道題因不理解題意只好亂猜.請(qǐng)求出該考生:(1)得60分的概率;(2)