2023-2024學(xué)年上海市高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）

2023-2024學(xué)年上海市高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1～6題每題4分，7～12題每題5分）1．（4分）函數(shù)的定義域為．2．（4分）函數(shù)y＝x2﹣1的零點是．3．（4分）若冪函數(shù)f（x）＝xk的圖像過點，則f（9）＝．4．（4分）如果，α為第三象限角，則＝．5．（4分）已知函數(shù)f（x）＝ex，則曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為．6．（4分）函數(shù)y＝2x+2x﹣1，x∈[2，+∞）的值域為．7．（5分）若，則cos2α＝．8．（5分）已知函數(shù)y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f（x）＝f（x+4），當(dāng)x∈[0，2）時，f（x）＝ln（x+1），則f（2023）＝．9．（5分）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinB?sinC，則A的取值范圍是．10．（5分）已知y＝f（x+1）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x1，x2∈[1，+∞）且x1≠x2時，總有＜0，則不等式f（﹣3x+1+1）＜f（4）的解集為．11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x4+2alog2（|x|+2）﹣a﹣1的零點有且只有一個，則實數(shù)a的取值集合為．12．（5分）已知函數(shù)f（x）＝cosx，若對任意實數(shù)x1，x2，方程|f（x）﹣f（x1）|+|f（x）﹣f（x2）|＝m（m∈R）有解，方程|f（x）﹣f（x1）|﹣|f（x）﹣f（x2）|＝n（n∈R）也有解，則m+n的值的集合為．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題只有一個正確答案，選對得5分）13．（5分）“2a＞2b”是“l(fā)og2a＞log2b”的（）條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要14．（5分）下列函數(shù)中，既是（0，+∞）上的增函數(shù)，又是偶函數(shù)的是（）A．y＝ B．y＝2x C．y＝1﹣|x| D．y＝lg|x|15．（5分）已知△ABC的三邊分別為，，且a2+b2＝c2，則△ABC是（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定16．（5分）對于函數(shù)y＝f（x），若存在區(qū)間A＝[m，n]，使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A，則稱函數(shù)y＝f（x）為“可等域函數(shù)”，區(qū)間A為函數(shù)y＝f（x）的一個“可等域區(qū)間”．給出下列3個函數(shù)，則存在唯一“可等域區(qū)間”的“可等域函數(shù)”個數(shù)為（）①f（x）＝2x2﹣1；②f（x）＝|1﹣2x|；③f（x）＝log2（2x﹣2）．A．0 B．1 C．2 D．3三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙上與題號對應(yīng)的區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17．（14分）已知點（﹣2，1）是角α終邊上一點．（1）求的值；（2）若將角α終邊繞著坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到角β的終邊，求cosβ的值．18．（14分）已知在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且滿足a＝2，b＝3c．（1）若，求△ABC的面積；（2）在（1）條件下，若sinB+sinC＝1，求△ABC的周長．19．（14分）已知某電子公司生產(chǎn)某款手機的年固定成本為40萬美元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬美元，設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機x萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為R（x）萬美元，且R（x）＝．（1）寫出年利潤W（萬美元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬部）的函數(shù)解析式（利潤＝銷售收入﹣成本）；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時，該公司在該款手機的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．20．（16分）函數(shù)．（1）若a＝0，是否存在實數(shù)c，使得y＝f（x）是奇函數(shù)；（2）若c＝2，且y＝f（x）的圖像與x軸的正半軸有兩個交點，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若a＝0，c＞0，，已知對任意的x1∈（0，+∞），都存在使得不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求實數(shù)c的取值范圍．21．（18分）記y＝f'（x），y＝g'（x）分別為函數(shù)y＝f（x），y＝g（x）的導(dǎo)函數(shù)．若存在x0∈R，滿足f（x0）＝g（x0）且f'（x0）＝g'（x0），則稱x0為函數(shù)y＝f（x）與y＝g（x）的一個“好點”．（1）判斷函數(shù)f（x）＝x與g（x）＝x2﹣x+1是否存在“好點”，若存在，求出“好點”；若不存在，請說明珵由：（2）若函數(shù)f（x）＝ax3﹣1與g（x）＝lnx存在“好點”，求實數(shù)a的值；（3）已知函數(shù)f（x）＝﹣x2+a，，若存在實數(shù)a＞0，使函數(shù)y＝f（x）與y＝g（x）在區(qū)間（2，+∞）內(nèi)存在“好點”，求實數(shù)b的取值范圍．

參考答案與試題解析一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1～6題每題4分，7～12題每題5分）1．【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的定義域即可．【解答】解：由題意得：1+＞0，解得：x＞0或x＜﹣1．故答案為：（﹣∞，﹣1）?（0，+∞）．【點評】本題考查了求對數(shù)函數(shù)的定義域問題，是基礎(chǔ)題．2．【分析】解方程，求出函數(shù)的零點即可．【解答】解：令y＝x2﹣1＝0，解得：x＝±1，故函數(shù)的零點是1，﹣1，故答案為：1，﹣1．【點評】本題考查了函數(shù)的零點的定義，求函數(shù)的零點問題，是基礎(chǔ)題．3．【分析】代入點的坐標(biāo)，求出f（x）的解析式，求出f（9）的值即可．【解答】解：若冪函數(shù)f（x）＝xk的圖像過點，則＝8，解得：k＝﹣，故f（x）＝，f（9）＝＝．故答案為：．【點評】本題考查了冪函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)求值問題，是基礎(chǔ)題．4．【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式求解即可．【解答】解：已知，α為第三象限角，則＝，則＝﹣cosα＝．故答案為：．【點評】本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，屬基礎(chǔ)題．5．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)值，再求出f（1），利用直線方程的點斜式得答案．【解答】解：由f（x）＝ex，得f′（x）＝ex，∴f′（1）＝e，又f（1）＝e，∴曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y﹣e＝e（x﹣1），即y＝ex．故答案為：y＝ex．【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，是基礎(chǔ)題．6．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性得出原函數(shù)在[2，+∞）上是增函數(shù)，然后即可得出原函數(shù)的值域．【解答】解：y＝2x和y＝2x﹣1在[2，+∞）上都是增函數(shù)，∴原函數(shù)在[2，+∞）上是增函數(shù)，且x＝2時，y＝7，∴原函數(shù)的值域為[7，+∞）．故答案為：[7，+∞）．【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性，增函數(shù)值域的求法，是基礎(chǔ)題．7．【分析】由誘導(dǎo)公式，結(jié)合二倍角公式求解．【解答】解：已知，則，則cos2α＝．故答案為：．【點評】本題考查了誘導(dǎo)公式，重點考查了二倍角公式，屬基礎(chǔ)題．8．【分析】先根據(jù)周期性，轉(zhuǎn)化為計算f（﹣1），再根據(jù)奇偶性求值即可．【解答】解：f（x）＝f（x+4），則T＝4，則f（2023）＝f（506×4﹣1）＝f（﹣1），由于y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2）時，f（x）＝ln（x+1），則f（2023）＝﹣f（1）＝﹣ln2．故答案為：﹣ln2．【點評】本題考查函數(shù)的周期性，奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】利用正弦定理化簡已知的不等式，再利用余弦定理表示出cosA，將得出的不等式變形后代入表示出的cosA中，得出cosA的范圍，由A為三角形的內(nèi)角，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出A的取值范圍．【解答】解：利用正弦定理化簡sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC得：a2≤b2+c2﹣bc，變形得：b2+c2﹣a2≥bc，∴cosA＝≥＝，又A為三角形的內(nèi)角，則A的取值范圍是（0，]．故答案為：（0，]．【點評】此題考查了正弦、余弦定理，特殊角的三角函數(shù)值，以及余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關(guān)鍵．10．【分析】根據(jù)題意即可得出f（x）的圖象關(guān)于x＝1對稱，并得出f（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞曾，并且得出f（﹣2）＝f（4），從而根據(jù)原不等式得出﹣3x+1+1＜﹣2或﹣3x+1+1＞4，解出x的范圍即可．【解答】解：因為當(dāng)x1，x2∈[1，+∞）且x1≠x2時，總有＜0，所以f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，因為y＝f（x+1）是定義在R上的偶函數(shù)，所以f（x）關(guān)于x＝1對稱，所以f（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞增，因為f（﹣3x+1+1）＜f（4），且f（﹣2）＝f（4）所以﹣3x+1+1＜﹣2或﹣3x+1+1＞4，解得x＞0，即不等式的解集為（0，+∞）．故答案為：（0，+∞）．【點評】本題考查了偶函數(shù)的定義，偶函數(shù)的圖象對稱性，圖象的平移變換，函數(shù)的單調(diào)性，考查了計算能力，屬于中檔題．11．【分析】根據(jù)解析式先得函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則只能是f（0）＝0，代入求解即可．【解答】解：由題可得，函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，又因為函數(shù)零點有且只有一個，故函數(shù)零點只能為x＝0，即f（0）＝2alog22﹣a﹣1＝0，解得a＝1．故答案為：{1}．【點評】本題考查函數(shù)零點的條件，考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．12．【分析】根據(jù)題意，不妨設(shè)cosx1≤cosx2，分類討論當(dāng)cosx≥cosx2，cosx≤cosx1，cosx1＜cosx＜cosx2三種情況下，結(jié)合方程有解以及余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，從而求出m和n的值，即可得出m+n的值的集合．【解答】解：由題可知f（x）＝cosx，不妨設(shè)cosx1≤cosx2，對于m，對任意實數(shù)x1，x2，方程|f（x）﹣f（x1）|+|f（x）﹣f（x2）|＝m（m∈R）有解，當(dāng)cosx≥cosx2時，方程可化為m＝2cosx﹣（cosx1+cosx2）有解，所以m≥cosx2﹣cosx1恒成立，所以m≥2；當(dāng)cosx≤cosx1時，同上；當(dāng)cosx1＜cosx＜cosx2時，方程可化為m＝cosx2﹣cosx1有解，所以m∈[0，2]，綜上得：m＝2；對于n，對任意實數(shù)x1，x2，方程|f（x）﹣f（x1）|﹣|f（x）﹣f（x2）|＝n（n∈R）也有解，當(dāng)cosx≥cosx2時，方程可化為n＝cosx2﹣cosx1有解，所以n∈[0，2]；當(dāng)cosx≤cosx1時，同上；當(dāng)cosx1＜cosx＜cosx2時，方程可化為n＝2cosx﹣（cosx1+cosx2）有解，所以cosx1﹣cosx2＜n＜cosx2﹣cosx1恒成立，所以n＝0，所以m+n的值的集合為{2}．故答案為：{2}．【點評】本題考查函數(shù)與方程的綜合問題，考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，通過設(shè)cosx1≤cosx2，以及分類討論cosx與cosx1，cosx2的大小情況，并將方程有解轉(zhuǎn)化為恒成立問題是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的分類討論思想和邏輯分析能力．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題只有一個正確答案，選對得5分）13．【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：由“2a＞2b”得a＞b，由“l(fā)og2a＞log2b”得a＞b＞0，則“2a＞2b”是“l(fā)og2a＞log2b”的必要不充分條件，故選：B．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)指數(shù)不等式和對數(shù)不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．14．【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，以及函數(shù)圖象的翻折變換法則逐一判斷每個選項即可．【解答】解：函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)，且是奇函數(shù)，即A不符合題意；函數(shù)y＝2x是非奇非偶函數(shù)，即B不符合題意；函數(shù)y＝1﹣|x|在（0，+∞）上是減函數(shù)，即C不符合題意；對于函數(shù)y＝lg|x|，當(dāng)x＞0時，有y＝lgx，單調(diào)遞增；而f（﹣x）＝lg|﹣x|＝lg|x|＝f（x），所以f（x）是偶函數(shù)，即D正確．故選：D．【點評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和函數(shù)圖象的變換法則，熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】先得到a+b＞c，且c為最大邊，再利用余弦定理求解即可．【解答】解：∵a2+b2＝c2，∴（a+b）2﹣c2＝a2+b2+2ab﹣c2＝2ab＞0，∴a+b＞c，且c為最大邊，則cosC＝＞0，∴C為銳角，則△ABC是銳角三角形．故選：B．【點評】本題考查三角形形狀的判斷，考查余弦定理的運用，屬于基礎(chǔ)題．16．【分析】根據(jù)存在區(qū)間A＝[m，n]，使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A，，則稱函數(shù)y＝f（x）為“可等域函數(shù)”，區(qū)間A為函數(shù)的一個“可等域區(qū)間”，對三個函數(shù)逐一判斷，即可得到答案．【解答】解：在①中，y＝2x2﹣1≥﹣1，且f（x）在x≤0時單調(diào)遞減，在x≥0時單調(diào)遞增，若0∈[m，n]，則﹣1∈[m，n]，于是m＝﹣1，又f（﹣1）＝1，f（0）＝﹣1，而f（1）＝1，故n＝1，[﹣1，1]是一個可等域區(qū)間；若n≤0，則，解得m＝﹣，n＝＞0，不合題意；若m≥0，則2x2﹣1＝x有兩個非負解，但此方程的兩解為1和﹣，也不合題意；故函數(shù)f（x）＝2x2﹣1只有一個等可域區(qū)間[﹣1，1]，故①成立；在②中，函數(shù)f（x）＝|1﹣2x|的值域是[0，+∞），所以m≥0，函數(shù)f（x）＝|1﹣2x|在[0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，考察方程2x﹣1＝x，由于函數(shù)y＝2x與y＝x+1只有兩個交點（0，1），（1，2），即方程2x﹣1＝x只有兩個解0和1，因此此函數(shù)只有一個等可域區(qū)間[0，1]，故②成立；在③中，函數(shù)f（x）＝log2（2x﹣2）在定義域（1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，若函數(shù)有f（x）＝log2（2x﹣2）等可域區(qū)間[m，n]，則f（m）＝m，f（n）＝n，但方程log2（2x﹣2）＝x無解（方程x＝log2x無解），故此函數(shù)無可等域區(qū)間，故③不成立．綜上只有①②正確．故選：C．【點評】本題考查了函數(shù)的新定義，解題關(guān)鍵是理解所給的函數(shù)新定義：“可等域區(qū)間”的“可等域函數(shù)”，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題．三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙上與題號對應(yīng)的區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17．【分析】（1）利用任意角三角函數(shù)、誘導(dǎo)公式求解；（2）利用余弦函數(shù)加法公式求解．【解答】解：（1）點（﹣2，1）是角α終邊上一點，∴x＝﹣2，y＝1，r＝，∴sinα＝＝＝，cosα＝＝﹣，∴＝＝＝﹣3；（2）將角α終邊繞著坐標(biāo)原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到角β的終邊，∴cosβ＝cos（）＝cos﹣sin＝﹣﹣＝．【點評】本題考查任意角三角函數(shù)、誘導(dǎo)公式、余弦函數(shù)加法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．18．【分析】（1）直接利用余弦定理和三角形的面積公式求出結(jié)果；（2）利用（1）的結(jié)論，根據(jù)正弦定理求出三角形的周長．【解答】解：（1）在△ABC中，滿足a＝2，b＝3c，利用余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bccosA，故，解得，所以．（2）由（1）得：由于b＝3c，所以sinB＝3sinC，故sinB+sinC＝4sinC＝1，解得sinC＝，利用正弦定理：，解得，故b＝3c＝4，所以三角形的周長為a+b+c＝2+4+＝．【點評】本題考查的知識要點：余弦定理和三角形的面積公式，正弦定理，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．19．【分析】（1）分段分別求出利潤W（萬美元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬部）的函數(shù)解析式，再寫為分段函數(shù)的形式即可．（2）當(dāng)0＜x≤40時，W＝﹣6x2+384x﹣40，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出W的最大值，當(dāng)x＞40時，W＝﹣，利用基本不等式求出W的最大值，再比較兩者的大小，取較大者即為W的最大值．【解答】解：（1）當(dāng)0＜x≤40時，W＝xR（x）﹣（16x+40）＝﹣6x2+384x﹣40，當(dāng)x＞40時，W＝xR（x）﹣（16x+40）＝﹣，∴W＝﹣．（2）①當(dāng)0＜x≤40時W＝﹣6x2+384x﹣40，∴當(dāng)x＝32時，Wmax＝W（32）＝6104，②當(dāng)x＞40時，W＝﹣，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝50時，等號成立，即當(dāng)x＝50時，Wmax＝5760，綜上所述，當(dāng)x＝32時，W取得最大值為6104萬美元，即當(dāng)年產(chǎn)量為32萬部時，公司在該款手機的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大，最大利潤為6104萬美元．【點評】本題主要考查根據(jù)實際應(yīng)用選擇合適的函數(shù)模型，屬于中檔題．20．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷；（2）依題意可得函數(shù)y＝f（x）有2個正的零點，即方程有2個不等正根，可