線性代數(shù)教案

第一章線性方程組的消元法與矩陣的初等變換教學(xué)目標(biāo)與要求1.了解線性方程組的基本概念2.掌握矩陣的三種初等變換教學(xué)重點(diǎn)運(yùn)用矩陣的初等變換解一般的線性方程組教學(xué)難點(diǎn)矩陣的初等變換§1.1線性方程組的基本概念基本概念定義：m個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的線性方程組為如下形式：(1)稱(1)為非齊次線性方程組；當(dāng)時(shí)則稱為齊次線性方程組。方程組(1)的一個(gè)解為：（或稱為解向量）；此時(shí)稱為系數(shù)矩陣，稱為增廣矩陣。線性方程組的消元法例1：解線性方程組解：，，；，，，從上面可以看出，整個(gè)消元過程和回代過程都只與的系數(shù)有關(guān)，且僅用了以下3種變換：①交換兩行；②某行乘k倍；③某行乘k倍加至另一行（即初等行變換）。故我們隱去，得到一個(gè)數(shù)字陣（即矩陣），對(duì)進(jìn)行初等行變換：其中稱為行階梯形矩陣，稱為行最簡(jiǎn)形矩陣。三、小結(jié)例1告訴我們求解一般的線性方程組的基本方法：對(duì)其增廣矩陣進(jìn)行3種初等行變換，把它變?yōu)樾须A梯形矩陣，再最終變成行最簡(jiǎn)形矩陣，然后從中讀出所需的解。四、一般解和通解例2：解方程組解：即，亦即一般解為，其中為自由未知量。令，得方程組的通解為注意：自由未知量的取法并不唯一。定理：在齊次線性方程組中，若（即方程的個(gè)數(shù)小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)），則它必有非零解。習(xí)題P11T1(2)T2§1.2矩陣的初等變換矩陣及其初等變換1、定義：稱由個(gè)數(shù)排成的行列的數(shù)表為矩陣，簡(jiǎn)記為。矩陣的初等行(列)變換①交換兩行(列)；②某行(列)乘k倍；③某行(列)乘k倍加至另一行(列)。矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形定理：任意一個(gè)的矩陣，總可以經(jīng)過初等變換（包括行變換和列變換）化為如下的標(biāo)準(zhǔn)形：即其中1的個(gè)數(shù)就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)。習(xí)題P18T1(4)(5)T2(1)T3P19總復(fù)習(xí)題：T3T4行列式教學(xué)目標(biāo)與要求會(huì)用對(duì)角線法則計(jì)算二階行列式和三階行列式理解排列、逆序數(shù)的概念，掌握n階行列式的定義及其重要性質(zhì)理解并會(huì)靈活運(yùn)用行列式的展開公式，掌握范德蒙德行列式的結(jié)論掌握克拉默法則及其應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)1.n階行列式的重要性質(zhì)2.n階行列式展開公式的運(yùn)用以及范德蒙德行列式的結(jié)論3.克拉默法則的運(yùn)用教學(xué)難點(diǎn)1.n階行列式的重要性質(zhì)及其展開公式2.克拉默法則的運(yùn)用§2.1二階和三階行列式二階行列式1、引例：對(duì)于線性方程組（1），其系數(shù)矩陣為用消元法解得（2）2、定義：稱為二階行列式，記那么（2）可以表示為，其中，，從而。三階行列式1、定義：對(duì)于三元線性方程組，記，稱為三階行列式。2、三對(duì)角線法則（記憶）：習(xí)題P25T1(2)(3)(5)T2T3§2.2n階行列式的定義和性質(zhì)排列與逆序數(shù)1.定義1：由組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n級(jí)排列。（n級(jí)排列共有個(gè)）定義2：在一個(gè)排列中，如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個(gè)逆序，一個(gè)排列中逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記作。例：（奇排列）；（偶排列）。定理：對(duì)換改變排列的奇偶性；在全部n級(jí)排列中，奇、偶排列的個(gè)數(shù)相等，各有個(gè)。n階行列式的定義1.定義：n階矩陣，則n階行列式定義如下：這里，表示對(duì)這個(gè)數(shù)的所有排列求和。即n階行列式是指項(xiàng)取自不同行不同列的個(gè)元素乘積的代數(shù)和。2、例：（常用結(jié)論）（1）（2）3、n階行列式的等價(jià)定義定理：；其中為行標(biāo)排列的逆序數(shù)，為列標(biāo)排列的逆序數(shù)。行列式的性質(zhì)設(shè)n階矩陣的行列式為，則有如下性質(zhì)：①；②交換兩行（列），則變號(hào)；③提公因子：某行(列)所有元素的公因子可以提到的外面。特別地，若某行（列）為，則；若某兩行（列）成比例，則。④拆和：若中某行（列）的元皆為兩項(xiàng)之和，則等于兩個(gè)行列式的和。⑤某行（列）乘倍加至另一行（列），則不變。例：②如；③如④如；⑤如注意：計(jì)算行列式的常用方法：利用定義；利用性質(zhì)把行列式化為上(下)三角形行列式，從而算得行列式的值；利用展開公式(下一節(jié))。習(xí)題P36T1T4T5(3)(4)(8)T6(1)§2.3行列式的展開公式余子式與代數(shù)余子式1、定義：在n階行列式中，劃去元所在的第行和第列的元后，剩下的元按原來的順序所構(gòu)成的階行列式稱為的余子式，記作；又記，稱為的代數(shù)余子式。2.如：中，的余子式為，代數(shù)余子式為，的余子式為，代數(shù)余子式為，展開公式定理：階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和。即可按第行展開或可按第列展開如：講解P42例2和例3范德蒙德行列式推論：行列式某行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。即或例證：如習(xí)題P46T2(3)(4)(5)§2.4克拉默法則一、克拉默法則定理1：含有個(gè)未知數(shù)與個(gè)方程的線性方程組(1)稱(1)為非齊次線性方程組；當(dāng)時(shí)稱為齊次線性方程組。如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式（這里），那么(1)有唯一解，且解為，其中是把中第列元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)替代后所得到的階行列式。推論：(1)如果線性方程組(1)無解或至少有兩個(gè)不同的解，那么它的系數(shù)行列式。(2)如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式，那么它只有零解；如果齊次線性方程組有非零解，那么它的系數(shù)行列式。注意：用克拉默法則解線性方程組的兩個(gè)條件：①方程個(gè)數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)；②系數(shù)行列式不等于零?？死▌t的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系。它主要適用于理論推導(dǎo)。習(xí)題P50T2T3；P51總復(fù)習(xí)題：T1T2T3T6矩陣教學(xué)目標(biāo)與要求1.理解矩陣的概念，掌握矩陣的3種運(yùn)算(加法、數(shù)乘、乘法)，以及它們的運(yùn)算律2.熟記幾種特殊矩陣(單位陣、對(duì)角陣、數(shù)量矩陣、三角陣、轉(zhuǎn)置矩陣、對(duì)稱和反對(duì)稱陣)及其性質(zhì)，掌握方陣行列式的性質(zhì)3.掌握伴隨矩陣和逆矩陣的定義及其性質(zhì)，熟悉逆矩陣的運(yùn)算規(guī)律4.了解分塊矩陣的運(yùn)算律，以及常用結(jié)論5.理解初等矩陣與初等變換之間的關(guān)系，掌握初等變換求逆矩陣的方法6.掌握矩陣的秩的概念及其性質(zhì)，會(huì)用初等變換求矩陣的秩教學(xué)重點(diǎn)1.矩陣乘法的運(yùn)算律和方陣行列式的性質(zhì)2.逆矩陣和伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì)，以及初等變換法求逆矩陣3.矩陣的秩的性質(zhì)，以及初等變換法求矩陣的秩教學(xué)難點(diǎn)1.逆矩陣的概念，以及求逆的方法2.矩陣的秩的概念，以及求秩的方法§3.1矩陣的概念及其運(yùn)算一、矩陣的概念1、定義：稱由個(gè)數(shù)排成的行列的數(shù)表為矩陣，簡(jiǎn)記為。矩陣的相等：行矩陣（行向量）：；列矩陣（列向量）：矩陣的運(yùn)算1、矩陣的加法定義1：設(shè)，，則注意：兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)才能進(jìn)行加法運(yùn)算。矩陣的加法滿足下列運(yùn)算律(設(shè)都是矩陣)：交換律：；結(jié)合律：負(fù)矩陣，規(guī)定減法運(yùn)算：2、矩陣的數(shù)乘定義2：數(shù)與矩陣的乘積記作或，規(guī)定為；矩陣的數(shù)乘滿足下列運(yùn)算律(設(shè)都是矩陣，為數(shù))：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)或3、矩陣的乘法定義3：設(shè)，,那么矩陣與矩陣的乘積是一個(gè)矩陣，其中記為（的列數(shù)等于的行數(shù)）。例1：求矩陣與的乘積與。解：例1說明：矩陣的乘法不滿足交換律，即一般地。若，則稱方陣與可交換。矩陣的乘法滿足下列運(yùn)算律：結(jié)合律：(2)(3)分配律：，例2：舉例說明下列命題是錯(cuò)誤的若，則；若，則或；若，且，則。解：（1）；（2）；（3）。方陣的冪及方陣多項(xiàng)式1、定義：設(shè)是階方陣，則方陣的冪滿足的運(yùn)算律：(1)；(2)方陣多項(xiàng)式設(shè)為次多項(xiàng)式，為階方陣，則仍為一個(gè)階方陣，稱為方陣的多項(xiàng)式。習(xí)題P61T2(3)(4)(5)(8)T3T4T6§3.2特殊矩陣與方陣行列式特殊矩陣單位矩陣，性質(zhì)：對(duì)角矩陣性質(zhì)：，為正整數(shù)。數(shù)量矩陣，性質(zhì)：三角矩陣或性質(zhì)：5、轉(zhuǎn)置矩陣如果，則。性質(zhì)：(1)；(2)；3(3)；(4)穿脫原理：對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣設(shè)，如果，則稱為對(duì)稱矩陣；如果，則稱為反對(duì)稱矩陣。方陣行列式性質(zhì)：①（都是階方陣）②③伴隨矩陣定義：階行列式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣稱為的伴隨矩陣。例1：試證：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，證明：（1）因?yàn)楣释砜傻?。?）對(duì)兩邊取行列式，得即，所以當(dāng)時(shí)，。習(xí)題P69T1t2T6t7t8(2)§3.3逆矩陣一、逆矩陣1、定義：對(duì)于階方陣，如果有一個(gè)階方陣，使則稱是可逆的，并把矩陣稱為的逆矩陣，記為。2、可逆的判定定理定理：方陣可逆；當(dāng)可逆時(shí)，，其中為的伴隨矩陣。證明：必要性.因?yàn)榭赡?，即存在，使。故，所以充分?由§3.3的例1可知；因?yàn)?，故有按照逆矩陣的定義，即有。注意：當(dāng)時(shí)，稱為非奇異矩陣，否則稱為奇異矩陣?？梢姡赡婢仃嚲褪欠瞧娈惥仃?。同時(shí)，定理也提供了一種求逆矩陣的方法——伴隨矩陣法（公式法）。3、推論：若（或），則。證明：，故，從而存在，于是二、逆矩陣的運(yùn)算律方陣的逆矩陣滿足下列運(yùn)算律：①若階方陣可逆，則也可逆，且；②若可逆，數(shù)，則可逆，且；③若均為階可逆方陣，則也可逆，且（穿脫原理）；④若可逆，且，則；⑤若可逆，則也可逆，且；⑥若可逆，則也可逆，且；⑦若可逆，則；⑧若可逆，則⑨若均為階可逆方陣，則（穿脫原理）證明：①因?yàn)?，由推論可知，②因?yàn)椋赏普摽芍?，③，由推論有，④因?yàn)榭赡妫瑒t，即，故⑤，由推論有，⑥因?yàn)榭赡妫?，且，從而；又，即所以。⑦因?yàn)椋寓嘁驗(yàn)?，即，所以⑨由可知，也可逆。又，所以?、問滿足什么條件時(shí)可逆，并求。解：，，當(dāng)時(shí)，可逆；且例2、設(shè)是三階方陣，且，求解：例3、解矩陣方程解：習(xí)題P75T2T3(3)T6T7T9§3.4分塊矩陣和初等矩陣分塊矩陣設(shè)，，其中與()是同階的子方塊，則①；②③；④⑤；⑥初等矩陣1、定義：由階單位陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為階初等矩陣。三種初等變換對(duì)應(yīng)三種初等矩陣(1)交換第行和第行；對(duì)應(yīng)(2)第行乘k倍；對(duì)應(yīng)(3)第行乘k倍加至第行；對(duì)應(yīng)例1、將化為標(biāo)準(zhǔn)形。解：則即初等變換與初等矩陣的關(guān)系定理1：設(shè)是一個(gè)矩陣，對(duì)施行一次初等行變換，相當(dāng)于對(duì)左乘一個(gè)相應(yīng)的階初等矩陣；對(duì)施行一次初等列變換，相當(dāng)于對(duì)右乘一個(gè)相應(yīng)的階初等矩陣。初等變換求逆矩陣定理2：對(duì)任意一個(gè)矩陣，總存在有限個(gè)階初等矩陣和階初等矩陣，使得定理3：對(duì)于階可逆矩陣，總存在有限個(gè)階初等矩陣，使得定理4：設(shè)為可逆矩陣，則有限個(gè)初等矩陣，使得推論：矩陣與等價(jià)存在階可逆矩陣和階可逆矩陣，使，記為。（等價(jià)關(guān)系具有反身性、對(duì)稱性、傳遞性）因此，由定理3可知，方陣可逆由定理4可知，方陣可逆(為初等矩陣)由推論可知，存在可逆矩陣，使1、求逆方法的推導(dǎo)：由定理4的，得（1）式兩端分別右乘，得（2）上述兩式表明，用一樣的初等行變換將變成的同時(shí)，會(huì)將變成。求逆矩陣的基本方法初等變換法：或3、解矩陣方程或（可逆）初等變換法：或習(xí)題P91T1T2(1)(2)T3§3.5矩陣的秩階子式的概念定義：在矩陣中，任取行列()，其交叉處的個(gè)元素按原來的位置構(gòu)成的一個(gè)階行列式，稱為矩陣的一個(gè)階子式。例：，等都是的一個(gè)2階子式?？芍?，矩陣的階子式共有個(gè)。矩陣的秩定義：矩陣的非零子式的最高階數(shù)，稱為矩陣的秩，記為。若，則中至少有一個(gè)階子式不為0，且所有階子式都為0。三、矩陣秩的性質(zhì)①②③的行階梯形含個(gè)非零行的標(biāo)準(zhǔn)形④若則（矩陣的初等變換不改變矩陣的秩）⑤若可逆，則⑥；特別地，當(dāng)為列向量時(shí)，有⑦⑧⑨若，則例1、設(shè)為階矩陣的伴隨矩陣，證明證明：(1)當(dāng)時(shí)，則可逆，即；由知。故可逆，從而(2)若，則。故，。又由知矩陣中至少有一個(gè)階子式不為零，也就是說中至少有一個(gè)元素不為零。所以，從而有。(3)若，則的任意一個(gè)階子式都為零。故，即。例2、求的秩解：故例3、已知矩陣的秩為3，求的值解：因?yàn)椋?，即?xí)題P96T2T3(2)T7T8P97總復(fù)習(xí)題：T1T2T3T4T5線性方程組理論教學(xué)目標(biāo)與要求1.掌握齊次和非齊次線性方程組解的判定定理和解的結(jié)構(gòu)定理2.理解向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念，以及它們的判定方法掌握向量組的秩和最大無關(guān)組的概念，會(huì)求向量組的秩4.理解基礎(chǔ)解系的概念，會(huì)求齊次與非齊次線性方程組的通解教學(xué)重點(diǎn)齊次與非齊次線性方程組解的判定定理以及通解的求法向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的判定方法3.向量組的最大無關(guān)組的求法和秩的求法教學(xué)難點(diǎn)1.齊次與非齊次線性方程組解的判定方法2.向量組秩的概念及其求法3.基礎(chǔ)解系的概念及其求法§4.1線性方程組有解的條件一、線性方程組解的判定1、非齊次線性方程組定理1：對(duì)于非齊次線性方程組（1），則①有唯一解②有無窮多解③無解2、齊次線性方程組定理2：對(duì)于齊次線性方程組（2），則①僅有零解②有非零解推論：當(dāng)時(shí)，有非零解定理3：矩陣方程有解線性方程組的解法例1、求下列線性方程組的通解解：，令，得通解為：()例2、問取何值時(shí)，下列線性方程組(1)有唯一解；(2)無解；(3)有無窮多解？并在有無窮多解時(shí)求其通解。解：由克拉默法則知，當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解。當(dāng)時(shí)，因，，，所以方程組無解。當(dāng)時(shí)，因，，，所以方程組無解。當(dāng)時(shí)，因，所以方程組有無窮多解。即，令，得其通解為：（）習(xí)題P106T1T2T3(2)T4T5T6T7§4.2向量組的線性相關(guān)性維向量及其線性運(yùn)算1.定義：由個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組稱為維向量。稱矩陣為維列向量；其轉(zhuǎn)置稱為維行向量。其中稱為的第個(gè)分量()。2.運(yùn)算①維向量的相等；②零向量；③負(fù)向量；④加法；⑤數(shù)乘向量組的線性組合1.向量組定義：由若干個(gè)同維的列向量(或行向量)所組成的集合，稱為一個(gè)向量組。2.向量組與矩陣設(shè)，則，其中為矩陣的列向量組；或，其中為矩陣的行向量組。3.向量組與線性方程組一個(gè)線性方程組可以寫成：向量組的線性組合定義：設(shè)向量組，對(duì)于數(shù)，我們稱為向量組的一個(gè)線性組合，稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)。線性表示給定向量組和向量，若存在一組數(shù)，使得則稱向量是向量組的線性組合，也稱向量可以由向量組線性表示。例：任何一個(gè)維向量都可以由維單位向量組：，，，線性表示。即。顯然，向量能由向量組線性表示，也就線性方程組：有解。6.定理1：向量能由向量組線性表示的充要條件是，其中。向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè)齊次線性方程組，寫成向量形式：。若它有非零解，即存在一組不全為零的數(shù)，使得。因此，我們引入如下概念。1.線性相關(guān)與線性無關(guān)定義：設(shè)有維向量組，如果存在一組不全為零的數(shù)使則稱向量組線性相關(guān)；否則稱它線性無關(guān)。注意：（特殊情形）①只有一個(gè)向量的向量組線性相關(guān)②兩個(gè)向量的向量組線性相關(guān)(即兩向量共線：對(duì)應(yīng)分量成比例)③三個(gè)向量線性相關(guān)：幾何意義是三個(gè)向量共面。④含有零向量的向量組一定線性相關(guān)。定理2：向量組線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線性表示。定理3：設(shè)向量組構(gòu)成矩陣，則向量組線性相關(guān)的充要條件是；向量組線性無關(guān)的充要條件是。推論1：當(dāng)向量的個(gè)數(shù)等于向量的維數(shù)時(shí)，向量組線性相關(guān)的充要條件是；向量組線性無關(guān)的充要條件是。推論2：()個(gè)維向量組成的向量組一定線性相關(guān)。推論3：任一個(gè)維向量組中線性無關(guān)的向量最多有個(gè)。定理4：設(shè)向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量必能由向量組線性表示，且表示法是唯一的。若向量組線性相關(guān)，則向量組()必線性相關(guān)；反之，若向量組()線性無關(guān)，則向量組必線性無關(guān)。（部分相關(guān)，整體相關(guān)；整體無關(guān)，部分無關(guān)。）若個(gè)維向量線性相關(guān)，同時(shí)去掉其第個(gè)分量得到的個(gè)維向量也線性相關(guān)；反之，若個(gè)維向量線性無關(guān)，同時(shí)增加其第個(gè)分量得到的個(gè)維向量也線性無關(guān)。習(xí)題P116T1(3)(4)T2T3T4(1)(2)T5T6T7T8T9(1)(3)§4.3向量組的秩向量組的等價(jià)定義1：設(shè)有向量組；向量組，若向量組中的每一個(gè)向量都能由向量組線性表示，則稱向量組能由向量組線性表示。如果向量組和向量組能相互線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。命題1：若為有限個(gè)列向量組成的向量組，則向量組能由向量組線性表示的充要條件是矩陣方程有解。命題2：若矩陣經(jīng)過初等行(列)變換變成，則矩陣的列(行)向量組與矩陣的列(行)向量組等價(jià)。定理1：設(shè)向量組和向量組均為列向量組成的向量組，則向量組能由向量組線性表示的充要條件為推論：向量組和向量組等價(jià)的充要條件是其中和是向量組和向量組所構(gòu)成的矩陣。講教材P118例1向量組的秩1.最大無關(guān)組定義2設(shè)向量組是向量組的一個(gè)部分組，若向量組線性無關(guān)；中的任意向量均可由向量組線性表示；則稱為的一個(gè)最大線性無關(guān)向量組（簡(jiǎn)稱最大無關(guān)組）。顯然，最大無關(guān)組一般不唯一；任意向量組都與它的最大無關(guān)組等價(jià)。2.最大無關(guān)組的求法定理：矩陣的初等行變換不改變(部分或全部)列向量之間的線性關(guān)系；矩陣的初等列變換不改變(部分或全部)行向量之間的線性關(guān)系。注意：上述定理提供了求向量組最大無關(guān)組的方法定理2：設(shè)向量組可由向量組線性表示，(1)若向量組線性無關(guān)，則；(2)若，則向量組線性相關(guān)。推論1：兩個(gè)等價(jià)的線性無關(guān)的向量組必含有相同個(gè)數(shù)的向量。推論2：兩個(gè)等價(jià)的向量組的最大無關(guān)組含有相同個(gè)數(shù)的向量。推論3：一個(gè)向量組的任意兩個(gè)最大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)相等。3.向量組的秩定義3：向量組的最大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，稱為該向量組的秩。定理2'：若向量組能由向量組線性表示，則向量組的秩不大于向量組的秩。矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系定理3：對(duì)矩陣，則的行秩的列秩。即矩陣的秩等于它的行向量組的秩也等于它的列向量組的秩。四、矩陣的秩的性質(zhì)性質(zhì)1：性質(zhì)2：性質(zhì)3：若可逆，則習(xí)題P124T1T2T3T9§4.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)1.解的性質(zhì)對(duì)于齊次線性方程組(1)性質(zhì)1：若都是的解，則也是的解。性質(zhì)2：若是的解，則也是的解。解的結(jié)構(gòu)定義1：設(shè)是的非零解，且滿足(1)線性無關(guān)；(2)的任一個(gè)解都可由線性表示，即則稱是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系；且的通解可表示為如下形式：(為任意常數(shù))。定理1：若元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩，則的基礎(chǔ)解系恰含有個(gè)線性無關(guān)的解向量。講教材P128例1和例2非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)1.解的性質(zhì)對(duì)于非齊次線性方程組(2)性質(zhì)1：若都是的解，則是的解。性質(zhì)2：若是的解，是的解，則是的解。解的結(jié)構(gòu)定理2：設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)解，是對(duì)應(yīng)的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，則的通解為其中為任意常數(shù)。講教材P132例3和例4習(xí)題P134T1T2(1)T3T4T5T6T7T8P141總復(fù)習(xí)題：T1T2T4T5T6至T13特征值和特征向量矩陣的對(duì)角化教學(xué)目標(biāo)與要求1.理解內(nèi)積和正交向量組的概念，掌握施密特正交化方法和正交矩陣的性質(zhì)2.理解特征值與特征向量的定義，掌握它們的性質(zhì)及其求法3.理解相似矩陣的定義，掌握相似矩陣的性質(zhì)4.掌握矩陣可對(duì)角化的條件，熟悉實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化方法教學(xué)重點(diǎn)1.施密特正交化方法的運(yùn)用2.特征值與特征向量的求法3.實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化方法教學(xué)難點(diǎn)施密特正交化方法特征值與特征向量的性質(zhì)及其求法實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化方法§5.1預(yù)備知識(shí)向量的內(nèi)積定義1：設(shè)有維向量，，令，稱為向量與的內(nèi)積。內(nèi)積的性質(zhì)：(2)(3)(4)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立定義2：令，稱為維向量的長(zhǎng)度（或范數(shù)）。當(dāng)時(shí)，稱為單位向量。向量的長(zhǎng)度具有以下性質(zhì)：非負(fù)性：(2)齊次性：(3)三角不等式：(4)柯西不等式：定義3：當(dāng)，時(shí)，稱為維向量與的夾角。定義4：當(dāng)時(shí)，稱向量與正交。定義5：若一個(gè)向量組中任意兩個(gè)向量都正交，則稱此向量組為正交向量組。若正交向量組中的每一個(gè)向量都是單位向量，則稱此向量組為規(guī)范正交向量組或標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。定理1：若維向量是一組兩兩正交的非零向量，則線性無關(guān)。施密特正交化方法施密特正交化方法是將一組線性無關(guān)的向量，化為一組與之等價(jià)的正交向量組的方法。令；；；。講教材P147例2和例3正交矩陣定義6：如果方陣滿足（即），則稱為正交矩陣。例如：，，都是正交陣。定理2：為正交矩陣的行(列)向量組為規(guī)范正交向量組。即（其中）定理3：設(shè)都是階正交方陣，則(1)；(2)也是正交方陣。定義7：若為正交矩陣，則線性變換稱為正交變換。習(xí)題P149T1(2)T2(2)T3T4T5§5.2特征值和特征向量特征值與特征向量的概念定義1：設(shè)是階方陣，如果存在數(shù)和非零列向量，使得，稱為方陣的特征值，非零列向量稱為的屬于特征值的特征向量。特征方程：或者有非零解特征矩陣：或者特征多項(xiàng)式：二、求階方陣的特征值與特征向量的步驟(1)求出特征方程的全部根，即是的特征值；(2)對(duì)于每個(gè)特征值求解線性方程組，得出的基礎(chǔ)解系就是的屬于特征值的特征向量；基礎(chǔ)解系的線性組合就是的屬于特征值的全部特征向量。講教材P152例3和例4三、特征值與特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1：設(shè)是階方陣，則與有相同的特征值。性質(zhì)2：設(shè)是方陣的特征值，，則是方陣的特征值；是的特征值。性質(zhì)3：設(shè)階方陣的個(gè)特征值為，則，其中稱為的跡；(2)證明：由特征值的定義可得由題設(shè)可知比較多項(xiàng)式同次冪的系數(shù)可得，推論：0是的特征值；可逆不含零特征值。講教材P154例5和例6性質(zhì)4：是方陣的互異特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量依次為，則向量組線性無關(guān)。習(xí)題P157T1T2T3T4§5.3相似矩陣一、相似矩陣的概念定義1：設(shè)都是階方陣，若存在可逆矩陣，使，則稱矩陣與相似，記為，可逆矩陣稱為相似變換矩陣。相似矩陣的基本性質(zhì)：1、(1)反身性：對(duì)任意方陣，都有(2)對(duì)稱性：若，則(3)傳遞性：若，，則定理1：若，則①與有相同的特征多項(xiàng)式和特征值；②；③；④與也相似（為正整數(shù)）；⑤矩陣可對(duì)角化的條件定義：階方陣可以相似于一個(gè)對(duì)角矩陣，則稱可對(duì)角化。定理2：階方陣可對(duì)角化有個(gè)線性無關(guān)的特征向量。推論：階方陣有個(gè)互異的特征值可對(duì)角化。定理3：階方陣可對(duì)角化的每個(gè)重特征值對(duì)應(yīng)有個(gè)線性無關(guān)的特征向量（或）。即的幾何重?cái)?shù)等于代數(shù)重?cái)?shù)。講教材P160例1和例2小結(jié)階方陣對(duì)角化的步驟：解特征方程，求出的全部特征值，其中是重特征值（），。對(duì)每個(gè)，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系；令，則，其中，這里的個(gè)數(shù)為個(gè)（）。四、習(xí)題P162T1T2T3T4T5T6§5.4實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值性質(zhì)定理1：實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。定理2：實(shí)對(duì)稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量相互正交。定理3：設(shè)是階實(shí)對(duì)稱矩陣的重特征值，則，即對(duì)應(yīng)特征值恰有個(gè)線性無關(guān)的特征向量。實(shí)對(duì)稱矩陣的相似理論定理4：任意實(shí)對(duì)稱矩陣都與對(duì)角矩陣相似。即實(shí)對(duì)稱陣一定可以對(duì)角化。定理5：設(shè)是階實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在正交矩陣，使。其中，且是的個(gè)特征值。實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化方法階實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的步驟：(1)解特征方程，求出的全部特征值，其中是重特征值（），。(2)對(duì)每個(gè)，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系；(3)利用施密特正交化方法將正交化，得正交向量組，再單位化得規(guī)范正交向量組（）；(4)令，則為正交矩陣，且，其中，這里的個(gè)數(shù)為個(gè)（）。講教材P164例1和例2習(xí)題P167T1T2T4P167總復(fù)習(xí)題：T1T2T3T4T5T6；T8T9T10T11T12T13T14T15T16二次型教學(xué)目標(biāo)與要求1.理解二次型及其秩的相關(guān)概念，了解矩陣的合同關(guān)系2.掌握二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，以及用配方法、正交變換法和初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型3.理解慣性定理和二次型的規(guī)范形，掌握二次型正定的判別方法教學(xué)重點(diǎn)1.用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型2.二次型正定的判別方法教學(xué)難點(diǎn)1.用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型2.二次型正定的判別方法§6.1二次型及其矩陣表示一、二次型及其矩陣表示定義1：含有個(gè)變量的二次齊次函數(shù)：稱為二次型。當(dāng)全為實(shí)數(shù)時(shí)，稱為實(shí)二次型。為了便于用矩陣討論二次型，令，則二次型為：記，，則二次型，其中為對(duì)稱矩陣。由此可見，對(duì)稱矩陣與二次型是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故稱對(duì)稱矩陣為二次型的矩陣，也稱二次型為對(duì)稱矩陣的二次型，也稱為二次型的秩。講教材P173例1和例2二、線性變換定義2：稱為由變量到變量的一個(gè)