高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.2.3直線與平面的夾角筆記省公開課一等獎(jiǎng)新名師獲獎(jiǎng)?wù)n

3.2.3直線與平面夾角1/29[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1．了解直線與平面夾角三種情況，了解斜線和平面所成角概念．2．了解三個(gè)角θ，θ1，θ2意義，會(huì)利用公式cosθ＝cosθ1·cosθ2求平面斜線與平面內(nèi)直線夾角．2/29[知識(shí)回顧]

怎樣求兩條異面直線所成角？

答案

(1)幾何法：即經(jīng)過(guò)平移其中一條(也可兩條同時(shí)平移)，使它們轉(zhuǎn)化為兩條相交直線，然后經(jīng)過(guò)解三角形獲解．向量法包含了“基向量法”與“坐標(biāo)法”3/29[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．線線角、線面角關(guān)系式

如圖所表示，已知OA是平面α斜線段，O是斜足，線段AB垂直于α，B為垂足，則直線OB是斜線OA在平面α內(nèi)________．設(shè)OM是α內(nèi)經(jīng)過(guò)點(diǎn)O任一條直線，OA與OB所成角為θ1，OB與OM所成角為θ2，OA與OM所成角為θ，則θ，θ1，θ2之間關(guān)系為____________________(*)在上述公式中，因0≤cosθ2≤1，所以cosθ≤cosθ1.因?yàn)棣?和θ都是銳角，所以θ1≤θ.正射影cosθ1cosθ2cosθ＝4/292．最小角定理 _____和它在平面內(nèi)_____所成角是斜線和這個(gè)平面內(nèi)全部直線所成角中__________．3．直線與平面夾角 (1)假如一條直線與一個(gè)平面垂直，這條直線與平面夾角為_____． (2)假如一條直線與一個(gè)平面平行或在平面內(nèi)，這條直線與平面夾角為_____． (3)斜線和它在平面內(nèi)______________叫做斜線和平面所成角(或斜線和平面夾角).斜線射影最小角90°0°射影所成角5/29知識(shí)點(diǎn)一用定義求線面角

例1在正四面體ABCD中，E為棱AD中點(diǎn)，連CE，求CE和平面BCD所成角正弦值． 解如圖，過(guò)A、E分別作AO⊥平面BCD，EG⊥平面BCD，O、G為垂足．

∴AO=2GE，AO、GE確定平面AOD，連接GC，則∠ECG為CE和平面BCD所成角．6/29∵AB＝AC＝AD，∴OB＝OC＝OD.∵△BCD是正三角形，∴O為△BCD中心，連接OD并延長(zhǎng)交BC于F，則F為BC中點(diǎn)．令正四面體棱長(zhǎng)為1，7/29規(guī)律方法利用定義法求線面角時(shí)，關(guān)鍵是找到斜線射影，找射影有以下兩種方法：①斜線上任一點(diǎn)在平面內(nèi)射影必在斜線在平面內(nèi)射影上；②利用已知垂直關(guān)系得出線面垂直，確定射影．8/29跟蹤變式1如圖所表示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.PD＝DC，E是PC中點(diǎn)．求EB與平面ABCD夾角余弦值．解取CD中點(diǎn)M，則EM∥PD，又∵PD⊥平面ABCD，∴EM⊥平面ABCD，∴BE在平面ABCD上射影為BM，∴∠MBE為BE與平面ABCD夾角，設(shè)PD＝DC＝a，9/2910/29知識(shí)點(diǎn)二由公式cosθ＝cosθ1·cosθ2求線面角11/29規(guī)律方法公式cosθ＝cosθ1·cosθ2在解題時(shí)經(jīng)慣用到，可用來(lái)求線面角θ1，在應(yīng)用公式時(shí)，一定要分清θ，θ1，θ2，分別對(duì)應(yīng)圖形中哪個(gè)角．12/29跟蹤變式2四面體P-ABC，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60°，則PA與平面PBC所成角余弦值(

)答案

D解析如圖，設(shè)A在平面BPC內(nèi)射影為O，∵∠APB＝∠APC.∴點(diǎn)O在∠BPC角平分線上，∴∠OPC＝30°，∠APO為PA與平面PBC所成角．13/29∴cos∠APB＝cos∠APO·cos∠OPC，14/29知識(shí)點(diǎn)三向量法求線面角15/2916/29規(guī)律方法(1)用向量法可避開找角困難，但計(jì)算繁瑣，所以注意計(jì)算上不要失誤．(2)在求已知平面法向量時(shí)，若圖中有垂直于平面直線時(shí)，可直接確定法向量；當(dāng)圖中沒有垂直于平面直線時(shí)，可設(shè)出平面法向量坐標(biāo)，用解不定方程組方法來(lái)確定法向量．17/29跟蹤變式3如圖，已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF中點(diǎn)．若平面ABCD⊥平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角正弦值．解設(shè)正方形ABCD，DCEF邊長(zhǎng)為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線DC，DF，DA為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，如圖．則D(0，0，0)，A(0，0，2)，M(1，0，2)，N(0，1，0)，18/2919/29 A．30° B．60° C．120° D．150°

答案

A20/292．正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD所成角正弦值為 (

)

答案

C

解析建系如圖，設(shè)正方體棱長(zhǎng)

為1，則D(0，0，0)，A1(1，0，1)， B(1，1，0)，C1(0，1，1)，A(1，0，

0)，21/2922/29 A．60° B．90° C．105° D．75°

答案

B23/2924/2925/2926/291．空間向量詳細(xì)應(yīng)用主要表達(dá)為兩種方法——基向量法和坐標(biāo)法．這兩種方法思想都是利用空間向量表示立體圖形中點(diǎn)、線、面等元素，建立立體圖形和空間向量之間聯(lián)絡(luò)，然后進(jìn)行空間向量運(yùn)算，最終把運(yùn)算結(jié)果回歸到幾何結(jié)論．這么就把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量來(lái)研究，表達(dá)了化歸與轉(zhuǎn)化思想．2．直線與平面所成角求法 (1)幾何法：找出斜線在平面上射影，則斜線與射影所成角就是線面角，可經(jīng)過(guò)解由斜線段、垂線段和射影線段組成直角三角形獲解．27/293．公式cosθ＝cosθ1·cosθ2了解

由0≤cosθ2≤1，∴cosθ≤cosθ1，從而θ1≤θ.在公式中，

令θ2＝90°