高等數(shù)學(xué)3省公開課金獎全國賽課一等獎微課獲獎?wù)n件

第三章1/176一、羅爾(Rolle)定理比如,2/176幾何解釋:3/176證4/1765/176注意:若羅爾定理三個條件中有一個不滿足,其結(jié)論可能不成立.比如,又比如,6/176例1證由介值定理即為方程小于1正實根.矛盾,7/176二、拉格朗日(Lagrange)中值定理8/176幾何解釋:證分析:弦AB方程為9/176作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:拉氏公式準(zhǔn)確地表示了函數(shù)在一個區(qū)間上增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系.10/176拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.微分中值定理推論11/176例2證12/176例3證由上式得13/176三、柯西(Cauchy)中值定理14/176幾何解釋:證作輔助函數(shù)15/17616/176例4證分析:結(jié)論可變形為17/176四、小結(jié)Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間關(guān)系；注意定理成立條件；注意利用中值定理證實等式與不等式步驟.18/176思索題試舉例說明拉格朗日中值定理條件缺一不可.19/176思索題解答不滿足在閉區(qū)間上連續(xù)條件；且不滿足在開區(qū)間內(nèi)可微條件；以上兩個都可說明問題.20/176練習(xí)題21/17622/17623/176練習(xí)題答案24/176定義比如,25/176定理定義這種在一定條件下經(jīng)過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值方法稱為洛必達法則.26/176證定義輔助函數(shù)則有27/176例1解例2解28/176例3解例4解29/176例5解30/176注意：洛必達法則是求未定式一個有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更加好.例6解31/176例7解關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達法則可處理類型.步驟:32/176例8解步驟:33/176步驟:例9解34/176例10解例11解35/176例12解極限不存在洛必達法則失效。注意：洛必達法則使用條件．36/176三、小結(jié)洛必達法則37/176思索題38/176思索題解答不一定．例顯然極限不存在．但極限存在．39/176練習(xí)題40/17641/17642/176練習(xí)題答案43/176一、單調(diào)性判別法定理44/176證應(yīng)用拉氏定理,得45/176例1解注意:函數(shù)單調(diào)性是一個區(qū)間上性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上符號來判定，而不能用一點處導(dǎo)數(shù)符號來判別一個區(qū)間上單調(diào)性．46/176二、單調(diào)區(qū)間求法問題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)，但在各個部分區(qū)間上單調(diào)．定義:若函數(shù)在其定義域某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)，則該區(qū)間稱為函數(shù)單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零點和不可導(dǎo)點，可能是單調(diào)區(qū)間分界點．方法:47/176例2解單調(diào)區(qū)間為48/176例3解單調(diào)區(qū)間為49/176例4證注意:區(qū)間內(nèi)個別點導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間單調(diào)性.比如,50/176三、小結(jié)單調(diào)性判別是拉格朗日中值定理定理主要應(yīng)用.定理中區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論依然成立.應(yīng)用：利用函數(shù)單調(diào)性能夠確定一些方程實根個數(shù)和證實不等式.51/176思索題52/176思索題解答不能斷定.例但53/176當(dāng)時，當(dāng)時，注意能夠任意大，故在點任何鄰域內(nèi)，都不單調(diào)遞增．54/176練習(xí)題55/17656/176練習(xí)題答案57/17658/176一、函數(shù)極值定義59/176定義函數(shù)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值點稱為極值點.60/176二、函數(shù)極值求法定理1(必要條件)定義注意:比如,61/176定理2(第一充分條件)(是極值點情形)62/176求極值步驟:(不是極值點情形)63/176例1解列表討論極大值極小值64/176圖形以下65/176定理3(第二充分條件)證66/176例2解圖形以下67/176注意:68/176例3解注意:函數(shù)不可導(dǎo)點,也可能是函數(shù)極值點.69/176三、小結(jié)極值是函數(shù)局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點和不可導(dǎo)點統(tǒng)稱為臨界點.函數(shù)極值必在臨界點取得.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)70/176思索題下命題正確嗎？71/176思索題解答不正確．例72/176在–1和1之間振蕩故命題不成立．73/176練習(xí)題74/17675/176練習(xí)題答案76/176一、最值求法77/176步驟:1.求駐點和不可導(dǎo)點;2.求區(qū)間端點及駐點和不可導(dǎo)點函數(shù)值,比較大小,那個大那個就是最大值,那個小那個就是最小值;注意:假如區(qū)間內(nèi)只有一個極值,則這個極值就是最值.(最大值或最小值)78/176二、應(yīng)用舉例例1解計算79/176比較得80/176點擊圖片任意處播放\暫停例2敵人乘汽車從河北岸A處以1千米/分鐘速度向正北逃竄，同時我軍摩托車從河南岸B處向正東追擊，速度為2千米/分鐘．問我軍摩托車何時射擊最好（相距最近射擊最好）？81/176解(1)建立敵我相距函數(shù)關(guān)系敵我相距函數(shù)得唯一駐點82/176實際問題求最值應(yīng)注意:(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值;83/176例3某房地產(chǎn)企業(yè)有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每個月180元時，公寓會全部租出去．當(dāng)租金每個月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出房子每個月需花費20元整修維護費．試問房租定為多少可取得最大收入？解設(shè)房租為每個月元，租出去房子有套，每個月總收入為84/176（唯一駐點）故每個月每套租金為350元時收入最高。最大收入為85/176點擊圖片任意處播放\暫停例486/176解如圖,87/176解得88/176三、小結(jié)注意最值與極值區(qū)分.最值是整體概念而極值是局部概念.實際問題求最值步驟.89/176思索題90/176思索題解答結(jié)論不成立.因為最值點不一定是內(nèi)點.例在有最小值，但91/176練習(xí)題92/17693/17694/176練習(xí)題答案95/176一、曲線凹凸定義問題:怎樣研究曲線彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦上方圖形上任意弧段位于所張弦下方96/176定義97/176二、曲線凹凸判定定理198/176例1解注意到,99/176三、曲線拐點及其求法1.定義注意:拐點處切線必在拐點處穿過曲線.2.拐點求法證100/176方法1:101/176例2解凹凸凹拐點拐點102/176103/176方法2:例3解104/176注意:105/176例4解106/176四、小結(jié)曲線彎曲方向——凹凸性;改變彎曲方向點——拐點;凹凸性判定.拐點求法1,2.107/176思索題108/176思索題解答例109/176練習(xí)題110/176111/176練習(xí)題答案112/176113/176一、漸近線定義:1.鉛直漸近線114/176比如有鉛直漸近線兩條:115/1762.水平漸近線比如有水平漸近線兩條:116/1763.斜漸近線斜漸近線求法:117/176注意:例1解118/176119/176120/176二、圖形描繪步驟利用函數(shù)特征描繪函數(shù)圖形.第一步第二步121/176第三步第四步確定函數(shù)圖形水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其它改變趨勢;第五步122/176三、作圖舉例例2解非奇非偶函數(shù),且無對稱性.123/176列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點和拐點:不存在拐點極值點間斷點124/176作圖125/176126/176例3解偶函數(shù),圖形關(guān)于y軸對稱.127/176拐點極大值列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點:拐點128/176129/176例4解無奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點:130/176拐點極大值極小值131/176132/176四、小結(jié)函數(shù)圖形描繪綜合利用函數(shù)性態(tài)研究,是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用綜合考查.最大值最小值極大值極小值拐點凹凸單增單減133/176思索題134/176思索題解答135/176練習(xí)題136/176練習(xí)題答案第三章習(xí)題課137/176洛必達法則Rolle定理Lagrange中值定理慣用泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理單調(diào)性,極值與最值,凹凸性,拐點,函數(shù)圖形描繪;曲率;求根方法.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一、主要內(nèi)容138/1761、羅爾中值定理139/1762、拉格朗日中值定理有限增量公式.140/1763、柯西中值定理推論141/1764、洛必達法則定義這種在一定條件下經(jīng)過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值方法稱為洛必達法則.關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達法則可處理類型.注意：洛必達法則使用條件.142/1765、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用定理(1)函數(shù)單調(diào)性判定法143/176定義(2)函數(shù)極值及其求法144/176定理(必要條件)定義函數(shù)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值點稱為極值點.極值是函數(shù)局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點和不可導(dǎo)點統(tǒng)稱為臨界點.145/176定理(第一充分條件)定理(第二充分條件)146/176求極值步驟:147/176步驟:1.求駐點和不可導(dǎo)點;2.求區(qū)間端點及駐點和不可導(dǎo)點函數(shù)值,比較大小,那個大那個就是最大值,那個小那個就是最小值;注意:假如區(qū)間內(nèi)只有一個極值,則這個極值就是最值.(最大值或最小值)(3)最大值、最小值問題148/176實際問題求最值應(yīng)注意:1)建立目標(biāo)函數(shù);2)求最值;(4)曲線凹凸與拐點定義149/176150/176定理1151/176方法1:方法2:152/176利用函數(shù)特征描繪函數(shù)圖形.第一步第二步(5)函數(shù)圖形描繪153/176第三步第四步確定函數(shù)圖形水平、鉛直漸近線以及其它改變趨勢;第五步154/176例1解二、經(jīng)典例題155/176這就驗證了命題正確性.156/176例2解1