3.1不等關(guān)系與不等式市公開(kāi)課一等獎(jiǎng)省賽課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

3.1不等關(guān)系與不等式1/45主要內(nèi)容3.比較代數(shù)式大小方法2.不等式性質(zhì)及其證實(shí)4.不等式應(yīng)用實(shí)例1.不等關(guān)系2/451.不等關(guān)系3/45觀(guān)察最低限速60km最低限速50km/hv50km/h最高限速120km小汽車(chē)限速范圍60kmv120km/h4/45問(wèn)題1

設(shè)點(diǎn)A與平面M距離為d，B為平面M上任意一點(diǎn)，則d|AB|AMBd5/45問(wèn)題2

某種雜志原以每本2.5元價(jià)格銷(xiāo)售，能夠售出8萬(wàn)本.據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若單價(jià)每提升0.1元，銷(xiāo)售量就可能對(duì)應(yīng)降低本。若把提價(jià)后雜志定價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷(xiāo)售總收入不低于20萬(wàn)元呢？分析：若雜志定價(jià)為x元，則銷(xiāo)售總收入為萬(wàn)元.那么不等關(guān)系“銷(xiāo)售總收入不低于20萬(wàn)元”能夠表示為不等式6/45問(wèn)題3

某鋼鐵廠(chǎng)要把長(zhǎng)度為4000mm鋼管截成500mm和600mm兩種.按照生產(chǎn)要求，600mm鋼管數(shù)量不能超出500mm鋼管3倍。怎樣寫(xiě)出滿(mǎn)足上述全部不等關(guān)系不等式呢？

分析：假設(shè)截得500mm鋼管x根，截得600mm鋼管y根.由題意，應(yīng)有以下不等關(guān)系：（1）截得兩種鋼管總長(zhǎng)度不能超出4000mm；（2）600mm鋼管數(shù)量不能超出500mm鋼管3倍；（3）截得兩種鋼管數(shù)量都不能為負(fù).7/45

要同時(shí)滿(mǎn)足上述三個(gè)不等關(guān)系，能夠用下面不等式組來(lái)表示：8/452.不等式性質(zhì)及其證實(shí)9/45

實(shí)際上，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng).在數(shù)軸上不一樣兩點(diǎn)中，右邊點(diǎn)表示實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)表示實(shí)數(shù)大．

譬如圖中，設(shè)點(diǎn)A表示實(shí)數(shù)a，點(diǎn)B表示實(shí)數(shù)b,點(diǎn)A在點(diǎn)B右邊，那么a＞b．BAab回想兩個(gè)實(shí)數(shù)大小是怎樣確定？10/45

從上面性質(zhì)可知，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小，只要考查它們差就能夠了，這也是我們研究不等關(guān)系一個(gè)出發(fā)點(diǎn).基本事實(shí)作差比較法11/451.不等式性質(zhì)性質(zhì)1假如a>b,那么b<a;假如b<a,那么a>b證實(shí)：因?yàn)閍>b,可得a-b>0所以-（a-b）<0即b-a<0所以b<a.同理可證得：假如b<a,那么a>b說(shuō)明：此性質(zhì)可稱(chēng)為不等式自反性12/45性質(zhì)2假如a>b,b>c,那么a>c.證實(shí)：因?yàn)閍>b,得a-b>0；又b>c，得b-c>0;所以a-c=(a-b)+(b-c)>0即a-c>0所以a>c.說(shuō)明：此性質(zhì)可稱(chēng)為不等式傳遞性。13/45性質(zhì)3假如a>b,那么a+c>b+c證實(shí)：因?yàn)閍>b,得a-b>0；所以（a+c）-（b+c）=a-b>0即(a+c)-(b+c)>0所以a+c>b+c.說(shuō)明：此性質(zhì)可稱(chēng)為不等式加法性質(zhì)也叫平移性，即不等式兩邊同時(shí)加上同一個(gè)常數(shù)，不等號(hào)方向不變.14/45性質(zhì)4假如a>b,c>0,那么ac>bc;證實(shí)：因?yàn)閍>b,得a-b>0；ac-bc=c(a-b)>0所以ac>bc.說(shuō)明：此性質(zhì)可稱(chēng)為不等式乘法性質(zhì)，也叫伸縮性：即不等式兩邊同時(shí)乘上同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變，不等式兩邊同時(shí)乘上同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變.假如a>b,c<0,那么ac<bc.當(dāng)c>0時(shí)ac-bc=c(a-b)<0所以ac<bc.當(dāng)c<0時(shí)15/45性質(zhì)5假如a>b,c>d,那么a+c>b+d;證實(shí)：因?yàn)閍>b,得a-b>0又c>d,得c-d>0；說(shuō)明：此性質(zhì)可稱(chēng)為不等式疊加性：兩個(gè)同向不等式相加，所得不等式與原不等式同向.所以(a+c)-（b+d）=(a-b)+(c-d)>0所以a+c<b+d.16/45性質(zhì)6假如a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;證實(shí)：因?yàn)閍>b,得a-b>0,又c>d,得c-d>0ac-bd=ac-ad+ad-bd=a(c-d)+d(a-b)說(shuō)明：此性質(zhì)可稱(chēng)為不等式疊乘性：兩邊都是正數(shù)同向不等式相乘，所得不等式與原不等式同向.所以ac-bd>0即ac>bd.由題意知a>0,d>0,且c-d>0,a-b>017/45性質(zhì)7假如a>b>0,那么an>bn(n

N,n2);證實(shí)：因?yàn)閍>b>0,依據(jù)性質(zhì)6，自乘得；aa>bb即a2>b2.說(shuō)明：此性質(zhì)可稱(chēng)為不等式乘方性質(zhì)：當(dāng)不等式兩邊都是正數(shù)時(shí)，不等式兩邊同時(shí)乘方所得不等式和原不等式同向.繼續(xù)用性質(zhì)6，可得a3>b3.顯然a2>b2>0,繼續(xù)下去可得an>bn(n

N,n2);18/45性質(zhì)8假如a>b>0,那么(n

N,n2);證實(shí)：用反證法證實(shí)，假設(shè)結(jié)論不成立則；說(shuō)明：此性質(zhì)可稱(chēng)為不等式開(kāi)方性質(zhì)：當(dāng)不等式兩邊都是正數(shù)時(shí)，不等式兩邊同時(shí)開(kāi)方所得不等式和原不等式同向.則得a=b，與已知a>b矛盾若若

則由性質(zhì)7,兩邊n次冪得a<b，所以假設(shè)不成立，原結(jié)論成立(n

N,n2).與已知a>b矛盾.19/45證實(shí)命題方法介紹

在數(shù)學(xué)學(xué)科中，依據(jù)是否由論據(jù)直接過(guò)渡到論題，我們把證實(shí)命題方法分為直接證實(shí)和間接證實(shí).

直接證實(shí)就是由論據(jù)按照推理規(guī)則直接推出論題證實(shí).其特點(diǎn)是：從論題出發(fā)，為論題真實(shí)性直接提供證實(shí)理由.直接證實(shí)是最常見(jiàn)證實(shí)方法.

間接證實(shí)就是經(jīng)過(guò)確定其它命題虛假來(lái)確定論題真實(shí)性證實(shí)，就是說(shuō)，用這種證實(shí)方法證實(shí)論題不是由論據(jù)按照推理規(guī)則直接推得，而是經(jīng)過(guò)間接方法得到證實(shí).間接證實(shí)分為反證法和選言證法.20/45

直接證實(shí)是相對(duì)于間接證實(shí)說(shuō)，綜正當(dāng)和分析法是兩種常見(jiàn)直接證實(shí).

綜正當(dāng):

普通地，利用已知條件和一些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過(guò)一系列推理論證，最終推導(dǎo)出所要證實(shí)結(jié)論成立，這種證實(shí)方法叫做綜正當(dāng)（或順推證法、由因?qū)Чǎ?

分析法:

普通地，從要證實(shí)結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立充分條件，直至最終，把要證實(shí)結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)顯著成立條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證實(shí)方法叫做分析法.

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反證法是屬于“間接證實(shí)法”一類(lèi)，是從反面角度思索問(wèn)題證實(shí)方法，即必定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得.法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪(Hadamard)對(duì)反證法實(shí)質(zhì)作過(guò)概括：“若必定定理假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)造成矛盾”.詳細(xì)地講，反證法就是從否定命題結(jié)論入手，并把對(duì)命題結(jié)論否定作為推理已知條件，進(jìn)行正確邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證實(shí)為正確命題等相矛，矛盾原因是假設(shè)不成立，所以必定了命題結(jié)論，從而使命題取得了證實(shí).反證法介紹22/45

反證法證題模式能夠簡(jiǎn)明概括我為“否定→推理→否定”.即從否定結(jié)論開(kāi)始，經(jīng)過(guò)正確無(wú)誤推理造成邏輯矛盾，到達(dá)新否定，能夠認(rèn)為反證法基本思想就是“否定之否定”。應(yīng)用反證法證實(shí)主要三步是：否定結(jié)論→推導(dǎo)出矛盾→結(jié)論成立.反證法證題模式23/45反證法證實(shí)命題普通步驟：第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反假設(shè)；第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此經(jīng)過(guò)一系列正確推理導(dǎo)出矛盾；第三步，結(jié)論：說(shuō)明反設(shè)不成立，從而必定原命題成立.24/45

用反證法證題時(shí)，假如欲證實(shí)命題方面情況只有一個(gè)，那么只要將這種情況駁倒了就能夠，這種反證法又叫“歸謬法”；

假如結(jié)論方面情況有各種，那么必須將全部反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種反證法又叫“窮舉法”歸謬法和窮舉法反證法類(lèi)型25/45

在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常使用反證法，牛頓曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)武器之一”。普通來(lái)講，反證法慣用來(lái)證實(shí)題型有：2.詳細(xì)、簡(jiǎn)單命題；或者直接證實(shí)難以下手命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進(jìn)行反面思索，問(wèn)題可能處理得十分干脆.1.命題結(jié)論以“否定形式”、“最少”或“至多”、“唯一”、“無(wú)限”形式出現(xiàn)命題；或者否定結(jié)論更顯著.

反證法適用范圍26/45不等式常見(jiàn)證實(shí)方法直接證法

1）比較法（作差、或作商）

2）綜正當(dāng)

3）分析法

4）其它換元法、放縮法等2.間接證法反證法27/45例1.假如a>b>0,c<0,求證證實(shí)：由已知a>b>0,得a-b>0,ab>0,又c<0,所以28/45練習(xí)1寫(xiě)出a>b與同時(shí)成立充要條件解答：ab<0首先，若ab<0,則另首先能同時(shí)成立29/45例2已知a>0，b>0，求證：a3+b3≥a2b+ab2即a3+b3≥a2b+ab2.證實(shí)一：比較法（作差）（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3-a2b）+（b3-ab2）=a2(a-b)+b2(b-a)∵a>0，b>0，∴(a-b)2(a+b)≥0.故（a3+b3）-（a2b+ab2）≥0,∴a+b>0，而(a-b)2≥0.=(a-b)2(a+b).=(a-b)(a2-b2)30/45故a3+b3≥a2b+ab2.證實(shí)二：比較法（作商）∵a2+b2≥2ab，∴又a>0，b>0，所以ab>0，31/45所以有a3+b3≥a2b+ab2.證實(shí)三：分析法欲證a3+b3≥a2b+ab2，只需證實(shí)(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).因?yàn)閍>0，b>0，所以a+b>0，故只要證實(shí)a2+b2-ab≥ab即可。即證實(shí)a2+b2≥2ab.而a2+b2≥2ab顯然是成立32/45即a3+b3≥a2b+ab2.證實(shí)四：綜正當(dāng)∵a2+b2≥2ab，∴a2+b2-ab≥ab.又∵a>0，b>0，∴a+b>0，故(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).33/453.比較代數(shù)式大小方法34/45例3.比較與大?。?/p>

分析：此題屬于兩個(gè)代數(shù)式比較大小，能夠作差，判斷差值正負(fù)，從而得出兩個(gè)代數(shù)式大小.當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以2.比較代數(shù)式大小方法35/45例4.已知，比較與大?。猓鹤鞑畋容^因?yàn)閍

0，所以-a2<036/45解：所以

比較與大?。毩?xí)237/451).假如a＜b＜0，則以下不等式中不成立是（）（A）＞

（B）＞（C）｜a｜＞｜b｜（D）a2＞b22).a、b是任意實(shí)數(shù)，且a＞b，則（）（A）a2＞b2

（B）

（C）lg（a-b）＞0（D）＜BD練習(xí)338/453.a、b、c、d是任意實(shí)數(shù)，且a＞b，c＞d，則以下結(jié)論正確是（）（A）a+c＞b+d（B）a-c＞b-d

（C）ac＞bd（D）A39/454.不等式應(yīng)用實(shí)例40/45

例5.某夏令營(yíng)有48人，出發(fā)前要從A、B兩種型號(hào)帳篷中選擇一個(gè)