高中數(shù)學(xué)第二章隨機(jī)變量及其分布2.1離散型隨機(jī)變量及其分布列2.1.2省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)新名師獲獎(jiǎng)

2.1.2

離散型隨機(jī)變量分布列1/722/72主題1離散型隨機(jī)變量分布列1.在拋擲一枚質(zhì)地均勻骰子隨機(jī)試驗(yàn)中,用X表示骰子向上一面點(diǎn)數(shù),試寫出X全部可能取值結(jié)果以及對(duì)應(yīng)概率.3/72提醒:X全部可能取值結(jié)果為1,2,3,4,5,6.P(1)=,P(2)=,P(3)=,P(4)=,P(5)=,P(6)=.4/722.試將X每一個(gè)取值及對(duì)應(yīng)概率以表格形式表示出來(lái).提醒:X123456P5/723.依據(jù)問(wèn)題2,想一想對(duì)普通離散型隨機(jī)變量分布列有哪些性質(zhì)?提醒:由概率意義和事件關(guān)系,可知:①pi≥0,i=1,2,…,n;②pi=1.6/72結(jié)論:離散型隨機(jī)變量分布列(1)定義:若離散型隨機(jī)變量X可能取不一樣值為x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一個(gè)值xi(i=1,2,…,n)概率P(X=xi)=pi,以表格形式表示以下:7/72此表稱為離散型隨機(jī)變量X概率分布列,簡(jiǎn)稱為X_______.(2)性質(zhì):①pi≥0,i=1,2,3,…,n;②pi=__.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn分布列18/72【微思索】1.概率分布列表格中x1,x2,…,xn及p1,p2,…,pn分別表示什么含義?Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn9/72提醒:表格中x1,x2,…,xn表示離散型隨機(jī)變量X可能取不一樣值,p1,p2,…,pn表示X取每一個(gè)值xi(i=1,2,…,n)概率P(X=xi)=pi.10/722.X取值為x1,x2,…,xn時(shí)所對(duì)應(yīng)事件是否互斥?提醒:由隨機(jī)變量概念知隨機(jī)變量X取值x1,x2,…,xn是不能同時(shí)發(fā)生,故隨機(jī)變量X取值為x1,x2,…,xn時(shí)所對(duì)應(yīng)事件是互斥.11/72主題2兩類特殊分布1.假如一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中,X只有兩種可能結(jié)果1與0,設(shè)結(jié)果為1事件發(fā)生概率為p,試寫X概率分布列.提醒:依據(jù)分布列性質(zhì),另一個(gè)事件概率為1-p,所以,隨機(jī)變量X分布列為:X01P1-pp12/722.在含有M件次品N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,試寫出P(X=k)和隨機(jī)變量X分布列.提醒:P(X=k)=,k=0,1,2,…,m.隨機(jī)變量X分布列為:13/72其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.14/72結(jié)論:兩類特殊分布列(1)兩點(diǎn)分布列若隨機(jī)變量X分布列為X01P1-pp15/72則稱該分布列為_(kāi)____分布列.若隨機(jī)變量X分布列為_(kāi)____分布列,就稱X服從_____分布,稱p=P(X=1)為_(kāi)____概率.兩點(diǎn)兩點(diǎn)兩點(diǎn)成功16/72(2)超幾何分布列普通地,在含有M件次品N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有K件次品,則事件{X=k}發(fā)生概率為P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,則稱分布列17/72為超幾何分布列,隨機(jī)變量X服從超幾何分布.18/72【微思索】1.兩點(diǎn)分布中隨機(jī)變量X取值有幾個(gè),分別是什么?其概率是多少?提醒:隨機(jī)變量X取值有2個(gè),分別是0,1,它們概率是1-p與p.19/722.在超幾何分布模型中,“任取n件”應(yīng)怎樣了解?提醒:應(yīng)了解為不放回地一次取一件,連續(xù)取n次.20/72【預(yù)習(xí)自測(cè)】1.設(shè)隨機(jī)變量X分布列為則p等于(

)A.0

B.

C.

D.不確定21/72【解析】選B.由分布列性質(zhì)可知++p=1,解得p=.22/722.已知隨機(jī)變量X分布列為:P(X=k)=(k=1,2,…),則P(2<X≤4)=

(

)

23/72【解析】選C.P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)

24/723.以下事件:①抽取彩券是否中獎(jiǎng);②買回一件產(chǎn)品是否為正品;③投籃是否命中.能夠用兩點(diǎn)分布列來(lái)研究是________.25/72【解析】抽取彩券只有中獎(jiǎng)與不中獎(jiǎng)兩種結(jié)果,所以可用兩點(diǎn)分布來(lái)研究;買回一件產(chǎn)品只有正品與次品兩種不一樣結(jié)果,所以可用兩點(diǎn)分布來(lái)研究;投籃只有命中與沒(méi)有命中兩種結(jié)果,所以可用兩點(diǎn)分布來(lái)研究.答案:①②③26/724.將一枚硬幣扔三次,設(shè)X為正面向上次數(shù),則P(0<X<3)=__________.【解析】P(0<X<3)=1-P(X=0)-P(X=3)=1-=0.75.答案:0.7527/725.袋內(nèi)有5個(gè)白球,6個(gè)紅球,從中摸出兩球,記X=

則P(X=0)=______,P(X=1)=______.28/72【解析】顯然,P(X=0)=所以P(X=1)=答案:

29/726.從某醫(yī)院3名醫(yī)生,2名護(hù)士中隨機(jī)選派2人參加雅安抗震救災(zāi),設(shè)其中醫(yī)生人數(shù)為X,寫出隨機(jī)變量X分布列.30/72【解析】依題意可知,隨機(jī)變量X服從超幾何分布,所以P(X=k)=(k=0,1,2).P(X=0)==0.1,P(X=1)==0.6,P(X=2)==0.3.31/72(或P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0.1-0.6=0.3).故隨機(jī)變量X分布列為X012P0.10.60.332/72類型一求離散型隨機(jī)變量分布列【典例1】同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻骰子,觀察朝上一面出現(xiàn)點(diǎn)數(shù),求兩枚骰子中出現(xiàn)最大點(diǎn)數(shù)X分布列.【解題指南】依據(jù)所擲兩枚骰子朝上一面出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)確定X全部可能取值,再利用古典概型知識(shí)求出X取每一個(gè)值概率,進(jìn)而寫出分布列.33/72【解析】易知擲兩枚質(zhì)地均勻骰子朝上一面出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)有36種等可能情況,X可能取值為1,2,3,4,5,6,以下表:X值出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)情況數(shù)1(1,1)12(2,2),(2,1),(1,2)33(3,3),(3,2),(3,1),(2,3),(1,3)534/72X值出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)情況數(shù)4(4,4),(4,3),(4,2),(4,1),(3,4),(2,4),(1,4)75(5,5),(5,4),(5,3),(5,2),(5,1),(4,5),(3,5),(2,5),(1,5)96(6,6),(6,5),(6,4),(6,3),(6,2),(6,1),(5,6),(4,6),(3,6),(2,6),(1,6)1135/72由古典概型可知X分布列為36/72【方法總結(jié)】求離散型隨機(jī)變量分布列步驟(1)找出隨機(jī)變量X全部可能取值xi(i=1,2,3,…,n)以及X取每個(gè)值意義.(2)求出取各值概率P(X=xi)=pi.(3)列成表格得到分布列.37/72【鞏固訓(xùn)練】一袋中裝有6個(gè)一樣大小小球,編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6,現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球,以X表示取出球最大號(hào)碼,求X分布列.38/72【解析】隨機(jī)變量X可能取值為3,4,5,6.從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球,包含基本事件總數(shù)為,事件“X=3”包含基本事件總數(shù)為;事件“X=4”包含基本事件總數(shù)為;事件“X=5”包含基本事件總數(shù)為;39/72事件“X=6”包含基本事件總數(shù)為.從而有P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=所以隨機(jī)變量X分布列如表:40/72【賠償訓(xùn)練】從集合{1,2,3,4,5}全部非空子集中,等可能地取出一個(gè),記所取出非空子集元素個(gè)數(shù)為ξ,求ξ分布列.41/72【解析】依題意,ξ全部可能值為1,2,3,4,5.又P(ξ=1)=P(ξ=2)=P(ξ=3)=P(ξ=4)=P(ξ=5)=故ξ分布列為:42/72類型二分布列性質(zhì)及應(yīng)用【典例2】(1)(·沈陽(yáng)高二檢測(cè))設(shè)隨機(jī)變量ξ分布為P(ξ=k)=m·,k=1,2,3,則m值為(

)

43/72(2)(·衡水高二檢測(cè))設(shè)隨機(jī)變量ξ等可能取值1,2,3,…,n,假如P(3<ξ≤5)=0.2,那么(

)A.n=4 B.n=8 C.n=10 D.n=2044/72【解題指南】(1)利用各個(gè)概率之和等于1性質(zhì)可求m值.(2)注意P(3<ξ≤5)=P(ξ=4)+P(ξ=5),又ξ是等可能取值,所以P(ξ=k)=(k=1,2,…,n).45/72【解析】(1)選B.因?yàn)閙·

所以(2)選C.因?yàn)棣问堑瓤赡苋≈?所以P(ξ=k)=(k=1,2,…,n),所以P(3<ξ≤5)=P(ξ=4)+P(ξ=5)==0.2,所以n=10.46/72【延伸探究】1.典例(2)中條件“P(3<ξ≤5)=0.2”改為“P(ξ<5)=0.2”,結(jié)果怎樣?47/72【解析】因?yàn)棣问堑瓤赡苋≈?所以P(ξ=k)=(k=1,2,…,n),所以P(ξ<5)=P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)==0.2,所以n=20.48/722.典例(2)條件不變,試寫出其概率分布列.【解析】因?yàn)棣问堑瓤赡苋≈?所以P(ξ=k)=(k=1,2,…,n),所以P(3<ξ≤5)=P(ξ=4)+P(ξ=5)==0.2,所以n=10.所以P(ξ=k)=.49/72分布列為50/72【方法總結(jié)】分布列基本性質(zhì)若隨機(jī)變量X取值為x1,x2,…,xn,取這些值概率為P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n,則①pi≥0,i=1,2,…,n.②p1+p2+…+pn=1.另外,利用分布列性質(zhì)檢驗(yàn)所求分布列正誤,是非常主要思想方法.③普通地,離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值概率之和.51/72【賠償訓(xùn)練】設(shè)隨機(jī)變量X分布列P=ak(k=1,2,3,4,5).(1)求常數(shù)a值.(2)求P值.52/72【解析】由題意得X分布列為:53/72(1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得a=.(2)或54/72類型三兩類特殊分布及應(yīng)用【典例3】在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中,假設(shè)10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張,可獲價(jià)值50元獎(jiǎng)品,有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張,每張可獲價(jià)值10元獎(jiǎng)品;其余6張沒(méi)有獎(jiǎng)品.55/72(1)用戶甲從10張獎(jiǎng)券中任意抽取1張,求中獎(jiǎng)次數(shù)X分布列.(2)用戶乙從10張獎(jiǎng)券中任意抽取2張,設(shè)用戶乙取得獎(jiǎng)品總價(jià)值Y元,求Y分布列.56/72【解題指南】(1)抽獎(jiǎng)一次,只有中獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)兩種情況,符合兩點(diǎn)分布.(2)結(jié)合超幾何分布概率分布特點(diǎn)和題意即可寫出Y分布列.57/72【解析】(1)抽獎(jiǎng)一次,只有中獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)兩種情況,故X取值只有0和1兩種情況.P(X=1)=則P(X=0)=1-P(X=1)=1-58/72所以X分布列為59/72(2)Y全部可能取值為0,10,20,50,60,且P(Y=0)=P(Y=10)=P(Y=20)=P(Y=50)=P(Y=60)=60/72所以隨機(jī)變量Y分布列為61/72【方法總結(jié)】求解超幾何分布問(wèn)題注意事項(xiàng)(1)在產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)中,假如采取是不放回抽樣,則抽到次品數(shù)服從超幾何分布.62/72(2)在超幾何分布公式中,P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中,m=min{M,n}.這里N是產(chǎn)品總數(shù),M是產(chǎn)品中次品數(shù),n是抽樣樣品數(shù),且0≤n≤N,0≤k≤n,0≤k≤M,0≤n-k≤N-M.63/72(3)假如隨機(jī)變量X服從超幾何分布,只要代入公式即可求得對(duì)應(yīng)概率,關(guān)鍵是明確隨機(jī)變量X全部取值.(4)當(dāng)超幾何分布用表格表示較繁雜時(shí),可用解析式法表示.64/72【拓展延伸】P(X=k)=推導(dǎo)從N件產(chǎn)品中任取