論述馬爾可夫模型的降水預(yù)測(cè)方法

隨機(jī)過(guò)程與隨機(jī)信號(hào)處理課程論文論述馬爾可夫模型的降水預(yù)測(cè)方法摘要：預(yù)測(cè)是人們對(duì)未知事物或不確定事物行為與狀態(tài)作出主觀的判斷。中長(zhǎng)期降水量的預(yù)測(cè)是氣象科學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題,也是水文學(xué)中的一個(gè)重要問(wèn)題。今年來(lái)，針對(duì)降水預(yù)測(cè)的隨機(jī)過(guò)程多采用隨機(jī)過(guò)程中的馬爾可夫鏈。本文總結(jié)了降水預(yù)測(cè)的馬爾可夫預(yù)測(cè)的多種方法和模型，對(duì)其中的各種方法的馬爾可夫鏈進(jìn)行了比較和分析，得出了一些有用的結(jié)論。關(guān)鍵字：降水預(yù)測(cè)，隨機(jī)過(guò)程，馬爾可夫鏈，模擬前言：大氣降水是自然界水循環(huán)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。尤其在干旱半干旱地區(qū),降水是水資源的主要補(bǔ)給來(lái)源,降水量的大小,決定著該地區(qū)水資源的豐富程度。因此,在水資源預(yù)測(cè)、水文預(yù)報(bào)中經(jīng)常需要對(duì)降水量進(jìn)行預(yù)報(bào)。然而,由于氣象條件的變異性、多樣性和復(fù)雜性,降水過(guò)程存在著大量的不確定性與隨機(jī)性,因此到目前為止還難以通過(guò)物理成因來(lái)確定出未來(lái)某一時(shí)段降水量的準(zhǔn)確數(shù)值。在實(shí)際的降水預(yù)測(cè)中，有時(shí)不必預(yù)測(cè)出某一年的降水量，僅需預(yù)測(cè)出某個(gè)時(shí)段內(nèi)降水的狀況既可滿足工作需要。因此，預(yù)測(cè)的范圍相應(yīng)擴(kuò)大，精度相應(yīng)提高。因此對(duì)降水的預(yù)測(cè)可采用隨機(jī)過(guò)程的馬爾可夫鏈來(lái)實(shí)現(xiàn)。用隨機(jī)過(guò)程中馬爾可夫鏈進(jìn)行預(yù)測(cè)是一種較為廣泛的預(yù)測(cè)方法。它可用來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)某時(shí)間發(fā)生的變化,如預(yù)測(cè)運(yùn)輸物資需求量、運(yùn)輸市場(chǎng)等等。馬爾可夫鏈,就是一種隨機(jī)時(shí)間序列,它表示若已知系統(tǒng)的現(xiàn)在狀態(tài),則系統(tǒng)未來(lái)狀態(tài)的規(guī)律就可確定,而不管系統(tǒng)如何過(guò)渡到現(xiàn)在的狀態(tài)。我們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中,有很多情況具有這種屬性,如生物群體的生長(zhǎng)與死亡,一群體增加一個(gè)還是減少一個(gè)個(gè)體,它只與當(dāng)前該生物群體大小有關(guān),而與過(guò)去生物群體大小無(wú)關(guān)。]本文針對(duì)降水預(yù)測(cè)過(guò)程中采用馬爾可夫鏈進(jìn)行模擬進(jìn)行了綜述和總結(jié)。主要的方法有利用傳統(tǒng)的馬爾可夫鏈的方法模擬；有采用加權(quán)的馬爾可夫鏈模擬來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)；還有基于模糊馬爾可夫鏈狀模型預(yù)測(cè)的方法；還有通過(guò)聚類分析建立降水序列的分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)采用滑動(dòng)平均的馬爾可夫鏈模型來(lái)預(yù)測(cè)降水量；從這些方法中我們可以看出，馬爾可夫鏈對(duì)降水預(yù)測(cè)有著重要的理論指導(dǎo)意義。1.隨機(jī)過(guò)程基本原理我們知道，隨機(jī)變量的特點(diǎn)是，每次試驗(yàn)結(jié)果都是一個(gè)實(shí)現(xiàn)不可預(yù)知的，但為確定的量。而在實(shí)際中遇到的許多物理現(xiàn)象，實(shí)驗(yàn)所得到的結(jié)果是一個(gè)隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量，且用一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量我們有時(shí)無(wú)法描述很多這種現(xiàn)象的的全部統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這種情況下把隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量的總體叫做隨機(jī)過(guò)程。對(duì)隨機(jī)過(guò)程的定義如下：但“齊次性”一般都不滿足。另外該法沒(méi)有考慮到對(duì)應(yīng)各階(各種步長(zhǎng))馬爾可夫鏈的絕對(duì)分布在預(yù)測(cè)中所起的作用,因此沒(méi)有能充分利用已知數(shù)據(jù)資料的信息。而對(duì)于疊加馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)方法,盡管應(yīng)用了各階(各種步長(zhǎng))馬爾可夫鏈的絕對(duì)分布疊加來(lái)預(yù)測(cè)狀態(tài),但沒(méi)有考慮到各階馬爾可夫鏈對(duì)應(yīng)的絕對(duì)概率在疊加中所起的作用,即認(rèn)為各階馬爾可夫鏈的絕對(duì)概率所起的作用是相同的,這顯然是不科學(xué)的,事實(shí)上滿足馬爾可夫性的相依時(shí)間序列,其各階自相關(guān)性是不一致的。一列相依的隨機(jī)變量,其各階自相關(guān)系數(shù)刻畫了各種滯時(shí)的狀態(tài)間的相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱。因此,可考慮先分別依其前面若干時(shí)段的指標(biāo)值的狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè),然后,按前面各年與該年相依關(guān)系的強(qiáng)弱進(jìn)行加權(quán)求和,充分合理地利用信息進(jìn)行預(yù)測(cè),這就是加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)的基本思想。傳統(tǒng)的馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)方法與加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)方法都沒(méi)有對(duì)指標(biāo)值序列進(jìn)行馬爾可夫性檢驗(yàn),這是一個(gè)缺陷。本研究提出的加權(quán)馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)方法彌補(bǔ)了這個(gè)缺陷,具體方法如下:(1)計(jì)算指標(biāo)值序列的均值、均方差,建立指標(biāo)值的分級(jí)標(biāo)準(zhǔn),確定馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間?？筛鶕?jù)資料序列的長(zhǎng)短及具體問(wèn)題的要求進(jìn)行?？梢詷颖揪讲顬闃?biāo)準(zhǔn)[5～7]也可用有序聚類的方法建立分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)[7]將指標(biāo)進(jìn)行分級(jí)。確定馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間E={1,2,?,m}。(2)按所建立的分級(jí)標(biāo)準(zhǔn),確定資料序列各時(shí)段指標(biāo)值所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)。(3)對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì),可得到不同步長(zhǎng)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣,它決定了指標(biāo)值狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程的概率法則。(4)馬爾可夫性檢驗(yàn)。(5)計(jì)算各階自相關(guān)系數(shù)rk,k∈E(E為所研究序列的狀態(tài)空間)。式中:rk為第k階滯時(shí)的自相關(guān)系數(shù);xl為第l時(shí)段的指標(biāo)值;x為指標(biāo)均值;n為指標(biāo)序列的長(zhǎng)度。對(duì)各階自相關(guān)系數(shù)規(guī)范化,即將wk作為各種滯時(shí)(步長(zhǎng))的馬爾可夫鏈的權(quán)重(m為按時(shí)間需要計(jì)算到的最大階數(shù))。(6)分別以前面若干時(shí)段的指標(biāo)值為初始狀態(tài),結(jié)合其相應(yīng)的各階轉(zhuǎn)移概率矩陣即可預(yù)測(cè)出該時(shí)段的狀態(tài)概率P(k)i,i∈E,k為滯時(shí)(步長(zhǎng))，k=1,2,…m.(7)將同一狀態(tài)的各預(yù)測(cè)概率加權(quán)和作為指標(biāo)值處于該狀態(tài)的預(yù)測(cè)概率,即所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)即為該時(shí)段指標(biāo)值的預(yù)測(cè)狀態(tài)。待該時(shí)段的指標(biāo)值確定后，將其加入到原始序列中，再重復(fù)步驟(1)～(7),可進(jìn)行下一時(shí)段指標(biāo)值狀態(tài)的預(yù)測(cè)。隨機(jī)序列是否具有馬爾可夫性,是應(yīng)用馬爾可夫鏈模型分析和解決實(shí)際問(wèn)題的必要前提[5]。通常離散序列的馬爾可夫鏈可用x2統(tǒng)計(jì)量來(lái)檢驗(yàn)。對(duì)于指標(biāo)值的分級(jí),傳統(tǒng)的方法是應(yīng)用樣本均值與樣本標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)刻畫指標(biāo)值的變化區(qū)間,設(shè)指標(biāo)值序列為x1,x2,…,xn,樣本均值為x,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為。如果這是一個(gè)弱相關(guān)(相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值≤0.2)序列,則可以看做是獨(dú)立同分布的序列。由中心極限定理知:P{-1.5s≤x<+1.5s}≈2(1.5)-1=0.87;P{-s≤x<+s}≈2(1.0)-1=0.68。于是,可按指標(biāo)是否落在(-∞,-1.0s),(-1.0s,-0.5s),(-0.5s,+0.5s),(+0.5s,+1.0s),(+1.0s,+∞)內(nèi),把指標(biāo)值分成5組。利用這種方法對(duì)指標(biāo)值進(jìn)行分類,不考慮物理成因?qū)χ笜?biāo)值的影響,僅僅從統(tǒng)計(jì)的角度簡(jiǎn)單地把樣本均值作為指標(biāo)值的中心,這種方法操作較為方便,因此應(yīng)用也較廣泛。采用加權(quán)的馬爾可夫來(lái)進(jìn)行降水的預(yù)測(cè)主要優(yōu)點(diǎn)有(1)應(yīng)用樣本均值-標(biāo)準(zhǔn)差分級(jí)法來(lái)確定分級(jí)數(shù),再取適當(dāng)?shù)摩?、α2值,可以更加充分地應(yīng)用到降水序列的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),從而可以更加有效地刻畫降水序列內(nèi)在的分布規(guī)律,使劃分的降水量區(qū)間分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)更合理。(2)預(yù)測(cè)結(jié)果為降水量的某一個(gè)狀態(tài)(區(qū)間值),而不是一個(gè)具體的數(shù)值,在可以完全滿足實(shí)際工作的前提下,預(yù)測(cè)的范圍更廣,其可靠性也得到了提高。(3)由于各種步長(zhǎng)的自相關(guān)系數(shù)為權(quán)重,用各種步長(zhǎng)的馬爾可夫鏈加權(quán)來(lái)預(yù)測(cè)降水狀態(tài),與普通的馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)相比較,它可以更充分、更合理地利用信息,使其成功地將馬爾可夫鏈與相關(guān)分析結(jié)合起來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)。(4)根據(jù)最后計(jì)算出來(lái)的狀態(tài)概率分布,求所預(yù)測(cè)的降水量的具體值,仍是一個(gè)有待解決的問(wèn)題,加權(quán)馬爾可夫鏈的方法為這樣的預(yù)測(cè)提供了一個(gè)新的思路。4.基于模糊馬爾可夫鏈狀模型預(yù)測(cè)的方法模糊有序聚類是對(duì)有序樣品進(jìn)行分類的一種方法,以往通常應(yīng)用降水量序列的均值與方差的方法來(lái)刻畫降水量豐枯狀況的變化區(qū)間,本文提出應(yīng)用模糊有序聚類的方法來(lái)劃分降水量的變化區(qū)間,可以更加充分地考慮降水量序列的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),使劃分的區(qū)間更加合理。模糊有序聚類實(shí)現(xiàn)的經(jīng)典算法是Fisher算法,其基本原理為:設(shè)變量x1,?,xn的某一歸類是{xi,…,xj},j≥i,定義其均值向量為將公式定義為{xi,?,xj},j≥i的直徑,其含義表示該變量段內(nèi)部各變量之間的差異情況.其值越小,表示該段內(nèi)變量之間差異越小,或相互間越接近;反之,表示該段內(nèi)變量之間差異越大,或相互間越分散。設(shè)將n個(gè)有序變量分為K類,某一分法為將公式定義這一分類的誤差函數(shù),從理論上可以證明,所謂的最優(yōu)分法就是使e[P(n,K)]達(dá)到最小值時(shí)的一種分法.至于分類數(shù)K的確定,可以通過(guò)做e[P(n,K)]與K關(guān)系的曲線圖,曲線拐彎處的K值即為最優(yōu)分類數(shù).通常一個(gè)時(shí)間序列X(t)的可能取值范圍是一個(gè)連續(xù)的實(shí)數(shù)區(qū)間,如果采用上述馬爾可夫鏈狀模型預(yù)測(cè)方法,就必須先將這個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間劃分成有限個(gè)明確的狀態(tài)。但是在許多問(wèn)題中,狀態(tài)并不是明確的子集合。例如我們利用降雨量來(lái)確定旱、偏旱、正常、偏澇和澇等狀態(tài)。因?yàn)樗鼈兌际悄：隣顟B(tài),故要用降雨量上的模糊子集來(lái)表示才更近似于實(shí)際情況。因此,針對(duì)此類情況必須采用基于模糊狀態(tài)的馬爾可夫鏈狀模型的預(yù)測(cè)方法。而馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)的關(guān)鍵問(wèn)題在于計(jì)算轉(zhuǎn)移矩陣中的概率值,概率計(jì)算的基礎(chǔ)在于狀態(tài)的劃分矩陣,顯然,將狀態(tài)劃分明確的狀態(tài)劃分矩陣即布爾矩陣進(jìn)一步拓廣為表示狀態(tài)劃分模糊的模糊狀態(tài)劃分矩陣轉(zhuǎn)移概率問(wèn)題就可以解決了。設(shè)時(shí)間序列X(t):x1,x2,x3,…,xn,在其論域X(t)上劃分出K個(gè)模糊狀態(tài)E1,E2,...,Ek按照一定的方法總能得X(t)隸屬于模糊狀態(tài)Ei的隸屬度函數(shù),滿足:從而得到矩陣稱為時(shí)間序列X(t)在論域X上的模糊狀態(tài)劃分特征值矩陣,簡(jiǎn)稱模糊狀態(tài)劃分矩陣。顯然式(1)為,為時(shí)間序列X(t):x1,x2,x3,...,xn,在其論域X上劃分的模糊矩陣,顧及一般性,由于數(shù)據(jù)序列最后的狀態(tài)轉(zhuǎn)向不明確,故計(jì)算時(shí)不考慮時(shí)間序列X(t)中最后的m個(gè)數(shù)據(jù),則模糊狀態(tài)的馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)移概率可作如下定義:為xt(t=1,2,...,n-m)落入狀態(tài)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù),易證即為狀態(tài)的初始概率為狀態(tài)經(jīng)m步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，且有即為狀態(tài)經(jīng)m步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率，且滿足，從而獲得模糊狀態(tài)劃分下轉(zhuǎn)移概率矩陣。系統(tǒng)各種狀態(tài)轉(zhuǎn)移的統(tǒng)計(jì)規(guī)律在狀態(tài)概率矩陣中得到了反映,通過(guò)考慮狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣,則可預(yù)測(cè)系統(tǒng)未來(lái)的發(fā)展變化。預(yù)測(cè)時(shí)需要先列出預(yù)測(cè)表。表的編制方法是:選取離預(yù)測(cè)年最近的j個(gè)年份,按離預(yù)測(cè)年的遠(yuǎn)近,轉(zhuǎn)移步數(shù)分別為1,2,…,j,在轉(zhuǎn)移步數(shù)所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移矩陣中,取起始狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的行向量,從而組成新的概率矩陣。對(duì)新的概率矩陣將其列向量求和,其和最大的列向量的狀態(tài)為預(yù)測(cè)狀態(tài),從而實(shí)現(xiàn)了模糊狀態(tài)的馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)計(jì)算。5滑動(dòng)平均-馬爾可夫模型根據(jù)降水過(guò)程存在大量不確定性的特點(diǎn),通過(guò)聚類分析建立降水序列的分級(jí)標(biāo)準(zhǔn),采用規(guī)范化的各階自相關(guān)系數(shù)為權(quán)重,用滑動(dòng)平均的馬爾可夫鏈模型,通過(guò)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣預(yù)測(cè)未來(lái)時(shí)段的降水狀態(tài),并根據(jù)模糊集理論中的級(jí)別特征值計(jì)算具體的降水量,傳統(tǒng)的馬爾可夫鏈模型采用最大隸屬原則來(lái)確定預(yù)報(bào)對(duì)象的狀態(tài),具有兩大缺點(diǎn):第一,只考慮了最大概率,忽略了其它概率的影響;第二,不清楚預(yù)報(bào)對(duì)象在區(qū)間內(nèi)的大致位置,無(wú)法達(dá)到預(yù)報(bào)對(duì)象具體值的要求。模糊集理論中的級(jí)別特征值可以有效地解決這個(gè)問(wèn)題,具體計(jì)算方法如下:首先給各狀態(tài)賦以相應(yīng)的權(quán)重,構(gòu)成權(quán)重集D={d1,d2,d3,d4,…dm},其中m為研究系統(tǒng)的狀態(tài)數(shù)。其中權(quán)重的大小取決于各狀態(tài)概率的大小,即式中:G——最大概率的作用系數(shù),通常取2。級(jí)別特征值H可以通過(guò)下式進(jìn)行計(jì)算。確定最大概率的狀態(tài)i后,可以根據(jù)上式確定系統(tǒng)在預(yù)報(bào)時(shí)段的預(yù)報(bào)值與傳統(tǒng)的馬爾可夫過(guò)程相比,滑動(dòng)平均-馬爾可夫模型具有以下特點(diǎn):①采用了滑動(dòng)平均的思想,預(yù)測(cè)未來(lái)某時(shí)段的滑動(dòng)平均降水量,預(yù)測(cè)范圍擴(kuò)大,預(yù)測(cè)精度提高。②采用了聚類的方法對(duì)滑動(dòng)平均降水量進(jìn)行等級(jí)劃分,更加充分地考慮了序列中數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的合理性,更加有效地顯示了降水量序列的內(nèi)在分布規(guī)律,使得區(qū)間的劃分更加合理。③計(jì)算序列的各階自相關(guān)系數(shù),歸一化后作為馬爾可夫模型的權(quán)重,充分、合理地利用已有信息,使得預(yù)測(cè)結(jié)果更為精確。結(jié)論：通過(guò)以上分析，針對(duì)降水預(yù)測(cè)，從中可以看出，隨機(jī)過(guò)程中的馬爾可夫鏈模型在降水預(yù)測(cè)中有重要的實(shí)際指導(dǎo)意義。文中分析了馬爾可夫鏈在其中的應(yīng)用的各種模型，對(duì)具體的降水分析，可采取不同的模型。每個(gè)模型都有自身的優(yōu)缺點(diǎn)，可以采取將兩者或兩者以上方法結(jié)合的思想。比如利用模糊馬爾可夫鏈模型與加權(quán)馬爾可夫鏈結(jié)合進(jìn)行結(jié)合，產(chǎn)生一種模糊權(quán)馬爾可夫鏈模型，將兩者優(yōu)勢(shì)結(jié)合在一起，必定會(huì)受到更好的效果。此外，對(duì)隨機(jī)過(guò)程馬爾可夫鏈的廣大應(yīng)用背景，在這方面的應(yīng)用研究也必將越來(lái)越多。參考文獻(xiàn)：[1]SchoofJTPryorSCOntheproperorderofMarkovchainmodelfordailyprecipitationoccurrenceinthecontiguousUnitedStatesJournalofappliedmeteorologyandclimatologyVolume47Issue9Sept2008Pages:2477-2786[2]GastonSamba,MarcelMpounzaApplicationoftheMarkovprocessfordailyprecipitationoccurrencesinCongo-BrazzavilleComptesRendusGeosci