2020-2021學年遼南協(xié)作體高一年級上冊期末數(shù)學試卷(含解析)

2020-2021學年遼南協(xié)作體高一上學期期末數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.已知全集U=R,集合/={%|0W%W2},B={x\x2-%>0],則圖中的陰影部分表示的集合

■為（）

A.（―8,1]U（2,+8）B.（—8,0）u（1,2）

C.[1,2）D.（1,2]

2,2008年某市有23000名初中畢業(yè)生參加了升學考試，為了解23000名考生的升學成績，從中

抽取了200名考生的試卷進行統(tǒng)計分析，以下說法不正確的是（）

A.23000名考生的成績是總體

B.每名考生是個體

C.200名考生的成績是總體的一個樣本

D.每名考生的成績是個體

3.命題p:0（比<1,命題q:/<2尤，命題p是勺的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.即不充分也不必要條件

4,若a,b均為正實數(shù)，且（+*=1,貝ija+b的最小值是（）

A.6+2V3B.7+273C.6+4V3D.7+4舊

5,將7個相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個不同的小盒中，每個小盒中至少有1個小球，那么甲盒

中恰好有3個小球的概率為（）

A4B.|C4D.l

2

6.已知函數(shù)/（%）=（m-m-是哥函數(shù)，對任意的％1，外€（0,+8）且久10%2,滿足

”與戶>0,則加的值為（）

A.-1B.2C.0D.1

7.小趙到哈爾濱南崗區(qū)7個小區(qū)和道里區(qū)8個小區(qū)調查空置房情況，將調查得到的小區(qū)空置房的套

數(shù)繪成了如圖所示的莖葉圖，則調查中的南崗區(qū)空置房套數(shù)的中位數(shù)與道里區(qū)空置房套數(shù)的中

位數(shù)之差為()

南崗區(qū)ifi?K

069

9437456

218023

1?90

A.4B.3C.2D.1

8,已知定義域為R的奇函數(shù)/'(x)滿足f(久+2)=f(久)，且當0W久<1時，/(%)=%3,貝U/'(-1)=

()

A.B.—C.ID.

8888

9.已知正項等比數(shù)列｛即｝滿足-<16=2。5，若存在兩項即1，廝使得喜加斯=4的,則與署的最

小值為()

A.；B.yC.甘D.?

3456

10.已知函數(shù)f(x)=+W1,則方程/⑺=ax恰有一個實根時，實數(shù)a的取值范圍是()

｛.Inx-l,x>1

A.(-00,-1]U[1.1,+00)UB.(-1,節(jié)

C.（-l,o]u舄怖）D.（-1七）

11.已知向量濟3為單位向量，a-b=1,向量不滿足1與3—3的夾角為，則|云—有的最大值為

()

A.-B.4C.-D.2

22

12.函數(shù)0的定義域是：()

A.0B.□C.0u0D.0u□

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.令?2=a,則用a表示哺+31淄的結果為

14.某高校在某年的自主招生考試成績中隨機抽取50名學生的筆試成績,

繪制成頻率分布直方圖如圖所示，若要從成績在[85,90),[90,95),

［95,100］三組內的學生中，用分層抽樣的方法抽取12人參加面試，則成績在［90,100］內的學生應

抽取的人數(shù)為

15.在矩形28CD中，對角線AC,BD相交于點0,E為B。的中點，若荏=

2而+〃前(尢〃為實數(shù))，貝1UH=.

16.已知a>b>0,那么，當代數(shù)式。2+公而取最小值時，點P(a,b)的坐標為

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知集合P的元素個數(shù)為371("eN*)個且元素為正整數(shù)，將集合P分成元素個數(shù)相同且兩兩沒有

公共元素的三個集合4、B、C,即P=4U8UC,AdB=0,AdC=0,BdC=0,其中4=

{dig，…g}，B={瓦也,C={q,C2,若集合4、B、C中的元素滿足q<c2<--?<

cayak+bk=ck,k=1,2,...n,則稱集合P為"完美集合”.

(1)若集合P={1,2,3},Q={1,234,5,6},判斷集合P和集合Q是否為“完美集合”？并說明理由；

(2)已知集合「={l,x,3,4,5,6}為“完美集合”，求正整數(shù)式的值；

(3)設集合P={x\l<x<3n,n>2,neN*}

①證明：集合P為“完美集合”的一個必要條件是n=4k或n=4fc+l(fceN*)

②判斷當律=4時，集合P是否為“完美集合”，如果是，求出所有符合條件的集合C；如果不是,

請說明理由.

18.已知函數(shù)/(x)=log一(a>1)是奇函數(shù)，

aX~1

(1)求k的值；

(2)在(1)的條件下判斷f(x)在(1,+8)上的單調性，并運用單調性的定義予以證明.

19,已知兩個非零向量五,b.

(I)若向量落石是夾角為120。的單位向量，試確定實數(shù)k,使kN+方和五-反垂直;

(II)若麗=3+1，BC=2a+6b,CD=2(a-b'),求證：三點共線.

20.甲、乙2個人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為學咕求：

34

(1)2個人都譯出密碼的概率;

(2)2個人都譯不出密碼的概率；

(3)恰有1個人譯出密碼的概率；

(4)至多1個人譯出密碼的概率；

(5)至少1個人譯出密碼的概率.

21.已知二次函數(shù)f(x)滿足條件/1(0)=1,及f(x+1)-f(x)=2久.

(/)求函數(shù)/(久)的解析式；

(〃)在區(qū)間［-1,1］上，函數(shù)y=f(久)的圖象恒在y=3x+m的圖象上方，試確定實數(shù)TH的取值范

圍

1

22.已知二次函數(shù)/(%)=ax2+2%+c的對稱軸為1=1,,g(%)=%+-(%>0).

⑴求函數(shù)g(x)的最小值及取得最小值時式的值；

(2)試確定c的取值范圍，使g(%)-/(%)=0至少有一個實根；

(3)當c=/n-3時，F(xiàn)(x)=/(%)-(m+2)%,對任意％e(1,2］有F(%)40恒成立，求實數(shù)m的取值

范圍.

參考答案及解析

1.答案：A

解析：

本題主要考查集合的基本運算，利用陰影部分表示出集合關系是解決本題的關鍵.根據(jù)陰影部分對

應的集合為QUnB)n(auB),然后根據(jù)集合的基本運算進行求解即可.

解：B={x\x2—%>0}={x\x>1或x<0},

由題意可知陰影部分對應的集合為Cu(anB)n(auB),

■■■AaB={x\l<x<2],AL)B=R,

即CuQ4nB)={x\x<1或x>2},

Cu(4CB)D(4UB)={x\x<1或x>2}=(—co,l][/(2,+oo)

故選：A.

2.答案：B

解析：解：4、23000名考生的成績是總體，故本選項正確；B、每名考生的成績是個體，而不是每

名考生是個體，故本選項錯誤；C、200名考生的成績是總體的一個樣本，故本選項正確；D、每名

考生的成績是個體，故本選項正確；故選反

本題考查的是確定總體.解此類題需要注意“考查對象實際應是表示事物某一特征的數(shù)據(jù)，而非考查

的事物我們在區(qū)分總體、個體、樣本、樣本容量這四個概念時，首先找出考查的對象，考查的對

象是考生的升學成績，即可確定總體、個體、樣本，進而確定樣本容量.本題考查了總體、個體、

樣本、樣本容量的定義，解題要分清具體問題中的總體、個體與樣本，關鍵是明確考查的對象總體、

個體與樣本的考查對象是相同的，所不同的是范圍的大小,樣本容量是樣本中包含的個體的數(shù)目，不

能帶單位.

3.答案：A

解析：

本題考查了不等式的解法、充分條件，必要條件的判斷，屬于基礎題.

對于命題q：不等式產―2x<0成立，解出即可判斷出結論.

解：對于命題q：不等式i-2%<0成立，解得：0<x<2,

而命題P，0<x<1；

則命題p是命題q的充分不必要條件.

故選：A.

4.答案:D

解析：解：:a,b均為正實數(shù),且那=1，

.?“+”(0+6心+》=7+^+第27+2卑=7+4百,當且僅當26=V3a=6+4V3.

a+b的最小值是7+4V3.

故選：D.

利用“乘1法”和基本不等式的性質即可得出.

本題考查了“乘1法”和基本不等式的性質，屬于基礎題.

5.答案：C

解析：解：將7個相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個不同的小盒中，每個小盒中至少有1個小球，

基本事件總數(shù)幾=廢=20,甲盒中恰好有3個小球有m=Cj=3種放法，

???結合古典概型計算公式可得甲盒中恰好有3個小球的概率為p=；=卷.

故選：C.

基本事件總數(shù)幾=弓=20,甲盒中恰好有3個小球有m=窗=3種放法，由此能求出甲盒中恰好有3

個小球的概率.

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

6.答案：B

2

解析：解：由已知函數(shù)/Q)=(m-m-是幕函數(shù)，可得*-m-1=1,解得加=2或m

1.

當m=2時，/(%)=%7；當m=-1時，/(%)=%-2.

對任意的乙、%2G(0,+8),且均豐%2,滿足W?)>0,

故函數(shù)是單調增函數(shù)，

：.m=2,/(x)=%7.

故選：B.

利用幕函數(shù)的定義和性質即可求出TH.

本題考查幕函數(shù)的性質以及事函數(shù)的定義的應用，考查計算能力.

7.答案：D

解析：解：因為南崗區(qū)空置房套數(shù)有7套，則其中位數(shù)是79；道里區(qū)空置房套數(shù)有8套，則其中位數(shù)

所以兩中位數(shù)之差是79-78=1.

故選：D.

由莖葉圖分別求出兩區(qū)的中位數(shù)，相減即可.

本題通過莖葉圖考查中位數(shù)的求法，屬于基礎題.

8.答案：B

解析：解：根據(jù)題意，函數(shù)/Xx)為奇函數(shù)且滿足/(X+2)=/(%),

則〃-1)=/(-}=一居)，

又由當0工％工1時，/(x)=%3,

則")=(T=i；

則有〃*)=-6)=甘，

故選：B.

根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性和周期性分析可得/(-|)=/(-}=結合函數(shù)的解析式求出/(}

的值，即可得答案.

本題考查函數(shù)的奇偶性的性質應用，涉及函數(shù)的周期，屬于基礎題.

9.答案:B

解析：解：設等比數(shù)列的公比為q(q>0),

,*,。7—=2a5，

2

???asq—asq=2a5,

q=2,

???存在兩項，。九使得何高=4%,

??九—9

...qm+n-2=16,

???m+n=6,

n+9m1,9i19

---------1—=e(m+n)(-+-)-(10+-+—)2)=|，

mnmn6mn寄。。+仁潦

當且僅當"m=|,n=蕓時取等號，但此時與題設不成立.

由m,nEN',經驗算可知，當"m=2,n=4”時，山竺取得最小值?.

mn4

故選：B.

由已知條件可求得等比數(shù)列的公比為2,進而求得m+n=6,結合小，nEN',經驗算即可求得答

案.

本題考查等比數(shù)列與基本不等式的綜合問題，考查運算求解及化簡變形能力，注意基本不等式的運

用條件：一正二定三相等，本題屬于易錯題，難度不大.

10.答案：A

解析：解：當xW1時/'CO=Q+1,

1,?

???一x+1=ax,

10

1,1

CL=----1---,

10x

令gQ)=3+m

???X<1又0(%)在(一8,0)和(0,1)上都是單調遞減的，

???g(%)在％<1上的值域是(-8,0)u[1.1,+00),

當久>1時，/(%)=Inx—1=ax,得到a=lnx

lnx-1

令九(%)

x

2-lnx

1,八'(%)=

X>x2

令"(%)=0,得到2—lnx=0得到％=e2

??.h(%)在(Le?)上單調增，在(e?,+8)上單調減,

%(%)的最大值為九(?2)=W，

,?,當％<e時，lnx-1<0,而%趨向正無窮時，h(%)趨向0,

???/i(x)>/i(l)=-1,

???九。)的值域是(一1涓),

,."(%)=a%恰有一個實根,

CL6(—00,-1]U[1.1,+8)U{—}

故選：A

由題意，方程/'（X）=ax恰有一個實根，等價于y=/（%）與y=ax有1個交點，求出a的取值范圍.

本題考查了函數(shù)的圖象與性質的應用問題，以及分類討論的思想，以及函導數(shù)數(shù)與函數(shù)最值問題,

進行解答，是易錯題.

11.答案：D

解析：?：-.-a-b=l，向量區(qū)3為單位向量,

1x1xcos<a,b>=

2

?,.<a,b>=

3

設04=方，OB=by0C=c-

???向量不滿足五-下與石-工的夾角為，

O

由等邊三角形04B,點C在外且NACB為定值，可得C的軌跡是兩段圓弧，乙4cB是4B所對的圓周

角.

可知：當AC時是弧2B所在圓（上述圓?。┑闹睆綍r，值一可取得最大值|林|,

在△ABC中，由正弦定理可得：4C=$=2.

sin30

???普-現(xiàn)取得最大值是2.

故選：D.

由14=3，向量為，3為單位向量，可得（優(yōu)3>=全設瓦？=灑0B=K,元=2由向量磁足五一1

與7的夾角為￡可得N4CB=2.由等邊三角形（MB,點C在外且N2CB為定值，可得C的軌跡是

66

兩段圓弧，N2C8是4B所對的圓周角.因此：當4c時是弧3B所在圓（上述圓?。┑闹睆綍r，|1-不|取

得最大值|而|.

本題考查了向量的數(shù)量積運算性質、向量的減法運算及其幾何意義、圓的性質、直角三角形的邊角

關系，考查了數(shù)形結合的思想方法、推理能力與計算能力，屬于難題.

12.答案：D.

解析：試題分析：函數(shù)的定義域是使得整個解析式有意義的0取值范圍.函數(shù)的定義域一般保證①

偶次方根下被開方數(shù)大于等于0②分母不為0③對數(shù)的真數(shù)大于0④0中的項s.在本題中，要

使得函數(shù)解析式有意義，□須滿足□,從而得到□.

考點：命題的否定;充要條件：特稱命題與全稱命題;四種命題的關系.

13.答案：a—1

解析：W：lg|+31^|=lg8—IgS—3lg2=3lg2—(1—lg2)—3lg2=lg2—1=a—1,

故答案為：a—L

利用對數(shù)的運算性質化簡即可.

本題主要考查了對數(shù)的運算性質，是基礎題.

14.答案:6

解析：解：由頻率分布直方圖，得：

(0.016+0.064+0.06+a+0.02)X5=1,解得a=0.040.

第3組的人數(shù)為0。60x5x50=15,

第4組的人數(shù)為0.040X5X50=10,

第5組的人數(shù)為0.020x5x50=5,

所以利用分層抽樣在30名學生中抽取12名學生，

第4組應抽取總x12=4人，第5組應抽取卷x12=2人.

則成績在［90,100］內的學生應抽取的人數(shù)為6.

故答案為：6.

由頻率分布直方圖，先求出a=0.040.再求出第3組、第4組和第5組的人數(shù)，由此能求出利用分層抽

樣在30名學生中抽取12名學生，成績在［90,100］內的學生應抽取的人數(shù).

本題考查分層抽樣方法的應用，是基礎題，解題時要認真審題，注意頻率分布直方圖的合理運用.

15.答案:亮

1D

解析：

本題考查了平面向量基本定理，屬于基礎題.

由平面向量基本定理得荏=^AB+^AO=^-AB+；而.代入求值即可.

2244

解：AE=-AB+-AO=-AB+-AC

2224

11

=-AB+-(AB+AD)

24

=-AB+-AD.

44

Ajtz=-.

故答案為?

16

16.答案：(272,72)

解析：解：因為a>b>0：

z心、/,b+a-ba2

???b7(a-&)<(^―)y22=

Z4

所以a?+W不>a2+g>2V64=16.當且僅當=的=卜=2;也時取等號，

火a-。)a1b=a—blb=&

此時P(a,b)的坐標為：(2A/2,A/2).

故答案為：(2夜,迎).

先根據(jù)基本不等式得到b(a-b)<(竺F)2=9；再利用一次基本不等式即可求解.

本題考查的知識點：關系式的恒等變換，基本不等式的應用，屬于基礎題型.

17.答案：解：(1)集合p={1,2,3}為“完美集合”，

令2={1'B={2卜C={3}-

則集合4、B、C中的元素滿足以+bk=ck,

集合Q={1,2,3,456}不是“完美集合”，

若集合Q為“完美集合”，

則C中元素最小為3,

若C的最小元素為3,則%+瓦=1+2=3,

a2+b2=4+5=c2=6不可能成立，

若C的最小元素為4,則的+瓦=1+3=4,

a2+b2=2+5=c2=6不可能成立，

若C的最小元素為5,則a1+瓦=1+4=5,

a2+b2=2+3=c2=6不可能成立，

綜上可得集合Q={1,2,3,456}不是“完美集合”

(2)由(1)可得力*2,

若a={1,3},4GB,貝U5eC,6EB,x=3+6=9eC滿足“完美集合”的定義;

若a={1,3},5eB,貝U6ec,5es,x=3+5=8ec滿足“完美集合”的定義;

解析：討論集合a與集合B,根據(jù)完美集合的概念知集合c,根據(jù)以+源=為建立等式求X的值

本題考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷，考查函數(shù)的單調性等基礎知識，考查運算求解能

力，是基礎題.

18.答案:解：(l)f(x)是奇函數(shù),貝葉(―乃=—/Q).

由/(-K)=-/(%)=翳=*n1—k2x2=1-x2=k2=l=k=1或k=-1.(2分)

2

當k=l時,/(x)=loga-—=loga(^X),這與題設矛盾,

當上=—1時，/(X)=/0%二為奇函數(shù)，滿足題設條件.(4分)

(2)在(1)的條件下，f(%)=log。E在(1,+8)上是減函數(shù)，證明如下:

(力1+1)(02—1)XX-X+X-1

=loga1212(6分)

設比1，X2G(1,+8),且的<X2,貝療01)一/(%2)=log。(%1-1)(%+1)

2XrX2-X2+%1—1

xx

x2>%1>1???X1%2—+%2—1>l2—x2+%1—1>0,

%x-x+x-l

1212>1,(7分)

2T2+%1-1

又a>1,/(xj-f(x2)>logal=0

即/'(%i)>/(久2)，；?7'(%)在(L+8)上是減函數(shù).(8分)

解析：(1)由已知中函數(shù)/(久)=/0%二?缶>1)是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義，我們可構造一個關

X—1

于k的方程，解方程即可得到答案.但由于對數(shù)要求真數(shù)部分大于0,故還要對k值進行判斷，以去

除增根.

e

(2)利用定義法(作差法)，任取%1，X2(1,+°°)，且<刀2，確定f(%l)-/(%2)的符號，即可根據(jù)

單調性的定義得到結論.

本題考查的知識點是奇函數(shù)、函數(shù)單調性的判斷與證明，對數(shù)運算性質，是必須一難點的集中考查，

熟練掌握函數(shù)單調性、奇偶性的定義及對數(shù)的運算性質是解答的關鍵.

19.答案：(I)解：?向量落石是夾角為120。的單位向量；

.—?1

a-b=1x1xcosl20°=——；

2

???上方+至與方一石垂直；

(fca+fo)?(a—h)=0;

???ka2—ka?9+方?另一片=0，

即7-1=。，

???k=1；

(口)證明：?.?前=前+麗=21+61+2@—3)=4@+B)，

且彳至=a+b<

■■■~BD=4AB;

就與而共線；

又?.?麗，南有公共點B；

三點共線.

解析：本題考查單位向量的概念，向量數(shù)量積的計算公式及數(shù)量積的運算，向量垂直的充要條件，

以及共線向量基本定理.

(I)根據(jù)條件可求出方彳=一會根據(jù)左五+了與3垂直，即可得出(kl+E)?0—3)=0,進行數(shù)

量積的運算即可求出k的值；

(11)可求出麗=4@+石)，從而得出前=4而，即得出荏與前共線，從而得出4B,D三點共線.

20.答案：解：記“甲譯出密碼”為事件4“乙譯出密碼”為事件B,“兩人都譯出密碼”為事件C,

“兩人都譯不出密碼”為事件0,

“恰有一人譯出密碼”為事件E,“至多一個人譯出密碼”為事件F,“至少1個人譯出密碼“為G,

(l)P(C)=PQAnB)=PQ4)-P⑻=那=基即2個人都譯出密碼的概率為親

(2)P(D)=P(AnB)=P(A)-P(B)=(1-X(1-i)=I，即2個人都譯不出密碼的概率為|.

(3)P(E)=P[(4nB)U(1nB)]=P(anB)+P(1nB)=]X(1—3)+(1—}X[=V，即恰有一

個人譯出密碼的概率為*

(4)利用事件的對立事件求得P(F)=1-P(C)=l-i=g,即至多有一個人譯出密碼的概率為苫.

(5)利用事件的對立事件求得P(G)=1-P(D)=1-|=|,即至少1個人譯出密碼的概率為

解析：(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式求得兩個人都能譯出密碼的概率.

(2)利用相互獨立事件的概率乘法公式求得兩個人都能譯不出密碼的概率.

(3)求出甲能譯出密碼而乙不能譯出密碼的概率、甲不能譯出密碼而乙能譯出密碼的概率，相加即得

所求.

(4)用1減去甲乙都能譯出密碼的概率，即為至多有一個人譯出密碼的概率.

(5)用1減去甲乙都能譯不出密碼的概率，即為至少1個人譯出密碼的概率.

本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式的應用，事件與它的對立事件概率間的關系，屬于中檔

題.

21.答案：解：(/)設二次函數(shù)解析式為/(%)=a%2+b%+c(aW0),

由已知：/(0)=c=1,

/(%+1)—/(x)=a(%+I)2+b{x+1)+1—ax2—bx—1=2ax+a+b=2%,

所以a=1,b=—1,

則函數(shù)/(%)的解析式為f(x)=%2-%+1.

(〃)在區(qū)間［-1,1］上，y=/(%)的圖象恒在直線y=3%+m上方，

所以x2-x+l>3x+m在區(qū)間［一1,1］恒成立，

則TH<%2—4%+1,

因為y=%2-4%+1在［-1,1］單調遞減，

所以(/—4x+l)mjn=1—4+1=—2,

則ni的取值范圍為(-8,-2).

解析：本題考查利用待定系數(shù)求二次函數(shù)的解析式，及利用不等式恒成立研究函數(shù)的圖象關系.

(1)設二次函數(shù)的解析式，利用已知列方程，得a、b、c的值；

(〃)因為函數(shù)圖象的關系得不等式恒成立，由二次函數(shù)的單調性，得出租的取值范圍.

22.答案：解：(l)vx>0,

vX

?,?%+j>2,當且僅當久=%即％=1時"="成立，