中考數(shù)學(xué)試題分類匯編考點(diǎn)27菱形含解析-初中

2018中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：考點(diǎn)27菱形

一.選擇題（共4小題）

1.（2018?十堰）菱形不具備的性質(zhì)是（）

A.四條邊都相等B.對角線一定相等

C.是軸對稱圖形D,是中心對稱圖形

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)即可判斷；

【解答】解：菱形的四條邊相等，是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，對角線垂直不一定相

等，

故選：B.

9

2.（2018?哈爾濱）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)0,BD=8,tanZABD=—,

4

D.10

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出ACLBD,A0=C0,0B=0D,求出0B,解直角三角形求出A0,根

據(jù)勾股定理求出AB即可.

【解答】解：???四邊形ABCD是菱形,

.\ACJ_BD,AO=CO,OB=OD,

AZA0B=90°,

VBD=8,

；.0B=4,

VtanZABD=-^^—,

4OB

A0=3,

在RtaAOB中，由勾股定理得：ABWAC^+OBA^+FS，

故選：C.

3.（2018?淮安）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別為6和8,則這個菱形的周長

是（）

【分析】由菱形對角線的性質(zhì)，相互垂直平分即可得出菱形的邊長，菱形四邊相等即可得出

周長.

【解答】解：由菱形對角線性質(zhì)知I,AO=&C=3,BO=^BD=4,且AOLBO,

22

則AB=VAQ2+B0^5-

故這個菱形的周長L=4AB=20.

故選：A.

4.（2018?貴陽）如圖，在菱形ABCD中，E是AC的中點(diǎn)，EF〃CB,交AB于點(diǎn)F,如果EF=3,

那么菱形ABCD的周長為（）

A.24B.18C.12D.9

【分析】易得BC長為EF長的2倍，那么菱形ABCD的周長=4BC問題得解.

【解答】解：；E是AC中點(diǎn)，

VEF/7BC,交AB于點(diǎn)F,

，EF是4ABC的中位線,

.?.EF寺C,

；.BC=6,

菱形ABCD的周長是4X6=24.

故選：A.

二.填空題（共6小題）

5.（2018?香坊區(qū)）已知邊長為5的菱形ABCD中，對角線AC長為6,點(diǎn)E在對角線BD上

且tan/EAC=/,則BE的長為3或5.

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和分兩種情況進(jìn)行解答即可.

【解答】解：當(dāng)點(diǎn)E在對角線交點(diǎn)左側(cè)時，如圖1所示：

?.?菱形ABCD中，邊長為5,對角線AC長為6,

.\AC±BD,60=^^￡2_^02-^52_32-4,

VtanZEAC=-l0E0E

解得：OE=L

.?.BE=BO-OE=4-1=3,

當(dāng)點(diǎn)E在對角線交點(diǎn)左側(cè)時，如圖2所示：

??,菱形ABCD中，邊長為5,對角線AC長為6,

.,.AC±BD,B0=5/^B2_^Q2=^52~32=4>

l-QE_0E

VtanZEAC-

解得：OE=1,

.".BE=BO-0E=4+l=5,

故答案為：3或5：

6.（2018?湖州）如圖，已知菱形ABCD,對角線AC,BD相交于點(diǎn)0.若tanNBAC=g,AC=6,

則BD的長是2

【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分可得ACLBD,0A=-1AC=3,BD=20B.再解Rt^OAB,

根據(jù)tan/BAC=°B-L,求出0B=l,那么BD=2.

0A3

【解答】解：；四邊形ABCD是菱形，AC=6,

AACXBD,0A=—AC=3,BD=20B.

2

在Rt^OAB中，VZA0D=90°,

.,.tanZBAC=——,

0A3

.?.0B=l,

?\BD=2.

故答案為2.

7.（2018?寧波）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,NB是銳角，AELBC于點(diǎn)E,M是AB的中

點(diǎn)，連結(jié)

【分析】延長DM交CB的延長線于點(diǎn)H.首先證明DE二EH,設(shè)BE二x,利用勾股定理構(gòu)建方程

求出X即可解決問題.

【解答】解：延長DM交CB的延長線于點(diǎn)H.

?..四邊形ABCD是菱形，

，AB=BC=AD=2,AD〃CH,

/.ZADM=ZH,

VAM=BM,ZAMD=ZHMB,

.?.△ADM絲△BIN,

，AD=HB=2,

VEM±DH,

；.EH=ED,設(shè)BE=x,

VAE±BC,

Z.AE1AD,

ZAEB=ZEAD=90°

VAE2=AB2-BE2=DE2-AD2,

?.22-x2=(2+x)2-22,

1或-依-1(舍棄).

,,,cosB---^-1,

AB2

故答案為丘工.

2

8.（2018?廣州）如圖，若菱形ABCD的頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為（3,0）,(-2,0),點(diǎn)

D在y軸上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-5,4）.

【分析】利用菱形的性質(zhì)以及勾股定理得出DO的長，進(jìn)而求出C點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：???菱形ABCD的頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為（3,0）,（-2,0）,點(diǎn)D在y軸上,

AAB=5,

AAD=5,

==4

?,?由勾股定理知:ODVAD^WV5^32=-

...點(diǎn)C的坐標(biāo)是：(-5,4).

9.（2018?隨州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形OABC的邊長為2,點(diǎn)A在第一象

限，點(diǎn)C在x軸正半軸上，ZA0C=60",若將菱形OABC繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)75°,得到四邊

形0A'B'C',則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（\/，-.

【分析】作B'H，x軸于H點(diǎn)，連結(jié)OB,OB',根據(jù)菱形的性質(zhì)得到/A0B=30°,再根據(jù)

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得/BOB'=75°,OB'=0B=2j§,則/AOB'=NB0B'-ZAOB=45°,所以△OBH

為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)可計算得OH=B'H=泥，然后根據(jù)第四象限內(nèi)

點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出T點(diǎn)的坐標(biāo).

【解答】解：作B'H，x軸于H點(diǎn)，連結(jié)OB,OB',如圖，

?.?四邊形OABC為菱形，

AZAOC=1800-ZC=60°,0B平分NAOC,

AZA0B=30°,

?.?菱形OABC繞原點(diǎn)0順時針旋轉(zhuǎn)75。至第四象限0A'B'C'的位置，

/.ZB0B,=75。，0B，=€?=2仃

???NAOB'=/BOB'-ZA0B=45°,

AAOBH為等腰直角三角形，

點(diǎn)B，的坐標(biāo)為（灰，-灰）.

故答案為：_.

10.（2018?黑龍江）如圖，在平行四邊形ABCD中，添加一個條件AB=BC或ACLBD使平

行四邊形ABCD是菱形.

【分析】根據(jù)菱形的判定方法即可判斷.

【解答】解：當(dāng)AB=BC或ACJ_BD時，四邊形ABCD是菱形.

故答案為AB=BC或AC_LBD.

三.解答題（共10小題）

11.（2018?柳州）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC,BD相交于點(diǎn)0,且AB=2.

（1）求菱形ABCD的周長；

（2）若AC=2,求BD的長.

【分析】（1）由菱形的四邊相等即可求出其周長；

（2）利用勾股定理可求出B0的長，進(jìn)而解答即可.

【解答】解：(1)?.?四邊形ABCD是菱形，AB=2,

菱形ABCI)的周長=2X4=8：

(2)?.?四邊形ABCD是菱形,AC=2,AB=2

AACIBD,AO=1,

B0={AB2-AO2T22_12;如,

，BD=2百

12.（2018?遂寧）如圖，在nABCD中，E,F分別是AD,BC上的點(diǎn)，且DE=BF,AC±EF.求

證：四邊形AECF是菱形.

BFC

【分析】根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可證明;

【解答】證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

.\AD=BC,AD/7BC,

VDE=BF,

.".AE=CF,；AE〃CF,

...四邊形AECF是平行四邊形，

VAC±EF,

...四邊形AECF是菱形.

13.(2018?郴州)如圖,在。ABCD中，作對角線BD的垂直平分線EF,垂足為0,分別交AD,

BC于E,F,連接BE,DF.求證：四邊形BFDE是菱形.

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法證明出△DOE0Z\BOF,得到

OE=OF,利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是平行四邊形，進(jìn)而利

用對角線互相垂直的平行四邊形是菱形得出四邊形BFDE為菱形.

【解答】證明：?..在。ABCD中，0為對角線BD的中點(diǎn)，

，BO=DO,ZEDB=ZFBO,

在和△FOB中，

"ZED0=ZFB0

<OD=OB，

,ZE0D=ZF0B

.,.△DOE^ABOF(ASA)；

.\OE=OF,

XV0B=0D,

，四邊形EBFD是平行四邊形,

VEF1BD,

四邊形BFDE為菱形.

14.（2018?南京）如圖，在四邊形ABCD中，BC=CD,ZC=2ZBAD.0是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),

且OA=OB=OD.求證：

(1)ZB0D=ZC；

(2)四邊形OBCD是菱形.

【分析】（1）延長A0到E,利用等邊對等角和角之間關(guān)系解答即可;

（2）連接0C,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定解答即可.

【解答】證明:

延長0A到E,

V0A=0B,

AZAB0=ZBA0,

又NBOE=NABO+NBAO,

???NBOE=2NBAO,

同理NDOE=2NDAO,

JZBOE+ZDOE=2ZBAO+2ZDAO=2(ZBAO+ZDAO)

即/B0D=2NBAD,

又NC=2NBAD,

AZB0D=ZC；

(2)連接OC,

VOB=OD,CB=CD,OC=OC,

/.△OBC^AODC,

???NBOC二NDOC,ZBCO=ZDCO,

???ZBOD=ZBOC+ZDOC,ZBCD=ZBCO+ZDCO,

.*ZBOC=—ZBOD,ZBCO=—ZBCD,

22

又/BOD=NBCD,

ZBOC=ZBCO,

/.BO=BC,

又OB=OD,BC=CD,

.,.OB=BC=CD=DO,

...四邊形OBCD是菱形.

15.(2018?呼和浩特)如圖，已知A、F、C、D四點(diǎn)在同一條直線上，AF=CD,AB/7DE,且

AB=DE.

(1)求證：AABC^4DEF；

(2)若EF=3,DE=4,ZDEF=90°,請直接寫出使四邊形EFBC為菱形時AF的長度.

【分析】(1)根據(jù)SAS即可證明.

(2)解直角三角形求出DF、OE、OF即可解決問題;

【解答】(1)證明：［AB〃DE,

ZA=ZD,

VAF=CD,

，AF+FC=CD+FC,

即AC=DF,

VAB=DE,

，AABC^ADEF.

(2)如圖，連接AB交AI)于0.

在RtZ^EFD中,VZDEF=90°,EF=3,DE=4,

DF=^32+42=5,

???四邊形EFBC是菱形，

.\BE±CF,'.,.E0=DE"EF-12

DF5

???°F=OC=VEF2-EO2=T,

.\CF=—,

5

AAF=CD=DF-FC=5-里工.

55

16.(2018?內(nèi)江)如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E,F分別是AB,BC上的點(diǎn),

AE=CF,并且NAED=/CFD.

求證：(1)AAED^ACFD；

(2)四邊形ABCD是菱形.

【分析】（1）由全等三角形的判定定理ASA證得結(jié)論;

（2）由“鄰邊相等的平行四邊形為菱形”證得結(jié)論.

【解答】（1）證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

ZA=ZC.

在4AED與4CFD中，

'/A=NC

<AE=CF

,ZAED=ZCFD

.,.△AED^ACFD（ASA）；

（2）由（1）知，△AED^Z\CFD,則AD=CD.

又???四邊形ABCD是平行四邊形，

...四邊形ABCD是菱形.

17.（2018?泰安）如圖，/XABC中，D是AB上一點(diǎn)，DELAC于點(diǎn)E,F是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)G±

BC于點(diǎn)G,與DE交于點(diǎn)H,若FG=AF,AG平分NCAB,連接GE,CD.

（1）求證：Z\ECG四△GHD；

（2）小亮同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：AD=AC+EC.請你幫助小亮同學(xué)證明這一結(jié)論.

（3）若NB=30°,判定四邊形AEGF是否為菱形，并說明理由.

【分析】(1)依據(jù)條件得出NC=NDHG=90°,ZCGE=ZGED,依據(jù)F是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)G〃AE,

即可得到FG是線段ED的垂直平分線，進(jìn)而得到GE二GD,ZCGE=ZGDE,利用AAS即可判定

△ECG^AGHD；

(2)過點(diǎn)G作GPLAB于P,判定4CAG之ZiPAG,可得AC=AP,由(1)可得EG=DG,即可得

到RtZ\ECG之RtZXGPD,依據(jù)EOPD,即可得出AD=AP+PD=AC+EC；

⑶依據(jù)NB=30°,可得NADE=30°,進(jìn)而得到AE卷AD,故AE=AF=FG,再根據(jù)四邊形AECF

是平行四邊形，即可得到四邊形AEGF是菱形.

【解答】解：(1)VAF=FG,

???ZFAG=ZFGA,

〈AG平分NCAB,

???ZCAG=ZFGA,

???ZCAG=ZFGA,

???AC〃FG,

VDEIAC,

AFG1DE,

VFG1BC,

???DE〃BC,

AAC1BC,

.\ZC=ZDHG=90°,ZCGE=ZGED,

???F是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)G〃AE,

???H是ED的中點(diǎn)，

???FG是線段ED的垂直平分線，

AGE=GD,ZGDE=ZGED,

???ZCGE=ZGDE,

??.△ECG絲△GHD；

(2)證明：過點(diǎn)G作GPLAB于P,

；.GC=GP,而AG=AG,

.,.△CAG^APAG,

；.AC=AP,

由⑴可得EG=DG,

.,?RtAECG^RtAGPD,

.\EC=PD,

.\AD=AP+PD=AC+EC；

(3)四邊形AEGF是菱形，

證明:VZB=30°,

/.ZADE=30°,

.\AE=-1AD,

；.AE=AF=FG,

由⑴得AE〃FG,

四邊形AECF是平行四邊形，

四邊形AEGF是菱形.

18.(2018?廣西)如圖，在。ABCD中，AE1BC,AFXCD,垂足分別為E,F,且BE=DF.

(1)求證：口ABCD是菱形；

(2)若AB=5,AC=6,求。ABCD的面積.

【分析】(1)利用全等三角形的性質(zhì)證明AB=AD即可解決問題;

（2）連接BD交AC于0,利用勾股定理求出對角線的長即可解決問題;

【解答】（1）證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

.\ZB=ZD,

VAE±BC,AF1CD,

AZAEB=ZAFD=90°,

VBE=DF,

.".△AEB^AAFD

AAB=AD,

???四邊形ABCD是平行四邊形.

(2)連接BD交AC于0.

?.?四邊形ABCD是菱形,AC=6,

.??AC±BD,

A0=0C=^AC=—X6=3,

22

VAB=5,A0=3,

19.（2018?揚(yáng)州）如圖，在平行四邊形ABCD中，DB=DA,點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，連接DF并延

長，交CB的延長線于點(diǎn)E,連接AE.

（1）求證：四邊形AEBD是菱形；

（2）若DC=JT5，tanZDCB=3,求菱形AEBD的面積.

D

【分析】（1）由4AFD四△BFE,推出AD=BE,可知四邊形AEBD是平行四邊形，再根據(jù)BD=AD

可得結(jié)論；

（2）解直角三角形求出EF的長即可解決問題；

【解答】（1）證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD〃CE,

.,.ZDAF=ZEBF,

VZAFD=ZEFB,AF=FB,

.?.△AFD^ABFE,

.\AD=EB,；AD〃EB,

...四邊形AEBD是平行四邊形，

VBD=AD,

...四邊形AEBD是菱形.

(2)解：?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

.".CD=AB=A/10，AB〃CD,

.".ZABE=ZDCB,

.?.tanZABE=tanZDCB=3,

?.?四邊形AEBD是菱形，

.'.ABIDE,AF=FB,EF=DF,

.?.tan/ABE=上EF^3,

BF

./BF=2/lp_)

2

...EF=3VT3,

2

DE=3y10,

?e?S女形AEBD二■^?AB.DE=a-'./10*3^/10=15.

D

20.(2018?烏魯木齊)如圖，在四邊形ABCD中，ZBAC=90°,E是BC的中點(diǎn)，AD〃BC,

AE〃DC,EF_LCD于點(diǎn)F.

(1)求證：四邊形AECD是菱形；

(2)若AB=6,BC=10,求EF的長.

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形和菱形的判定證明即可;

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)和三角形的面積公式解答即可.

【解答】證明:(1)：AD〃BC,AE〃DC,

四邊形AECD是平行四邊形，

VZBAC=90°,E是BC的中點(diǎn)，

.,.AE=CE=4C,

2

四邊形AECD是菱形；

(2)過A作AHJLBC于點(diǎn)H,

VZBAC=90°,AB=6,BC=10,

-'-AC=V102-62=8>

7

SAABC=yBC-AH=yAB-AC-

...AH旦a

105

?.?點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),BC=10,四邊形AECD是菱形，

；.CD=CE=5,

VSDAECB=CE?AH=CD?EF,

.\EF=AH=—.

5