高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)基於偏好的需求

高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)基於偏好的需求一、需求的決定、連續(xù)性與可微性

根據(jù)效用最大化理論，理性消費(fèi)者

(X

,

)

的需求是明確的、實(shí)在的：((

p,

r))(

D(

p,

r)

=

{x

(

p,

r):(

y

(

p,

r))(

y

x)}

)。這樣的需求可以通過邊際方程加以確定，即對(duì)任何(

p,

r)，都有：(

x

X

)(

(x

D(

p,

r))(

>

0)((u(x)

=

p)(

px

=

r))

)

●需求集映

D

:

X

是上半連續(xù)的。

●二階條件決定了可微的需求函數(shù)。

第2頁,共40頁，2024年2月25日，星期天(一)一階條件決定連續(xù)需求預(yù)算連續(xù)性：設(shè)消費(fèi)集合是下有界非空閉凸子集，則預(yù)算集映

:

X是連續(xù)的閉對(duì)應(yīng)。需求上半連續(xù)性：設(shè)消費(fèi)集合

是下有界非空閉凸子集，偏好關(guān)系

連續(xù)。則需求D:

X

是上半連續(xù)的閉集值集映，并且還是對(duì)應(yīng)。需求函數(shù)的連續(xù)性：在假設(shè)HC和HP下，需求映射

:

X

是連續(xù)的，從而各個(gè)需求函數(shù)

h(

p,

r)

(h

=

1,2,

,

)都是連續(xù)函數(shù)。需求是預(yù)算集合中最好的消費(fèi)，需求的連續(xù)性以預(yù)算連續(xù)性為基礎(chǔ)。預(yù)算連續(xù)性通過預(yù)算集映

:

X

來表達(dá)。第3頁,共40頁，2024年2月25日，星期天例1.移動(dòng)通訊需求

信息技術(shù)的發(fā)展讓移動(dòng)通訊業(yè)在全球迅速興盛起來，尤其在中國，手機(jī)的使用已經(jīng)比較普遍，移動(dòng)通訊需求相當(dāng)旺盛，移動(dòng)通訊業(yè)的競爭也迅速展開。我們來分析一下移動(dòng)通訊市場的需求情況。假定市場上有兩家公司A和B(比如聯(lián)通公司和移動(dòng)公司)在提供移動(dòng)通訊業(yè)務(wù)，這兩家公司提供的服務(wù)相同，但話費(fèi)可能不同。

p1：公司A的話費(fèi)(元/分種)。

p2：公司B的話費(fèi)(元/分種)。

x1：消費(fèi)者使用公司A的網(wǎng)絡(luò)通話的時(shí)間(分鐘)。

x2：消費(fèi)者使用公司B的網(wǎng)絡(luò)通話的時(shí)間(分鐘)。

r：消費(fèi)者準(zhǔn)備用于支付話費(fèi)的收入。這樣，平面上的向量

x

=

(x1,x2)

表示著消費(fèi)者的通話選擇：使用網(wǎng)絡(luò)A通話

x1分鐘，使用網(wǎng)絡(luò)B通話

x2分鐘。這樣，消費(fèi)者的消費(fèi)集合便為。第4頁,共40頁，2024年2月25日，星期天(1)偏好關(guān)系的確定

既然兩家提供的服務(wù)完全相同，那么在不考慮價(jià)格因素的情況下，不論是用誰的網(wǎng)絡(luò)服務(wù)，對(duì)消費(fèi)者來說都是一樣的。因此，消費(fèi)者移動(dòng)通訊消費(fèi)方案的評(píng)價(jià)可以按照通話總時(shí)間多少來確定的：(

x,

yX)(

((x1,x2)

(

y1,y2))

(x1+x2

y1+y2)

)即消費(fèi)者認(rèn)為，移動(dòng)通話的總時(shí)間越多越好。這樣，無差異曲線為直線：x1+x2=U(0

U

<

)

通話向量

x

=

(x1,x2)

的話費(fèi)為：

px=p1x1+

p2

x2

預(yù)算集合為：

(

p,

r)={x

X

:px

r}

下面來找出

(

p,

r)中所有最好的通話向量，即確定移動(dòng)通訊需求

D(

p,

r)。為此，對(duì)任何(

p,

r)，可按照p1>

p2、p1<

p2、p1=

p2三種情形分別討論。x1x2o

(

p,

r)無差異曲線第5頁,共40頁，2024年2月25日，星期天(2)移動(dòng)通訊需求的確定我們通過圖示來直觀地說明移動(dòng)通訊需求的確定?？梢?，在兩家公司提供的服務(wù)相同的情況下，話費(fèi)價(jià)格低的公司完全占領(lǐng)市場。小靈通公司正是看到了這一特點(diǎn)，在2002年果斷采取降價(jià)策略，在中國移動(dòng)通訊市場上一舉獲得成功。r/p2x1r/p1px

=

rD(

p,

r)(1)p1>

p2的情形(2)p1<

p2的情形(3)p1=

p2的情形通話時(shí)間越多越好

(

p,

r)

(

p,

r)通話時(shí)間越多越好通話時(shí)間越多越好D(

p,

r)D(

p,

r)x1x1x2x2x2r/p2r/p2r/p1r/p1ooo

(

p,

r)r/p2第6頁,共40頁，2024年2月25日，星期天

為此，任意給定收入r

>

0和價(jià)格，選一個(gè)開球V使得。則對(duì)包含

p

的任何開集U以及U中這樣的點(diǎn)p

=

(

p1,p2)：p1

p2，都有D(

p,

r)

V

=

。故D(

p,

r)在(

p,

r)處不是下半連續(xù)的。(3)移動(dòng)通訊需求的上半連續(xù)性和非下半連續(xù)性

移動(dòng)通訊消費(fèi)者明顯地滿足需求上半連續(xù)性定理的條件，因此移動(dòng)通訊需求集映

D(

p,

r)是上半連續(xù)的。但它不是下半連續(xù)的，這一事實(shí)的證明思路是去證明在

p1=

p2>

0

的地方D(

p,

r)不下半連續(xù)。x1x2ooVpp1>

p2D(

p,

r)wD(w,

r)w1<

w2D(

p,

r)

V

=

=V

D(w,

r)價(jià)格空間消費(fèi)集合第7頁,共40頁，2024年2月25日，星期天例2.線性支出系統(tǒng)

消費(fèi)者為了生存，需要保證每種商品的一個(gè)最低消費(fèi)。假設(shè)商品

i

的最低消費(fèi)量為

i

(i

=

1,2,

,

)，則向量

=(

1,

2,

,

)

代表生活基本需要。當(dāng)收入用于支付生活必需后還有剩余時(shí)，為了得到更大的滿足，需要進(jìn)行更多的消費(fèi)。那么，消費(fèi)者如何把剩余收入用于增加各種商品消費(fèi)呢？這個(gè)問題較實(shí)際，現(xiàn)實(shí)中常常會(huì)碰到。下面，我們應(yīng)用消費(fèi)最優(yōu)化理論來分析這一問題。這個(gè)問題中，消費(fèi)集合，價(jià)格收入空間為：假定消費(fèi)者具有Cobb-Douglass形式的效用函數(shù)：這種效用函數(shù)表示的消費(fèi)者偏好是連續(xù)的、無滿足的、內(nèi)部嚴(yán)格凸的，并且滿足假設(shè)HU和邊界最差假設(shè)。因此，消費(fèi)者均衡必然在消費(fèi)集合內(nèi)部實(shí)現(xiàn)。偏好的內(nèi)部嚴(yán)格凸性還保證了消費(fèi)者均衡的唯一性，從而需求映射是確定的。第8頁,共40頁，2024年2月25日，星期天其中

1+

2+

+

=

1，

i

0

(i

=

1,2,

,

)。需求完全由邊際方程唯一確定：x

=

(

p,

r)

((

p,

r))。用效用函數(shù)u(x)寫出邊際方程：

，故邊際方程為。(1)效用函數(shù)的變形

可對(duì)上述效用函數(shù)進(jìn)變形以便于使用。第一步，采用與v

(x)等價(jià)的效用函數(shù)w(x)：其中

i=

i

/(

1+

2+

+

)

(i

=

1,2,

,

)。第二步，既然均衡在消費(fèi)集合內(nèi)部實(shí)現(xiàn)，故可不必考慮邊界消費(fèi)，從而效用函數(shù)w(x)可以進(jìn)一步變成為更簡單的形式：第9頁,共40頁，2024年2月25日，星期天(2)需求函數(shù)的求解

解的意義：p

是消費(fèi)者必需的最小支出，pi

i

是消費(fèi)者要花費(fèi)在商品

i

上的最小支出。上式說明,

消費(fèi)者把剩余收入

r

p

按照比例

i

用于增加商品

i

的消費(fèi)量。在這個(gè)需求系統(tǒng)中,pi

x

i

=

pi

i

+

i

(r

p

)。這表明：消費(fèi)者在商品i上的支出是各種商品的價(jià)格和收入的線性函數(shù)。鑒于此,

人們把這個(gè)需求系統(tǒng)叫做線性支出系統(tǒng)，它在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中有重要應(yīng)用。第10頁,共40頁，2024年2月25日，星期天(二)二階條件決定可微需求

現(xiàn)在，我們來考察效用最大化的二階條件。從邊際方程可以看出，假若x

X

是效用最大化問題max

u(x)

s.t.

px

=

r

的解，那么

x

必是效用函數(shù)

u

在點(diǎn)

x

處的切平面

T(x)

上的最大值點(diǎn)。這里，T(x)的定義如下：根據(jù)微積分知識(shí)可知，u在該點(diǎn)x處的海森矩陣在切空間(x)上半負(fù)定，即對(duì)任何z(x)，都有，其中切空間(x)的定義為：。這就得到了效用最大化二階必要條件：海森矩陣u(x)在切空間(x)上半負(fù)定。第11頁,共40頁，2024年2月25日，星期天oT(x)xu(x)=

p(x)yz(二)二階條件決定可微需求第12頁,共40頁，2024年2月25日，星期天1.二階充分條件：效用函數(shù)強(qiáng)擬凹強(qiáng)擬凹性的定義

設(shè)效用函數(shù)

u(x)

二階可微。稱

u

在點(diǎn)

x

X

處強(qiáng)擬凹，是指

u(x)

在切空間

(x)

上負(fù)定，即對(duì)任何

z(x)，z

0，都有。稱

u

是強(qiáng)擬凹的效用函數(shù)，是指

u

在

X

內(nèi)部各點(diǎn)處都強(qiáng)擬凹。

強(qiáng)擬凹性是關(guān)于偏好的性質(zhì)，與效用函數(shù)選擇無關(guān)：若

u

和

v

是等價(jià)的二階可微效用函數(shù)，則u

強(qiáng)擬凹

v

強(qiáng)擬凹。T在假設(shè)HU下，若

x

X

滿足邊際方程且u(x)

在切空間

(x)

上負(fù)定，則

x

是效用最大化問題maxu(x)s.t.px=r的局部唯一解。二階充分條件也叫做效用函數(shù)的強(qiáng)擬凹性，具體定義如下。第13頁,共40頁，2024年2月25日，星期天2.強(qiáng)擬凹效用函數(shù)的特點(diǎn)函數(shù)u(x)在點(diǎn)x處的加邊海森矩陣H(u(x))是指下述矩陣：擬凹性定理1

設(shè)消費(fèi)集合X滿足假設(shè)HC，效用函數(shù)

u(x)

弱擬凹且滿足假設(shè)HU。則u(x)強(qiáng)擬凹當(dāng)且僅當(dāng)

u(x)在

X

內(nèi)部嚴(yán)格擬凹并且對(duì)任何x

X

，加邊海森矩陣H(u(x))都可逆。T第14頁,共40頁，2024年2月25日，星期天2.強(qiáng)擬凹效用函數(shù)的特點(diǎn)擬凹性定理

2設(shè)效用函數(shù)

u(x)

滿足假設(shè)

HU。對(duì)任何

x

X

，如果

u

在點(diǎn)

x

處強(qiáng)擬凹，則對(duì)任何實(shí)數(shù)

0，矩陣

H(u(x),

)

都是可逆的。這里，矩陣

H(u(x),

)

的定義如下：第15頁,共40頁，2024年2月25日，星期天

假設(shè)HC、HP

和

HU

保證邊際方程“u(x)

p

=

0

&

r

px

=

0”唯一確定了需求映射

x

=

(

p,

r)

并且

(

p,

r)

連續(xù)，即需求函數(shù)是邊際方程確定的隱函數(shù)。隱函數(shù)存在定理指出，需求函數(shù)的連續(xù)可微性取決于邊際方程的雅克比矩陣

J(x,

)

是否可逆。計(jì)算

J(x,

)：

3.需求函數(shù)的可微性第16頁,共40頁，2024年2月25日，星期天3.需求函數(shù)的可微性可微性定理

在假設(shè)HC、HP和HU下，如果效用函數(shù)

u

強(qiáng)擬凹，(

p,

r)

且

x

=

(

p,

r)

X

，則需求映射

在(

p,

r)附近連續(xù)可微?！癏C、HP、HU、內(nèi)部均衡、強(qiáng)擬凹”

需求函數(shù)連續(xù)可微。第17頁,共40頁，2024年2月25日，星期天二、價(jià)格與收入變動(dòng)對(duì)需求的影響消費(fèi)集合

X滿足假設(shè)HC，偏好關(guān)系

滿足假設(shè)HP；

的效用函數(shù)

u

滿足假設(shè)HU并且強(qiáng)擬凹；(3)均衡在消費(fèi)集合內(nèi)部實(shí)現(xiàn)：((

p,

r))(

(

p,

r)X

)。

在以上假定下，消費(fèi)者的需求影射x

=

(

p,

r)由邊際方程唯一確定。把

x

=

(

p,

r)代入邊際方程，即得到恒等式：其中

=

(p,r)為拉格朗日乘數(shù)。第18頁,共40頁，2024年2月25日，星期天(一)基本矩陣方程假定價(jià)格

p發(fā)生了微小變化，收入

r

發(fā)生了微小變化

d

r，引起需求發(fā)生變化(不帶轉(zhuǎn)置符號(hào)“T”的向量均可看成行矩陣)，同時(shí)引起拉氏乘數(shù)

發(fā)生微小變化d

。這些變化之間的關(guān)系可通過對(duì)邊際等式求微分加以確定：

第19頁,共40頁，2024年2月25日，星期天寫成矩陣形式，即用E

表示

階單位方陣，則上式又可改寫成：此式稱為需求的基本矩陣等式或基本矩陣方程。

(一)基本矩陣方程第20頁,共40頁，2024年2月25日，星期天

注意，

p

=

u(x)。因此，基本矩陣方程左邊的矩陣為：矩陣S

叫做斯勒茨基矩陣，其元素

shk

叫做斯勒茨基系數(shù)。1.

Slutsky’sMatrix效用函數(shù)擬凹性定理2表明，這個(gè)矩陣是可逆的，故可以令第21頁,共40頁，2024年2月25日，星期天于是，從而，即。

1.

Slutsky’sMatrix第22頁,共40頁，2024年2月25日，星期天

求解基本矩陣方程：2.

Slutsky’sEquation第23頁,共40頁，2024年2月25日，星期天

斯勒茨基方程表明了價(jià)格與收入變動(dòng)引起的需求變動(dòng)情況：此公式叫做需求變動(dòng)的微分公式。3.

需求變動(dòng)的微分公式與導(dǎo)數(shù)公式第24頁,共40頁，2024年2月25日，星期天從微分公式又可得到需求對(duì)價(jià)格和收入的導(dǎo)數(shù)公式：即3.

需求變動(dòng)的微分公式與導(dǎo)數(shù)公式第25頁,共40頁，2024年2月25日，星期天(二)價(jià)格與收入變動(dòng)的效應(yīng)分析當(dāng)商品價(jià)格不發(fā)生變化而收入發(fā)生變化時(shí)，商品的需求量明顯地會(huì)受到影響。這種純粹因收入變動(dòng)而引起的需求量的變動(dòng)，叫做收入效應(yīng)。價(jià)格變化導(dǎo)致消費(fèi)者實(shí)際收入水平發(fā)生變動(dòng)，從而產(chǎn)生收入效應(yīng)；價(jià)格變動(dòng)還引起商品便宜貴賤情況發(fā)生相對(duì)變化，從而產(chǎn)生替代。在扣除收入效應(yīng)(即讓實(shí)際收入水平不變)后，這種純粹因商品之間的相互替代而引起的需求變動(dòng)，叫做替代效應(yīng)。價(jià)格與收入變動(dòng)引起的需求總變動(dòng)叫做總效應(yīng)，它等于替代效應(yīng)與收入效應(yīng)之和：總效應(yīng)

=收入效應(yīng)

+替代效應(yīng)。第26頁,共40頁，2024年2月25日，星期天1.微分公式揭示的收入效應(yīng)價(jià)格和收入變動(dòng)引起的實(shí)際收入總變動(dòng)值為dr

xdp。注意,x

/

r表示收入增加一單位所引起的需求增加量，而實(shí)際收入變動(dòng)為dr

–

xdp，故二者之積表示純粹由實(shí)際收入水平變動(dòng)引起的需求變動(dòng)量——收入效應(yīng)。

根據(jù)

xh

/

r

的含義，可把

xh

/

r

叫做商品h的收入效應(yīng)系數(shù)，把列向量

x

/

r

叫做商品

h

的收入效應(yīng)系數(shù)向量。(dr

–

xdp)

x

/

r

正是價(jià)格和收入變動(dòng)對(duì)需求產(chǎn)生的收入效應(yīng)。第27頁,共40頁，2024年2月25日，星期天2.價(jià)格變動(dòng)的收入效應(yīng)

在收入效應(yīng)(dr

–

xdp)

x

/

r

中，第一項(xiàng)

dr

x

/

r

表示直接由收入變動(dòng)所產(chǎn)生的效應(yīng)，屬于直接收入效應(yīng)；第二項(xiàng)(–

xdp)

x

/

r表示由價(jià)格變動(dòng)引起實(shí)際收入變動(dòng)，進(jìn)而由實(shí)際收入變動(dòng)所引起的需求變動(dòng)，是一種間接收入效應(yīng)，純粹反映了價(jià)格變動(dòng)的收入效應(yīng)。●系數(shù)

hk

=

xk

xh

/

r

=

zh

xk

叫做商品

h

對(duì)

k

的(價(jià)格)收入效應(yīng)系數(shù)。商品

h

對(duì)

k

的(價(jià)格)收入效應(yīng)系數(shù)

hk表示純粹由商品

k

的價(jià)格變動(dòng)對(duì)商品

h

的需求產(chǎn)生的收入效應(yīng)率。第28頁,共40頁，2024年2月25日，星期天3.價(jià)格變動(dòng)的替代效應(yīng)●

Sdp代表價(jià)格變動(dòng)的替代效應(yīng)?！駜r(jià)格變動(dòng)

dp

引起消費(fèi)者實(shí)際收入發(fā)生變動(dòng)

xdp，此時(shí)，讓收入

r

發(fā)生一個(gè)補(bǔ)償性的變化

dr

=

xdp，則可保證實(shí)際收入水平不變：dr

–

xdp

=

0。這樣，需求變動(dòng)就為dx

=

Sdp。由此可見，Sdp表示當(dāng)價(jià)格發(fā)生變動(dòng)時(shí)，給消費(fèi)者進(jìn)行收入補(bǔ)償以使實(shí)際收入水平不變，而發(fā)生的商品需求量的變動(dòng)量，這正是替代效應(yīng)。

斯勒茨基系數(shù)

shk

表示在實(shí)際收入水平不變的條件下，商品

k

的價(jià)格上升一單位所引起的商品

h

的需求增加量。第29頁,共40頁，2024年2月25日，星期天4.替代效應(yīng)系數(shù)斯勒茨基系數(shù)

s

hk表示純粹由商品

k

的價(jià)格變動(dòng)對(duì)商品

h

的需求產(chǎn)生的替代效應(yīng)率，故可稱為商品

h

對(duì)

k

的(價(jià)格)替代效應(yīng)系數(shù)。根據(jù)

xh

/

pk=

shk

–

zh

xk，zh=

xh

/

r(

h,

k

=

1,2,

,

)可知，第30頁,共40頁，2024年2月25日，星期天(三)替代矩陣與需求變動(dòng)的特點(diǎn)鑒于斯勒茨基系數(shù)的替代效應(yīng)意義，斯勒茨基矩陣

S

可稱作替代效應(yīng)系數(shù)矩陣，簡稱替代矩陣。注意S的定義S

=

Z及Z的定義：我們有：。第31頁,共40頁，2024年2月25日，星期天(三)替代矩陣與需求變動(dòng)的特點(diǎn)替代效應(yīng)的實(shí)際支出不變：解釋：在商品k的價(jià)格上升一單位情況下，各種商品h的替代效應(yīng)分別為shk(h

=

1,2,

,

)。若按變化前的價(jià)格計(jì)算(即按實(shí)際收入水平不變的價(jià)格計(jì)算)，因替代而引起的消費(fèi)支出增加量為，這個(gè)量為0。所以，替代效應(yīng)的實(shí)際支出不變。增加的收入等于增加的支出：解釋：收入增加一單位引起支出增加，其值為1。第32頁,共40頁，2024年2月25日，星期天

矩陣是對(duì)稱的，逆矩陣也就是對(duì)稱的，從而替代矩陣S是對(duì)稱的。1.

替代矩陣的對(duì)稱性與商品替代的相互性替代效應(yīng)的對(duì)稱性商品

h

對(duì)

k

的替代效應(yīng)系數(shù)等于商品

k

對(duì)

h

的替代效應(yīng)系數(shù)：shk=

skh(h,

k

=

1,2,

,

)，即。

第33頁,共40頁，2024年2月25日，星期天

從現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活看，替代效應(yīng)的對(duì)稱性也是必然的，它來自于現(xiàn)實(shí)中商品替代的相互性：另一種商品能夠替代這一種，那么這一種商品也就能夠替代另一種商品；同時(shí)，另一種商品是以怎樣的程度來對(duì)這一種商品產(chǎn)生替代作用的，那么這一種商品也就以怎樣的程度來對(duì)另一種商品產(chǎn)生替代作用。因此，商品替代的相互性蘊(yùn)含著替代效應(yīng)的對(duì)稱性意義。從這一點(diǎn)上說，基于偏好的需求符合現(xiàn)實(shí)需求的特點(diǎn)和規(guī)律。1.

替代矩陣的對(duì)稱性與商品替代的相互性第34頁,共40頁，2024年2月25日，星期天

進(jìn)一步，可以證明：替代矩陣

S

是半負(fù)定的。由此可得：需求量與價(jià)格反向變動(dòng)，這是一個(gè)在正常商品之中普遍出現(xiàn)的實(shí)際現(xiàn)象。替代矩陣的半負(fù)定性說明了這一現(xiàn)象，可見基于偏好的需求能夠描述實(shí)際現(xiàn)象，符合現(xiàn)實(shí)需求的特點(diǎn)和規(guī)律。2.

替代矩陣的半負(fù)定與需求變動(dòng)的反向性需求法則任何一種商品的價(jià)格變動(dòng)對(duì)該商品自己的替代效應(yīng)都非正，即

shh

0

(h

=

1,2,

,

)，從而正常商品的需求必然服從需求法則，即正常商品的需求量與該商品的價(jià)格反向變動(dòng)，用公式表達(dá)，即

xh

ph

=

shh

xh

xh

r

<

0，其中

h

為正常商品(即

xh

/

r

>

0)。第35頁,共40頁，2024年2月25日，星期天例3.奇異的替代矩陣消費(fèi)集合：效用函數(shù)：需求函數(shù)：3.

不可祈求替代矩陣負(fù)定計(jì)算行列式：。因此，S是奇異矩陣。第36頁,共40頁，2024年2月25日，星期天

商品h的價(jià)