八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專項(xiàng)訓(xùn)練：勾股定理的應(yīng)用（解析版）

【專項(xiàng)訓(xùn)練】勾股定理（逆定理）的應(yīng)用題型1：求樹(shù)/旗桿的高度1如圖，一棵直立的大樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中被折斷，折斷處離地面2米，倒下部分與地面成30°角，這棵樹(shù)在折斷前的高度為（）A．米 B．米 C．4米 D．6米【分析】根據(jù)直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求出折斷部分的長(zhǎng)度，再加上離地面的距離就是折斷前樹(shù)的高度．【解答】解：如圖，根據(jù)題意BC＝2米，∠BCA＝90°，∵∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4米，∴2+4＝6米．故選：D【變式1-1】如圖，在離地面高度6m處引拉線固定電線桿，拉線和地面成60°角，則拉線AC的長(zhǎng)是（）A．12m B．2m C．4m D．6m【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠DCA＝30°，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵CD＝6m，∠CDA＝90°，∠CAD＝60°，∴∠DCA＝30°，∴AC＝2AD，∵AC2＝AD2+CD2，∴AC2＝（AC）2+62，解得AC＝4，故拉線AC的長(zhǎng)是4m，故選：C【變式1-2】（2022八下·冠縣期末）如圖，一高層住宅發(fā)生火災(zāi)，消防車立即趕到距大廈12米（AC的長(zhǎng)）處，升起云梯到火災(zāi)窗口，云梯AB長(zhǎng)20米，云梯底部距地面3米（AE的長(zhǎng)），問(wèn)：發(fā)生火災(zāi)的住戶窗口距離地面有多高（BD的長(zhǎng)）？【答案】解：由題意可知：AE=CD=3米，AC=DE=12米，AB=20米；在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即BC2+122=202，解得：BC=16（米），∴BD=BC+CD=16+3=19（米）；答：發(fā)生火災(zāi)的住戶窗口距離地面19米．【解析】【分析】利用勾股定理可得BC2+122=202，求出BC的長(zhǎng)，再利用線段的和差求出BD的長(zhǎng)即可?！咀兪?-3】如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高19米，另一棵高10米，兩樹(shù)相距12米．若一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，則小鳥(niǎo)至少飛行（）A．10米 B．15米 C．16米 D．20米【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥(niǎo)沿著兩棵樹(shù)的頂端進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出．【解答】解：如圖，建立數(shù)學(xué)模型，兩棵樹(shù)的高度差A(yù)C＝19﹣10＝9米，間距AB＝DE＝12米，根據(jù)勾股定理可得：小鳥(niǎo)至少飛行的距離BC＝＝15米．故選：B【變式1-4】（2022八下·杭州月考）如圖，在一次課外活動(dòng)中，同學(xué)們要測(cè)量某公園人工湖兩側(cè)A，B兩個(gè)涼亭之間的距離，已知CD⊥BD，現(xiàn)測(cè)得AC=203m，BC=60m，CD=【答案】解：在Rt△CDA中，∵AC＝203m，CD=∴AD2＝AC2?CD2，AD=103在Rt△CDB中，∵CD=30m，BC=60m，∴BD2＝BC2?CD2，BD=30∴AB＝BD-AD=20答：A，B兩個(gè)涼亭之間的距離為203【解析】【分析】在Rt△CDA和Rt△CDB中利用勾股定理分別求出AD、BD長(zhǎng)，再由AB＝BD-AD，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得出兩個(gè)涼亭之間的距離．題型2：梯子問(wèn)題2（2022八下·黔西月考）如圖，一個(gè)梯子AB長(zhǎng)2.5米，頂端A靠在墻AC上，這時(shí)梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動(dòng)后停在DE的位置上，測(cè)得BD長(zhǎng)為0.5米，梯子頂端A也下落了0.5米嗎？【答案】解：在Rt△ABC中BC=1.5，∴由勾股定理得，AC∴AC=2.在Rt△DEC中，CD=BC+BD=1.5+0.∴EC∴EC=1.∴AE=AC-EC=2-1.答：梯子頂端A也下落了0.5米.【解析】【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AC的長(zhǎng)，在Rt△DEC中，利用勾股定理算出EC的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)AE=AC-EC算出答案.【變式2-1】如圖，學(xué)校要把宣傳標(biāo)語(yǔ)掛到教學(xué)樓的頂部C處，已知樓頂C處離地面的距離CA為8m，為保證安全，梯子的底部和墻基的距離AB至少為4m，要使云梯的頂部能到達(dá)C處，估計(jì)云梯的長(zhǎng)度至少為（）A．8m B．9m C．10m D．12m【分析】利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)度，估算后即可得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8m，AB＝4m，∴BC＝＝＝（m），∵8＜＜9，∴云梯的長(zhǎng)度至少9m，故選：B【變式2-2】（2020八下·南康月考）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子AB斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離AC為0.7米，頂端到地面距離BC為2.4米，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端到地面距離B'D為2米，求小巷的寬度【答案】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝2.4米，AC＝0.7米，∴AB2＝0.72＋2.42＝6.25，在Rt△AB′D中，∵∠ADB′＝90°，B′D＝2米，∴AD2＋22＝6.25，∴AD2＝2.25．∵AD＞0，∴AD＝1.5米．∴CD＝AC＋AD＝0.7＋1.5＝2.2米．答：小巷的寬度CD為2.2米．【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，同理可得出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【變式2-3】如圖，淇淇在離水面高度為5m的岸邊C處，用繩子拉船靠岸，開(kāi)始時(shí)繩子BC的長(zhǎng)為13m．（1）開(kāi)始時(shí)，船距岸A的距離是m；（2）若淇淇收繩5m后，船到達(dá)D處，則船向岸A移動(dòng)m．【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理計(jì)算出AB長(zhǎng)；（2）根據(jù)題意可得CD長(zhǎng)，然后再次利用勾股定理計(jì)算出AD長(zhǎng)，再利用BD＝AB﹣AD可得BD長(zhǎng)．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，∴（m），故答案為：12；（2）∵淇淇收繩5m后，船到達(dá)D處，∴CD＝5（m），∴AD＝（m），∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣）m．故答案為：（12﹣）題型3：九章算術(shù)問(wèn)題3在《九章算術(shù)》中有一個(gè)問(wèn)題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問(wèn)折斷處離地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55【分析】畫(huà)出圖形，設(shè)折斷處離地面x尺，則AB＝（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如圖，由題意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，設(shè)折斷處離地面x尺，則AB＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，即折斷處離地面4.55尺．故選：D．【變式3-1】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中的“折竹抵地”問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．問(wèn)折者高幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠(yuǎn)，問(wèn)折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷后離地面的高度為x尺，則可列方程為（）A．x2﹣3＝（10﹣x）2 B．x2﹣32＝（10﹣x）2 C．x2+3＝（10﹣x）2 D．x2+32＝（10﹣x）2【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10﹣x）尺，利用勾股定理解題即可．【解答】解：設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10﹣x）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．故選：D【變式3-2】《九章算術(shù)》中有一道“折竹”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問(wèn)折者高幾何？”題意是：一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，則折斷處離地面的高度為尺．【分析】設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則折斷的長(zhǎng)度為（10﹣x）尺，根據(jù)勾股定理列方程解方程即可．【解答】解：設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則折斷的長(zhǎng)度為（10﹣x）尺，由勾股定理得x2+32＝（10﹣x）2，解得x＝4.55，∴折斷處離地面的高度為4.55尺，故答案為：4.55題型4：影響范圍問(wèn)題4（2022八下·興仁月考）為了抗旱保收，某市準(zhǔn)備開(kāi)采地下水，經(jīng)探測(cè)，C處地下有水，為此C處需要爆破，已知C處與公路上的停靠站A的距離為300m，與公路上的另一停靠站B的距離為400m，AB的距離為500m，如圖所示，為了安全，爆破點(diǎn)C周圍250m的范圍內(nèi)禁止進(jìn)入，在進(jìn)行爆破時(shí)，公路AB段某部分是否有危險(xiǎn)而需要暫時(shí)封鎖？【答案】解：根據(jù)題意得AC=300m，BC=400m，AB=500m，∵AC∴∠ACB=90°，如圖，過(guò)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∵S∴CD=240m，∵240m<250m，故公路AB段有危險(xiǎn)，需要暫時(shí)封鎖.【解析】【分析】根據(jù)題意得AC=300m，BC=400m，AB=500m，利用勾股定理逆定理知△ABC為直角三角形，且∠ACB=90°，過(guò)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)等面積法可得CD，然后與250進(jìn)行比較即可判斷.【變式4-1】今年第6號(hào)臺(tái)風(fēng)“煙花”登錄我國(guó)沿海地區(qū)，風(fēng)力強(qiáng)，累計(jì)降雨量大，影響范圍大，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，臺(tái)風(fēng)“煙花”中心沿東西方向AB由A向B移動(dòng)，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上的兩點(diǎn)A、B的距離分別為AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，周圍500km以內(nèi)為受影響區(qū)域．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）海港C受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？（3）若臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度為28千米/時(shí)，則臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而得出∠ACB的度數(shù)；（2）利用三角形面積得出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出海港C是否受臺(tái)風(fēng)影響；（3）利用勾股定理得出ED以及EF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間．【解答】解：（1）∵AC＝600km，BC＝800km，AB＝1000km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）海港C受臺(tái)風(fēng)影響，理由：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴600×800＝1000×CD，∴CD＝480（km），∵以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍500km以內(nèi)為受影響區(qū)域，∴海港C受臺(tái)風(fēng)影響；（3）當(dāng)EC＝500km，F(xiàn)C＝500km時(shí)，正好影響C港口，∵ED＝＝140（km），∴EF＝280km，∵臺(tái)風(fēng)的速度為28千米/小時(shí)，∴280÷28＝10（小時(shí)）．答：臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間為10小時(shí)．【變式4-2】如圖，公路MN和公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP＝160米，∠NPQ＝30°，拖拉機(jī)的速度是5米/秒，拖拉機(jī)行駛時(shí)周圍100米以內(nèi)會(huì)受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)學(xué)校是否會(huì)受到影響，請(qǐng)說(shuō)明理由；若受到影響，那么學(xué)校受到的影響的時(shí)間為多少秒？【分析】作AH⊥MN于H，如圖，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AH＝AP＝80，則點(diǎn)A到MN的距離小于100，從而可判斷學(xué)校會(huì)受到影響；以A為圓心，100為半徑畫(huà)弧交MN于B、C，如圖，則AB＝AC＝100，利用等腰三角形的性質(zhì)得BH＝CH，利用勾股定理計(jì)算出BH＝60，得到BC＝2BH＝120，然后利用速度公式計(jì)算出學(xué)校受到的影響的時(shí)間．【解答】解：過(guò)A作AH⊥MN于H，如圖，在Rt△APH中，∵∠HPA＝30°，∴AH＝AP＝×160＝80，∵80＜100，∴拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)學(xué)校會(huì)受到影響；以A為圓心，100為半徑畫(huà)弧交MN于B、C，如圖，則AB＝AC＝100，而AH⊥BC，∴BH＝CH，在Rt△ABH中，BH＝＝＝60，∴BC＝2BH＝120，∴＝24（秒），答：學(xué)校受到的影響的時(shí)間為24秒．題型5：航海問(wèn)題5（2022八下·鞍山期末）如圖，點(diǎn)O是位于東西海岸線的一個(gè)港口，A，B兩艘客輪從港口O同時(shí)出發(fā)，A客輪沿北偏東75°航行，航速是每小時(shí)18海里，B客輪沿北偏西15°方向航行，航速是每小時(shí)24海里，請(qǐng)計(jì)算3小時(shí)之后兩客輪之間的距離．【答案】解：根據(jù)題意得：∠AOB=75°+15°=90°，OA=18×3=54（海里），OB=24×3=72（海里），根據(jù)勾股定理得：AB=A即3小時(shí)之后兩客輪之間的距離90海里．【解析】【分析】先求出OA和OB的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)即可?！咀兪?-1】在海面上有兩個(gè)疑似漂浮目標(biāo)．接到消息后，A艦艇以12海里/時(shí)的速度離開(kāi)港口O，向北偏西50°方向航行．同時(shí)，B艦艇在同地以16海里/時(shí)的速度向北偏東方向行駛，如圖所示，離開(kāi)港口1.5小時(shí)后兩船相距30海里，則B艦艇的航行方向是（）A．北偏東60° B．北偏東50° C．北偏東40° D．北偏東30°【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△AOB是直角三角形，求出∠BOD的度數(shù)即可．【解答】解：由題意得，OA＝12×1.5＝18（海里），OB＝16×1.5＝24（海里），又∵AB＝30海里，∵182+242＝302，即OB2+OA2＝AB2∴∠AOB＝90°，∵∠DOA＝50°，∴∠BOD＝40°，則另一艘艦艇的航行方向是北偏西40°，故選：C．【變式5-2】（2022八下·惠州期末）某船從港口A出發(fā)沿南偏東32°方向航行12海里到達(dá)B島，然后沿某方向航行16海里到達(dá)C島，最后沿某個(gè)方向航行了20海里回到港口A，則該船從B到C是沿哪個(gè)方向航行的？（即求C島在B島的哪個(gè)方位，距離B島多遠(yuǎn)？），請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】解：如圖，∵AB=12，BC=16，AC=20，∴AB2+BC2=400=AC2，∴∠ABC=90°，由題知∠1=32°，∴∠2=180°-∠ABC-∠1=58°．∴該船從B到C沿著南偏西58°方向航行，C島距離B島16海里．【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可求出∠ABC=90°，利用平角的定義求出∠2的度數(shù)，即得結(jié)論.【變式5-3】（2022八下·黃岡月考）如圖，兩艘海艦在海上進(jìn)行為時(shí)2小時(shí)的軍事演習(xí)，一海艦以120海里/時(shí)的速度從港口A出發(fā)，向北偏東60°方向航行到達(dá)B，另一海艦以90海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口A出發(fā)，向南偏東30°方向航行到達(dá)C，則此時(shí)兩艘海艦相距多少海里？【答案】解：由題意知，∠BAC＝90°AB=2×120=240（海里）AC=2×90=180（海里）在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC=A答：此時(shí)兩艘海艦相距300海里.【解析】【分析】根據(jù)題意可得∠BAC＝90°，分別求出2小時(shí)兩輛海艦走過(guò)的路程AB和AC，再利用勾股定理求得兩艘海艦的距離BC的長(zhǎng)度.題型6：立體圖形的最短路徑問(wèn)題6如圖，三級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為、、．和是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)處有一只螞蟻，想到點(diǎn)處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)的最短路程為A．15 B．17 C．20 D．25【分析】先將圖形平面展開(kāi)，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．【答案】解：三級(jí)臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為，寬為，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)．可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到點(diǎn)最短路程為，由勾股定理得：，解得．故選：【變式6-1】如圖，一圓柱高為，底面周長(zhǎng)是，一只螞蟻從點(diǎn)爬到點(diǎn)處吃食，且，則最短路線長(zhǎng)為A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，連接，則就是螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出即可．【答案】解：如圖展開(kāi)，連接，則就是螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)，則，，，，，由勾股定理得：，即螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)是，故選：【變式6-2】如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為和，高為．如果用一根細(xì)線從點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)，那么所用細(xì)線最短需要A． B． C． D．【分析】要求所用細(xì)線的最短距離，需將長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果．【答案】解：將長(zhǎng)方體展開(kāi)，連接、，則，，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，．故選：．【變式6-3】如圖，桌上有一個(gè)圓柱形玻璃杯（無(wú)蓋）高6厘米，底面周長(zhǎng)16厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口1.5厘米的處有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，的相對(duì)方向有一小蟲(chóng)，小蟲(chóng)離杯底的垂直距離為1.5厘米，小蟲(chóng)爬到蜜糖處的最短距離是A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米【分析】由于小蟲(chóng)從外壁進(jìn)入內(nèi)壁，要先到杯子上沿，再進(jìn)入杯子，故先求出到杯子沿的最短距離即可解答．【答案】解：如圖所示：最短路徑為：，將圓柱展開(kāi)，，最短路程為．故選：題型7：折疊問(wèn)題7.如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，使頂點(diǎn)B落在邊AD的E點(diǎn)上，BG=10，當(dāng)折痕的另一端F在AB邊上時(shí)，求△EFG的面積．【答案】25.【解析】解：如圖，過(guò)G作GH⊥AD于H，∵在Rt△GHE中，∠GHE=90°，GE=BG=10，GH=8，∴EH=102∴AE=10﹣6=4．設(shè)AF=x，則EF=BF=8﹣x，∵在Rt△GHE中，∠A=90°，∴AF2+AE2=EF2，即x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3，∴AF=3，BF=EF=5，∴△EFG的面積=12EF?EG=1【變式7-1】如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，則重疊部分△AFC的面積為．【分析】因?yàn)锽C為AF邊上的高，要求△AFC的面積，求得AF即可，求證△AFD′≌△CFB，得BF＝D′F，設(shè)D′F＝x，則在Rt△AFD′中，根據(jù)勾股定理求x，∴AF＝AB﹣BF．【解答】解：易證△AFD′≌△CFB，∴D′F＝BF，設(shè)D′F＝x，則AF＝8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，解之得：x＝3，∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，∴S△AFC＝?AF?BC＝10．故答案為：10【變式7-2】矩形紙片ABCD中，AD＝10cm，AB＝4cm，按如圖方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則DE＝cm．【分析】根據(jù)已知條件可以知道，DE＝BE，若設(shè)DE＝x，則DE＝BE＝x，AE＝10﹣x，在Rt△ABE中可以利用勾股定理，列方程求出DE的長(zhǎng)．【解答】解：設(shè)DE＝x，則BE＝DE＝x，AE＝10﹣x，又∵在Rt△ABE中AB2+AE2＝BE2，即42+（10﹣x）2＝x2，解得x＝．故答案為：【變式7-3】如圖，沿AE折疊長(zhǎng)方形ABCD，使D點(diǎn)落在BC邊的點(diǎn)F處，若AB＝12cm，BC＝13cm，則FC的長(zhǎng)度是．【分析】根據(jù)△ADE≌△AFE，得AD＝AF，已知AB，AF根據(jù)勾股定理計(jì)算BF，F(xiàn)C＝BC﹣BF．【解答】解：沿AE折疊后，有△ADE≌△AFE，AF＝AD＝13cm，在Rt△ABF中，AF＝13cm，AB＝12cm，∴BF＝＝5cm∴FC＝BC﹣BF＝8cm．故答案為8cm題型8：面積問(wèn)題8.（2019八下·烏蘭浩特期末）如圖，已知直角△ABC的兩直角邊分別為6，8，分別以其三邊為直徑作半圓，求圖中陰影部分的面積．【答案】解：根據(jù)Rt△ABC的勾股定理可得：AB=10，則S=1【解析】【分析】陰影部分的面積等于以AC、BC為直徑的半圓的面積加上△ABC的面積減去以AB為直徑的半圓的面積.【變式9-1】如圖，四邊形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四邊形ABCD的面積．【答案】解：如圖，延長(zhǎng)AD、BC交于E．∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=90°﹣60°=30°，在Rt△ABE和Rt△CDE中，∵AB=2，CD=1，∴AE=2AB=2×2=4，CE=2CD=2×1=2，由勾股定理得，BE=42-2DE=22-1∴S四邊形ABCD=12×23×2﹣12×=23﹣32=33【解析】【分析】延長(zhǎng)AD、BC交于E，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠E=30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AE、CE，再利用勾股定理列式求出BE、DE，然后根據(jù)四邊形的面積等于兩個(gè)直角三角形的面積的差列式計(jì)算即可得解．【變式9-2】如圖所示，在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，D是BC的中點(diǎn)，求AD的長(zhǎng)和△ABD的面積．【答案】解：∵AC2+BC2=52+122=169AB2=132=169∴【解析】【分析】先利用勾股定理的逆定理判斷△ABC的形狀，再利用線段中點(diǎn)的定義求出CD的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，然后利用三角形的面積公式即可求解。題型9：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題9.如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB=2，DE=1，BD=8，設(shè)CD=x．（1）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長(zhǎng)；（2）請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，AC+CE的值最?。唬?）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式x2【答案】（1）解：設(shè)CD=x，則BC=8-x，∵AC=(8-x)2+4，CE=∴AC+CE=(8-x)2+4（2）解：由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE的值最?。?）解：如圖所示作BD=12，過(guò)點(diǎn)B作AB⊥BD，過(guò)點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點(diǎn)C，設(shè)BC=x，則AE的長(zhǎng)即為代數(shù)x2過(guò)點(diǎn)A作AF∥BD交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，得矩形ABDF，則AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，所以AE=AF2+EF即x2【變式9-1】（2021八下·甘孜期末）如圖，在直角三角形ΔABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=16cm，點(diǎn)P從A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)（1）求t為何值時(shí)，ΔPBQ為等腰三角形？（2）是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)Q在線段AC的垂直平分線上？（3）點(diǎn)P，Q在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在某時(shí)刻t，直線PQ把ΔABC的周長(zhǎng)分為【答案】（1）解：由題意得，AP=2t則BP=12-2t當(dāng)ΔPBQ為等腰三角形時(shí)，只有BP=BQ，∴12-2t=4t解得，t=2（2）解：當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC的垂直平分線上時(shí)，連接QA，QC=QA設(shè)BQ=x則1解得，x=3.5∴t=3（3）解：在RtΔABC中，AC=當(dāng)直線PQ把ΔABC的周長(zhǎng)分為1：①當(dāng)AC+AP+CQ=2×(BP+BQ)時(shí)，20+2t+16-4t=2(12-2t+4t)，解得，t=2②當(dāng)2(AC+AP+CQ)=BP+BQ時(shí)，2(20+21+16-4t)=12-2t+4t解得，t=10∴當(dāng)t=2或10時(shí)，直線PQ把ΔABC的周長(zhǎng)分為1：【解析】【分析】（1）由題意得AP=2t，BQ=4t，則BP=12-2t，當(dāng)△PBQ為等腰三角形時(shí)，只有BP=BQ，代入求解可得t的值；

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC的垂直平分線上時(shí)，連接QA，則QC=QA，設(shè)BQ=x，根據(jù)勾股定理求出x，據(jù)此可得t的值；

（3）首先利用勾股定理求出AC，然后分AC+AP+CQ=2(BP+BQ)；2(AC+AP+CQ)=BP+BQ，代入求解可得t的值.【變式9-2】（2022八下·章丘期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D在AB上運(yùn)動(dòng)，PD始終保持與PA相等，BD的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接DE．（1）判斷DE與PD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若AC＝3，BC＝4，PA＝1，則線段DE的長(zhǎng)為．【答案】（1）解：DE⊥DP，理由如下：∵PD＝PA，∴∠A=∠PDA，∵EF是BD的垂直平分線，∴EB＝ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB=90°，∴∠PDE=180（2）19【解析】【解答】解：（2）如圖所示，連接PE，∵AP=1，AC=3，

∴CP=2，PD=AP=1，

∵EF垂直平分BD，

∴BE=DE，設(shè)DE=BE=x，則CE=BC-BE=4-x，

在Rt△CPE中，PE2=CP2+CE2，

在Rt△CDE中，PE2=PD2【分析】（1）先利用垂直平分線的性質(zhì)可得EB=ED，可得∠B=∠EDB，再結(jié)合∠C＝90°，求出∠PDA+∠EDB=90°，最后利用三角形的內(nèi)角和求出∠PDE=180°-∠PDA-∠EDB=18【變式9-3】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，點(diǎn)D為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止，若設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．

（1）當(dāng)t=2時(shí)，CD=，AD=；（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，△CBD是直角三角形，說(shuō)明理由；（3）求當(dāng)t為何值時(shí)，△CBD是以BD或CD為底的等腰三角形？并說(shuō)明理由．【答案】（1）2；8（2）①∠CDB=90°時(shí)，S△ABC=12AC?BD=1即12×10?BD=1解得BD=4.8，∴CD=BC2-Bt=3.6÷1=3.6秒；②∠CBD=90°時(shí)，點(diǎn)D和點(diǎn)A重合，t=10÷1=10秒，綜上所述，t=3.6或10秒；故答案為：（1）2，8；（2）3.6或10秒（3）①CD=BC時(shí)，CD=6，t=6÷1=6；②BD=BC時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于F，則CF=3.6，CD=2CF=3.6×2=7.2，∴t=7.2÷1=7.2，綜上所述，t=6秒或7.2秒時(shí)，△CBD是以BD或CD為底的等腰三角形．【解析】【解答】解：（1）t=2時(shí)，CD=2×1=2，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC=AB2+BAD=AC﹣CD=10﹣2=8；故答案是：2；8．【分析】（1）根據(jù)CD=速度×?xí)r間列式計(jì)算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根據(jù)AD=AC﹣CD代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；（2）分①∠CDB=90°時(shí)，利用△ABC的面積列式計(jì)算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根據(jù)時(shí)間=路程÷速度計(jì)算；②∠CBD=90°時(shí)，點(diǎn)D和點(diǎn)A重合，然后根據(jù)時(shí)間=路程÷速度計(jì)算即可得解；（3）分①CD=BC時(shí)，CD=6；②BD=BC時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于F，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CD=2CF，再由（2）的結(jié)論解答．題型10：勾股定理的證明10.（2022?小店區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）【問(wèn)題背景】勾股定理是重要的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法【定理表述】（1）用文字語(yǔ)言敘述勾股定理的內(nèi)容：【定理證明】（2）以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，延長(zhǎng)BE到點(diǎn)C，使CE＝a，過(guò)點(diǎn)C作：CD⊥CE，使CD＝b，連接DE，AD（如圖2），則AE⊥DE，AD＝c，四邊形ABCD是以a為底、（a+b）為高的直角梯形，請(qǐng)利用圖2證明勾股定理．【定理應(yīng)用】（3）當(dāng)a≠b時(shí)，利用圖2，可以證明a+b＜c．證明步驟如下：如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F，則AF＜AD，∠AFC＝90°，∵又，∠ABC＝∠BCF＝90°，∴四邊形ABCF為，∴AF＝，∴BCAD，又∵BC＝a+b，AD＝c，∴a+b＜c．【分析】【定理表述】（1）由勾股定理得出結(jié)論；【定理證明】（2）利用SAS可證△ABE≌△ECD，可得對(duì)應(yīng)角相等，結(jié)合90°的角，可證∠AED＝90°，利用梯形面積等于三個(gè)直角三角形的面積和，可證a2+b2＝c2；【定理應(yīng)用】（3）根據(jù)題干中的過(guò)程及矩形的性質(zhì)可直接得出結(jié)論．【解答】【定理表述】（1）解：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．故答案為：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．【定理證明】（2）證明：∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC；又∵∠EDC+∠DEC＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°；∴∠AED＝90°；∴S梯形ABCD＝SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED，∴（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，即（a2+2ab+b2）＝ab+ab+c2，整理得a2+b2＝c2．【定理應(yīng)用】（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F，則AF＜AD，∠AFC＝90°，∵又，∠ABC＝∠BCF＝90°，∴四邊形ABCF為矩形，∴AF＝BC，∴BC＜AD，又∵BC＝a+b，AD＝c，∴a+b＜c．故答案為：矩形；BC；＜．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，涉及全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，面積分割法，勾股定理等知識(shí)．熟練掌握勾股定理的證明是解題的關(guān)鍵．【變式10-1】（2022春?曲阜市期末）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別記作a、b、c．如圖1，分別以△ABC的三條邊為邊長(zhǎng)向外作正方形，其正方形的面積由小到大分別記作S1、S2、S3，則有S1+S2＝S3；（1）如圖2，分別以△ABC的三條邊為直徑向外作半圓，其半圓的面積由小到大分別記作S1、S2、S3，請(qǐng)問(wèn)S1+S2與S3有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）分別以直角三角形的三條邊為直徑作半圓，如圖3所示，其面積由小到大分別記作S1、S2、S3，根據(jù)（2）中的探索，直接回答S1+S2與S3有怎樣的數(shù)量關(guān)系；（3）若Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，求出圖4中陰影部分的面積．【分析】（1）由扇形的面積公式可知S1＝AC2，S2＝BC2，S3＝AB2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即S1+S2＝S3；（2）根據(jù)（1）中的求解即可得出答案；（3）利用（2）中的結(jié)論進(jìn)行求解．【解答】解：（1）∵，根據(jù)勾股定理可知：S1+S2＝S3；（2）S1+S2＝S3；（3）S陰影部分＝S1+S2﹣（S3﹣S△ABC）＝S△ABC＝×6×8＝24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的應(yīng)用，難度適中，解題關(guān)鍵是對(duì)勾股定理的熟練掌握及靈活運(yùn)用．【變式10-2】（2022秋?大竹縣校級(jí)期末）勾股定理神奇而美妙，它的證法多種多樣，在學(xué)習(xí)了教材中介紹的拼圖證法以后，小華突發(fā)靈感，給出了如圖拼圖：兩個(gè)全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，頂點(diǎn)F在BC邊上，頂點(diǎn)C、D重合，連接AE、EB．設(shè)AB、DE交于點(diǎn)G．∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝a，AC＝DF＝b（a＞b），AB＝DE＝c．請(qǐng)你回答以下問(wèn)題：（1）填空：∠AGE＝°，S四邊形ADBE＝c2．（2）請(qǐng)用兩種方法計(jì)算四邊形ACBE的面積，并以此為基礎(chǔ)證明勾股定理．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠EDF＝∠CAB，求得∠ACE+∠CAB＝90°，得到∠AGC＝90°，根據(jù)垂直的定義得到DE⊥AB，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的面積和梯形的面積公式用兩種方法求得四邊形ACBE的面積，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEF，∴∠EDF＝∠CAB，∵∠EDF+∠CAE＝90°，∴∠ACE+∠CAB＝90°，∴∠AGC＝90°，∴∠AGE＝180°﹣∠AGC＝90°；∴DE⊥AB，∴S四邊形ADBE＝S△ACB+S△ABE＝AB?DG+AB?EG＝AB?（DG+EG）＝AB?DE＝c2，故答案為：90，；（2）∵四邊形ACBE的面積＝S△ACB+S△ABE＝AB?DG+AB?EG＝AB?（DG+EG）＝AB?DE＝c2，四邊形ACBE的面積＝S四邊形ACFE+S△EFB＝×（AC+EF）?CF+BF?EF＝（b+a）b+（a﹣b）?a＝b2+ab+a2﹣ab＝a2+b2，∴c2＝a2+b2，即a2+b2＝c2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，三角形的面積的計(jì)算，全等三角形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2021春?卡若區(qū)校級(jí)期末）將直角△ABC繞直角頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A′，請(qǐng)你先證明A′B′⊥AB，并利用陰影部分面積完成勾股定理的證明．已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求證：a2+b2＝c2．證明：作△A′B′C≌△ABC，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′在邊BC上，連接AA′、BB′，延長(zhǎng)B′A′交AB于點(diǎn)M．【分析】首先作△A′B′C≌△ABC，再利用S△ACA′+S△BCB′＝S△ABB′﹣S△AA′B，進(jìn)而得出a2+b2＝c2．【解答】證明：作△A′B′C≌△ABC，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′在邊BC上，連接AA′、BB′，延長(zhǎng)B′A′交AB于點(diǎn)M，∵∠A′B′C＝∠ABC，∠BA′M＝∠B′A′C，∴∠BMA′＝∠BCA＝90°，∴A′B′⊥AB，∵△A′B′C≌△ABC，∴AC＝A′C＝b，BC＝B′C＝a，AB＝A′B′＝c，∵S△ACA′+S△BCB′＝S△ABB′﹣S△AA′B，∴b2+a2＝c（c+A′M）﹣cA′M，∴b2+a2＝c2，∴a2+b2＝c2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及三角形面積求法得出S△ACA′+S△BCB′＝S△ABB′﹣S△AA′B是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2023八上·寧強(qiáng)期末）圖中字母所代表的正方形的面積為175的選項(xiàng)為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【解答】解：由勾股定理得：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，A、A代表的正方形的面積為400-225=175；B、B代表的正方形的面積為400+225=625；C、C代表的正方形的面積為256-112=144；D、D代表的正方形的面積為400-120=280.故答案為：A.【分析】?jī)蓷l直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方，而邊長(zhǎng)的平方恰是正方形的面積，從而根據(jù)選項(xiàng)提供的面積即可得出答案．2．（2022八上·長(zhǎng)春期末）《九章算術(shù)》中記錄了這樣一則“折竹抵地”問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，問(wèn)折者高幾何？意思是：一根竹子，原高一丈，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4尺遠(yuǎn)（如圖），則折斷后的竹子高度為多少尺？（1丈=10尺）如果我們假設(shè)折斷后的竹子高度為x尺，根據(jù)題意，可列方程為（）A．x2+4C．(10-x)2+4【答案】D【解析】【解答】解：如圖所示：由題意得：∠AOB=90°，設(shè)折斷處離地面的高度OA是x尺，由勾股定理得：x2故答案為：D．【分析】設(shè)折斷處離地面的高度OA是x尺，利用勾股定理可得x23．（2022八上·杭州期中）如圖所示，已知△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M為AD上任一點(diǎn)，則MC2﹣MB2等于（）A．9 B．35 C．45 D．無(wú)法計(jì)算【答案】C【解析】【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2+MD2＝AB2﹣AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2﹣AD2+MD2，∴MC2﹣MB2＝（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2）＝AC2﹣AB2＝45.故答案為：C.【分析】在Rt△ABD、Rt△ADC、Rt△BDM、Rt△CDM中，根據(jù)勾股定理可得BD2=AB2-AD2，CD2=AC2-AD2，BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2=AD2+MD2，然后作差即可.4．（2022八上·杭州期中）如圖，有一個(gè)繩索拉直的木馬秋千，繩索AB的長(zhǎng)度為5米.若將它往水平方向向前推進(jìn)3米（即DE=3米），且繩索保持拉直的狀態(tài)，則此時(shí)木馬上升的高度為（）A．1米 B．2米 C．2米 D．4米【答案】A【解析】【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，

由題意可知：AB＝AC＝5米，CF＝3米，∠AFC=90°，

∴AF2+CF2＝AC2，即AF2+9=25，

解得：AF＝4米，

∴BF＝AB-AF＝5-4＝1米，

∴此時(shí)木馬上升的高度為1米.

故答案為：A．

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，由題意可知：AB＝AC＝5米，CF＝3米，∠AFC=90°，利用勾股定理求得AF的長(zhǎng)，再用AB-AF即可求得木馬上升的高度.5．（2022·金華）如圖，圓柱的底面直徑為AB，高為AC.一只螞蟻在C處，沿圓柱的側(cè)面爬到B處，現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿AC“剪開(kāi)”，在側(cè)面展開(kāi)圖上畫(huà)出螞蟻爬行的最近路線，正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【解答】解：將圓柱的側(cè)面沿AC”剪開(kāi)“，即側(cè)面展開(kāi)圖如下圖，

∵兩點(diǎn)之間，線段最短，

∴CB即為螞蟻爬行的最近路線.

故答案為：C.

【分析】先畫(huà)出圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，再利用兩點(diǎn)之間，線段最短，即CB為螞蟻爬行的最近路線，即可得出正確答案.6．（2022七上·海陽(yáng)期中）如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，其長(zhǎng)、寬、高分別為4，2，9，用一根細(xì)線繞側(cè)面綁在點(diǎn)A，B處，不計(jì)線頭，細(xì)線的最短長(zhǎng)度為（）A．12 B．15 C．18 D．21【答案】B【解析】【解答】如圖所示，連接AB'，則AA'在Rt△AA'故答案為：B．

【分析】將長(zhǎng)方體沿AB剪開(kāi)，側(cè)面展成平面確定A、B的位置，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接AB，則AB的長(zhǎng)即為最短長(zhǎng)度，利用勾股定理計(jì)算即可.二、填空題7．（2023八上·平昌期末）如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開(kāi)始時(shí)繩子BC的長(zhǎng)為17米，幾分鐘后船到達(dá)點(diǎn)D的位置，此時(shí)繩子CD的長(zhǎng)為10米，問(wèn)船向岸邊移動(dòng)了米.【答案】9【解析】【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝BC2-A∵CD＝10（米），∴AD＝CD∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸邊移動(dòng)了9米，故答案為：9.【分析】分別在Rt△ABC、Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理可得AB、AD的值，然后根據(jù)BD=AB-AD進(jìn)行計(jì)算.8．（2022七上·環(huán)翠期中）如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm，正方形A、B、C的面積分別是8cm2，12cm2，14c【答案】15【解析】【解答】解：如圖：根據(jù)勾股定理可知，∵S∴S大正方形∴正方形D的面積=49-8-12-14=15cm故答案為：15．

【分析由圖可知，最大直角三角形的兩條直角邊分別是正方形1和正方形2的邊長(zhǎng)，斜邊是大正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式可得答案。9．（2022七上·西安期中）如圖，MN是圓柱底面的直徑，NO是圓柱的高，在圓柱的側(cè)面上，過(guò)點(diǎn)M，P有一