2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.2.2反證法課時跟蹤訓(xùn)練含解析新人教A版選修1-2

PAGE第二章推理與證明[A組學(xué)業(yè)達標(biāo)]1．實數(shù)a，b，c不全為0等價于()A．a(chǎn)，b，c均不為0B．a(chǎn)，b，c中至多有一個為0C．a(chǎn)，b，c中至少有一個為0D．a(chǎn)，b，c中至少有一個不為0解析：“不全為0”的對立面為“全為0”，故“不全為0”的含義為“至少有一個不為0”．答案：D2．如果兩個實數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個數(shù)()A．一個是正數(shù)，一個是負(fù)數(shù)B．兩個都是正數(shù)C．至少有一個正數(shù)D．兩個都是負(fù)數(shù)解析：假設(shè)兩個數(shù)分別為x1，x2，且x1≤0，x2≤0，則x1＋x2≤0，這與兩個數(shù)之和為正數(shù)矛盾，所以兩個實數(shù)至少有一個正數(shù)，故應(yīng)選C.答案：C3．用反證法證明命題“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1個能被5整除”，則假設(shè)的內(nèi)容是()A．a(chǎn)，b都能被5整除B．a(chǎn)，b都不能被5整除C．a(chǎn)不能被5整除D．a(chǎn)，b有1個不能被5整除解析：用反證法只否定結(jié)論即可，而“至少有1個”的反面是“1個也沒有”，故B正確．答案：B4．設(shè)a，b，c大于0，則3個數(shù)a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)的值()A．都大于2 B．至少有一個不大于2C．都小于2 D．至少有一個不小于2解析：假設(shè)a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)都小于2，則a＋eq\f(1,b)<2，b＋eq\f(1,c)<2，c＋eq\f(1,a)<2，∴a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)<6.①又a，b，c大于0，所以a＋eq\f(1,a)≥2，b＋eq\f(1,b)≥2，c＋eq\f(1,c)≥2.∴a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)≥6.②故①與②式矛盾，假設(shè)不成立，所以a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)至少有一個不小于2.答案：D5．用反證法證明“一個三角形不能有兩個直角”有三個步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形的內(nèi)角和為180°矛盾，故假設(shè)錯誤；②所以一個三角形不能有兩個直角；③假設(shè)△ABC中有兩個直角，不妨設(shè)∠A＝90°，∠B＝90°.上述步驟的正確順序為________．解析：反證法的步驟為：反設(shè)→歸謬→存真，∴正確順序為③①②.答案：③①②6．下列命題適合用反證法證明的是________(填序號)．①已知函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a＞1)，證明：方程f(x)＝0沒有負(fù)實數(shù)根；②關(guān)于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的；③同一平面內(nèi)，分別與兩條相交直線垂直的兩條直線必相交．解析：①是“否定”型命題；②是“唯一”型命題，且題中條件較少；③中條件較少不足以直接證明，因此四個命題都適合用反證法證明．答案：①②③7．設(shè)a，b是兩個實數(shù)，給出下列條件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一個大于1”解析：顯然①②不能推出，③中a＋b>2能推出“a，b中至少有一個大于1”否則a≤1，且b≤1，則a＋b≤2與a＋b>2矛盾．④中取a＝－2，b＝0，推不出．答案：③8．設(shè)a，b是異面直線，在a上任取兩點A1，A2，在b上任取兩點B1，B2，試證：A1B1與A2B2也是異面直線．證明：假設(shè)A1B1與A2B2不是異面直線，則A1B1與A2B2可以確定一個平面α，點A1，A2，B1，B2都在平面α內(nèi)，于是A1A2?α，B1B2?α，即a?α，b?α，這與已知a，b是異面直線矛盾，所以假設(shè)錯誤．所以A1B1與A2B2也是異面直線．9．已知a，b，c∈(0,1)．求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于eq\f(1,4).證明：假設(shè)(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于eq\f(1,4).因為0<a<1,0<b<1，所以1－a>0.由基本不等式eq\f(1－a＋b,2)≥eq\r(1－ab)>eq\f(1,2)，同理eq\f(1－b＋c,2)>eq\f(1,2)，eq\f(1－c＋a,2)>eq\f(1,2)，以上三個不等式相加，eq\f(1－a＋b,2)＋eq\f(1－b＋c,2)＋eq\f(1－c＋a,2)>eq\f(3,2)，即eq\f(3,2)>eq\f(3,2).這是不可能的．故(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于eq\f(1,4).[B組能力提升]1．用反證法證明數(shù)學(xué)命題時，首先應(yīng)該做出與命題結(jié)論相反的假設(shè)．否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時正確的假設(shè)為()A．自然數(shù)a，b，c都是奇數(shù)B．自然數(shù)a，b，c都是偶數(shù)C．自然數(shù)a，b，c中至少有兩個偶數(shù)D．自然數(shù)a，b，c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)解析：反證法證明時應(yīng)假設(shè)所要證明的結(jié)論的反面成立，本題需反設(shè)為自然數(shù)a，b，c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)．答案：D2．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60°”時，假設(shè)正確的是()A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60°B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60°C．假設(shè)三內(nèi)角至少有一個大于60°D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60°解析：“至少有一個”即“全部中最少有一個”．答案：B3．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎．”乙說：“甲、丙都未獲獎．”丙說：“我獲獎了．”丁說：“是乙獲獎．”四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是________．解析：若甲是獲獎的歌手，則都說假話，不合題意．若乙是獲獎的歌手，則甲、乙、丁都說真話，丙說假話，不符合題意．若丁是獲獎的歌手，則甲、丁、丙都說假話，乙說真話，不符合題意．答案：丙4．完成反證法證題的全過程．題目：設(shè)a1，a2，…，a7是由數(shù)字1,2，…，7任意排成的一個數(shù)列，求證：乘積p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)為偶數(shù)．證明：假設(shè)p為奇數(shù)，則________均為奇數(shù)．因奇數(shù)個奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有奇數(shù)＝________＝________＝0.但奇數(shù)≠偶數(shù)，這一矛盾說明p為偶數(shù)．解析：由假設(shè)p為奇數(shù)可知a1－1，a2－2，…，a7－7均為奇數(shù)，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0為奇數(shù)，這與0為偶數(shù)矛盾．答案：a1－1，a2－2，…，a7－7(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)5．設(shè){an}，{bn}是公比不相等的兩個等比數(shù)列，cn＝an＋bn.證明數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列．證明：假設(shè)數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，則(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．①因為{an}，{bn}是公比不相等的兩個等比數(shù)列，設(shè)公比分別為p，q，所以aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1，beq\o\al(2,n)＝bn－1bn＋1.代入①并整理，得2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbneq\b\lc\(\rc\)(