考研數學三(二次型)模擬試卷6(題后含答案及解析)

考研數學三（二次型）模擬試卷6(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．設二次型f(x1，x2，x3)在正交變換x=Py下的標準形為2y12+y22－y32，其中P=(e1，e2，e3)，若Q=(e1，－e3，e2)，則f(x1，x2，x3)在正交變換x=Qy下的標準形為()A．2y12－y22+y32．B．2y12+y22－y32．C．2y22－y22－y32．D．2y12+y22+y32．正確答案：A解析：設二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的矩陣為A，正交矩陣P=(e1，e2，e3)，則f(x1，x2，x3)在正交變換x=Qy下的標準形為2y12+y22－y32，即若Q=(e1，－e3，e2)，則所以f(x1，x2，x3)在正交變換x=Qy下的標準形為2y12一y22+y32．故應選(A)．知識模塊：二次型2．設矩陣則A與B()A．合同，且相似．B．合同，但不相似．C．不合同，但相似．D．既不合同，也不相似．正確答案：B解析：因為即矩陣A的特征值為3，3，0，而矩陣B的特征值為1，1，0，所以矩陣A與B不相似；但A與B的秩均為2，正慣性指數也都是2，所以它們是合同的．總之，選項(B)正確．知識模塊：二次型填空題3．設二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x2x3，則f的正慣性指數為_________．正確答案：2解析：【解法1】利用配方法化二次型為標準形．f=x12+2x1x2+2x2x3=x12+2x1x2+x22－(x22－2x2x3)=(x1+x2)2－(x2－x3)2+x32=y12－y22+y32，其中y1=x1+x2，y2=x2－x3，y3=x3，即由于這個線性變換是可逆的，故由慣性定理知，二次型f的正慣性指數為2．【解法2】利用二次型的正慣性指數是其矩陣的正特征值個數．由于二次型f的矩陣為A的特征多項式為且f(0)=1＞0，f(1)=－1＜0，故由連續(xù)函數的介值定理知f(λ)分別在(－∞，0)，(0，1)，(1，+∞)各有一個零點，即f(λ)有兩個正特征值，一個負特征值．因此，二次型f的正慣性指數為2．知識模塊：二次型4．若二次型f(x1，x2，x3)=2x12x22+x32+2x1x2+tx2x3正定，則t的取值范圍是__________．正確答案：解析：由于二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3的矩陣所以，有D1=2＞0，解得故應填知識模塊：二次型解答題解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22－3x32+4x1x2－4x1x3+8x2x3．5．寫出二次型f的矩陣表達式；正確答案：二次型f的矩陣表達式為其中涉及知識點：二次型6．用正交變換把二次型f化為標準形，并求出相應的正交矩陣．正確答案：矩陣A的特征多項式為由此得矩陣A的特征值為λ1=1，λ2=6，λ3=－6．于是，二次型f可通過正交變換x=Qy化為標準形f=y12+6y22－6y32．對于特征值λ1=1，由于故對應于特征值λ1=1的特征向量可取為ξ1=(2，0，－1)T．類似地，對應于特征值λ2=6，λ3=－6的特征向量可分別取為ξ2=(1，5，2)T，ξ3=(1，－1，2)T．因為A是實對稱矩陣，且λ1，λ2，λ3互異，故x1，x2，x3構成正交向量組，將其單位化得于是，所求的正交矩陣為故對二次型f作正交變換則可將f化為標準形f=y12+6y22－6y32．涉及知識點：二次型7．設二次型f=x12+x22+x32+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3經正交變換x=Py化成f=y22+2y32，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3維列向量，P是3階正交矩陣．試求常數α，β.正確答案：二次型f(x1，x2，x3)的矩陣為因為P為正交矩陣，所以即A與B相似，故A與B有相同的特征值λ1=0，λ2=1，λ3=2，這些特征值滿足|λE-A|=0．當λ1=0，則當λ2=1，則由式(1)和(2)，可求得α=β=0．涉及知識點：二次型設二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=ax12+2x22－2x32+2bx1x3(b＞0)，其中二次型的矩陣A的特征值之和為1，特征值之積為－12．8．求a，b的值；正確答案：二次型f的矩陣為設A的特征值為λi(i=1，2，3)．由題設，有λ1+λ2+λ3=a+2+(－2)=1，解得a=1，b=2．涉及知識點：二次型9．利用正交變換將二次型f化為標準形，并寫出所用的正交變換和對應的正交矩陣.正確答案：由矩陣A的特征多項式得A的特征值λ1=λ2=2，λ3=－3．對于λ1=λ2=2，解齊次線性方程組(2E-A)x=0，得其基礎解系ξ1=(2，0，1)T，ξ2=(0，1，0)T．對于λ3=－3，解齊次線性方程組(－3E－A)x=0，得基礎解系ξ3=(1，0，－2)T．由于ξ1，ξ2，ξ3已是正交向量組，為得到規(guī)范正交向量組，只需將ξ1，ξ2，ξ3單位化，由此得令矩陣則Q為正交矩陣，在正交變換x=Qy下，有且二次型的標準形為f=2y12+2y22－3y32．涉及知識點：二次型設矩陣10．已知A的一個特征值為3．試求y；正確答案：由拉普拉斯展開定理，得把λ=3代入，解得y=2．涉及知識點：二次型11．求矩陣P，使(AP)T(AP)為對角矩陣．正確答案：注意到(AP)T(AP)=PTA2P，其中矩陣A2的特征方程為|λE－A2|=(1－λ)3(9－λ)=0，解得A2的特征值為λ1=λ2=λ3=1，λ4=9．再分別求出對應于它們的特征向量：這4個特征向量已經互相正交，再單位化，得令則有涉及知識點：二次型已知實二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的矩陣A滿足tr(A)=－6．AB=C，其中12．用正交變換將二次型化為標準形，并寫出所用的正交變換；正確答案：由題設AB=C，得由此知λ1=0，λ2=－12是A的特征值，α1=(1，2，1)T，α2=(1，－1，1)T分別是對應的特征向量．設A的第3個特征值為λ3，由λ1+λ2+λ3=tr(A)=－6，得λ3=6，再設A的對應于λ3=6的特征向量為α3=(x1，x2，x3)T，則由λ1，λ2，λ3互異，有解得α3=(－1，0，1)T．將α1，α2，α3單位化得令P=(p1，p2，p3)，則x=Py為所求的正交變換，將f=－12y22+6y32．涉及知識點：二次型13．指出方程f(x1，x2，x3)=1表示何種曲面；正確答案：由上題知，f(x1，x2，x3)=1的標準方程為－12y22+6y32=1，故f(x1，x2，x3)=1表示雙曲柱面．涉及知識點：二次型14．求出該二次型f(x1，x2，x3)．正確答案：由第12題可得由此推得故原二次型為f(x1，x2，x3)=xTAx=－x12－4x22－x32+8x1x2－14x1x3+8x2x3．涉及知識點：二次型已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交變換x=Qy下的標準形為y12+y22，且Q的第3列為15．求矩陣A；正確答案：由題設知A的特征值為1，1，0．且α=(1，0，1)T是屬于A的特征值0對應的一個特征向量．設x=(x1，x2，x3)T為A的屬于特征值1的特征向量，由于A的不同的特征值所對應的特征向量正交，所以有(x,α)=0，即x1+x3=0，解該方程組的基礎解系ξ1=(1，0，－1)T，ξ2=(0，1，0)T，將其單位化，并將其取為A的屬于特征值1對應的正交單位的特征向量，令則有從而，涉及知識點：二次型16．證明A+E為正定矩陣，其中E為3階單位矩陣．正確答案：由上題知A的特征值為1，1，0，于是A+E的特征值為2，2，1，又A+E為實對稱矩陣，故A+E為正定矩陣．涉及知識點：二次型已知A是3階的實對稱矩陣，α1=(1，－1，－1)T，α2=(－2，1，0)T是齊次線性方程組Ax=0的解，又(A－6E)α=0，α≠0．17．求α和二次型xTAx表達式；正確答案：由Aα1=0=0α1，Aα2=0=0α2，知λ1=λ2=0是矩陣A的特征值，α1，α2是矩陣A的屬于特征值0的線性無關的特征向量．由已知Aα=6α，且α≠0，所以λ3=6是A的特征值，設α=(x1，x2，x3)T，由于實對稱矩陣不同的特征值對應的特征向量正交，于是解得λ3=6的一個特征向量為α=(1，2，－1)T．由A(α1，α2，α)=(0，0，6α)，得故f=xTAx=x12+4x22+x32+4x1x2—2x1x3—4x2x3．涉及知識點：二次型18．用正交變換x=Py化二次型xTAx為標準形，并寫出所用的正交變換；正確答案：取α1=(1，－1，－1)T，α2=(－2，1，0)T，α=(1，2，－1)T．顯然α1，α2與α正交，而α1，α2是線性無關的(可用施密特標準正交化)，也可取ξ1=α1=(1，－1，－1)T，ξ2=α1+α2=(1，－1，－1)T+(－2，1，0)T=(－1，0，－1)T，ξ3=α=(1，2，－1)T．則ξ1，ξ2，ξ3，兩兩正交，單位化，得令則P為正交矩陣，x=Py為正交變換，該變換將二次型xT=Py化為標準形為x=6y32．涉及知識點：二次型19．求(A－3E)6．正確答案：因為所以于是(A－3E)6=(PΛP－1－3PP－1)6=[P(Λ－3E)P－1]6=P(Λ－3E)6P－1涉及知識點：二次型設3元實二次型f(x)=xTAx經正交變換x=Cy化成是Ax=0的解向量．20．求所用的正交變換x=Cy；正確答案：由二次型f(x)=xTAx經正交變換x=Cy化成f(x)=y12+y22知λ1=λ2=1和λ3=0是A的3個特征值，再由α是Ax=0的解向量知α是A的0特征值對應的特征向量．若設特征值λ1=λ2=1所對應的特征向量為x，則有xα=0，即x2－x3=0，解之得于是得λ1=λ2=1所對應的特征向量．取由此得正交矩陣做正交變換x=Cy即為所求．涉及知識點：二次型21．求A；正確答案：涉及知識點：二次型22．寫出該實二次型d(x)的表達式．正確答案：涉及知識點：二次型設實二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的秩為2，且α1=(1，0，0)T是(A－2E)x=0的解，α2=(0，－1，1)T是(A－6E)x=0的解．23．用正交變換將該二次型化成標準形，并寫出所用的正交變換和所化的標準形；正確答案：由α1=(1，0，0)T是(A-2E)x=0的解，α2(0，－1，1)T是(A一6E)x=0的解，得Aα1=2α1，Aα2=6α2，于是得A的兩個特征值為λ1=2，λ2=6，其對應的特征向量依次為α1=(1，0，0)T，α2=(0，－1，1)T．又由于實二次型f(x1，x2，x3)的秩為2，所以A的另一個特征值為λ3=0，設其對應的特征向量為α3=(x1，x2，x3)T，則有α1Tα3=0，α2Tα3=0，即解得特征向量為取單位化得令則P為正交矩陣，故x=Py為正交變換，該變換將二次型化成標準形為f(x1，x2，x3)=2y12+6y22．涉及知識點：二次型24．寫出該二次型；正確答案：由于故所求的二次型為f(x1，x2，x3)=2x12+322+332－6x2x3．涉及知識點：二次型25．求方程組f(x1，x2，x3)=0的解．正確答案：由于f(x1，x2，x3)=2x2+3(x2－x3)2=0，得解得k為任意常數．涉及知識點：二次型26．設矩陣矩陣B=(kE+A)2，其中k為實數，求對角矩陣Λ，使B與Λ相似．并求k為何值時，B為正定矩陣．正確答案：【解法1】矩陣A的特征多項式為由此得A的特征值λ1=0，λ2=λ3=2．于是矩陣kE+A的特征值為k和k+2(二重)，而矩陣B=(kE+A)2的特征值為k2和(k+2)2(二重)．令矩陣由B～Λ．要使矩陣B為正定矩陣，只需其特征值全大于零．因此當k≠0且k≠－2時，B為正定矩陣．【解法2】同解法1，首先求得矩陣A的特征值λ1=0，λ2=λ3=2．記對角矩陣因為A為實對稱矩陣，故存在正交矩陣P，使得PTAP=D．所以A=(PT)－1DP-1=PDPT，由此可得由上面的結果立刻得到，當k≠0且后≠－2時，B為正定矩陣．涉及知識點：二次型設A為3階實對稱矩陣，且滿足條件A2+2A=O．已知A的秩r(A)=2．27．求A的全部特征值；正確答案：設A為A的一個特征值，對應的特征向量為α，則Aα=λα(α≠0)，A2α=λ2α，于是(A2+2A)α=(λ2+2λ)α，由條件A2+2A=O推知(λ2+2A)α=0．又由于α≠0，故λ2+2λ=0．解得λ=－2．λ=0．因為實對稱矩陣A必可對角化，且r(A)=2，所以因此，矩陣A的全部特征值為λ1=λ2=－2，λ3=0．涉及知識點：二次型28．當k為何值時，矩陣A+kE為正定矩陣，其中E為3階單位矩陣．正確答案：【解法1】矩陣A+kE仍為實對稱矩陣．由上題知，A+kE的全部特征值為－2+k，－2+k，k，于是，當k>2時矩陣A+kE的特征值均大于零．因此，當k>2時，矩陣A+kE為正定矩陣．【解法2】實對稱矩陣必可對角化，故存在可逆矩陣P，使得P－1AP=Λ．A=PΛP－1．于是A+kE=PΛP－1+kPP-1=P(Λ+kE)P－1．所以A+kE～Λ+kE．而若Λ+kE為正定矩陣，只需其順序主子式大于0，即k需滿足k－2＞0，(k－2)2＞0，(k－2)2k＞0，因此，當k＞2時，矩陣Λ+kE為正定矩陣．涉及知識點：二次型29．設有n元二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)為實數．試問當a1，a2，…，an滿足何種條件時，二次型f(x1，x2，…，xn)為正定二次型．正確答案：由題設知，對任意的實數x1，x2，…，xn，有f(x1，x2，…，xn)≥0，其中等號成立當且僅當該齊次線性方程組僅有零解的充分必要條件是其系數行列式所以當1+(－1)n+11a2…an≠0時，對任意n個不全為零的實數x1，x2，…，xn，都有f(x1，x2，…，xn)＞0，即當a1a2…an≠(－1)n時，二次型f(x1，x2，…，xn)為正定二次型．涉及知識點：二次型設A為n階實對稱矩陣，r(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代數余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型30．記x=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)寫成矩陣形式，并證明二次型f(x)的矩陣為A－1；正確答案：二次型f(x1，x2，…，xn)的矩陣形式為因r(A)=n，故A可逆，且由(A－1)T=(AT)－1=A－1，知A－1也是實對稱矩陣，因此二次型f(x)的矩陣為A-1．涉及知識點：二次型31．二次型g(x)=xTAx與f(x)的規(guī)范形是否相同?說明理由．然后證明矩陣A與A－1合同．正確答案：因為(A－1)TAA－1=(AT)－1E=A-1，所以A與A－1合同，于是g(x)=xTAx與f(x)有相同的規(guī)范形．涉及知識點：二次型32．設A為m階實對稱矩陣且正定，B為m×n實矩陣，BT為B的轉置矩陣，試證：BTAB為正定矩陣的充分必要條件是B的秩r(B)=n．正確答案：必要性．若BTAB為正定矩陣，則對任意的實n維列向量x≠0，有xT(BTAB)x＞0，即(Bx)TA(Bx)＞0．又A為正定矩陣，于是Bx≠0．因此齊次線性方程組Bx=0僅有零解，從而r(B)=n．充分性．因(BTAB)T=BTATB=BTAB，故BTAB為對稱矩陣．若r(B)=n，則齊次線性方程組Bx=0僅有零解．因此，對任意的n維實列向量x≠0，必有Bx≠0．由已知，A為正定矩陣，故對Bx≠0，有(Bx)TA(Bx)＞0，xT(BTAB)x＞0，故BTAB為正定矩陣．涉及知識點：二次型33．設A，B分別為m階，n階正定矩陣，試判定分塊矩陣是否是正定矩陣．正確答案：C顯然是對稱矩陣．令是m+n維列向量，其中x與y分別是m維，n維列向量，于是x，y不同時為零向量．不妨設x≠0．由矩陣A與B的正定性，有xTAx＞0且yTBy＞0，故即C是正定矩陣．涉及知識點：二次型設為正定矩陣，其中A，B分別為m階，n階對稱矩陣，C為m×n矩陣．34．計算PTDP，其中[*]正確答案：因有涉及知識點：二次型35．利用(1)的結果判斷矩陣B－CTA-1C是否為正定矩陣，并證明你的結論．正確答案：【解法1】矩陣B－CTA－1是正定矩陣．由(1)的結果可知，矩陣D合同于矩陣又D為正定矩陣，可知矩陣M為正定矩陣．因矩陣M為對稱矩陣，故B－CTA－1C為對稱矩陣．對x=(0，0，…，0)T及任意的y=(y1，y2，…，yn)T≠0，有即yT(B－CTA－1C)y＞0，故B－CTA-1C為正定矩陣．【解法2】由(1)的結果知，矩陣D合同于矩陣又D為正定矩陣，可知矩陣M為正定矩陣，從而M的各階順序主子式大于零，于是B－CTA-1C的各階順序主子式也大于零．因矩陣M為對稱矩陣，故B－CTA－1C為對稱矩陣，故B－CTA－1C為正定矩陣．涉及知識點：二次型已知二次型f(x1，x2，x3)=(1－a)x12+(1－a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩為2．36．求a的值；正確答案：二次型f的秩為2．所以r(A)=2，于是得a=0．涉及知識點：二次型37．求正交變換x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成標準形；正確答案：當a=0時，可知A的特征值為λ1=λ2=2，λ3=0．對于λ1=λ2=2，解齊次線性方程組(2E-A)x=0，得A的屬于λ1=λ2=2的線性無關的特征向量為ξ1=(1，1，0)T，ξ2=(0，0，1)T．對于λ3=0，解齊次線性方程組(－A)x=0，得A的屬于λ3=0的線性無關的特征向量為ξ3=(－1，1，0)T．易見ξ1，ξ2，ξ3，兩兩正交，只需單位化，得于是則Q為正交矩陣．在正交變換x=Qy下，二次型的標準形為f=2y12+2y22．涉及知識點：二次型38．求方程f(x1，x2，x3)=0的解．正確答案：【解法1】在正交變換x=Qy下f(x1，x2，x3)=0化成2y12+2y22=0，解之得y1=y2=0，從而【解法2】由于f(x1，x2，x3)=x12+x22+2x32+2xx=(x1+x2)2+2x32=0，所以其通解為x=k(－1，1，0)T，其中k為任意常數．涉及知識點：二次型已知齊次線性方程組有非零解，且是正定矩陣．39．求a；正確答案：由于方程組有非零解，所以由于A為正定矩陣，必有a＞0，可排除a=0和a=－1，故a=3．涉及知識點：二次型40．求xTx=1，xTAx的最大值和最小值．正確答案：當a=3時，由得A的特征值為1，4，10．由于a=3時，A為實對稱矩陣，故存在正交矩陣P，經正交變換x=Py化二次型xTAx為標準形，從而1=y12+y22≤xT1Ax=y12+4y22+10y32≤10(y12+y22+y32)=10，故xTAx的最大值為10，最小值為1．涉及知識點：二次型設有3階實對稱矩陣A滿足A3－6A2+11A－6E=0，且|A|=6．41．寫出用正交變換將二次型f=xT(A+E)x化成的標準形(不需求出所用的正交變換)；正確答案：設λ是A的特征值，x是A的關于λ所對應的特征向量，由A3－6A2+11A－6E=O得(λ3－6λ2+11λ－6)x=0，由于x≠0，所以λ3－6λ2+11λ－6=0，得λ=1，2，3．由于|A|=6，所以λ1=1，λ2=2，λ3=3為A的三個