新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

Chapter4

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

4.1指數(shù)

4.1.1"次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)塞

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解〃次方根、〃次根式的概念2能正確運(yùn)用根式運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)、求值3學(xué)會(huì)

根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕之間的相互轉(zhuǎn)化.

知識(shí)梳理梳理教材夯實(shí)基礎(chǔ)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------V------------------------------

知識(shí)點(diǎn)一“次方根、”次根式

1.a的”次方根的定義

一般地，如果x"=a,那么x叫做a的"次方根，其中且"WN”.

2.a的〃次方根的表示

n的奇偶性。的〃次方根的表示符號(hào)a的取值范圍

“為奇數(shù)缶

〃為偶數(shù)10,+8)

3.根式

n

式子也叫做根式，這里W叫做根指數(shù),。叫做被開(kāi)方數(shù).

知識(shí)點(diǎn)二根式的性質(zhì)

1.赤=O(nWN*,且">1).

2.(%)"=￡((a20,〃WN*,且〃>1).

n

3.亞=“(〃為大于1的奇數(shù)).

__[a,

4.y[a"=\a\=]~(n為大于1的偶數(shù)).

\—a,a<0

知識(shí)點(diǎn)三分?jǐn)?shù)指數(shù)零的意義

巴n

正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

規(guī)定：?！?亞(。>0,m,〃￡N*,且心1)

*11

分?jǐn)?shù)指數(shù)幕規(guī)定：a"------m,,且心

負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)基m3H>0,1)

an亞

0的分?jǐn)?shù)指數(shù)基0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)事等于20的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)基無(wú)意義

知識(shí)點(diǎn)四有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

整數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)累，即：

(1)。'。'=屋+'(4>0,r,sGQ)；

(2)3丁=〃/4>0,r,sCQ)；

(3)3力「=屋勿伍>0,b>0,rGQ).

思考辨析判斷正誤

1.當(dāng)"6N*時(shí)，(不與)"都有意義.(X)

63

2.(-2)4=(-2)2.(X)

3.a?.-=a(X)

m

—tTl

4.分?jǐn)?shù)指數(shù)露a"可以理解為"個(gè)。相乘.(X)

|題型探究------------------啟迪思維探究重點(diǎn)

一、〃次方根的概念

例1(1)若81的平方根為“，一8的立方根為b,則a+b=.

答案7或一11

解析81的平方根為-9或9,

即〃=-9或9,

一8的立方根為一2,即〃=—2,

；.a+b=-11或7.

4

(2)若正工有意義，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

4___

解2有意義,

/.X—220,

???G2,

即x的取值范圍是［2,+8).

反思感悟(1)方根個(gè)數(shù)：正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)且互為相反數(shù)，任意實(shí)數(shù)的奇次方根只有一

個(gè).

(2)符號(hào)：根式缶的符號(hào)由根指數(shù)〃的奇偶性及被開(kāi)方數(shù)a的符號(hào)共同確定.

①當(dāng)”為偶數(shù)，且a20時(shí)，赤為非負(fù)實(shí)數(shù)；

②當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，、。的符號(hào)與a的符號(hào)一致.

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知丁=8,則x等于()

777

A.2^2B.V8C.-^8D.±78

答案B

7

解析因?yàn)?為奇數(shù)，8的7次方根只有一個(gè)通.

4

(2)若N2x+5有意義,則x的取值范圍是；

5_______

若道不有意義，則X的取值范圍是.

答案

二、利用根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)或求值

例2化簡(jiǎn):

(1)((3-兀)4；

QN(a-b￥(a>b)；

(3)(A/?—1)2+^/(1—a)2+^(l—a)3.

考點(diǎn)根式的化簡(jiǎn)

題點(diǎn)根據(jù)根式的意義進(jìn)行化簡(jiǎn)

4

解(1H(3一兀)4=13—兀|=兀一3.

(2)?:a>b,/.yj(a~b)2=\a—h\=a—b.

(3)由題意知a—120,即1.原式=〃-1+|1—a\+1—〃=〃一1~\~a—1+1—a=a—1.

反思感悟(1)"為奇數(shù)時(shí)(缶)"=亞=4,4為任意實(shí)數(shù).

(2)〃為偶數(shù)時(shí),心0,才有意義，且

而a為任意實(shí)數(shù)時(shí)后均有意義，且折=間.

跟蹤訓(xùn)練2化簡(jiǎn):

7

⑴4(—2)7；

4___________

⑵M(3〃-3)4(〃W1)；

34_________

(3啦+、(1—”.

考點(diǎn)根式的化簡(jiǎn)

題點(diǎn)根據(jù)根式的意義進(jìn)行化簡(jiǎn)

解(lA/(-2)7--2.

4_______

⑵：.yl(3a-3y=\3a-3\=3\a-l|=3-3<a.

1,aWl,

2a~1,a>\.

三、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)鬲的互化

例3(1)下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化正確的是()

A.—5=(-X)5(QO)

61

Bz\/p=y3(y<0)

c.”=4@(x>0)

_13

D.x3=—ylx(x=^O)

答案C

解析-5=-/。>0)；

611

正=(及|2)6=-丁3(),<0)；

⑵將下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)累的形式（其中6Z>0,b>0）.

3

③(出產(chǎn)/P.

34112

解=〃12；

J』11

②原式=*?扭=那；

(1A21373

③原式=涼-a1-h2=a^b2.

\/

反思感悟根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)寐的互化

(1)根指數(shù)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開(kāi)方數(shù)(式)的指數(shù)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子.

(2)在具體計(jì)算時(shí)，如果底數(shù)相同，通常會(huì)把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)露的形式，然后利用有理數(shù)

指數(shù)賽的運(yùn)算性質(zhì)解題.

跟蹤訓(xùn)練3把下列根式表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)累的形式，把分?jǐn)?shù)指數(shù)幕表示為根式的形式：

(1)(。一加々3>6)；(2屆-1>；

1-

(3)—;(4)(。一份7.

y[cr

--1

解(l)(a-Z?)4=--------；

q(a-b)3

3_________5

(2)A/(X-1)5=(X-1)3；

1二

(3)--a3；

(4)(a-b)7=q(a—b)3.

隨堂演練層礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

--------------------------%--------

1.已知N(a—b)2=a—b,則()

A.a>bB.a》b

C.a<hD.aWb

答案B

2

解析y/(a—h)=\a-h\=a—h9

所以a—〃20,所以故選B.

4________4___________54

2.在6/(—4)2"；(2h/(-4)2n+l,⑤沂，④而中，〃6N",qCR時(shí)各式子有意義的是()

A.①②B.①③

C.@@③④D.①②④

答案B

3.化簡(jiǎn)小工距的結(jié)果為()

A.—y[aB.—\j—aC.yj-aD.yfa

考點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化

題點(diǎn)根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

答案A

解析顯然

2\11

。6=一。36=-a2=—也.

4。?’_4(_2)3+弓)。_9/=.

答案f

解析原式=2-4義

=2+91—；=%

23o

5.化簡(jiǎn)叱(["=

4______

答案yja-i

解析要使原式有意義，則〃-1>0.

4(1一4)2.[昌/=|1一外(?-1)4

31____

=(?—1)?(?-1)I=(a-1)4—y4ja—\.

■課堂小結(jié)

1.知識(shí)清單：

(1)〃次方根的概念、表示及性質(zhì).

⑵根式的性質(zhì).

(3)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)森的互化.

2.常見(jiàn)誤區(qū)：

(1)根式中根指數(shù)要求n>\且〃EN”.

（2）對(duì)于g,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，“NO.

課時(shí)對(duì)點(diǎn)練-------注-重-雙-基強(qiáng)、-化-落-實(shí)

X基礎(chǔ)鞏固

1.已知機(jī)i°=2,則相等于（）

io1010

A.\[2B.一mC.F）D.士也

考點(diǎn)〃次方根及根式概念

題點(diǎn)”次方根及根式概念

答案D

解析；加°=2,是2的10次方根.

又；10是偶數(shù)，...2的10次方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù).

10

二%=±啦.故選D.

_______4_______

2.若2<a<3,化簡(jiǎn)d（2—a）2+d（3—a），的結(jié)果是（）

A.5~2aB.2a~5C.1D.-1

考點(diǎn)根式的化簡(jiǎn)

題點(diǎn)條件根式的化簡(jiǎn)

答案C

解析*.*2<a<3,>'>a—2>0,a—3<0,

_______4_______

yf（2—a）2+yj（3—a）4=\2—a|+|3—a\

—a—2+3—a—1.

3.下列各式既符合分?jǐn)?shù)指數(shù)基的定義，值又相等的是（）

12-

A.（一1日和（―1戶B.0-2和（）2

C.2彳和44D.4株利⑥-3

答案C

12132

解析選項(xiàng)A中，（一邛和（一中均符合分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的定義，但（―甲=尸=-1,（-1）6

6

=4（—1>=1,故A不滿足題意；

選項(xiàng)B中，0的負(fù)指數(shù)嘉沒(méi)有意義，故B不滿足題意；

選項(xiàng)D中，屋,和&J-雖符合分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的定義，但值不相等，故D不滿足題意；

選項(xiàng)C中，2^=4]=。相=25=也，滿足題意.

故選C.

2

4.(1；)。—(1—0.5-2)+ej的值為(

)

A.B.TC.jD.1

答案D

47

解析原式=1一(1-22)+(|)2=---

9

3-

5.設(shè)a>0,將廣一表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)基的形式,其結(jié)果是（）

￡573

A.aaB.*C.D.后

答案C

52_57

=/?〃6=a6=〃6

6.若xWO,則僅|~\/P+I.=.

答案1

解析Tx#。，.,.原式=|.v|—口+呼=1.

7.若山1+山2+6y+9=0,則(f0i9y=

答案T

解析因?yàn)?\/『+2x+1+4十+6y+9=0,

所以4。+1)2+4。+3)2=叮+1|+卜+3|=0,

所以x=—1,y=-3.

所以(f39y=[(-1)2。19「3=(-1尸=一1

9,計(jì)算下列各式的值.

2

64戶3125Y3

(1)1212；(2)—；(3)100004；(4)

149J27

解(1)11(2)j(3斤擊

10.計(jì)算:

4

⑴81X;(2)2^3XX

3

2居+、0.125「1；

(3)

34___________3___________

(4)叱-8)3+4(小一2)4—7(2一小)3.

考點(diǎn)根式的化簡(jiǎn)

題點(diǎn)根據(jù)根式的意義進(jìn)行化簡(jiǎn)

4

217

2x-x-

解(1)原式=%34X332==36.

1

2!1J.1!

(2)原式=2X3XX3%=2義3于丁k=6.

=-3--3+i2=3'

⑷原式=-8+仍一2|一（2一?。?/p>

=-8+2—小一2十小

=-8.

土綜合運(yùn)用

4_________

11.已知二次函數(shù)“￥）=爾+云+0.1的圖象如圖所示，則-（4—2）4的值為（）

-To~

A.a~\~bB.—(〃+〃)

C.a-bD.b-a

答案D

解析由題圖知次-1)=。-b+0.1<0,

.\a-b<0.

12.若代數(shù)式42x—1十52—x有意義,則d4y_4x+]+2{(冗-2)4=

答案3