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第三章函數(shù)的概念和性質(zhì)第3.2.2講函數(shù)的奇偶性一、學習目標1.結合具體函數(shù),掌握奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義,培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng).2.理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖像特征,并學會運用函數(shù)奇偶性研究函數(shù)的有關性質(zhì),提升直觀想象素養(yǎng).3.了解一般函數(shù)的對稱性(對稱軸、對稱中心),提升邏輯推理素養(yǎng).4.掌握函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關系,發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).5.能研究簡單函數(shù)的性質(zhì),并能作圖像,提升直觀想象素養(yǎng).二、重點難點1、函數(shù)奇偶性的判斷2、奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖像問題3、利用函數(shù)的奇偶性求值或解析式4、奇偶性和單調(diào)性的綜合應用三、核心知識偶函數(shù)1.對于函數(shù)y=x2,分析x與-x所對應的函數(shù)值關系,說明函數(shù)的圖像為何關于y軸對稱?提示:任取x∈R,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),而點(x,f(x))與點(-x,f(x))關于y軸對稱,所以函數(shù)y=x2的圖像關于y軸對稱.2.對于函數(shù)f(x),若在定義域內(nèi)有f(-1)=f(1),能否說明函數(shù)f(x)是偶函數(shù)?提示:不能.必須是在定義域內(nèi)任意的x都有f(-x)=f(x)成立,才能說明函數(shù)f(x)是偶函數(shù).1.一般地,設函數(shù)y=f(x)的定義域為D,如果對D內(nèi)的任意一個x,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),則稱y=f(x)為偶函數(shù).2.偶函數(shù)的圖像特征:其圖像關于y軸對稱.函數(shù)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是函數(shù)y=f(x)的圖像關于y軸對稱.eq\a\vs4\al([點睛])1.偶函數(shù)定義域的特點:由于f(x)和f(-x)須同時有意義,所以偶函數(shù)的定義域關于原點對稱.2.偶函數(shù)是相對定義域而言的整體性質(zhì),若定義域內(nèi)有個別x0滿足f(-x0)=f(x0),則f(x)未必是偶函數(shù).3.若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),則有f(-x)=f(|x|).奇函數(shù)1.一般地,若函數(shù)y=f(x)的圖像關于原點對稱,則f(x)與f(-x)有什么關系?反之成立嗎?提示:若函數(shù)y=f(x)的圖像關于原點對稱,則f(-x)=-f(x).反之,若f(-x)=-f(x),則函數(shù)y=f(x)的圖像關于原點對稱.2.已知函數(shù)f(x)的定義域為(-2,2).且f(-1)=-f(1).那么這個函數(shù)是奇函數(shù)嗎?提示:不一定,僅f(-1)=-f(1)不能判定f(x)為奇函數(shù).1.一般地,設函數(shù)y=f(x)的定義域為D,如果對D內(nèi)的任意一個x,都有-x∈D且f(-x)=-f(x),則稱y=f(x)為奇函數(shù).2.函數(shù)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是函數(shù)y=f(x)的圖像關于原點對稱.eq\a\vs4\al([點睛])1.同樣奇函數(shù)的定義域的特點是關于原點對稱.2.若奇函數(shù)的定義域為D,且0∈D,則f(0)=0.三、核心例題題型1函數(shù)奇偶性的判斷1.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是(
)A. B. C. D.【答案】D【詳解】對于A,,故為奇函數(shù),對于B,,故為奇函數(shù),對于C,,故為奇函數(shù),對于D,,故為偶函數(shù),故選:D2.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是(
)A. B.C. D.【答案】C【詳解】對于A選項:的定義域為,不關于原點對稱,所以不是偶函數(shù),故A選項不符合題意;對于B選項:的定義域為,關于原點對稱,但,所以是奇函數(shù)而不是偶函數(shù),故B選項不符合題意;對于C選項:的定義域為,關于原點對稱,且,所以是偶函數(shù),故C選項符合題意;對于D選項:的定義域為,關于原點對稱,但(當時),所以不是偶函數(shù),故D選項不符合題意.故選:C.3.函數(shù)是(
)A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù)【答案】A【詳解】令,解得,即函數(shù)的定義域為,又因為,所以函數(shù)為奇函數(shù).故選:A4.函數(shù)的圖像關于(
)A.軸對稱 B.直線對稱 C.坐標原點對稱 D.直線對稱【答案】C【詳解】因為定義域為,且,所以為奇函數(shù),函數(shù)圖象關于原點對稱.故選:C5.函數(shù)的奇偶性是(
)A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.既奇又偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù)【答案】D【詳解】函數(shù)的定義域為,不關于數(shù)0對稱,所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù).故選:D題型2奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖像問題6.已知是偶函數(shù),其部分圖象如圖所示,則的圖象是(
)A. B.C. D.【答案】D【詳解】為偶函數(shù),其圖像應該關于軸對稱,根據(jù)題目所給的一部分圖像可知,符合題意的只有圖.故選:D7.根據(jù)下列函數(shù)圖象,既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是(
)A. B.C. D.【答案】A【詳解】對于A,是奇函數(shù)且遞增,符合題意;對于B、C、D,均為是非奇非偶函數(shù),不合題意.故選:A.8.已知是偶函數(shù),且在上單調(diào)遞減,則的圖象可能為(
)A. B.C. D.【答案】A【詳解】因為是偶函數(shù),則函數(shù)圖象關于軸對稱,故排除D選項;又因為在上單調(diào)遞減,故排除BC選項;故選:A.9.下列圖象表示的函數(shù)中具有奇偶性的是(
)A. B.C. D.【答案】B【詳解】選項A中的圖象關于原點或y軸均不對稱,故排除;選項C、D中的圖象所示的函數(shù)的定義域不關于原點對稱,不具有奇偶性,故排除;選項B中的圖象關于y軸對稱,其表示的函數(shù)是偶函數(shù).故選:B10.下列各圖中,表示以為自變量的奇函數(shù)的圖象是()A. B.C. D.【答案】B【詳解】試題分析:作平行于軸的直線,圖象中的取值是唯一的,故排除A,D,奇函數(shù)的圖象關于原點對稱,故選B.考點:1、函數(shù)的奇偶性;2、函數(shù)的定義.題型3利用函數(shù)的奇偶性求值或解析式11.已知函數(shù)在上為偶函數(shù),且當時,,則當時,的解析式是(
)A. B.C. D.【答案】C【詳解】當時,,由于是偶函數(shù),所以.故選:C12.若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),當時,,則(
)A. B. C.5 D.7【答案】C【詳解】因為為奇函數(shù),且當時,,所以當時,,所以.故選:C13.已知函數(shù)是偶函數(shù),且當時,,那么當時,的解析式是(
)A. B. C. D.【答案】A【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù),所以,時,,故.故選:A14.已知函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù),且當時,,則當時,(
)A. B.C. D.【答案】C【詳解】因為函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù),當時,,所以,故選:C15.函數(shù)是R上的奇函數(shù),當時,,則當時,(
)A. B. C. D.【答案】C【詳解】解:由題意得:當時,,函數(shù)是R上的奇函數(shù),故故選:C題型4奇偶性和單調(diào)性的綜合應用16.函數(shù)是R上的偶函數(shù),且在上是增函數(shù),若,則a的取值范圍是(
)A. B.C. D.或【答案】C【詳解】解:是R上的偶函數(shù),且在上是增函數(shù)在是減函數(shù),,,;故選:C.17.函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且增函數(shù),若對任意,均有,則實數(shù)的最大值是(
)A. B. C. D.【答案】A【詳解】因為,所以,,又因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),增函數(shù),且,所以,兩邊平方化簡得在恒成立,令,對稱軸為,所以在單調(diào)遞增,則,解得,又因為,所以,所以的最大值為.故選:A.18.已知奇函數(shù)是定義在區(qū)間上的增函數(shù),且,則實數(shù)的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】B【詳解】依題意奇函數(shù)是定義在區(qū)間上的增函數(shù),,.故選:B19.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且在上單調(diào)遞減,,則不等式的解集為(
)A. B. C. D.【答案】A【詳解】依題意函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且在上單調(diào)遞減,在上遞增,.畫出的大致圖象如下圖所示,由圖可知,不等式的解集為.故選:A20.已知是偶函數(shù),且在區(qū)間上遞增,若,則的取值范圍是(
)A. B.C. D.【答案】A【詳解】依題意,函數(shù)為偶函數(shù),且在軸兩側左增右減,故,解得.故選:A.當堂達標一、單選題1.下列函數(shù)中,在區(qū)間上單調(diào)遞增且是奇函數(shù)的是(
)A. B. C. D.【答案】D【詳解】對于A,函數(shù)的定義域為,故函數(shù)為非奇非偶函數(shù),故A不符題意;對于B,函數(shù)的定義域為,因為,所以函數(shù)為偶函數(shù),故B不符題意;對于C,函數(shù)的定義域為,因為,所以函數(shù)為偶函數(shù),故C不符題意;對于D,函數(shù)的定義域為,因為,所以函數(shù)為奇函數(shù),又因為函數(shù)在區(qū)間上都單調(diào)遞增,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,故D符合題意.故選:D.2.已知偶函數(shù),當時,,則(
)A.3 B. C. D.5【答案】B【詳解】因為為偶函數(shù),所以,又當時,,所以,所以.故選:B3.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),當時,,若,則(
)A.1 B.3C. D.【答案】D【詳解】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),所以,解得.故選:D4.已知函數(shù)是奇函數(shù),當時,,則=(
)A. B. C. D.【答案】B【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù),所以.故選:B.5.已知,為奇函數(shù),若,則(
).A. B.6 C.9 D.4【答案】C【詳解】,,,為奇函數(shù),故選:C.6.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且,有成立,若,則關于的不等式的解集是(
)A. B. C. D.【答案】B【詳解】,有成立,可知在上單調(diào)遞減,又因為在上是奇函數(shù),所以在上單調(diào)遞減,由可得,故,得,即,得,所以.故選:B.7.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),則(
)A.2 B.0 C. D.【答案】D【詳解】當時,因為是偶函數(shù),所以有,要想上式恒成立,只需,當時,因為是偶函數(shù),所以有,要想上式恒成立,只需,綜上所述:,故選:D8.已知是定義在上的奇函數(shù),當時,.若函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增,則實數(shù)的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】C【詳解】當時,,由二次函數(shù)的單調(diào)性可知在,上單調(diào)遞增,又因為是定義在上的奇函數(shù),所以在,上單調(diào)遞增,綜上,在,上單調(diào)遞增,又函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增,所以,解得,所以實數(shù)的取值范圍是,.故選:C.二、多選題9.關于函數(shù),下列說法正確的是()A.定義域為 B.是偶函數(shù)C.在上遞減 D.圖象關于原點對稱【答案】CD【詳解】對于A,函數(shù),有,即函數(shù)的定義域為,A錯誤;對于B,的其定義域為,有,所以為奇函數(shù),B錯誤;對于C,函數(shù)和在上遞減,所以函數(shù)在上遞減,C正確;對于D,由B的結論,為奇函數(shù),其圖象關于原點對稱,D正確.故選:CD.10.已知函數(shù)為奇函數(shù),則下列說法正確的為(
)A.的圖像關于對稱 B.必成立C.必成立 D.的圖像關于原點對稱【答案】ABD【詳解】因為為奇函數(shù),所以的圖象關于原點對稱,即D正確;且,即B正確,C錯誤;由可知函數(shù)圖象關于對稱,即A正確.故選:ABD.三、填空題11.函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),當時,,則.【答案】9【詳解】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),當時,,則.故答案為:.12.已知定義在上的偶函數(shù)在上是減函數(shù),若,則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】由于在上是減函數(shù),且為偶函數(shù),所以在上是增函數(shù),若,則,平方可得,解得,故答案為:四、解答題13.已知是定義在上的奇函數(shù),當時,.(1)求函數(shù)在上的解析式;(2)若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)解:設,則,所以,因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),所以,又因函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),可得,所以函數(shù)在上的解析式為.(2)解:作出函數(shù)的圖象,如圖所示,由函數(shù)圖象可知,在上單調(diào)遞增,要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則滿足,解得,所以實數(shù)的取值范圍為.14.已知是定義在R上的偶函數(shù),且當時,.(1)求的解析式;(2)若,求實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)當時,,,所以;(2)當時,,因此當時,該函數(shù)單調(diào)遞增,因為是定義在R上的偶函數(shù),且當時,該函數(shù)單調(diào)遞增,所以由等價于,所以,因此,即,解得或,所以實數(shù)的取值范圍是或.15.已知函數(shù)的定義域為,并且滿足下列條件:①;②對任意,都有;③當時,.(1)證明:為奇函數(shù).(2)解不等式.(3)若對任意的,恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.【詳解】(1)由題意函數(shù)的定義域為,定義域關于原點對稱,令,則,
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