2023-2024學(xué)年孝感市高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中考試卷附答案解析

-2024學(xué)年孝感市高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中考試卷試卷共150分．考試時(shí)間120分鐘2024.4注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知直線的方程，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知正整數(shù)滿足，則（

）A．7 B．6 C．5 D．43．在三棱柱中，是的中點(diǎn)，，則（

）A． B．C． D．4．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則的值為（

）A．1 B． C． D．5．在數(shù)列中，，，則數(shù)列的前2024項(xiàng)的積為（

）A． B． C． D．6．已知直線：和圓：，圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．7．在空間中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，法向量為的平面的方程（即平面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式）為：.用此方法求得平面和平面的方程，化簡(jiǎn)后的結(jié)果分別為和，則這兩平面夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．將16個(gè)扶困助學(xué)的名額分配給3個(gè)學(xué)校，要求每校至少有一個(gè)名額且各校分配的名額數(shù)互不相等，則不同的分配方法種數(shù)為（

）A．42 B．78 C．90 D．84二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知公差為的等差數(shù)列是遞減數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．若，則的最大值為7 D．取最大值時(shí)，10．關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為B．函數(shù)的值域是C．當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解D．當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解11．設(shè)橢圓與雙曲線（其中）的離心率分別為，，且直線與雙曲線的左、右兩支各交于一點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（

）A．的取值范圍是 B．的取值范圍是C．的取值范圍是 D．的取值范圍是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則.13．除以9的余數(shù)為.14．如圖，線段，在平面內(nèi)，，，且，，，則，兩點(diǎn)間的距離為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．若數(shù)列是等差數(shù)列，則稱數(shù)列為調(diào)和數(shù)列.若實(shí)數(shù)、、依次成調(diào)和數(shù)列，則稱是和的調(diào)和中項(xiàng).(1)求和4的調(diào)和中項(xiàng)；(2)已知調(diào)和數(shù)列，，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．已知的二項(xiàng)展開(kāi)式只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，請(qǐng)完成以下問(wèn)題：(1)求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和；(2)展開(kāi)式中是否存在常數(shù)項(xiàng)，若有，請(qǐng)求出常數(shù)項(xiàng)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)求展開(kāi)式中非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和.17．如圖，在三棱柱中，平面，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，，.(1)求證：平面；(2)求平面與直線所成角的正弦值；(3)證明：直線與平面相交.18．如圖，已知橢圓（）的左，右頂點(diǎn)分別為，，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為，為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線，與橢圓分別交于點(diǎn)，，其中，①證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；②求面積的最大值.19．已知函數(shù).(1)證明：恰有一個(gè)零點(diǎn)，且；(2)我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過(guò)“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，另一種常用的求零點(diǎn)近似值的方法是“牛頓切線法”.任取，實(shí)施如下步驟：在點(diǎn)處作的切線，交軸于點(diǎn)：在點(diǎn)處作的切線，交軸于點(diǎn)；一直繼續(xù)下去，可以得到一個(gè)數(shù)列，它的各項(xiàng)是不同精確度的零點(diǎn)近似值.（i）設(shè)，求的解析式；（ii）證明：當(dāng)，總有.1．C【分析】先求出直線的斜率，再由斜率與傾斜角的關(guān)系可求出傾斜角.【詳解】由題意得直線的斜率為：，所以傾斜角為.故C項(xiàng)正確.故選：C.2．C【分析】根據(jù)組合數(shù)和排列的定義化簡(jiǎn)后解方程．【詳解】即為，所以，是正整數(shù)且，因此解得，故選：C．3．C【分析】依題意可得，再根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：C4．A【分析】由垂直得切線斜率，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解．【詳解】由題意題中切線的斜率為2，由，則，所以，，故選：A．5．C【分析】通過(guò)遞推關(guān)系得出數(shù)列周期，利用周期可求答案.【詳解】因?yàn)椋?，，，，，所以?shù)列的周期為，且，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的積為，.故選：C6．B【分析】由直線和圓的位置關(guān)系知，與直線距離為1的兩條平行線中一條與圓相交，一條與圓相切，從而得到圓心與直線之間的距離，進(jìn)而得到的值.【詳解】因?yàn)閳A：上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線：的距離為1，所以與直線距離為1的兩條平行線中一條與圓相交，一條與圓相切，又因?yàn)閳A的半徑為3，所以圓心到直線距離為2，即，解得.故選：B.7．A【分析】確定平面和平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式，即可求得答案.【詳解】由題意可知平面和平面的方程為和，故平面和平面的法向量分別為，故兩平面夾角的余弦值為，故選：A8．D【分析】先把名額分成三組，然后再排列得各個(gè)學(xué)校的名額數(shù)．【詳解】16分成三個(gè)不等的正整數(shù)的和有：，共14種，因此不同的分配種數(shù)為，故選：D．9．ABC【分析】根據(jù)遞減數(shù)列的定義得，求出，再求得，然后結(jié)合數(shù)列性質(zhì)判斷各選項(xiàng)．【詳解】等差數(shù)列是遞減數(shù)列，則公差，A正確；由題意，∴，則，從而取最大值時(shí)，或，D錯(cuò)誤；所以，B正確；，由得，C正確．故選：ABC．10．BC【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性與極值，確定函數(shù)的變化趨勢(shì)，結(jié)合函數(shù)圖象確定方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題．【詳解】由已知的定義域是，，由得或，因此減區(qū)間是和，A錯(cuò)；得或，因此增區(qū)間是和，是極大值，是極小值，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的大致圖象如圖所示，所以的值域是，B正確，由上討論知當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解，C正確，D錯(cuò)誤；故選：BC．11．ACD【分析】由題意可得，再根據(jù)橢圓和雙曲線的離心率公式逐一分析判斷即可.【詳解】雙曲線的漸近線為，直線的斜率為，因?yàn)橹本€與雙曲線的左、右兩支各交于一點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，故，則，故A正確；，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確；對(duì)于C，，，所以，故C正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意結(jié)合只限于雙曲線的位置關(guān)系得出是解決本題的關(guān)鍵.12．【分析】由求得數(shù)列的前三項(xiàng)，由前三項(xiàng)成等比數(shù)列求得．【詳解】由已知，，，成等比數(shù)列，則，解得，此時(shí)，也適合．故答案為：，13．5【分析】將化為，利用二項(xiàng)式的展開(kāi)式，即可求得答案.【詳解】由題意得，由于中每項(xiàng)均為9的倍數(shù)，故除以9的余數(shù)即為77除以9的余數(shù)5，故答案為：514．4【分析】證明，由余弦定理求得，再由勾股定理求得．【詳解】連接，如圖，中，，，，則，所以，故答案為：4.15．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)新定義求解；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和結(jié)合條件即得．【詳解】（1）設(shè)和4的調(diào)和中項(xiàng)為，依題意得：，∴.（2）依題意，設(shè)公差為，所以，所以，所以，所以.16．(1)4096；(2)存在，7920；(3)-7919.【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，確定n的值，即可求得答案；（2）根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)等于0，求出參數(shù)k的值，即可求得答案；（3）利用賦值法，即可求得答案.【詳解】（1）由題意知的二項(xiàng)展開(kāi)式只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故的展開(kāi)式一共有13項(xiàng)，得；所以得展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為；（2）由得展開(kāi)式的通項(xiàng)為，（），令，得，即展開(kāi)式存在常數(shù)項(xiàng)，且常數(shù)項(xiàng)為.（3）令得展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和等于1，則由（2）知展開(kāi)式中非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為：.17．(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）首先可得，即可得到平面，由線面垂直的性質(zhì)得到，再由，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用空間向量法計(jì)算可得；（3）由得到與平面不平行，即可證明.【詳解】（1）∵，分別是，的中點(diǎn)，∴，∵平面，∴平面，又平面，∴，∵，是的中點(diǎn)，∴，又，平面，平面，∴平面；（2）由（1）可知，，，平面，又平面，∴，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，設(shè)平面與直線所成角為，則，故直線與平面所成角正弦值為.（3）因?yàn)?，，∴，，∴與不垂直，∴與平面不平行，又平面，∴與平面相交.18．(1)(2)①證明見(jiàn)解析，；②.【分析】（1）由橢圓性質(zhì)求得，得橢圓方程；（2）①寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立求出的坐標(biāo)，再求得直線方程后，由方程判斷出定點(diǎn)；②設(shè)，，設(shè)的方程為：，代入橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，然后利用點(diǎn)坐標(biāo)求得，利用函數(shù)性質(zhì)得最大值．【詳解】（1）∵長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，∴，橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為，∴，∴.∴∴橢圓的方程為：.

（2）①證明：由（1）得，，直線，的方程分別為，，由得∴，可得，∴，由得∴，可得，∴，∴，直線的方程為：，即.可得直線過(guò)定點(diǎn).②設(shè)的方程為：，由得，設(shè)，，則，，，令，（），，由，且函數(shù)在遞增，∴時(shí)，取得最大值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓中最值問(wèn)題，一般設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)出直線方程為（或），代入橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理得（或）然后用兩交點(diǎn)坐標(biāo)表示出要求最值的量，如本題中三角形面積，轉(zhuǎn)化為關(guān)于其中某個(gè)參數(shù)（兩個(gè)參數(shù)時(shí)需要由條件尋找參數(shù)間關(guān)系）的函數(shù)，然后由函數(shù)的性質(zhì)或不等式的知識(shí)求得最值．19．(1)證明見(jiàn)解析(2)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理證明即可；（2）（i）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得曲線在處的切線方程為，進(jìn)而得；（ii）令，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性證明，再根據(jù)，證明即可得答案．【詳解】（1），定義域?yàn)?，所以，在上恒成立，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，存在唯一，使得，即：有唯一零點(diǎn)，且；（2）（i）由（1）知，所以，曲線在處的切線斜率為，所以，曲線在處的切線方程為，即，令得，所以，切線與軸的交點(diǎn)，即，所以，；證明：（ii）對(duì)任意的，由（i）知，曲線在,處的切線方程為：，故令，令，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng),時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，恒有，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，另一方面，由（i）知，，且當(dāng)時(shí)，，（若，則，故任意，顯然矛盾），因?yàn)槭堑牧泓c(diǎn)，所以，因?yàn)闉閱握{(diào)