湖北省荊州市監(jiān)利縣朱河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

湖北省荊州市監(jiān)利縣朱河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A2.執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的，則輸出的S=（

）A．5

B．6

C.8

D．13參考答案：C輸入，成立，；成立，；成立，.不成立，輸出.故選C.

3.已知函數(shù)f（x）=（a＞0，a≠1）的圖象上關(guān)于直線x=1對(duì)稱的點(diǎn)有且僅有一對(duì)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[，]∪{} B．[，）∪{} C．[，]∪{} D．[，）∪{}參考答案：D【考點(diǎn)】5B：分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】若函數(shù)f（x）=（a＞0，a≠1）的圖象上關(guān)于直線x=1對(duì)稱的點(diǎn)有且僅有一對(duì)，則函數(shù)y=logax與y=2|x﹣5|﹣2在[3，7]上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=（a＞0，a≠1）的圖象上關(guān)于直線x=1對(duì)稱的點(diǎn)有且僅有一對(duì)，∴函數(shù)y=logax，與y=2|x﹣5|﹣2在[3，7]上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)（5，﹣2）點(diǎn)時(shí)，由loga5=﹣2，解得a=；當(dāng)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)（3，2）點(diǎn)時(shí)，由loga3=2，解得a=；當(dāng)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)（7，2）點(diǎn)時(shí)，由loga7=2，解得a=．故a∈[，）∪{}，故選：D．4.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是

A．（，0）

B．（0，1）

C．（1，2）

D．（2，3）

參考答案：C略5.采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問(wèn)卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編號(hào)為1，2，…，960，分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為9．抽到的32人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[1，450]的人做問(wèn)卷A，其余的人做問(wèn)卷B．則抽到的人中，做問(wèn)卷B的人數(shù)為（）A．15 B．16 C．17 D．18參考答案：C【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】由題意可得抽到的號(hào)碼構(gòu)成以9為首項(xiàng)、以30為公差的等差數(shù)列，求得此等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由1≤30n﹣21≤450，求得正整數(shù)n的個(gè)數(shù)，即為得出結(jié)論．【解答】解：∵960÷32=30，∴由題意可得抽到的號(hào)碼構(gòu)成以9為首項(xiàng)、以30為公差的等差數(shù)列，由1≤30n﹣21≤450，n為正整數(shù)可得1≤n≤15，∴做問(wèn)卷C的人數(shù)為32﹣15=17，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，系統(tǒng)抽樣的定義和方法，根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．6.已知函數(shù)，若，則A.

1

B.－1

C.－2

D.2參考答案：C7.直線與相交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)、分別在直線與上且異于點(diǎn)，若與的夾角為，，則的外接圓的面積為

A.

B.

C.

D.參考答案：B由題意中，，由正弦定理可知，由此，，故選B.8.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】根據(jù)三視圖得該幾何體是四棱錐，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積．【解答】解：由三視圖知該幾何體是四棱錐，且底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，高為4×sin60°=2，∴該四棱錐的體積為V=×42×2=．故選：C．9.由函數(shù)的圖象與直線及所圍成的一個(gè)封閉圖形的面積是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略10.設(shè)集合,,且都是集合的子集.如果把叫集合的“長(zhǎng)度”,則集合M∩N的長(zhǎng)度的取值范圍是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)集合A＝｛x｜－＜x＜2｝，B＝｛x｜｝，則A∪B＝___________．參考答案：｛x｜－1≤x＜2｝略12.已知棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)接于球O，點(diǎn)P是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)Q是正方體一條棱的中點(diǎn)，則直線PQ被球O截得線段長(zhǎng)的最大值為__.參考答案：【分析】由題可得球的半徑為正方體的體對(duì)角線的一半，當(dāng)直線被球截得線段最長(zhǎng)時(shí)，兩點(diǎn)剛好在正方體體對(duì)角線的兩條棱上?！驹斀狻坑深}意可得，如下圖：如圖，為正方體的兩底邊對(duì)角線與棱構(gòu)成的矩形，其中。由正方體的對(duì)稱性和球的對(duì)稱性可知，當(dāng)點(diǎn)為點(diǎn)對(duì)角線棱的中點(diǎn)時(shí)被球截得線段最長(zhǎng)由圖可得由余弦定理得【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方體與球的組合體，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題是本題的關(guān)鍵，本題難度較大。13.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若{an}和{Sn}都是等差數(shù)列，且公差相等，則a2=

.

參考答案：由等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)得點(diǎn)睛：在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，有兩個(gè)處理思路,一是利用基本量,將多元問(wèn)題簡(jiǎn)化為一元問(wèn)題,雖有一定量的運(yùn)算,但思路簡(jiǎn)潔,目標(biāo)明確;二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì),性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法.14.若實(shí)數(shù)，滿足則的取值范圍是

．參考答案：作出可行域如圖所示：表示圓心為(0,0)，半徑為的圓作圖可知當(dāng)圓與直線相切時(shí)z值最小，且為當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1,2)或者點(diǎn)(1,2)時(shí)，z最大，且為5∴

15.記的反函數(shù)為，則方程的解

．參考答案：216.設(shè)隨機(jī)變量，則

.參考答案：17.已知，則

.參考答案：∵，∴，由正切的二倍角公式，∴答案三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知曲線C：，直線l：．（1）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；（2）已知點(diǎn)P為曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值及最小值．參考答案：【考點(diǎn)】直線的參數(shù)方程．【分析】（1）由題意直接寫出曲線C的參數(shù)方程，消去參數(shù)t可得直線l的普通方程；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2cosθ，3sinθ），由點(diǎn)到直線的距離公式表示出點(diǎn)P到直線l的距離d，由輔助角公式化簡(jiǎn)后，由正弦函數(shù)的最值求出點(diǎn)P到直線l的距離的最大值及最小值．【解答】解：（1）∵曲線C：，∴曲線C的參數(shù)方程為：（θ為參數(shù)），∵直線l：．∴消去t得，直線l的普通方程為：2x+y﹣6=0；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2cosθ，3sinθ），則點(diǎn)P到直線l的距離設(shè)為d，則（其中）∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴，，即點(diǎn)P到直線l的距離的最大值及最小值分別為：、．19.正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，點(diǎn)M在線段EC上且不與E，C重合．（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)M是EC中點(diǎn)時(shí)，求證：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）當(dāng)平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為時(shí)，求三棱錐M﹣BDE的體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定．【分析】（I）三角形的中位線定理可得MN∥DC，MN=．再利用已知可得，即可證明四邊形ABMN是平行四邊形．再利用線面平行的判定定理即可證明．（II）取CD的中點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥DM，連接BP．可得四邊形ABOD是平行四邊形，由于AD⊥DC，可得四邊形ABOD是矩形．由于BO⊥CD，正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，ED⊥AD，可得ED⊥平面ADCB，平面CDE⊥平面ADCB．BO⊥平面CDE．于是BP⊥DM．即可得出∠OPB是平面BDM與平面ABF（即平面ABF）所成銳二面角．由于cos∠OPB=，可得BP=．可得sin∠MDC==．而sin∠ECD==．而DM=MC，同理DM=EM．M為EC的中點(diǎn)，利用三棱錐的體積計(jì)算公式可得VM﹣BDE=VB﹣DEM=．【解答】（I）證明：取ED的中點(diǎn)N，連接MN．又∵點(diǎn)M是EC中點(diǎn)．∴MN∥DC，MN=．而AB∥DC，AB=DC．∴，∴四邊形ABMN是平行四邊形．∴BM∥AN．而BM?平面ADEF，AN?平面ADEF，∴BM∥平面ADEF．（Ⅱ）取CD的中點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥DM，連接BP．∵AB∥CD，AB=CD=2，∴四邊形ABOD是平行四邊形，∵AD⊥DC，∴四邊形ABOD是矩形．∴BO⊥CD．∵正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，ED⊥AD，∴ED⊥平面ADCB．∴平面CDE⊥平面ADCB．∴BO⊥平面CDE．∴BP⊥DM．∴∠OPB是平面BDM與平面ABF（即平面ABF）所成銳二面角．∵cos∠OPB=，∴sin∠OPB=．∴=，解得BP=．∴OP=BPcos∠OPB=．∴sin∠MDC==．而sin∠ECD==．∴DM=MC，同理DM=EM．∴M為EC的中點(diǎn)，∴，∵AD⊥CD，AD⊥DE，且DE與CD相交于D∴AD⊥平面CDE．∵AB∥CD，∴三棱錐B﹣DME的高=AD=2，∴VM﹣BDE=VB﹣DEM==．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理、梯形的定義、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理、線面平行的判定定理、線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、二面角的作法與應(yīng)用、三棱錐的體積計(jì)算公式，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．20.（本小題滿分14分）已知函數(shù).（I）若函數(shù)的圖象在處的切線與直線平行，求的值；（II）在（I）的條件下方程在區(qū)間上兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（III）若在區(qū)間上存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?-----------------2分由題意，解得.----------------3分（II）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，.---------------------4分在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，----------------------------5分，，.由題意，即.----------7分（Ⅱ）在上存在一點(diǎn)，使得成立等價(jià)于，，①當(dāng)時(shí)，即，在上，單調(diào)遞增，，可得.-------------------------------8分②當(dāng)時(shí)，即，在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，，----------------------------------------10分因?yàn)?，所以，，此時(shí)，不成立.--------------------------------------11分③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上，單調(diào)遞減，，可得，因?yàn)?，所?----------------------------------------13分綜上可得，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.--------------------14分21.（12分）如圖所示，光線從點(diǎn)A（2，1）出發(fā)，到x軸上的點(diǎn)B后，被x軸反射到y(tǒng)軸上的C點(diǎn)，又被y軸反射，這時(shí)反射線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（1，2）．（1）求直線BC的方程；（2）求線段BC的中垂線方程．參考答案：考點(diǎn)： 與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程．專題： 直線與圓．分析： （1）求出點(diǎn)A（2，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（2，﹣1），點(diǎn)D（1，2）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′（﹣1，2），然后由直線方程的兩點(diǎn)式求得直線BC的方程；（2）由（1）求得B，C的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得BC的中點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線BC的斜率，得到BC的中垂線的斜率，代入直線方程點(diǎn)斜式得答案．解答： （1）點(diǎn)A（2，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′（2，﹣1），點(diǎn)D（1，2）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D′（﹣1，2），根據(jù)反射原理，A′，B，C，D′四點(diǎn)共線．∴直線BC的方程為，即x+y﹣1=0；（2）由（1）得B（1，0），C（0，1）．∴BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（），kBC=﹣1．∴線段BC的中垂線方程為，即x﹣y