四川省綿陽市第一人民中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

四川省綿陽市第一人民中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知全集，，，則等于 A． B． C． D．參考答案：D略2.邊長(zhǎng)為的三角形的最大角與最小角的和是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略3.已知函數(shù)的最小正周期為，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A考點(diǎn)：正弦型函數(shù)的性質(zhì)．4.設(shè)函數(shù)y=的定義域?yàn)镸，集合N={y|y=x2,x∈R}，則M∩N=

（

）

A．

B．N

C．[1,+∞）

D．M參考答案：B略5.方程在內(nèi)

A．沒有根

B．有且僅有一個(gè)根

C．有且僅有兩個(gè)根

D．有無窮多個(gè)根參考答案：C本題考查了函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖象的應(yīng)用，難度中等。

因?yàn)楹投际桥己瘮?shù)，畫出兩個(gè)函數(shù)在的圖象，由圖象可知有一個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)偶函數(shù)的特征，在時(shí)，還有一個(gè)交點(diǎn)，故選C6.已知a＝，則的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是

A．20

B．－20

C．

D．－參考答案：D略7.函數(shù)的最小正周期是，若其圖像向右平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像

（

）A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．關(guān)于直線對(duì)稱C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

D．關(guān)于直線對(duì)稱參考答案：B略8.設(shè)向量，，定義一種運(yùn)算“”。向量.已知，，點(diǎn)的圖象上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在的圖象上運(yùn)動(dòng)且滿足（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的最小值為（

）A.

B.

C.2

D.參考答案：B.試題分析：由題意知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，又因?yàn)辄c(diǎn)Q在的圖象上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足的解析式，即.所以函數(shù)的最小值為-2.故應(yīng)選B.考點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.9.容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40]的頻率為A0.35

B

0.45

C

0.55

D

0.65

2參考答案：B由頻率分布表可知：樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)為2+3+4=9，樣本總數(shù)為，故樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間內(nèi)頻率為.故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布表的應(yīng)用，頻率的計(jì)算.對(duì)于頻數(shù)、頻率等統(tǒng)計(jì)問題只需要弄清楚樣本總數(shù)與各區(qū)間上樣本的個(gè)數(shù)即可，用區(qū)間上樣本的個(gè)數(shù)除以樣本總數(shù)就可得到相應(yīng)區(qū)間上的樣本頻率.來年需注意頻率分布直方圖與頻率分布表的結(jié)合考查.10.函數(shù)的反函數(shù)為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，如果存在非零常數(shù)T，對(duì)于任意x∈D，都有f（x+T）=T?f（x），則稱函數(shù)y=f（x）是“似周期函數(shù)”，非零常數(shù)T為函數(shù)y=f（x）的“似周期”．現(xiàn)有下面四個(gè)關(guān)于“似周期函數(shù)”的命題：①如果“似周期函數(shù)”y=f（x）的“似周期”為﹣1，那么它是周期為2的周期函數(shù)；②函數(shù)f（x）=x是“似周期函數(shù)”；③函數(shù)f（x）=2x是“似周期函數(shù)”；④如果函數(shù)f（x）=cosωx是“似周期函數(shù)”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真命題的序號(hào)是

．（寫出所有滿足條件的命題序號(hào)）參考答案：①④【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【分析】①由題意知f（x﹣1）=﹣f（x），從而可得f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=f（x）；②由f（x+T）=T?f（x）得x+T=Tx恒成立；從而可判斷；③由f（x+T）=T?f（x）得2x+T=T2x恒成立；從而可判斷；④由f（x+T）=T?f（x）得cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，從而可得，從而解得．【解答】解：①∵似周期函數(shù)”y=f（x）的“似周期”為﹣1，∴f（x﹣1）=﹣f（x），∴f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=f（x），故它是周期為2的周期函數(shù)，故正確；②若函數(shù)f（x）=x是“似周期函數(shù)”，則f（x+T）=T?f（x），即x+T=Tx恒成立；故（T﹣1）x=T恒成立，上式不可能恒成立；故錯(cuò)誤；③若函數(shù)f（x）=2x是“似周期函數(shù)”，則f（x+T）=T?f（x），即2x+T=T2x恒成立；故2T=T成立，無解；故錯(cuò)誤；④若函數(shù)f（x）=cosωx是“似周期函數(shù)”，則f（x+T）=T?f（x），即cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；故cos（ωx+ωT）=Tcosωx恒成立；即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，故，故ω=kπ，k∈Z；故正確；故答案為：①④．12.已知（＞0，）是R上的增函數(shù)，那么的取值范圍是

．參考答案：略13.函數(shù)在上恒為正，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：14.若則．參考答案：﹣【考點(diǎn)】定積分．【專題】計(jì)算題；整體思想；定義法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】?jī)蛇吶《ǚe分，即可得到關(guān)于f（x）dx的方程解得即可．【解答】解：兩邊同時(shí)取積分，∴f（x）dx=x2dx+[2f（x）dx]dx，∴f（x）dx=x3|x+[2f（x）dx]x|，∴f（x）dx=+2f（x）dx，∴f（x）dx=﹣故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了定積分的計(jì)算；解答本題的關(guān)鍵是兩邊取定積分，屬于基礎(chǔ)題．15.一個(gè)三棱錐的三視圖是三個(gè)直角三角形，如圖所示，則該三棱錐的外接球的表面積為________.參考答案：16.不等式組的解集為

▲

參考答案：17.（5分）（2013?廣州一模）已知a＞0，a≠1，函數(shù)若函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值比最小值大，則a的值為．參考答案：或考點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用．專題：計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：分0＜a＜1和a＞1時(shí)兩種情況加以討論，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和一次函數(shù)單調(diào)性，并結(jié)合分段函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的大小比較，求出函數(shù)在[0，2]上的最大值和最小值，由此根據(jù)題意建立關(guān)于a的方程，解之即得滿足條件的實(shí)數(shù)a的值．解答：解：①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，可得在[0，1]上，f（x）=ax是減函數(shù)；且在（1，2]上，f（x）=﹣x+a是減函數(shù)∵f（0）=a0=1＞﹣1+a，∴函數(shù)的最大值為f（0）=1；而f（2）=﹣2+a＜﹣1+a=f（1），所以函數(shù)的最小值為f（2）=﹣2+a因此，﹣2+a+=1，解之得a=∈（0，1）符合題意；②當(dāng)a＞1時(shí)，可得在[0，1]上，f（x）=ax是增函數(shù)；且在（1，2]上，f（x）=﹣x+a是減函數(shù)∵f（1）=a＞﹣1+a，∴函數(shù)的最大值為f（1）=a而f（2）=﹣2+a，f（0）=a0=1，可得i）當(dāng)a∈（1，3]時(shí)，﹣2+a＜1，得f（2）=﹣2+a為函數(shù)的最小值，因此，﹣2+a+=a矛盾，找不出a的值．ii）當(dāng)a∈（3，+∞）時(shí)，﹣2+a＞1，得f（0）=1為函數(shù)的最小值，因此，1+=a，解之得a=∈（3，+∞），符合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為或故答案為：或點(diǎn)評(píng)：本題給出含有字母a的分段函數(shù)，在已知函數(shù)的最大最小值之差的情況下求參數(shù)a的值，著重考查了指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性和分段函數(shù)的理解等知識(shí)，考查了轉(zhuǎn)化化歸和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖5，正△的邊長(zhǎng)為4，是邊上的高，分別是和邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△沿翻折成直二面角．（1）試判斷直線與平面的位置關(guān)

系，并說明理由；（2）求二面角的余弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使？如果存在，求出的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由。參考答案：19.（本小題滿分12分）一個(gè)口袋中有2個(gè)白球和個(gè)紅球（，且），每次從袋中摸出兩個(gè)球（每次摸球后把這兩個(gè)球放回袋中），若摸出的兩個(gè)球顏色相同為中獎(jiǎng)，否則為不中獎(jiǎng)。（1）試用含的代數(shù)式表示一次摸球中獎(jiǎng)的概率P；（2）若，求三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率；（3）記三次摸球恰有一次中獎(jiǎng)的概率為，當(dāng)為何值時(shí)，取最大值。參考答案：解：（1）一次摸球從個(gè)球中任選兩個(gè)，有種選法，其中兩球顏色相同有種選法；一次摸球中獎(jiǎng)的概率............4分（2）若，則一次摸球中獎(jiǎng)的概率是，三次摸球是獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，三次摸球中恰有一次中獎(jiǎng)的概率是

................8分（3）設(shè)一次摸球中獎(jiǎng)的概率是，則三次摸球中恰有一次中獎(jiǎng)的概率是，，

在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，取最大值

................10分

，

，故時(shí)，三次摸球中恰有一次中獎(jiǎng)的概率最大。..............

12分略20.（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù).（1）若函數(shù)在處有極值，求函數(shù)的最大值；（2）①是否存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由；②證明：不等式參考答案：（1）最大值為；（2）①的取值范圍是；②證明見解析．

，不等式的左邊，由，則有．這里用到了不等式的放縮法．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減所以函數(shù)的最大值為（2）①由已知得：（）若，則時(shí)，所以在上為減函數(shù)在上恒成立；（）若，則時(shí)，所以在上為增函數(shù)，不能使在上恒成立；（）若，則時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上為增函數(shù)，此時(shí)又故.考點(diǎn)：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性、最值，不等式恒成立問題，用函數(shù)證明不等式．21.

已知數(shù)列滿足，且，設(shè).（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.

.所以…………13分考點(diǎn)：（1）等比數(shù)列的性質(zhì)；（2）數(shù)列求和.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了等比數(shù)列的概念，對(duì)數(shù)的運(yùn)算以及數(shù)列的求和，屬于高考中?？贾R(shí)點(diǎn)，難度不大；常見的數(shù)列求和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類似于，其中和分別為特殊數(shù)列，裂項(xiàng)相消發(fā)類似于，錯(cuò)位相減法類似于，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列等，當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)公式中含有絕對(duì)值時(shí)，一定要考慮正負(fù)，在本題中分為和兩種情況，在結(jié)合分組求和得解.22.已知．（I）求函數(shù)f（x）的最小值；（II）（i）設(shè)0＜t＜a，證明：f（a+t）＜f（a﹣t）．（ii）若f（x1）=f（x2），且x1≠x2．證明：x1+x2＞2a．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：綜合題．分析：（Ⅰ）確定函數(shù)的定義域，并求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得x=a時(shí)，f（x）取得極小值也是最小值；（Ⅱ）（?。?gòu)造函數(shù)g（t）=f（a+t）﹣f（a﹣t），當(dāng)0＜t＜a時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)，可知g（t）在（0，a）單調(diào)遞減，所以g（t）＜g（0）=0，即可證得；（ⅱ）由（Ⅰ），f（x）在（0，a）單調(diào)遞減，在（a，+∞）單調(diào)遞增，不失一般性，設(shè)0＜x1＜a＜x2，所以0＜a﹣x1＜a，利用（?。┘纯勺C得結(jié)論．解答： （Ⅰ）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）．求導(dǎo)數(shù)，可得f′（x）=x﹣=．…當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．當(dāng)x=a時(shí)，f（x）取得極小值也是最小值f（a）=a2﹣a2lna．…（Ⅱ）證明：（?。┰O(shè)g（t）=f（a+t）﹣f（a﹣t），則當(dāng)0＜t＜a時(shí)，g′（t）=f′（a+t）+f′（a﹣t）=a+t﹣+a﹣t﹣=＜0，…所以g（t）在（0，a