有限元法基本原理與應(yīng)用

有限元法根本原理與應(yīng)用班級(jí)機(jī)械2081姓名方志平指導(dǎo)老師鐘相強(qiáng)摘要：有限元法的根底是變分原理和加權(quán)余量法，其根本求解思想是把計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元，在每個(gè)單元內(nèi)，選擇一些適宜的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。關(guān)鍵詞：有限元法；變分原理；加權(quán)余量法；函數(shù)。Abstract：Finiteelementmethodisbasedonthevariationalprincipleandtheweightedresidualmethod,thebasicideaistosolvethecomputationaldomainisdividedintoafinitenumberofnon-overlappingunits,eachunit,selectsomeappropriatefunctionforsolvingtheinterpolationnodepointsas,thedifferentialvariablesrewrittenoritsderivativebythevariablevalueoftheselectednodeinterpolationfunctionsconsistingoflinearexpressions,bymeansofvariationalprincipleorweightedresidualmethod,thediscretedifferentialequationstosolve.Differentformsofweightfunctionsandinterpolationfunctions,itconstitutesadifferentfiniteelementmethod.Keywords：Finiteelementmethod;variationalprinciple;weightedresidualmethod;function。引言有限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，后來(lái)隨著計(jì)算機(jī)的開展慢慢用于流體力學(xué)的數(shù)值模擬。在有限元方法中，把計(jì)算域離散剖分為有限個(gè)互不重疊且相互連接的單元，在每個(gè)單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來(lái)逼近單元中的真解，整個(gè)計(jì)算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個(gè)單元基函數(shù)組成的，那么整個(gè)計(jì)算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。在河道數(shù)值模擬中，常見(jiàn)的有限元計(jì)算方法是由變分法和加權(quán)余量法開展而來(lái)的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根據(jù)所采用的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)的不同，有限元方法也分為多種計(jì)算格式。從權(quán)函數(shù)的選擇來(lái)說(shuō)，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計(jì)算單元網(wǎng)格的形狀來(lái)劃分，有三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng)格和多邊形網(wǎng)格，從插值函數(shù)的精度來(lái)劃分，又分為線性插值函數(shù)和高次插值函數(shù)等。不同的組合同樣構(gòu)成不同的有限元計(jì)算格式。對(duì)于權(quán)函數(shù)，伽遼金(Galerkin)法是將權(quán)函數(shù)取為逼近函數(shù)中的基函數(shù)；最小二乘法是令權(quán)函數(shù)等于余量本身，而內(nèi)積的極小值那么為對(duì)代求系數(shù)的平方誤差最??；在配置法中，先在計(jì)算域內(nèi)選取N個(gè)配置點(diǎn)。令近似解在選定的N個(gè)配置點(diǎn)上嚴(yán)格滿足微分方程，即在配置點(diǎn)上令方程余量為0。插值函數(shù)一般由不同次冪的多項(xiàng)式組成，但也有采用三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)組成的乘積表示，但最常用的多項(xiàng)式插值函數(shù)。有限元插值函數(shù)分為兩大類，一類只要求插值多項(xiàng)式本身在插值點(diǎn)取值，稱為拉格朗日(Lagrange)多項(xiàng)式插值；另一種不僅要求插值多項(xiàng)式本身，還要求它的導(dǎo)數(shù)值在插值點(diǎn)取值，稱為哈密特(Hermite)多項(xiàng)式插值。單元坐標(biāo)有笛卡爾直角坐標(biāo)系和無(wú)因次自然坐標(biāo)，有對(duì)稱和不對(duì)稱等。常采用的無(wú)因次坐標(biāo)是一種局部坐標(biāo)系，它的定義取決于單元的幾何形狀，一維看作長(zhǎng)度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應(yīng)用的最早，近來(lái)四邊形等參元的應(yīng)用也越來(lái)越廣。對(duì)于二維三角形和四邊形電源單元，常采用的插值函數(shù)為有Lagrange插值直角坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)及二階或更高階插值函數(shù)、面積坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)、二階或更高階插值函數(shù)等。1.1有限元單元法的根本思路彈性力學(xué)解法的問(wèn)題彈性力學(xué)解法的問(wèn)題在于：不管是應(yīng)力函數(shù)解法數(shù)解法、扭轉(zhuǎn)函數(shù)解法、撓曲函數(shù)解法、還是基于最小勢(shì)能原還是基于最小勢(shì)能原理的瑞利－李茲等方法，其困難在于如何給出一個(gè)在全求解區(qū)給出一個(gè)在全求解區(qū)域上均成立的試探函數(shù)。在有限單元法里在有限單元法里，這個(gè)問(wèn)題通過(guò)定義分片插值的位移或應(yīng)力函數(shù)得到了巧妙的解決。對(duì)于任意單元對(duì)于任意單元(i,j,m)，，以結(jié)點(diǎn)位移以結(jié)點(diǎn)位移(u,u,u)為待定系數(shù)，可以給出該單元的插值函數(shù)：線性代數(shù)方程組的求解在數(shù)學(xué)上是極其容易的。也就是說(shuō)有限元法通過(guò)單元離散和最小勢(shì)能原理小勢(shì)能原理，避開了微分方程直接求避微分方程直接求解在數(shù)學(xué)上的困難，把定解條件下的微分方程組的求解巧妙地轉(zhuǎn)化為線性方程組的運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了任何復(fù)雜彈性力學(xué)問(wèn)題輕易分析計(jì)算。1.2有限元單元法求解問(wèn)題的的根本步驟(1)建立積分方程，根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問(wèn)題等價(jià)的積分表達(dá)式，這是有限元法的出發(fā)點(diǎn)。(2)區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問(wèn)題的物理特點(diǎn)，將區(qū)域剖分為假設(shè)干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元?jiǎng)澐质遣捎糜邢拊椒ǖ那捌跍?zhǔn)備工作，這局部工作量比擬大，除了給計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)和確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，同時(shí)還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號(hào)和相應(yīng)的邊界值。3)確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對(duì)近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元具有規(guī)那么的幾何形狀，在選取基函數(shù)時(shí)可遵循一定的法那么。

(4)單元分析：將各個(gè)單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達(dá)式進(jìn)行逼近；再將近似函數(shù)代入積分方程，并對(duì)單元區(qū)域進(jìn)行積分，可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點(diǎn)的參數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。

(5)總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法那么進(jìn)行累加，形成總體有限元方程。

(6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件)、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對(duì)于自然邊界條件，一般在積分表達(dá)式中可自動(dòng)得到滿足。對(duì)于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法那么對(duì)總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。

(7)解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法求解，可求得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值。1.3求解計(jì)算結(jié)果的整理和有限元法后處理有限元方程是一個(gè)線性代數(shù)方程組，一般有兩大類解法，一是直接解法，二是迭代法。直接法有高斯消元法和三角分解法，如果方程規(guī)模比擬大時(shí)，可用分塊解法和波前解法。迭代法有雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法和超松弛迭代法等。通過(guò)選用適宜的的求解法求解經(jīng)過(guò)位移邊界條件小處理的公式后，得到整體節(jié)點(diǎn)位移列陣，然后根據(jù)單元節(jié)點(diǎn)位移由幾何矩陣和應(yīng)力矩陣得到單元節(jié)點(diǎn)的應(yīng)變和應(yīng)力，對(duì)于非節(jié)點(diǎn)處的位移通過(guò)形函數(shù)插值得到，再由幾何矩陣和應(yīng)力矩陣求得相應(yīng)的應(yīng)變和應(yīng)力。應(yīng)變要通過(guò)位移求導(dǎo)得到，精度一般要比位移差一些，尤其對(duì)于一次單元，應(yīng)變和應(yīng)力在整個(gè)單元內(nèi)是常數(shù)，應(yīng)變和應(yīng)力的誤差會(huì)比擬大，尤其單元數(shù)比擬少時(shí)，誤差更大，因此對(duì)于應(yīng)力和應(yīng)變要進(jìn)行平均化處理：繞節(jié)點(diǎn)平均法，即依次把圍繞節(jié)點(diǎn)所有單元的應(yīng)力加起來(lái)平均，以此平均應(yīng)力作為該節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。二單元平均法，即吧相鄰的兩單元的應(yīng)力加以平均并以此作為公共邊的節(jié)點(diǎn)出的應(yīng)力。整理并對(duì)有限元法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行后處理，一是要得到結(jié)構(gòu)中關(guān)鍵位置力學(xué)量得數(shù)值〔如最大位移、最大主應(yīng)力和主應(yīng)變，等效應(yīng)力等〕；二是得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的力學(xué)量得分布〔根據(jù)計(jì)算結(jié)果直接繪制位移分布圖，應(yīng)力分布圖等〕。三是后處理要得到輸入量和輸出量之間的響應(yīng)關(guān)系。梁的有限元建模與變形分析計(jì)算分析模型如圖1所示。NOTE：要求選擇不同形狀的截面分別進(jìn)行計(jì)算。圖1梁的計(jì)算分析模型梁截面分別采用以下三種截面〔單位：m〕：矩形截面：圓截面：工字形截面：B=0.1，H=0.2R=0.1w1=0.2，w2=0.2，w3=0.2，t1=0.05，t2=0.05，t3=0.05梁的彈性模量為：200GPa，泊松比為：0.3。試用ANSYS求該梁的撓度及應(yīng)力分布〔包含軸向應(yīng)力〕，畫出梁的彎矩圖和剪力圖。〔1〕單元類型定義后，設(shè)置梁類型與實(shí)常數(shù)?！?〕設(shè)置材料屬性?！?〕建立幾何模型。