2019年湖南省張家界市中考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2019年湖南省張家界市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，滿分24分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.（3分）（2019?張家界）2019的相反數(shù)是（）

A.2019B.-2019C.」一D.-二一

20192019

【考點(diǎn)】14：相反數(shù).

【專(zhuān)題】511：實(shí)數(shù).

【分析】由相反數(shù)的定義即可得到答案.

【解答】解:2019的相反數(shù)是-2019.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題運(yùn)用了相反數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)確掌握定義是解題的關(guān)鍵.

2.（3分）（2019?張家界）為了有力回?fù)裘婪絾芜呏髁x貿(mào)易政策的霸凌行為，維護(hù)我國(guó)正當(dāng)

權(quán)益和世界多邊貿(mào)易正常秩序，經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)，決定于2019年6月1日起，對(duì)原產(chǎn)于美

國(guó)的600億美元進(jìn)口商品加征關(guān)稅，其中600億美元用科學(xué)記數(shù)法表示為（）美元.

A.6X1O10B.O.6X1O10C.6X109D.0.6X109

【考點(diǎn)】II：科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù).

【專(zhuān)題】511：實(shí)數(shù).

【分析】運(yùn)用科學(xué)記數(shù)法的知識(shí)可解.

【解答】解：600億=6X101°.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題運(yùn)用了科學(xué)記數(shù)法的知識(shí)點(diǎn)，掌握好n與數(shù)位之間的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵.

3.（3分）（2019?張家界）下列四個(gè)立體圖形中，其主視圖是軸對(duì)稱(chēng)圖形但不是中心對(duì)稱(chēng)圖

C.D.

【考點(diǎn)】P3：軸對(duì)稱(chēng)圖形；R5：中心對(duì)稱(chēng)圖形；U1：簡(jiǎn)單幾何體的三視圖.

【專(zhuān)題】558：平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱(chēng)；55F：投影與視圖.

【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖以及軸對(duì)稱(chēng)圖形、中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念，可

得答案.

【解答】解：A、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形.故錯(cuò)誤；

是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形.故錯(cuò)誤；

C>是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形.故正確；

。、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形.故錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何體的三視圖以及中心對(duì)稱(chēng)圖形與軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念：軸對(duì)稱(chēng)圖

形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分沿對(duì)稱(chēng)軸折疊后可重合；中心對(duì)稱(chēng)圖形是要尋找對(duì)

稱(chēng)中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.

4.（3分）（2019?張家界）下列運(yùn)算正確的是（）

A.a2,a3=cz6B.a^+a3—a5

C.（a+b）2=a2+Z>2D.（cz3）2=cz6

【考點(diǎn)】35：合并同類(lèi)項(xiàng)；46：同底數(shù)幕的乘法；47：暴的乘方與積的乘方；4C：完全

平方公式.

【專(zhuān)題】512：整式.

【分析】根據(jù)同底數(shù)塞的乘法法則，完全平方公式，幕的乘方公式進(jìn)行運(yùn)算即可；

【解答】解：/./=/+3=/；人錯(cuò)誤；

/+/=/+/.B錯(cuò)誤;

（a+b）2=a^+b~+2ab；C錯(cuò)誤;

（a3）2=a3X2=a6；。正確；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的運(yùn)算；熟練掌握同底數(shù)幕的乘法，幕的乘方和積的乘方，完全

平方公式是解題的關(guān)鍵.

5.（3分）（2019?張家界）下列說(shuō)法正確的是（）

A.打開(kāi)電視機(jī)，正在播放“張家界新聞”是必然事件

B.天氣預(yù)報(bào)說(shuō)“明天的降水概率為65%”，意味著明天一定下雨

C.兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)相同，則方差大的更穩(wěn)定

D.數(shù)據(jù)5,6,7,7,8的中位數(shù)與眾數(shù)均為7

【考點(diǎn)】W1：算術(shù)平均數(shù)；W4：中位數(shù)；W5：眾數(shù)；W7：方差；XI：隨機(jī)事件；X3：

概率的意義.

【專(zhuān)題】542：統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用.

【分析】事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1,事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近

于0.事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1,事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近于

0.

【解答】解：4打開(kāi)電視機(jī)，正在播放“張家界新聞”是隨機(jī)事件，故A錯(cuò)誤;

B.天氣預(yù)報(bào)說(shuō)“明天的降水概率為65%”，意味著明天可能下雨，故B錯(cuò)誤；

C.兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)相同，則方差大的更不穩(wěn)定，故C錯(cuò)誤；

D,數(shù)據(jù)5,6,7,7,8的中位數(shù)與眾數(shù)均為7,正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率及其應(yīng)用，正確理解概率的意義是解題的關(guān)鍵.

6.（3分）（2019?張家界）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）

Ix>-1

A.-2-10123"B.

A\l/7777\

C.-2-10123D.

【考點(diǎn)】C4：在數(shù)軸上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式組.

【專(zhuān)題】524：一元一次不等式（組）及應(yīng)用.

【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中

間找、大大小小無(wú)解了確定不等式組的解集.

【解答】解：解不等式2x-2W0,得：xWl,

則不等式組的解集為-

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知

“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

7.（3分）（2019?張家界）如圖，在△ABC中，NC=90°,AC=8,DC=^-AD,2。平分

3

ZABC,則點(diǎn)D到AB的距離等于（)

B

CDA

A.4B.3C.2D.1

【考點(diǎn)】KF：角平分線的性質(zhì).

【專(zhuān)題】554：等腰三角形與直角三角形.

【分析】過(guò)點(diǎn)。作于E,求出8,再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離

相等解答.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作DELAB于E,

VAC=8,DC=—AD,

3

.?.CD=8X」^=2,

1+3

：/C=90°,8。平分/ABC,

:.DE=CD=2,

即點(diǎn)D到AB的距離為2.

故選：C.

CDA

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

8.（3分）（2019?張家界）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長(zhǎng)為1的正方形048c繞點(diǎn)。

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1G,依此方式，繞點(diǎn)。連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次得到正方

形。42019比019c2019,那么點(diǎn)A2019的坐標(biāo)是（）

A.(返，-足)B.(1,0)C.(-返，-四)D.(0,-1)

2222

【考點(diǎn)】D2：規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)；R7：坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn).

【專(zhuān)題】558：平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱(chēng).

【分析】探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題即可.

【解答】解：：四邊形OA8C是正方形，且OA=1,

:.A(0,1),

:將正方形042c繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OAiBiCi,

發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，所以2019+8=252…余3,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所

連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.也考查了坐標(biāo)與圖形的變化、規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)從特殊到一般的探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型.

二、填空題(本大題共6個(gè)小題，每小題3分，滿分18分)

9.(3分)(2019?張家界)因式分解：/y-y=y(尤+1)(xT).

【考點(diǎn)】55：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.

【分析】首先提公因式y(tǒng),再利用平方差進(jìn)行二次分解即可.

【解答】解：原式=y(x2-1)=y(x+1)(x-1),

故答案為:y(x+1)(x-1).

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提公因式法和公式法分解因式，關(guān)鍵是掌握提取公因式后利用

平方差公式進(jìn)行二次分解，注意分解要徹底.

10.(3分)(2019?張家界)已知直線a〃6,將一塊含30°角的直角三角板A8C按如圖所

示方式放置(NBAC=30°),并且頂點(diǎn)A,C分別落在直線a,b上，若/1=18°,則

Z2的度數(shù)是48°.

a

【考點(diǎn)】JA：平行線的性質(zhì).

【專(zhuān)題】551：線段、角、相交線與平行線.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】'：a//b,

：.Z2=Z]+ZCAB=IS°+30°=48°,

故答案為：48°

【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)解答.

11.（3分）（2019?張家界）為了建設(shè)“書(shū)香校園”，某校七年級(jí)的同學(xué)積極捐書(shū)，下表統(tǒng)計(jì)

了七（1）班40名學(xué)生的捐書(shū)情況：

捐書(shū)（本）345710

人數(shù)5710117

該班學(xué)生平均每人捐書(shū)6本.

【考點(diǎn)】W2：加權(quán)平均數(shù).

【專(zhuān)題】542：統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用.

【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義計(jì)算可得.

【解答】解：該班學(xué)生平均每人捐書(shū)3X5+4X7+5X10+7X11+10X7=6（本），

40

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查加權(quán)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握加權(quán)平均數(shù)的定義.

12.（3分）（2019?張家界）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形048c的頂點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn),

頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=K的圖象上，已知菱形的周長(zhǎng)是8,

X

ZCOA=60°,則左的值是一

【考點(diǎn)】G6：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；KM：等邊三角形的判定與性質(zhì)；L8：

菱形的性質(zhì).

【專(zhuān)題】31：數(shù)形結(jié)合；33：函數(shù)思想；556：矩形菱形正方形.

【分析】菱形0A8C的周長(zhǎng)為8,可得邊長(zhǎng)為2,過(guò)C作無(wú)軸的垂線，構(gòu)造直角三角形，

利用30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半和勾股定理，可以求出表示C點(diǎn)坐標(biāo)的線段的

長(zhǎng)，從而確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，再依據(jù)點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，代入關(guān)系式可以求出k

的值.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作。垂足為。，

'：ZCOA=60°

：.ZOCD^90°-60°=30°

又：菱形0ABe的周長(zhǎng)是8,

：.OC=OA=AB=BC=2,

在RtZiCO。中，OD=L(9C=1,

2

皿=正_心二相,

：.c(1,M),

把C(1,?)代入反比例函數(shù)y=X■得：

X

故答案為：V3-

【點(diǎn)評(píng)】此題綜合利用直角三角形中30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理、

菱形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)，難度不大，但考查的知識(shí)較

多.

13.（3分）（2019?張家界）《田畝比類(lèi)乘除捷法》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝的著作，其中有一

個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：“直田積八百六十四步，只云長(zhǎng)闊共六十步，問(wèn)長(zhǎng)多闊幾何”.意思是：一

塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的長(zhǎng)與寬共60步，問(wèn)它的長(zhǎng)比寬多多少步？

根據(jù)題意得，長(zhǎng)比寬多12步.

【考點(diǎn)】1O：數(shù)學(xué)常識(shí)；AD：一元二次方程的應(yīng)用.

【專(zhuān)題】523：一元二次方程及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的一元二次方程，從而可以解答本題.

【解答】解：設(shè)長(zhǎng)為x步，寬為（60-x）步，

x（60-%）=864,

解得，xi=36,無(wú)2=24（舍去），

...當(dāng)尤=36時(shí)，60-x=24,

，長(zhǎng)比寬多：36-24=12（步），

故答案為：12.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程,

利用方程的知識(shí)解答，注意長(zhǎng)比寬要長(zhǎng).

14.（3分）（2019?張家界）如圖：正方形A8CD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E,尸分別為BC,C。邊的

中點(diǎn)，連接AE,BF交于點(diǎn)、P,連接尸￡）,則tan/AP￡>=2.

【考點(diǎn)】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；LE：正方形的性質(zhì)；T7：解直角三角形.

【專(zhuān)題】556：矩形菱形正方形.

【分析】首先證明△ABE0△3CR再利用角的關(guān)系求得/BPE=90°,證明A、尸、F、

。四點(diǎn)共圓，^ZAFD=ZAPD,可得結(jié)論.

【解答】解：連接4凡

,:E,尸分別是正方形ABC。邊8C,C￡?的中點(diǎn)，

在△ABE和△85中，

rAB=BC

<NABE=NC，

tBE=CF

.'.RtAABE^RtABCF(SAS),

：.ZBAE=ZCBF,

XVZBAE+ZBEA^9Q°,

：.ZCBF+ZBEA=90°,

；.NBPE=NAPF=90°,

VZADF=9Q°,

ZA￡)F+ZAPF=180°,

...A、P、F、。四點(diǎn)共圓，

ZAFD=ZAPD,

tanNAP。=tanZAFD--^--2,

DF

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的性質(zhì)、

三角函數(shù)的定義，解決的關(guān)鍵是證明NAPF=90°.

三、解答題(本大題共9個(gè)小題，滿分58分.請(qǐng)考生用黑色碳素筆在答題卡相應(yīng)的題號(hào)后

的答題區(qū)域內(nèi)作答，必須寫(xiě)出運(yùn)算步驟、推理過(guò)程或文字說(shuō)明，超出答題區(qū)域的作答無(wú)效)

15.(5分)(2019?張家界)計(jì)算：(3.14-n)0+|-/2-1|-2cos45°+(-1)2019.

【考點(diǎn)】2C：實(shí)數(shù)的運(yùn)算；6E：零指數(shù)幕；T5：特殊角的三角函數(shù)值.

【專(zhuān)題】511：實(shí)數(shù).

【分析】分別計(jì)算出(3.14-it)0=1,|-/2-1|=V2-1>2cos450=2X*_=a，+(-

1)2019=1即可求解；

【解答】解：(3.14-TT)°+lV2-11-2cos45°+(-1)2019

=1+M-1-2xl±L-1

2

=_1;

【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算；熟練掌握零指數(shù)累的運(yùn)算，特殊三角函數(shù)值是解題的關(guān)

鍵.

2

16.（5分）（2019?張家界）先化簡(jiǎn)，再求值：（生蟲(chóng)-1）+*-2x+l,然后從0,1,2

x-2x-2

三個(gè)數(shù)中選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)代入求值.

【考點(diǎn)】6D：分式的化簡(jiǎn)求值.

【專(zhuān)題】513：分式.

【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再選取使分式有意義的x的

值代入計(jì)算可得.

【解答】解：原式=（區(qū)心-三2）.31）「

x-2x-2x-2

=xT.x-2

x-2（x-1）2

=1

x-1,

當(dāng)尤=0時(shí),原式=-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運(yùn)算順序和

運(yùn)算法則.

17.（5分）（2019?張家界）如圖，在平行四邊形中，連接對(duì)角線AC,延長(zhǎng)A8至點(diǎn)

E,使連接?！?分別交8C,AC交于點(diǎn)RG.

（1）求證：BF=CF-,

（2）若BC=6,DG=4,求PG的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；L5：平行四邊形的性質(zhì)；S9：相似三角形的判

定與性質(zhì).

【專(zhuān)題】55D：圖形的相似.

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AO〃C。，AD=BC,得到△EBFS/XEA。，根

據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明即可；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可.

【解答】（1）證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

J.AD//CD,AD=BC,

.,.△EBFs^EAD,

.BF=EB=1

"ADEA2，

:.BF=^AD=LBC,

22

：.BF=CF；

（2）解：：四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD//CD,

:AFGCsADGA,

.FG=FC即電呈

"DGW~TT

解得，F(xiàn)G=2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形

的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

18.（6分）（2019?張家界）某社區(qū)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種樹(shù)苗進(jìn)行綠化，已知甲種樹(shù)苗每棵30元,

乙種樹(shù)苗每棵20元，且乙種樹(shù)苗棵數(shù)比甲種樹(shù)苗棵數(shù)的2倍少40棵，購(gòu)買(mǎi)兩種樹(shù)苗的

總金額為9000元.

（1）求購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種樹(shù)苗各多少棵？

（2）為保證綠化效果，社區(qū)決定再購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種樹(shù)苗共10棵，總費(fèi)用不超過(guò)230元，

求可能的購(gòu)買(mǎi)方案？

【考點(diǎn)】9A：二元一次方程組的應(yīng)用；C9：一元一次不等式的應(yīng)用.

【專(zhuān)題】521：一次方程（組）及應(yīng)用；524：一元一次不等式（組）及應(yīng)用.

【分析】（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)苗x棵，購(gòu)買(mǎi)乙種樹(shù)苗（2尤-40）棵，由題意可得，30x+20

（2x-40）=9000；

（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲樹(shù)苗y棵，乙樹(shù)苗（10-y）棵，根據(jù)題意可得，30y+20（10-y）W230,

根據(jù)y的范圍確定購(gòu)買(mǎi)方案即可；

【解答】解：（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)苗X棵，購(gòu)買(mǎi)乙種樹(shù)苗（2X-40）棵，

由題意可得，30x+20（2x-40）=9000,

70x=9800,

x=140,

購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)苗140棵，乙種樹(shù)苗240棵；

（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲樹(shù)苗y棵，乙樹(shù)苗（10-y）棵，

根據(jù)題意可得，30v+20（10-y）W230,

10yW30,

；.yW3；

購(gòu)買(mǎi)方案1：購(gòu)買(mǎi)甲樹(shù)苗3棵，乙樹(shù)苗7棵；

購(gòu)買(mǎi)方案2：購(gòu)買(mǎi)甲樹(shù)苗2棵，乙樹(shù)苗8棵；

購(gòu)買(mǎi)方案3：購(gòu)買(mǎi)甲樹(shù)苗1棵，乙樹(shù)苗9棵；

購(gòu)買(mǎi)方案4：購(gòu)買(mǎi)甲樹(shù)苗?？?，乙樹(shù)苗10棵；

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用；能夠準(zhǔn)確列出方程，

根據(jù)題意確定不等式是解題的關(guān)鍵.

19.（6分）（2019?張家界）閱讀下面的材料：

按照一定順序排列著的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).排在第

一位的數(shù)稱(chēng)為第一項(xiàng)，記為小，排在第二位的數(shù)稱(chēng)為第二項(xiàng)，記為。2,依此類(lèi)推，排在

第〃位的數(shù)稱(chēng)為第W項(xiàng)，記為許.所以，數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成：ai,。2,。3,…，

an，….

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)

數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用d表示.如：數(shù)列1,3,

5,7,…為等差數(shù)列，其中。1=1,42=3,公差為d=2.

根據(jù)以上材料，解答下列問(wèn)題：

（1）等差數(shù)列5,10,15,…的公差d為5,第5項(xiàng)是25.

（2）如果一個(gè)數(shù)列。2,。3,…，an-,是等差數(shù)列，且公差為d,那么根據(jù)定義可

至:ci2~。1=d,a3~a2=d,U4~a3=d,,,,,cin***.

所以

ai—ai+d

a3=a2+d=(m+d)+d=m+2d,

O4=a3+d=(fli+2c?)+d=a\+3dt

由此，請(qǐng)你填空完成等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a\+（n-\）d.

（3）-4041是不是等差數(shù)列-5,-7,-9…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？

【考點(diǎn)】37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi).

【專(zhuān)題】2A：規(guī)律型.

【分析】（1）根據(jù)公差定義進(jìn)行計(jì)算得d，再推算第5項(xiàng)便可；

（2）由a2=m+d,。3=。1+2","4=ai+3d…可知:序列號(hào)”比d的系數(shù)小1,故：an—

<71+（n-1）d.

（3）先根據(jù)樣例求出通項(xiàng)公式，再將-4041代入通項(xiàng)公式求出力若w為正整數(shù)就可以

斷定-4041是此等差數(shù)列的某一項(xiàng)，反之則不是.

【解答】解：（1）根據(jù)題意得，1=10-5=5；

Va3=15,

cz4=a3+d—15+5=20,

ci5=aA+d—20+5=25,

故答案為：5；25.

(2)Vai=a\+d

a3—a2+d—(ai+d)+d—a1+2d,

a4=a3+d=(m+2d)+d=a\+3d)

.".an=ai+(w-1)d

故答案為：n-1.

（3）根據(jù)題意得，

等差數(shù)列-5,-7,-9…的項(xiàng)的通項(xiàng)公式為：礪=-5-2（〃-1）,

則-5-21）=-4041,

解之得：71=2019

-4041是等差數(shù)列-5,-7,-9…的項(xiàng)，它是此數(shù)列的第2019項(xiàng).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生的分析、閱讀等自學(xué)能力，解題的關(guān)鍵是要認(rèn)真閱讀題目，理

解題目呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)方法.

20.（6分）（2019?張家界）天門(mén)山索道是世界最長(zhǎng)的高山客運(yùn)索道，位于張家界天門(mén)山景

區(qū).在一次檢修維護(hù)中，檢修人員從索道A處開(kāi)始，沿AC路線對(duì)索道進(jìn)行檢修維

護(hù).如圖：已知A8=500米，8C=800米，與水平線A41的夾角是30°,8C與水平

線的夾角是60°.求：本次檢修中，檢修人員上升的垂直高度CA1是多少米？（結(jié)

果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：73^1,732）

【考點(diǎn)】T8：解直角三角形的應(yīng)用.

【專(zhuān)題】55E：解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】測(cè)不易直接測(cè)量的物體的高度、測(cè)河寬等，關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過(guò)

測(cè)量角的度數(shù)和測(cè)量邊的長(zhǎng)度，計(jì)算出所要求的物體的高度或長(zhǎng)度.根據(jù)題目已知特點(diǎn)

選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案，再轉(zhuǎn)化得到

實(shí)際問(wèn)題的答案.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)2作于點(diǎn)"

在RtZkABH中，A8=500,NBAH=30°,

500=250（米），

：.AiBi=BH=250（米），

在RtZXBBiC中，BC=800,ZCBBi=60°,

.B,CV3

??--,~--sinz^CBB.=sinGO0=—^~,

Dp/U1N

???8IC=^BC=4'X800=40075（米），

檢修人員上升的垂直高度CAi=CBi+AiBi=40073+250^943（米）

答：檢修人員上升的垂直高度CAi為943米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.

21.（7分）（2019?張家界）如圖，A3為。。的直徑，且42=4/5，點(diǎn)C是窟上的一動(dòng)點(diǎn)

（不與A,B重合），過(guò)點(diǎn)8作O。的切線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，點(diǎn)E是3。的中點(diǎn),

連接EC

（1）求證：EC是O。的切線；

（2）當(dāng)/。=30°時(shí)，求陰影部分面積.

【考點(diǎn)】ME：切線的判定與性質(zhì)；MO：扇形面積的計(jì)算.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；14：證明題；55A：與圓有關(guān)的位置關(guān)系；55C：與圓有關(guān)的計(jì)算.

【分析】（1）連接BC,OC,OE,由E是2。的中點(diǎn)，可得CE=BE,證明

OBE,得/OCE=/OBE=90°,則結(jié)論得證；

（2）陰影部分的面積即為四邊形OBED的面積減去扇形COB的面積.

【解答】解：（1）如圖，連接BC,OC,OE,

,：AB為OO的直徑，

AZACB=9Q°,

在RtZXBDC中，?:BE=ED,

：?DE=EC=BE,

VOC=OB,OE=OE,

???△OCE咨LOBE(SSS),

：.ZOCE=ZOBE,

???5。是。。的切線，

ZABZ)=90°,

：.ZOCE=ZABD=90°,

???0C為半徑，

???EC是OO的切線；

(2)?：OA=OB,BE=DE,

J.AD//OE,

：.ND=NOEB,

???/O=30°,

：.ZOEB=30°,ZEOB=60°,

：.ZBOC=120°,

-：AB=4^

：.OB=2M，

???BE=2娟?我二6.

???四邊形OBEC的面積為2SAOBE=2X1-X6X2乃=葭愿，

7T

陰影部分面積為S四邊形QBEC-S扇形BOC=1273-120“x(2a)—=1273-4TT.

360

【點(diǎn)評(píng)】此題綜合考查了直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、切線的判定方法、扇

形的面積計(jì)算方法.

22.（8分）（2019?張家界）為了響應(yīng)市政府號(hào)召，某校開(kāi)展了“六城同創(chuàng)與我同行”活動(dòng)

周，活動(dòng)周設(shè)置了“4文明禮儀，B：生態(tài)環(huán)境，C：交通安全，D：衛(wèi)生保潔”四個(gè)主

題，每個(gè)學(xué)生選一個(gè)主題參與.為了解活動(dòng)開(kāi)展情況，學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)

查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.

（1）本次隨機(jī)調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是60人;

（2）請(qǐng)你補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“8”所在扇形的圓心角等于108度;

（4）小明和小華各自隨機(jī)參加其中的一個(gè)主題活動(dòng)，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方式求他們

恰好選中同一個(gè)主題活動(dòng)的概率.

【考點(diǎn)】VB：扇形統(tǒng)計(jì)圖；VC：條形統(tǒng)計(jì)圖；X6：列表法與樹(shù)狀圖法.

【專(zhuān)題】542：統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用；543：概率及其應(yīng)用.

【分析】（1）用“A”的頻數(shù)除以所占比例即可得出答案；

（2）求出“C”的頻數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；

（3）用360°乘以“B”所占的比例即可；

（4）畫(huà)出樹(shù)狀圖，由概率公式即可得出結(jié)果.

【解答】解：（1）本次隨機(jī)調(diào)查的學(xué)生人數(shù)=15+25%=60人；

故答案為：60；

（2）60-15-18-9=18（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖1所示：

（3）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“8”所在扇形的圓心角=360°xW=108°,

60

故答案為：108；

（4）畫(huà)樹(shù)狀圖如圖2所示：

共有16個(gè)等可能的結(jié)果，

小明和小華恰好選中同一個(gè)主題活動(dòng)的結(jié)果有4個(gè)，

.?.小明和小華恰好選中同一個(gè)主題活動(dòng)的概率=_￡=!

164

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法、扇形統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖；讀懂題意，畫(huà)出樹(shù)

狀圖是解題的關(guān)鍵.

23.(10分)(2019?張家界)已知拋物線y=o?+6x+c(aWO)過(guò)點(diǎn)A(1,0),B(3,0)

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,OC=3.

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)過(guò)點(diǎn)垂足為求證：四邊形AD8M為正方形；

(3)點(diǎn)尸為拋物線在直線BC下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)APBC面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐

標(biāo)；

(4)若點(diǎn)Q為線段OC上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：AQ+^QC是否存在最小值？若存在，求出這

個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題.

【專(zhuān)題】16：壓軸題；31：數(shù)形結(jié)合；48：構(gòu)造法；67：推理能力.

【分析】(1)函數(shù)的表達(dá)式為：y=a(x-1)(x-3)=a(/-4x+3),即可求解；

(2)AM=MB=ABsm45°=y[2=AD=BD,則四邊形為菱形，而/AMB=90°,

即可求解；

(3)S?BC=LPHXOB,即可求解；

2

(4)過(guò)點(diǎn)C作與v軸夾角為30°的直線過(guò)點(diǎn)A作垂足為則WQ=LC。,

2

AQ+LQC最小值=AQ+HQ=A8,即可求解.

2

【解答】解：(1)函數(shù)的表達(dá)式為：y=a(x-1)(x-3)=a(/-4x+3),

即：3。=3,解得：a=l,

故拋物線的表達(dá)式為：y=/-4x+3,

則頂點(diǎn)。(2,-1)；

(2)：OB=OC=4,：.ZOBC^ZOCB=45°,

AM=MB=ABsin450=yf2=AD=BD,

則四邊形AOBM為菱形，而乙4MB=90°,

四邊形ADBM為正方形；

(3)將點(diǎn)8、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：并解得:

直線BC的表達(dá)式為：y=-x+3,

過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H,

設(shè)點(diǎn)尸(x,J?-4.r+3),則點(diǎn)H(x,-尤+3),

則S?BC=LPHXOB=3(-X+3-?+4x-3)=3(-x2+3x),

222

v-2<o,故S#BC有最大值，此時(shí)尤=W,

22

故點(diǎn)尸(鼻，-3)；

24

(4)存在，理由：

如上圖，過(guò)點(diǎn)C作與y軸夾角為30°的直線CH過(guò)點(diǎn)A作AHLCH,垂足為X,

則HQ^CQ,

AQ+LQC最小值

2

直線HC所在表達(dá)式中的左值為直線HC的表達(dá)式為：y=心+3…①

則直線AH所在表達(dá)式中的左值為-

3

則直線AH的表達(dá)式為：y=-1+s,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：

-3

則直線AH的表達(dá)式為：尸-叵c+Y3…②，

-33

聯(lián)立①②并解得：x=IT遮,

4

故點(diǎn)”（1-3M,過(guò)巨），而點(diǎn)A（1,0）,

44

貝I]AH=3&+遍,

4_

即：AQ+LQC的最小值為孑&返.

24

【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、特殊四邊形性質(zhì)、圖形的面積計(jì)

算等，其中（4）,過(guò)點(diǎn)C作與y軸夾角為30°的直線CH,則“。=去（?。是本題的難

點(diǎn).

考點(diǎn)卡片

1.相反數(shù)

（1）相反數(shù)的概念：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù).

（2）相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，不能單獨(dú)存在，從數(shù)軸上看，除0外，互

為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們分別在原點(diǎn)兩旁且到原點(diǎn)距離相等.

（3）多重符號(hào)的化簡(jiǎn)：與“+”個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)，有奇數(shù)個(gè)“-”號(hào)結(jié)果為負(fù)，有偶數(shù)個(gè)“-”

號(hào)，結(jié)果為正.

（4）規(guī)律方法總結(jié)：求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個(gè)數(shù)的前邊添加“-如。的相反

數(shù)是-a,的相反數(shù)是-（m+n）,這時(shí)機(jī)+〃是一個(gè)整體，在整體前面添負(fù)號(hào)時(shí)，要用

小括號(hào).

2.科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù)

（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成。義10"的形式，其中。是整數(shù)數(shù)位只有一位的

數(shù)，〃是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法.【科學(xué)記數(shù)法形式：oXIO",其中l(wèi)Wa<10,

〃為正整數(shù)

（2）規(guī)律方法總結(jié)：

①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來(lái)的整數(shù)

位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)加

②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對(duì)值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用

此法表示，只是前面多一個(gè)負(fù)號(hào).

3.數(shù)學(xué)常識(shí)

數(shù)學(xué)常識(shí)

此類(lèi)問(wèn)題要結(jié)合實(shí)際問(wèn)題來(lái)解決，生活中的一些數(shù)學(xué)常識(shí)要了解.比如給出一個(gè)物體的高度

要會(huì)選擇它合適的單位長(zhǎng)度等等.

平時(shí)要注意多觀察，留意身邊的小知識(shí).

4.實(shí)數(shù)的運(yùn)算

（1）實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、

乘方運(yùn)算，又可以進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開(kāi)平方.

（2）在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開(kāi)方，再算

乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到有的順序進(jìn)行.

另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實(shí)數(shù)運(yùn)算的“三個(gè)關(guān)鍵”

I.運(yùn)算法則：乘方和開(kāi)方運(yùn)算、幕的運(yùn)算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運(yùn)算、根

式運(yùn)算、特殊三角函數(shù)值的計(jì)算以及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)等.

2.運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，在同一級(jí)運(yùn)算中要從

左到右依次運(yùn)算，無(wú)論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算.

3.運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度.

5.合并同類(lèi)項(xiàng)

（1）定義：把多項(xiàng)式中同類(lèi)項(xiàng)合成一項(xiàng)，叫做合并同類(lèi)項(xiàng).

（2）合并同類(lèi)項(xiàng)的法則：把同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不

變.

（3）合并同類(lèi)項(xiàng)時(shí)要注意以下三點(diǎn)：

①要掌握同類(lèi)項(xiàng)的概念，會(huì)辨別同類(lèi)項(xiàng)，并準(zhǔn)確地掌握判斷同類(lèi)項(xiàng)的兩條標(biāo)準(zhǔn)：帶有相同

系數(shù)的代數(shù)項(xiàng)；字母和字母指數(shù)；

②明確合并同類(lèi)項(xiàng)的含義是把多項(xiàng)式中的同類(lèi)項(xiàng)合并成一項(xiàng)，經(jīng)過(guò)合并同類(lèi)項(xiàng)，式的項(xiàng)數(shù)

會(huì)減少，達(dá)到化簡(jiǎn)多項(xiàng)式的目的；

③“合并”是指同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)的相加，并把得到的結(jié)果作為新的系數(shù)，要保持同類(lèi)項(xiàng)的字

母和字母的指數(shù)不變.

6.規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi)

探究題是近幾年中考命題的亮點(diǎn)，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要

求在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

（1）探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類(lèi)問(wèn)題的方法.

（2）利用方程解決問(wèn)題.當(dāng)問(wèn)題中有多個(gè)未知數(shù)時(shí)，可先設(shè)出其中一個(gè)為無(wú)，再利用它們

之間的關(guān)系，設(shè)出其他未知數(shù)，然后列方程.

7.同底數(shù)塞的乘法

（1）同底數(shù)累的乘法法則：同底數(shù)塞相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

1m+n（m,"是正整數(shù)）

（2）推廣：am-an-aP=am+n+P",n,p都是正整數(shù)）

在應(yīng)用同底數(shù)累的乘法法則時(shí)，應(yīng)注意：①底數(shù)必須相同，如23與25,（/.）3與（°2.）

4,（x-y）2與（尤-y）3等；②0可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式；③按照運(yùn)算性質(zhì)，只

有相乘時(shí)才是底數(shù)不變，指數(shù)相加.

（3）概括整合：同底數(shù)幕的乘法，是學(xué)習(xí)整式乘除運(yùn)算的基礎(chǔ)，是學(xué)好整式運(yùn)算的關(guān)鍵.在

運(yùn)用時(shí)要抓住“同底數(shù)”這一關(guān)鍵點(diǎn)，同時(shí)注意，有的底數(shù)可能并不相同，這時(shí)可以適當(dāng)變

形為同底數(shù)幕.

8.暴的乘方與積的乘方

（1）幕的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

（/）"=*（1,a是正整數(shù)）

注意：①幕的乘方的底數(shù)指的是幕的底數(shù)；②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是幕的指數(shù)與乘方

的指數(shù)相乘，這里注意與同底數(shù)塞的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別.

（2）積的乘方法則：把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的累相乘.

Cab）n=anbn（〃是正整數(shù)）

注意：①因式是三個(gè)或三個(gè)以上積的乘方，法則仍適用；②運(yùn)用時(shí)數(shù)字因數(shù)的乘方應(yīng)根據(jù)

乘方的意義，計(jì)算出最后的結(jié)果.

9.完全平方公式

（1）完全平方公式：（?！?）2=。2±2而+廬.

可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”.

（2）完全平方公式有以下幾個(gè)特征：①左邊是兩個(gè)數(shù)的和的平方；②右邊是一個(gè)三項(xiàng)式，

其中首末兩項(xiàng)分別是兩項(xiàng)的平方，都為正，中間一項(xiàng)是兩項(xiàng)積的2倍；其符號(hào)與左邊的運(yùn)算

符號(hào)相同.

（3）應(yīng)用完全平方公式時(shí)，要注意：①公式中的°,6可是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式；②

對(duì)形如兩數(shù)和（或差）的平方的計(jì)算，都可以用這個(gè)公式；③對(duì)于三項(xiàng)的可以把其中的兩

項(xiàng)看做一項(xiàng)后，也可以用完全平方公式.

10.提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用

提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.

11.分式的化簡(jiǎn)求值

先把分式化簡(jiǎn)后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值.

在化簡(jiǎn)的過(guò)程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡(jiǎn).化簡(jiǎn)的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注

意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式.

【規(guī)律方法】分式化簡(jiǎn)求值時(shí)需注意的問(wèn)題

1.化簡(jiǎn)求值，一般是先化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)分式或整式，再代入求值.化簡(jiǎn)時(shí)不能跨度太大，而缺

少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當(dāng)…時(shí)，原式=

2.代入求值時(shí)，有直接代入法，整體代入法等常用方法.解題時(shí)可根據(jù)題目的具體條件選

擇合適的方法.當(dāng)未知數(shù)的值沒(méi)有明確給出時(shí)，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式

都有意義，且除數(shù)不能為0.

12.零指數(shù)幕

零指數(shù)塞：a°=l（。。0）

由a皿+。m=a"L'"=a°可推出a°=l（aWO）

注意：00WL

13.二元一次方程組的應(yīng)用

（一）、列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：

（1）審題：找出問(wèn)題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系.

（2）設(shè)元：找出題中的兩個(gè)關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來(lái).

（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個(gè)等量關(guān)系，列出方程組.

（4）求解.

（5）檢驗(yàn)作答：檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義，并作答.

（二）、設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元.

當(dāng)問(wèn)題較復(fù)雜時(shí)，有時(shí)設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元.無(wú)論怎

樣設(shè)元，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就要列幾個(gè)方程.

14.一元二次方程的應(yīng)用

1、列方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，檢驗(yàn)和作答.

2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見(jiàn)問(wèn)題：

（1）數(shù)字問(wèn)題：個(gè)位數(shù)為a,十位數(shù)是b,則這個(gè)兩位數(shù)表示為106+a.

（2）增長(zhǎng)率問(wèn)題：增長(zhǎng)率=增長(zhǎng)數(shù)量/原數(shù)量X100%.如：若原數(shù)是a,每次增長(zhǎng)的百分率

為x,則第一次增長(zhǎng)后為a（1+尤）；第二次增長(zhǎng)后為a（1+x）2,即原數(shù)X（1+增長(zhǎng)百分率）

2=后來(lái)數(shù).

（3）形積問(wèn)題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長(zhǎng).②利用三角形、

矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程.③利用

相似三角形的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過(guò)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，得到一元二次方

程.

（4）運(yùn)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：物體運(yùn)動(dòng)將會(huì)沿著一條路線或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會(huì)

構(gòu)成直角三角形，可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解.

【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”

1.審：理解題意，明確未知量、己知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.

2.設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù).

3.歹！J：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程.

4.解：準(zhǔn)確求出方程的解.

5.驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問(wèn)題.

6.答：寫(xiě)出答案.

15.在數(shù)軸上表示不等式的解集

用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要注意“兩定”：

一是定界點(diǎn)，一般在數(shù)軸上只標(biāo)出原點(diǎn)和界點(diǎn)即可.定邊界點(diǎn)時(shí)要注意，點(diǎn)是實(shí)心還是空心,

若邊界點(diǎn)含于解集為實(shí)心點(diǎn)，不含于解集即為空心點(diǎn)；

二是定方向，定方向的原則是：''小于向左，大于向右”.

【規(guī)律方法】不等式解集的驗(yàn)證方法

某不等式求得的解集為x>a,其驗(yàn)證方法可以先將a代入原不等式，則兩邊相等，其

次在無(wú)>。的范圍內(nèi)取一個(gè)數(shù)代入原不等式，則原不等式成立.

16.一元一次不等式的應(yīng)用

（1）由實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)解不等式可以

得到實(shí)際問(wèn)題的答案.

（2）列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過(guò)”、“不低于”等詞來(lái)體現(xiàn)問(wèn)題中

的不等關(guān)系.因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵.

（3）列一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題的方法和步驟：

①弄清題中數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù).

②根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式.

③解不等式，求出解集.

④寫(xiě)出符合題意的解.

17.解一元一次不等式組

(1)一元一次不等式組的解集：幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組

成的不等式組的解集.

(2)解不等式組：求不等式組的解集的過(guò)程叫解不等式組.

(3)一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時(shí)，一般先求出其中各不等式的解集,

再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集.

方法與步驟：①求不等式組中每個(gè)不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分.

解集的規(guī)律：同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到.

18.規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)

規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo).

19.反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

反比例函數(shù)y=g(左為常數(shù)，k手0)的圖象是雙曲線，

①圖象上的點(diǎn)(尤，y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值上即孫=心

②雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，兩個(gè)分支上的點(diǎn)也是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；

③在y=klx圖象中任取一點(diǎn)，過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形

的面積是定值I川.

20.二次函數(shù)綜合題

(1)二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問(wèn)題

解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號(hào)，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系

式中系數(shù)的符號(hào)，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即

為正確選項(xiàng).

(2)二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用

將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起.這類(lèi)試題一般難度較大.解這類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵

是善于將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí),

并注意挖掘題目中的一些隱含條件.

(3)二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用題

從實(shí)際問(wèn)題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型.關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立

直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的

取值范圍要使實(shí)際問(wèn)題有意義.

21.平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理1:兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同位角

相等.

定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)..簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同旁

內(nèi)角互補(bǔ).

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等.簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角

相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

22.全等三角形的判定與性質(zhì)

（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔

助線構(gòu)造三角形.

23.角平分線的性質(zhì)

角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段

相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角

平分線的性質(zhì)語(yǔ)言：如圖，在/A08的平分線上，CD±OA,CE1OB：.CD=CE

24.等邊三角形的判定與性質(zhì)

（1）等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ),

它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件.同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形,

同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用.

（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對(duì)稱(chēng)軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成

含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形

等.

（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，?/p>

般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過(guò)三條邊相等判定、通過(guò)三個(gè)角相等判定；若從等腰三角

形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60°的角判定.

25.平行四邊形的性質(zhì)

（1）平行四邊形的概念：有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

（2）平行四邊形的性質(zhì)：

①邊：平行四邊形的對(duì)邊相等.

②角：平行四邊形的對(duì)角相等.

③對(duì)角線：平行四邊形的對(duì)角線互相平分.

（3）平行線間的距離處處相等.

（4）平行四邊形的面積：

①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的積.

②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等.

26.菱形的性質(zhì)

（1）菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

（2）菱形的性質(zhì)

①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

②菱形的四條邊都相等；

③菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

④菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有2條對(duì)稱(chēng)軸，分別是兩條對(duì)角線所在直線.

（3）菱形的面積計(jì)算

①利用平行四邊形的面積公式.

②菱形面積=專(zhuān)湖.（。、6是兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度）

27.正方形的性質(zhì)

（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.

（2）正方形的性質(zhì)

①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；

②正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).

④兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形,

有四條對(duì)稱(chēng)軸.

28.切線的判定與性質(zhì)

（1）切線的性質(zhì)

①圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn).

③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心.

（2）切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

（3）常見(jiàn)的輔助線的：

①判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過(guò)圓心作這條直線的垂線”；

②有切線時(shí)，常?！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”.

29.扇形面積的計(jì)算

（1）圓面積公式：S=TTJ

（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形.

（3）扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是,圓的半徑為R的扇形面積為S,則

s扇形=—^―冗網(wǎng)或S扇形（其中/為扇形的弧長(zhǎng)）

3602

（4）求陰影面積常用的方法：

①直接用公式法；

②和差法；

③割補(bǔ)法.

（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.

30.軸對(duì)稱(chēng)圖形

（1）軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念：

如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形,

這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸，這時(shí)，我們也可以說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱(chēng).

（2）軸對(duì)稱(chēng)圖形是針對(duì)一個(gè)圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的

兩部分沿著對(duì)稱(chēng)軸折疊時(shí)，互相重合；軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸可以是一條，也可以是多條甚至

無(wú)數(shù)條.

（3）常見(jiàn)的軸對(duì)稱(chēng)圖形：

等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等.

31.中心對(duì)稱(chēng)圖形

(1)定