行列式的主要性質(zhì)

行列式的主要性質(zhì)行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.

表示符號(hào):DT或求法:將原行列式的各行的元順次變?yōu)榘戳信帕泻笏玫降男辛惺?

或:以對角線為對稱軸,對應(yīng)的各元素互換位置后所得記【轉(zhuǎn)置行列式】一、概念及性質(zhì)第2頁,共32頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等證明按定義又因?yàn)樾辛惺紻可表示為故證畢表述之二:

行列式的行與列順次互換，其值不變表述之三:

行列互換,其值不變第3頁,共32頁，2024年2月25日，星期天說明行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.性質(zhì)2互換行列式的兩行(列),行列式變號(hào)，即第4頁,共32頁，2024年2月25日，星期天證明設(shè)行列式B是由行列式變換兩行得到的,在B中任取一項(xiàng),并將其各元按B中的自然順序排列成:

因此它在B中的符號(hào)是顯然項(xiàng)(*)也是A中的項(xiàng),且按A中行的自然順序排列它的元,則該項(xiàng)目應(yīng)為:于是第5頁,共32頁，2024年2月25日，星期天則有|B|=-|A|證畢例如又由于B中不同的項(xiàng)也是A中不同的項(xiàng),于是:第6頁,共32頁，2024年2月25日，星期天在計(jì)算行列式時(shí),可以使用如下記號(hào)以便檢查:符號(hào)規(guī)定2、第i行(或列)提出公因子k

記作ri

k(或ci

k)

1、交換i

j兩行記作ri

rj

交換i

j兩列記作ci

cj

3、以數(shù)k乘第j行(列)加到第i行(列)上

記作ri

krj(ci

kcj)

第7頁,共32頁，2024年2月25日，星期天推論如果行列式有

兩行（列）完全相同，

則該行列式為零，即互換相同的兩行，有證明第8頁,共32頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)3如果行列式某一行(列)有公因子k時(shí)，等于用數(shù)k乘此行列式.推論行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式記號(hào)的外面.注:第i行(或列)提出公因子k

記作ri

k(或ci

k)

注:

第i行(或列)乘以公因子k

記作ri

k(或ci

k)

第9頁,共32頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)4

(i)行列式的某行(列)的元全為零;(ii)行列式的兩行(列)完全相同;(iii)如果行列式有兩行（列）成比例，若上述條件之一成立,則該行列式為零。第10頁,共32頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)5如果行列式某行(列)的所有元素都是兩數(shù)之和，則該行列式為兩行列式之和，即+

第11頁,共32頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)６

把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行(列)對應(yīng)的元素上去，行列式不變．例如第12頁,共32頁，2024年2月25日，星期天推論:當(dāng)某一行(或列)的元素為兩數(shù)之和,行列式關(guān)于該行(或列)可分解為兩個(gè)行列式;

若n階行列式的每個(gè)元素都表示成兩數(shù)之和,則可分解為2n個(gè)行列式之和.例如第13頁,共32頁，2024年2月25日，星期天說明：行列式的6個(gè)性質(zhì)(行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立).利用上述性質(zhì)對行列式進(jìn)行行變換，可以化簡行列式的計(jì)算，計(jì)算行列式常用方法：(1)利用定義;(2)利用行列式關(guān)于行或列的三種運(yùn)算(ri

rj、ri

k、

ri

krj

)或(ci

cj、ci

k、ci

kcj

);(3)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值;(4)降階法.(行列式展開定理,見第6節(jié)).二、行列式計(jì)算方法及實(shí)例分析第14頁,共32頁，2024年2月25日，星期天課本例題p12例題1計(jì)算行列式解:第15頁,共32頁，2024年2月25日，星期天例2計(jì)算行列式解:

法1:(按行變換)將第一行減去第二行,第三行減去第四行得到:法2:(按列變換)

將第三列加到減去第一列,第四列減去第二列得到:（第一、三行成比例）

性質(zhì)4(iii)（第一、二列成比例）性質(zhì)4(iii)第16頁,共32頁，2024年2月25日，星期天例3計(jì)算2n行列式

其中未寫出的元素為0解:將D2n中的第2n行依次與第2n-1行、…、第2行對調(diào)(做2n-2相鄰對換),再把第2n列依次與第2n-1列…第2列對調(diào),得到:第17頁,共32頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)例10結(jié)果,有:以次作為遞推公式,即得:第18頁,共32頁，2024年2月25日，星期天例3求解分析:法1

利用三角形行列式性質(zhì)求解

第19頁,共32頁，2024年2月25日，星期天第20頁,共32頁，2024年2月25日，星期天第21頁,共32頁，2024年2月25日，星期天第22頁,共32頁，2024年2月25日，星期天物電學(xué)院線性代數(shù)第23頁,共32頁，2024年2月25日，星期天物電學(xué)院線性代數(shù)例4計(jì)算解法1:利用行列式性質(zhì)4(iii)

第24頁,共32頁，2024年2月25日，星期天物電學(xué)院線性代數(shù)例4計(jì)算解法2:利用三角形行列式性質(zhì)第25頁,共32頁，2024年2月25日，星期天例5計(jì)算n階行列式解法1行列式的主對角線上的元全為a，其余全為b,現(xiàn)將2,3,…,n列都加到第一列上,然后提出第一列的公因子a+(n-1)b,得到:第26頁,共32頁，2024年2月25日，星期天解法2將D的第2,3,…,n行均減去第一行,得到:第27頁,共32頁，2024年2月25日，星期天解法3將D的各列表為兩個(gè)子列之和,得到:將上式展開有2n項(xiàng)行列式之和，其中：

1）每個(gè)行列式的列僅為原行列式中該列的一個(gè)子列，這些行列式若有兩列均為原行列式的第一子列則為零，去掉為零的行列式后還有n+1個(gè)行列式。

2）僅有一列為第一子列的行列式n個(gè)，

每列均為第二子列的行列式1個(gè)。第28頁,共32頁，2024年2月25日，星期天僅當(dāng)?shù)趈列是原行列式中對應(yīng)的第一子列，而其他列為原行列式的第二子列，則行列式為：且這類行列式共有n+1個(gè).將其第j行的（-1）倍加到行列式的各行上，于是，得到上三角形行列式：第29頁,共