(完整版)常微分方程學(xué)習(xí)活動3-第一章初等積分法的綜合練習(xí)(文檔)

PAGE1PAGE常微分方程學(xué)習(xí)活動3第一章初等積分法的綜合練習(xí)本課程形成性考核綜合練習(xí)共3次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習(xí)、第二章基本定理的綜合練習(xí)、第三章和第四章的綜合練習(xí)，目的是通過綜合性練習(xí)作業(yè)，同學(xué)們可以檢驗自己的學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識點，重點復(fù)習(xí)，爭取盡快掌握．要求：首先請同學(xué)們下載作業(yè)附件文檔并進行填寫，文檔填寫完成后請在本次作業(yè)頁面中點擊“去完成”按鈕進入相應(yīng)網(wǎng)頁界面完成任務(wù)，然后請將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會在課程中進行評分。一、填空題1．微分方程是二階微分方程．2．初值問題的解所滿足的積分方程是．3．微分方程是一階線性非齊次微分方程．（就方程可積類型而言）4．微分方程是全微分方程．（就方程可積類型而言）5．微分方程是恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程．（就方程可積類型而言）6．微分方程的所有常數(shù)解是．7．微分方程的常數(shù)解是．8．微分方程的通解為．9．微分方程的通解是．.10．一階微分方程的一個特解的圖像是二維空間上的一條曲線．二、計算題1．指出下列方程的階數(shù)，是否是線性方程：（1）（2）（3）答（1）一階，非線性；（2）四階，線性；（3)三階，非線性.2．用分離變量法求解下列方程：（1）（2）（3）（1）解通積分為（2）解當(dāng)時，分離變量，兩端取積分得即通積分為另外，是常數(shù)解，注:在方程求解時，求出顯式通解或隱式通解（通積分）即可，常數(shù)解可以不求。（3）解當(dāng)時,方程可變?yōu)椋ǚe分為或,上式代入初值條件.得.于是初值問題解為.3．解下列齊次線性微分方程（1）（2）（1）解顯然是方程的解.當(dāng)時,原方程可化為.令,則原方程可化為,即易于看出,是上面方程的解,從而是原方程的解.當(dāng)時,分離變量得,.兩端積分得(C)將換成,便得到原方程的解,(C).故原方程的通解為（為任意常數(shù)）及.（2）解顯然是方程的解.當(dāng)時,原方程可化為.令,則原方程可化為,即易于看出,是上式的解,從而是原方程的解.當(dāng)時,分離變量得,.兩端積分得(C).將換成,便得到原方程的解(C).故原方程的通解為.4．解下列一階線性微分方程：（1）（2）（1）解先解齊次方程.其通解為.用常數(shù)變易法,令非齊次方程通解為.代入原方程,化簡后可得.積分得到.代回后即得原方程通解為.（2）解先解齊次方程.其通解為.用常數(shù)變易法,令非齊次方程通解為.代入原方程,化簡后可得.積分得到.代回后即得原方程通解為.5．解下列伯努利方程（1）（2）（1）解顯然是方程解.當(dāng)時,兩端同除,得.令,代入有它的解為于是原方程的解為，及（2）解顯然是方程解.當(dāng)時,兩端同除,得.令,代入有它的解為，于是原方程的解，及6．解下列全微分方程：（1）（2）（1）解因為,所以這方程是全微分方程,及在整個平面都連續(xù)可微,不妨選取.故方程的通積分為,即.（2）解因為,所以這方程是全微分方程,及在整個平面都連續(xù)可微,不妨選取.故方程的通積分為,即.7．求下列方程的積分因子和積分：（1）（2）（1）解因為,與y無關(guān),故原方程存在只含x的積分因子.由公式（1.58）得積分因子，即于是方程為全微分方程.取.于是方程的通積分為.即.（2）解因為,與y無關(guān),故原方程存在只含x的積分因子.解方程由公式（1.58）得積分因子，即于是方程為全微分方程.取.于是通積分為.即.8．求解下列一階隱式微分方程（1）（2）（1）解將方程改寫為即或解得通積分為：,又是常數(shù)解.（2）解顯然是方程的解.當(dāng)時,方程可變?yōu)?令,則上面的式子可變?yōu)?解出u得,.即.對上式兩端積分得到方程的通解為9．求解下列方程（1）（2）（1）解令,則.代入原式得.解出得.這是克萊洛方程，通解為.即.解之得（為任意常數(shù)）.（2）解化簡得，即求積分得..三、證明題1．設(shè)函數(shù)，在上連續(xù)，且，（a,b為常數(shù)）．求證：方程的一切解在上有界．證明設(shè)y=y(x)是方程任一解，且滿足y(x0)=y0,則由于，所以對任意ε＞0,存在＞x0,使得x＞時有令，則于是得到又在[x0，x1]上y(x)有界設(shè)為M2，現(xiàn)取，則2．設(shè)在上連續(xù)，且，求證：方程的一切解，均有．證明設(shè)是方程任一解，滿足，該解的表達式為取極限=四、應(yīng)用題1．按牛頓冷卻定律：物體在空氣中冷卻的速度與物體溫度和空氣溫度之差成正比,已知空氣溫度為,而物體在15分鐘內(nèi)由冷卻到,求物體冷卻到所需的時間.解設(shè)物體在時刻t的溫度為，由題意滿足初值問題其中為常數(shù)．解得設(shè)物體冷卻到40℃所需時間為，于是由得解得52分鐘.2．重為100kg的物體，在與水平面成30的斜面上由靜止?fàn)顟B(tài)下滑，如