2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試專題13函數(shù)與方程學(xué)生版

專題13函數(shù)與方程一、【知識(shí)梳理】【考綱要求】1.理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系.2.理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.3.了解用二分法求方程的近似解.【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)概念：對(duì)于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn).(2)函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)、對(duì)應(yīng)方程的根的關(guān)系：2.函數(shù)零點(diǎn)存在定理(1)條件：①函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；②f(a)·f(b)<0.(2)結(jié)論：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的解.【常用結(jié)論】1.若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)“點(diǎn)”，而是方程f(x)＝0的實(shí)根.2.由函數(shù)y＝f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)·f(b)<0，如圖所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件.3.周期函數(shù)如果有零點(diǎn)，則必有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn).【方法技巧】1.確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法：(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合法：若一個(gè)函數(shù)(或方程)由兩個(gè)初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如f(x)＝g(x)－h(huán)(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的圖象，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn).2.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定有下列幾種方法(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).(2)零點(diǎn)存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).(3)畫兩個(gè)函數(shù)圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).3.已知函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)，主要方法有：①直接求方程的根，構(gòu)建方程(不等式)求參數(shù)；②數(shù)形結(jié)合；③分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.4.已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，需準(zhǔn)確畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍.5.函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)畫圖分析圖象的特征、圖象間的關(guān)系解決問(wèn)題，提升直觀想象核心素養(yǎng).二、【題型歸類】【題型一】函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定【典例1】已知函數(shù)f(x)＝eq\f(6,x)－log2x.在下列區(qū)間中，包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，4) D．(4，＋∞)【典例2】函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(2,x)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()A．(1，2) B．(2，3)C．(1，e)和(3，4) D．(e，＋∞)【典例3】(多選)函數(shù)f(x)＝ex－x－2在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)【題型二】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定【典例1】已知函數(shù)f(x)＝|lnx|，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，0＜x≤1，,|x2－4|－2，x＞1，))則方程|f(x)＋g(x)|＝1實(shí)根的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．【典例2】的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________．【典例3】函數(shù)f(x)＝|x－2|－lnx在定義域內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3【題型三】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)【典例1】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x2＋2x|，x≤0，,\f(1,x)，x>0，))若關(guān)于x的方程f(x)－a(x＋3)＝0有四個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，4－2eq\r(3)) B．(4＋2eq\r(3)，＋∞)C．[0,4－2eq\r(3)] D．(0,4－2eq\r(3))【典例2】若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))【典例3】已知函數(shù)若關(guān)于x的方程f(x)＝k有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______．【題型四】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù)【典例1】已知函數(shù)f(x)＝3x－eq\f(1＋ax,x).若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))C．(－∞，0) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))【典例2】若函數(shù)f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(－1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，則m的取值范圍是________．【典例3】若函數(shù)f(x)＝3ax＋1－2a在區(qū)間(－1，1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)>eq\f(1,5) B．a(chǎn)>eq\f(1,5)或a<－1C．－1<a<eq\f(1,5) D．a(chǎn)<－1三、【培優(yōu)訓(xùn)練】【訓(xùn)練一】若關(guān)于x的方程eq\f(|x|,x＋4)＝kx2有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則k的取值范圍為()A．(0,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)) D．(1，＋∞)【訓(xùn)練二】已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|<n，則稱函數(shù)f(x)與g(x)互為“n度零點(diǎn)函數(shù)”．若f(x)＝32－x－1與g(x)＝x2－aex互為“1度零點(diǎn)函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．【訓(xùn)練三】設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝x3.又函數(shù)g(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(xcos（πx）))，則函數(shù)h(x)＝g(x)－f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．5 B．6 C．7 D．8【訓(xùn)練四】已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，f(0)＝0，且x>0時(shí)，f(x)是增函數(shù)，f(3)＝0，則函數(shù)g(x)＝f(x)＋lg|x＋1|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．【訓(xùn)練五】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2|log2x|，0<x≤2，,x－3x－4，x>2，))若f(x)＝m有四個(gè)零點(diǎn)a，b，c，d，求abcd的取值范圍．【訓(xùn)練六】已知函數(shù)f(x)＝－x2－2x，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4x)，x＞0，,x＋1，x≤0，))若方程g(f(x))－a＝0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.四、【強(qiáng)化測(cè)試】【單選題】1.函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(2,x－1)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,5)2.已知x＝a是函數(shù)的零點(diǎn)，若0<x0<a，則f(x0)的值滿足()A．f(x0)＝0 B．f(x0)>0C．f(x0)<0 D．f(x0)的符號(hào)不確定3.函數(shù)f(x)＝x·cos2x在區(qū)間[0,2π]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．2B．3C．4D．54.若函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)5.已知函數(shù)f(x)＝x2－2|x|－m的零點(diǎn)有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A．(－1，0) B．{－1}∪(0，＋∞)C．[－1，0)∪(0，＋∞) D．(0，1)6.已知函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－eq\f(1,\r(x))的零點(diǎn)依次為a，b，c，則()A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<c7.函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))8.若a＜b＜c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間()A．(a，b)和(b，c)內(nèi)B．(－∞，a)和(a，b)內(nèi)C．(b，c)和(c，＋∞)內(nèi)D．(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)【多選題】9.若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤0，,lnx，x>0))有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值可能為()A．－1B.eq\f(1,2)C．1D．210.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－2x，x≤0，,|log2x|，x>0，))若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝k，則下列結(jié)論正確的是()A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1C．1<x4<2 D．0<k<111.已知函數(shù)f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，給出下列命題，其中是真命題的是()A．若a2－b≤0，則f(x)在區(qū)間[a，＋∞)上是增函數(shù)B．存在a∈R，使得f(x)為偶函數(shù)C．若f(0)＝f(2)，則f(x)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱D．若a2－b－2＞0，則函數(shù)h(x)＝f(x)－2有2個(gè)零點(diǎn)12.下列說(shuō)法中正確的是()A．函數(shù)f(x)＝x＋1的零點(diǎn)為(－1，0)B．函數(shù)f(x)＝x＋1的零點(diǎn)為－1C．函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，即函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)D．函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，即函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)【填空題】13.函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx－x2＋2x，x>0，,4x＋1，x≤0))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________．14.若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤0，,lnx，x>0))有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．15.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x>0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是________．16.函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln（－x－1），x<－1，,2x＋1，x≥－1，))若函數(shù)g(x)＝f(f(x))－a有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【解答題】17.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))(x>0)．(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；(2)當(dāng)0<a<b，且f(a)＝f(b)時(shí)，求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值；(3)若方程f(x)＝m有兩個(gè)不相等的正根，求m的取值范圍．18.已知函數(shù)f(x)＝－x2－2x，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4x)，x>0，,x＋1，x≤0.))(1)求g[f(1)]的值；(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．19.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,log2x，x>0，))求函數(shù)y＝f(f(x))＋1的所有零點(diǎn)構(gòu)成的集合．20.若函數(shù)f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．21.已知二次函數(shù)f(