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專(zhuān)題40二項(xiàng)分布與正態(tài)分布(理科)(核心考點(diǎn)精講精練)1.近幾年真題考點(diǎn)分布概率與統(tǒng)計(jì)近幾年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2022年全國(guó)乙(文科),第4題,5分莖葉圖計(jì)算平均數(shù)、中位數(shù)、概率2022年全國(guó)乙(文科),第14題,5分計(jì)數(shù)原理、排列、組合與概率2022年全國(guó)乙(理科),第10題,5分互斥事件、獨(dú)立事件求概率2022年全國(guó)乙(理科),第13題,5分計(jì)數(shù)原理、排列、組合與概率2022年全國(guó)乙(理科),第19題,12分2022年全國(guó)乙(文科),第19題,12分(1)求平均數(shù);(2)求相關(guān)系數(shù)(3)估算樣本量2022年全國(guó)甲(文科),第17題,12分(1)求概率;(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)2022年全國(guó)甲(文科),第6題,5分古典概型2022年全國(guó)甲(理科),第19題,12分(1)求概率;(2)離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望2022年全國(guó)甲(理科),第15題,5分古典概型立體幾何2022年全國(guó)甲(理科),第2題,5分2022年全國(guó)甲(文科),第2題,5分眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)比較,求極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差2023年全國(guó)乙(文科),第9題,5分計(jì)數(shù)原理、排列、組合與概率2023年全國(guó)乙(理科),第5題,5分2023年全國(guó)乙(文科),第7題,5分幾何概型圓環(huán)面積2023年全國(guó)乙(理科),第9題,5分計(jì)數(shù)原理與排列、組合2023年全國(guó)乙(理科),第17題,12分2023年全國(guó)乙(文科),第17題,12分(1)求樣本平均數(shù),方差;(2)統(tǒng)計(jì)新定義2023年全國(guó)甲(文科),第4題,5分計(jì)數(shù)原理、排列、組合與概率2023年全國(guó)甲(理科),第6題,5分條件概率2023年全國(guó)甲(理科),第9題,5分計(jì)數(shù)原理與排列、組合2023年全國(guó)甲(理科),第19題,12分(1)離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望;(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)2023年全國(guó)甲(文科),第20題,12分(1)求樣本平均數(shù);(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.二項(xiàng)分布與正態(tài)分布的關(guān)系主要在于當(dāng)二項(xiàng)分布的足夠大時(shí),其成功次數(shù)和失敗次數(shù)的概率分布可以近似為正態(tài)分布。通過(guò)正態(tài)分布的概率密度函數(shù),可以計(jì)算出二項(xiàng)分布中成功的概率落在某個(gè)范圍內(nèi)的概率。因此,二項(xiàng)分布和正態(tài)分布在一定程度上是相關(guān)的;2.二項(xiàng)分布的分布律為,,二項(xiàng)分布在不考慮其結(jié)果的順序時(shí),可用于對(duì)部分統(tǒng)計(jì)量的似然估計(jì);【備考策略】1.理解二項(xiàng)分布、超幾何分布的概念,能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2.了解正態(tài)分布的概念,并能借助正態(tài)分布曲線進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用.【命題預(yù)測(cè)】1.二項(xiàng)分布和正態(tài)分布是概率論中的重要概念,它們之間存在一定的關(guān)系。在二項(xiàng)分布中,每個(gè)試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果,即成功和失敗,而在正態(tài)分布中,每個(gè)隨機(jī)變量的取值都呈對(duì)稱(chēng)分布;2.對(duì)于二項(xiàng)分布和正態(tài)分布之間的命題預(yù)測(cè),需要結(jié)合具體的問(wèn)題背景和數(shù)據(jù)特征進(jìn)行分析;知識(shí)講解一、二項(xiàng)分布1.重伯努利試驗(yàn)的特征(1)同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做次;(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.2.二項(xiàng)分布一般地,在重伯努利試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為,用表示事件發(fā)生的次數(shù),則的分布列為,.

如果隨機(jī)變量的分布列具有上式的形式,那么稱(chēng)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,記作.

3.二項(xiàng)分布的期望、方差如果~,那么,.

二、超幾何分布1.超幾何分布一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有件,其中有件次品.從件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件(不放回),用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù),則的分布列為,.

其中,,,.如果隨機(jī)變量的分布列具有上式的形式,那么稱(chēng)隨機(jī)變量服從超幾何分布.2.超幾何分布的期望設(shè)隨機(jī)變量服從超幾何分布,則.

三、正態(tài)分布1.正態(tài)分布函數(shù),其中為參數(shù),稱(chēng)為正態(tài)密度函數(shù),的圖象為正態(tài)密度曲線,簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)曲線.若隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)為,則稱(chēng)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,記作~.

特別地,當(dāng)時(shí),稱(chēng)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.2.正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線是單峰的,它關(guān)于直線對(duì)稱(chēng);(2)曲線在處達(dá)到峰值;(3)當(dāng)無(wú)限增大時(shí),曲線無(wú)限接近軸.3.假設(shè)~,可以證明:對(duì)給定的,是一個(gè)只與有關(guān)的定值.特別地,(1);

(2);

(3).

在實(shí)際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取中的值,這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱(chēng)為原則.二項(xiàng)分布滿(mǎn)足的條件1.每次試驗(yàn)中,同一事件發(fā)生的概率是相同的;2.各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的;3.每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果,即事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生;4.隨機(jī)變量是這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù).解此類(lèi)題時(shí)常用互斥事件概率加法公式,相互獨(dú)立事件概率乘法公式及對(duì)立事件的概率公式.解決超幾何分布問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)超幾何分布是概率分布的一種形式,一定要注意公式中字母的范圍及其意義,解決問(wèn)題時(shí)可以直接利用公式求解,但不能機(jī)械地記憶;(2)超幾何分布中,只要知道就可以利用公式求出取不同的概率,從而求出的分布列.解決正態(tài)分布問(wèn)題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):(1)對(duì)稱(chēng)軸;(2)標(biāo)準(zhǔn)差;(3)分布區(qū)間.利用對(duì)稱(chēng)性可求指定范圍內(nèi)的概率值;由分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為特殊區(qū)間,從而求出所求概率.注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱(chēng)軸才為.考點(diǎn)一、二項(xiàng)分布1.從一個(gè)裝有4個(gè)白球和3個(gè)紅球的袋子中有放回地取球5次,每次取球1個(gè),記X為取得紅球的次數(shù),則(

)A. B. C. D.2.(2023年江蘇省模擬數(shù)學(xué)試題)一盒子中有8個(gè)大小完全相同的小球,其中3個(gè)紅球,4個(gè)白球,1個(gè)黑球.(1)若不放回地從盒中連續(xù)取兩次球,每次取一個(gè),求在第一次取到紅球的條件下,第二次也取到紅球的概率;(2)若從盒中有放回的取球3次,求取出的3個(gè)球中白球個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.3.2022年冬奧會(huì)在北京舉行,冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”自亮相以來(lái)就好評(píng)不斷,出現(xiàn)了“一墩難求”的現(xiàn)象.主辦方現(xiàn)委托某公司推出一款以“冰墩墩”為原型的紀(jì)念品在專(zhuān)賣(mài)店進(jìn)行售賣(mài).已知這款紀(jì)念品的生產(chǎn)成本為80元/件,為了確定其銷(xiāo)售價(jià)格,調(diào)查了對(duì)這款紀(jì)念品有購(gòu)買(mǎi)意向的消費(fèi)者(以下把對(duì)該紀(jì)念品有購(gòu)買(mǎi)意向的消費(fèi)者簡(jiǎn)稱(chēng)為消費(fèi)者)的心理價(jià)位,并將收集的100名消費(fèi)者的心理價(jià)位整理如下:心理價(jià)位(元/件)90100110120人數(shù)10205020假設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)這款紀(jì)念品的銷(xiāo)售價(jià)格小于或等于某位消費(fèi)者的心理價(jià)位時(shí),該消費(fèi)者就會(huì)購(gòu)買(mǎi)該紀(jì)念品.公司為了滿(mǎn)足更多消費(fèi)者的需求,規(guī)定每位消費(fèi)者最多只能購(gòu)買(mǎi)一件該紀(jì)念品.設(shè)這款紀(jì)念品的銷(xiāo)售價(jià)格為x(單位:元/件),,且每位消費(fèi)者是否購(gòu)買(mǎi)該紀(jì)念品相互獨(dú)立.用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布,頻率視為概率.(1)若,試估計(jì)消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)該紀(jì)念品的概率;已知某時(shí)段有4名消費(fèi)者進(jìn)店,X為這一時(shí)段該紀(jì)念品的購(gòu)買(mǎi)人數(shù),試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)假設(shè)共有M名消費(fèi)者,設(shè)該公司售賣(mài)這款紀(jì)念品所得總利潤(rùn)為Y(單位:元),當(dāng)該紀(jì)念品的銷(xiāo)售價(jià)格x定為多少時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值?4.(2023屆廣東省模擬數(shù)學(xué)試題)某商場(chǎng)為了回饋廣大顧客,設(shè)計(jì)了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng),在抽獎(jiǎng)箱中放10個(gè)大小相同的小球,其中5個(gè)為紅色,5個(gè)為白色.抽獎(jiǎng)方式為:每名顧客進(jìn)行兩次抽獎(jiǎng),每次抽獎(jiǎng)從抽獎(jiǎng)箱中一次性摸出兩個(gè)小球.如果每次抽獎(jiǎng)摸出的兩個(gè)小球顏色相同即為中獎(jiǎng),兩個(gè)小球顏色不同即為不中獎(jiǎng).(1)若規(guī)定第一次抽獎(jiǎng)后將球放回抽獎(jiǎng)箱,再進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng),求中獎(jiǎng)次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)若規(guī)定第一次抽獎(jiǎng)后不將球放回抽獎(jiǎng)箱,直接進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng),求中獎(jiǎng)次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.(3)如果你是商場(chǎng)老板,如何在上述問(wèn)兩種抽獎(jiǎng)方式中進(jìn)行選擇?請(qǐng)寫(xiě)出你的選擇及簡(jiǎn)要理由.1.排球比賽實(shí)行“五局三勝制”,根據(jù)此前的若干次比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)可知,在甲?乙兩隊(duì)的比賽中,每場(chǎng)比賽甲隊(duì)獲勝的概率為,乙隊(duì)獲勝的概率為,則在這場(chǎng)“五局三勝制”的排球賽中乙隊(duì)獲勝的概率為(

)A. B. C. D.2.在一次以“二項(xiàng)分布的性質(zhì)”為主題的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中,金陵中學(xué)高二某小組的學(xué)生表現(xiàn)優(yōu)異,發(fā)現(xiàn)的正確結(jié)論得到老師和同學(xué)們的一致好評(píng).設(shè)隨機(jī)變量,記,,1,2,…,n.在研究的最大值時(shí),該小組同學(xué)發(fā)現(xiàn):若為正整數(shù),則時(shí),,此時(shí)這兩項(xiàng)概率均為最大值;若為非整數(shù),當(dāng)k取的整數(shù)部分,則是唯一的最大值.以此為理論基礎(chǔ),有同學(xué)重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子并實(shí)時(shí)記錄點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù),當(dāng)投擲到第35次時(shí),記錄到此時(shí)點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)5次,若繼續(xù)再進(jìn)行65次投擲試驗(yàn),則當(dāng)投擲到第100次時(shí),點(diǎn)數(shù)1一共出現(xiàn)的次數(shù)為的概率最大.3.某公司為招聘新員工設(shè)計(jì)了一個(gè)面試方案:應(yīng)聘者從道備選題中一次性隨機(jī)抽取道題,按照題目要求獨(dú)立完成.規(guī)定:至少正確完成其中道題便可通過(guò).已知道備選題中應(yīng)聘者甲有道題能正確完成,道題不能完成;應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是,且每題正確完成與否互不影響.(1)求甲恰好正確完成兩個(gè)面試題的概率;(2)求乙正確完成面試題數(shù)的分布列及其期望.4.(2023屆遼寧省模擬調(diào)研卷數(shù)學(xué)試題)近年來(lái),我國(guó)加速推行垃圾分類(lèi)制度,全國(guó)垃圾分類(lèi)工作取得積極進(jìn)展.某城市推出了兩套方案,并分別在A,B兩個(gè)大型居民小區(qū)內(nèi)試行.方案一:進(jìn)行廣泛的宣傳活動(dòng),通過(guò)設(shè)立宣傳點(diǎn)、發(fā)放宣傳單等方式,向小區(qū)居民和社會(huì)各界宣傳垃圾分類(lèi)的意義,講解分類(lèi)垃圾桶的使用方式,垃圾投放時(shí)間等,定期召開(kāi)垃圾分類(lèi)會(huì)議和知識(shí)宣傳教育活動(dòng);方案二:智能化垃圾分類(lèi),在小區(qū)內(nèi)分別設(shè)立分類(lèi)垃圾桶,垃圾回收前端分類(lèi)智能化,智能垃圾桶操作簡(jiǎn)單,居民可以通過(guò)設(shè)備進(jìn)行自動(dòng)登錄、自動(dòng)稱(chēng)重、自動(dòng)積分等一系列操作.建立垃圾分類(lèi)激勵(lì)機(jī)制,比如,垃圾分類(lèi)換積分,積分可兌換禮品等,激發(fā)了居民參與垃圾分類(lèi)的熱情,帶動(dòng)居民積極主動(dòng)地參與垃圾分類(lèi).經(jīng)過(guò)一段時(shí)間試行之后,在這兩個(gè)小區(qū)內(nèi)各隨機(jī)抽取了100名居民進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,記錄他們對(duì)試行方案的滿(mǎn)意度得分(滿(mǎn)分100分),將數(shù)據(jù)分成6組:并整理得到如下頻率分布直方圖:(1)請(qǐng)通過(guò)頻率分布直方圖分別估計(jì)兩種方案滿(mǎn)意度的平均得分,判斷哪種方案的垃圾分類(lèi)推廣措施更受居民歡迎(同一組中的數(shù)據(jù)用該組中間的中點(diǎn)值作代表);(2)估計(jì)A小區(qū)滿(mǎn)意度得分的第80百分位數(shù);(3)以樣本頻率估計(jì)概率,若滿(mǎn)意度得分不低于70分說(shuō)明居民贊成推行此方案,低于70分說(shuō)明居民不太贊成推行此方案.現(xiàn)從B小區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取5個(gè)人,用X表示贊成該小區(qū)推行方案的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.考點(diǎn)二、超幾何分布1.從一批含有13件正品,2件次品的產(chǎn)品中不放回地抽3次,每次抽取1件,設(shè)抽取的次品數(shù)為ξ,則E(5ξ+1)=()A.2 B.1 C.3 D.42.在一個(gè)袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個(gè)黑球,4個(gè)白球,現(xiàn)從中任取4個(gè)小球,設(shè)取的4個(gè)小球中白球的個(gè)數(shù)為X,則下列結(jié)論正確的是(

)A. B.隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布C.隨機(jī)變量服從超幾何分布 D.3.4月23日是聯(lián)合國(guó)教科文組織確定的“世界讀書(shū)日”.為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況,從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查,得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間(單位:小時(shí)),并將樣本數(shù)據(jù)分成,,,,,,,,九組,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)從這500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率;(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書(shū)閱讀時(shí)間的分配情況,從日平均閱讀時(shí)間在,,三組內(nèi)的學(xué)生中,采用分層抽樣的方法抽取了10人,現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人,記日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)以樣本的頻率估計(jì)概率,從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生,用表示這10名學(xué)生中恰有k名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率,其中,1,2,…,10.當(dāng)最大時(shí),寫(xiě)出k的值.(只需寫(xiě)出結(jié)論)1.有20個(gè)零件,其中16個(gè)一等品,4個(gè)二等品,若從這些零件中任取3個(gè),那么至少有1個(gè)是一等品的概率是(

).A. B. C. D.2.(2023屆湖北省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)某數(shù)學(xué)興趣小組為研究本校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)的關(guān)系,采取有放回的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,從學(xué)校抽取樣本容量為200的樣本,將所得數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)的樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)整理如下:語(yǔ)文成績(jī)合計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀503080不優(yōu)秀4080120合計(jì)90110200(1)根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)有關(guān)聯(lián)?(2)在人工智能中常用表示在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的優(yōu)勢(shì),在統(tǒng)計(jì)中稱(chēng)為似然比.現(xiàn)從該校學(xué)生中任選一人,表示“選到的學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)不優(yōu)秀”,表示“選到的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀”請(qǐng)利用樣本數(shù)據(jù),估計(jì)的值.(3)現(xiàn)從數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的樣本中,按分層抽樣的方法選出8人組成一個(gè)小組,從抽取的8人里再隨機(jī)抽取3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,求這3人中,語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.附:3.(2023年北京市模擬數(shù)學(xué)試題)地區(qū)期末進(jìn)行了統(tǒng)一考試,為做好本次考試的評(píng)價(jià)工作,將本次成績(jī)轉(zhuǎn)化為百分制,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績(jī),經(jīng)統(tǒng)計(jì),這批學(xué)生的成績(jī)?nèi)拷橛?0至100之間,將數(shù)據(jù)按照分成6組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值;(2)在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)诘娜M中抽取了11人,再?gòu)倪@11人中隨機(jī)抽取3人,記為3人中成績(jī)?cè)诘娜藬?shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)轉(zhuǎn)化為百分制后,規(guī)定成績(jī)?cè)诘臑锳等級(jí),成績(jī)?cè)诘臑锽等級(jí),其它為C等級(jí).以樣本估計(jì)總體,用頻率代替概率.從所有參加考試的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人,求獲得等級(jí)的人數(shù)不少于2人的概率.考點(diǎn)三、正態(tài)分布1.(2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題)某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布,下列結(jié)論中不正確的是(

)A.越小,該物理量在一次測(cè)量中在的概率越大B.該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為C.該物理量在一次測(cè)量中小于與大于的概率相等D.該物理量在一次測(cè)量中落在與落在的概率相等2.(2023屆高三沖刺卷(一)全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)試題)某班學(xué)生的一次的數(shù)學(xué)考試成績(jī)(滿(mǎn)分:100分)服從正態(tài)分布:,且,,(

)A. B. C. D.3.(2023屆山東省模擬數(shù)學(xué)試題)某學(xué)校共1000人參加數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn),考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布,若,則估計(jì)成績(jī)?cè)?20分以上的學(xué)生人數(shù)為(

)A.25 B.50 C.75 D.1004.(2023屆山西省模擬數(shù)學(xué)試題)某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,組織該市中學(xué)生進(jìn)行了一次文化知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)賽,競(jìng)賽獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下:得分在內(nèi)的學(xué)生獲三等獎(jiǎng),得分在內(nèi)的學(xué)生獲二等獎(jiǎng),得分在內(nèi)的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng),其他學(xué)生不得獎(jiǎng),為了解學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握情況,隨機(jī)抽取100名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī),并以此為樣本繪制了樣本頻率分布直方圖,如圖所示.(1)現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī),求這兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率;(2)若該市所有參賽學(xué)生的成績(jī)X近似服從正態(tài)分布,其中,為樣本平均數(shù)的估計(jì)值,利用所得正態(tài)分布模型解決以下問(wèn)題:(i)若該市共有10000名學(xué)生參加了競(jìng)賽,試估計(jì)參賽學(xué)生中成績(jī)超過(guò)79分的學(xué)生數(shù)(結(jié)果四舍五入到整數(shù));(ii)若從所有參賽學(xué)生中(參賽學(xué)生數(shù)大于10000)隨機(jī)取3名學(xué)生進(jìn)行訪談,設(shè)其中競(jìng)賽成績(jī)?cè)?4分以上的學(xué)生數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和期望.附參考數(shù)據(jù),若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,則,,.1.(2023年山東省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)設(shè)隨機(jī)變量,且,則(

)A. B. C. D.2.(2023屆江蘇省調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題)已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,有下列四個(gè)命題:甲:;乙:;丙:;丁:如果只有一個(gè)假命題,則該命題為(

)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁3.(2023屆山東省模擬考試數(shù)學(xué)試題)新能源汽車(chē)具有零排放、噪聲小、能源利用率高等特點(diǎn),近年來(lái)備受青睞.某新能源汽車(chē)制造企業(yè)為調(diào)查其旗下A型號(hào)新能源汽車(chē)的耗電量(單位:kW·h/100km)情況,隨機(jī)調(diào)查得到了1200個(gè)樣本,據(jù)統(tǒng)計(jì)該型號(hào)新能源汽車(chē)的耗電量,若,則樣本中耗電量不小于的汽車(chē)大約有(

)A.180輛 B.360輛 C.600輛 D.840輛【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】2023年10月09日二項(xiàng)分布一、單選題1.已知隨機(jī)變量,,且,,則(

)A. B. C. D.2.乒乓球被稱(chēng)為我國(guó)的國(guó)球,是一種深受人們喜愛(ài)的球類(lèi)體育項(xiàng)目.某次乒乓球比賽中,比賽規(guī)則如下:比賽以11分為一局,采取七局四勝制.在一局比賽中,先得11分的選手為勝方;如果比賽一旦出現(xiàn)10平,先連續(xù)多得2分的選手為勝方.(1)假設(shè)甲選手在每一分爭(zhēng)奪中得分的概率為.在一局比賽中,若現(xiàn)在甲?乙兩名選手的得分為8比8平,求這局比賽甲以先得11分獲勝的概率;(2)假設(shè)甲選手每局獲勝的概率為,在前三局甲獲勝的前提下,記X表示到比賽結(jié)束時(shí)還需要比賽的局?jǐn)?shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.3.某公司開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件,為了解用戶(hù)對(duì)這款軟件的滿(mǎn)意度,推出該軟件3個(gè)月后,從使用該軟件的用戶(hù)中隨機(jī)抽查了1000名,將所得的滿(mǎn)意度的分?jǐn)?shù)分成7組:,整理得到如下頻率分布直方圖.根據(jù)所得的滿(mǎn)意度的分?jǐn)?shù),將用戶(hù)的滿(mǎn)意度分為兩個(gè)等級(jí):滿(mǎn)意度的分?jǐn)?shù)滿(mǎn)意度的等級(jí)不滿(mǎn)意滿(mǎn)意(1)從使用該軟件的用戶(hù)中隨機(jī)抽取1人,估計(jì)其滿(mǎn)意度的等級(jí)為“滿(mǎn)意”的概率;(2)用頻率估計(jì)概率,從使用該軟件的所有用戶(hù)中隨機(jī)抽取2人,以X表示這2人中滿(mǎn)意度的等級(jí)為“滿(mǎn)意”的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.4.某公司采購(gòu)部需要采購(gòu)一箱電子元件,供貨商對(duì)該電子元件整箱出售,每箱10個(gè).在采購(gòu)時(shí),隨機(jī)選擇一箱并從中隨機(jī)抽取3個(gè)逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn).若其中沒(méi)有次品,則直接購(gòu)買(mǎi)該箱電子元件;否則,不購(gòu)買(mǎi)該箱電子元件.(1)若某箱電子元件中恰有一個(gè)次品,求該箱電子元件能被直接購(gòu)買(mǎi)的概率;(2)若某箱電子元件中恰有兩個(gè)次品,記對(duì)隨機(jī)抽取的3個(gè)電子元件進(jìn)行檢測(cè)的次數(shù)為,求的分布列及期望.5.(2023年北京市質(zhì)量監(jiān)測(cè)與反饋數(shù)學(xué)試題)端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗,設(shè)一盤(pán)中裝有10個(gè)粽子,其中豆沙粽2個(gè),白粽8個(gè),這兩種粽子的外觀完全相同,從中任意選取3個(gè).(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率;(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.6.(2023屆云南省模擬數(shù)學(xué)試題)在某校舉辦“青春獻(xiàn)禮二十大,強(qiáng)國(guó)有我新征程”的知識(shí)能力測(cè)評(píng)中,隨機(jī)抽查了100名學(xué)生,其中共有4名女生和3名男生的成績(jī)?cè)?0分以上,從這7名同學(xué)中每次隨機(jī)抽1人在全校作經(jīng)驗(yàn)分享,每位同學(xué)最多分享一次,記第一次抽到女生為事件A,第二次抽到男生為事件B.(1)求,,(2)若把抽取學(xué)生的方式更改為:從這7名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)分享,記被抽取的3人中女生的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.7.“雙減”政策實(shí)施后,為了解某地中小學(xué)生周末體育鍛煉的時(shí)間,某研究人員隨機(jī)調(diào)查了600名學(xué)生,得到的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示:周末體育鍛煉時(shí)間頻率(1)估計(jì)這600名學(xué)生周末體育鍛煉時(shí)間的平均數(shù);(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)(2)在這600人中,用分層抽樣的方法,從周末體育鍛煉時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中抽取15人,再?gòu)倪@15人中隨機(jī)抽取3人,記這3人中周末體育鍛煉時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)為X,求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.8.某學(xué)校在寒假期間安排了“垃圾分類(lèi)知識(shí)普及實(shí)踐活動(dòng)”.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)成果,該校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生作為樣本進(jìn)行測(cè)試,記錄他們的成績(jī),測(cè)試卷滿(mǎn)分100分,并將得分分成以下6組:、、、…、,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示:(1)試估計(jì)這100名學(xué)生得分的平均數(shù);(2)從樣本中得分不低于70分的學(xué)生中,用分層抽樣的方法選取11人進(jìn)行座談,若從座談名單中隨機(jī)抽取3人,記其得分在的人數(shù)為,試求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)以樣本估計(jì)總體,根據(jù)頻率分布直方圖,可以認(rèn)為參加知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生的得分X近似地服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差,經(jīng)計(jì)算.所有參加知識(shí)競(jìng)賽的2000名學(xué)生中,試問(wèn)得分高于77分的人數(shù)最有可能是多少?參考數(shù)據(jù):,,.9.一個(gè)袋中裝有5個(gè)形狀大小完全相同的小球,其中紅球有2個(gè),白球有3個(gè),從中任意取出3個(gè)球.(1)求取出的3個(gè)球恰有一個(gè)紅球的概率;(2)若隨機(jī)變量X表示取得紅球的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列.10.某公司全年圓滿(mǎn)完成預(yù)定的生產(chǎn)任務(wù),為答謝各位員工一年來(lái)的銳意進(jìn)取和辛勤努力,公司決定在聯(lián)歡晚會(huì)后,擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)500位員工進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),規(guī)定:每位員工從一個(gè)裝有4種面值的獎(jiǎng)券的箱子中,一次隨機(jī)摸出2張獎(jiǎng)券,獎(jiǎng)券上所標(biāo)的面值之和就是該員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額.(1)若箱子中所裝的4種面值的獎(jiǎng)券中有1張面值為80元,其余3張均為40元,試比較員工獲得80元獎(jiǎng)勵(lì)額與獲得120元獎(jiǎng)勵(lì)額的概率的大小;(2)公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是6萬(wàn)元,預(yù)定箱子中所裝的4種面值的獎(jiǎng)券有兩種方案:第一方案是2張面值20元和2張面值100元;第二方案是2張面值40元和2張面值80元.為了使員工得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能地符合公司的預(yù)算且每位員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡,請(qǐng)問(wèn)選擇哪一種方案比較好?并說(shuō)明理由.11.一次性醫(yī)用口罩是適用于覆蓋使用者的口、鼻及下頜,用于普通醫(yī)療環(huán)境中佩戴、阻隔口腔和鼻腔呼出或噴出污染物的一次性口罩,按照我國(guó)醫(yī)藥行業(yè)標(biāo)準(zhǔn),口罩對(duì)細(xì)菌的過(guò)濾效率達(dá)到95%及以上為合格,98%及以上為優(yōu)等品,某部門(mén)為了檢測(cè)一批口置對(duì)細(xì)菌的過(guò)濾效率.隨機(jī)抽檢了200個(gè)口罩,將它們的過(guò)濾效率(百分比)按照[95,96),[96,97),[97,98),[98,99),[99,100]分成5組,制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求圖中m的值并估計(jì)這一批口罩中優(yōu)等品的概率;(2)為了進(jìn)一步檢測(cè)樣本中優(yōu)等品的質(zhì)量,用分層抽樣的方法從[98,99)和[99,100]兩組中抽取7個(gè)口罩,再?gòu)倪@7個(gè)口罩中隨機(jī)抽取3個(gè)口罩做進(jìn)一步檢測(cè),記取自[98,99)的口罩個(gè)數(shù)為X,求X的分布列與期望.12.(2023屆湖北省聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題)某市舉行招聘考試,共有4000人參加,分為初試和復(fù)試,初試通過(guò)后參加復(fù)試.為了解考生的考試情況,隨機(jī)抽取了100名考生的初試成績(jī),并以此為樣本繪制了樣本頻率分布直方圖,如圖所示.(1)根據(jù)頻率分布直方圖,試求樣本平均數(shù)的估計(jì)值;(2)若所有考生的初試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布,其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值,,試估計(jì)初試成績(jī)不低于88分的人數(shù);(3)復(fù)試共三道題,第一題考生答對(duì)得5分,答錯(cuò)得0分,后兩題考生每答對(duì)一道題得10分,答錯(cuò)得0分,答完三道題后的得分之和為考生的復(fù)試成績(jī).已知某考生進(jìn)入復(fù)試,他在復(fù)試中第一題答對(duì)的概率為,后兩題答對(duì)的概率均為,且每道題回答正確與否互不影響.記該考生的復(fù)試成績(jī)?yōu)閅,求Y的分布列及均值.附:若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,則:,,.13.春節(jié)期間,我國(guó)高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速免費(fèi)政策”.某路橋公司為了解春節(jié)期間車(chē)輛出行的高峰情況,在某高速收費(fèi)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)大年初三上午9:20~10:40這一時(shí)間段內(nèi)有600輛車(chē)通過(guò),將其通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻繪成頻率分布直方圖.其中時(shí)間段9:20~9:40記作區(qū)間,9:40~10:00記作,10:00~10:20記作,10:20~10:40記作,例如:10點(diǎn)04分,記作時(shí)刻64.(1)估計(jì)這600輛車(chē)在9:20~10:40時(shí)間段內(nèi)通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);(2)為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車(chē)中抽取10輛,再?gòu)倪@10輛車(chē)中隨機(jī)抽取4輛,記X為9:20~10:00之間通過(guò)的車(chē)輛數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;(3)由大數(shù)據(jù)分析可知,車(chē)輛在春節(jié)期間每天通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻T服從正態(tài)分布,其中可用這600輛車(chē)在9:20~10:40之間通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn)的時(shí)刻的平均值近似代替,可用樣本的方差近似代替(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表),已知大年初五全天共有1000輛車(chē)通過(guò)該收費(fèi)點(diǎn),估計(jì)在9:46~10:40之間通過(guò)的車(chē)輛數(shù)(結(jié)果保留到整數(shù)).參考數(shù)據(jù):若,則,,.14.某汽車(chē)公司最近研發(fā)了一款新能源汽車(chē),并在出廠前對(duì)100輛汽車(chē)進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,得到如圖所示的頻率分布直方圖:(1)估計(jì)這100輛汽車(chē)的單次最大續(xù)航里程的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);(2)經(jīng)計(jì)算第(1)問(wèn)中樣本標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為50,根據(jù)大量的測(cè)試數(shù)據(jù),可以認(rèn)為這款汽車(chē)的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布(用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為的近似值),現(xiàn)任取一輛汽車(chē),求它的單次最大續(xù)航里程的概率;(參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量,則,(3)某汽車(chē)銷(xiāo)售公司為推廣此款新能源汽車(chē),現(xiàn)面向意向客戶(hù)推出“玩游戲,送大獎(jiǎng)”活動(dòng),客戶(hù)可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果,操控微型遙控車(chē)在方格圖上(方格圖上依次標(biāo)有數(shù)字0?1?2?3?……?20)移動(dòng),若遙控車(chē)最終停在“勝利大本營(yíng)”(第19格),則可獲得購(gòu)車(chē)優(yōu)惠券3萬(wàn)元;若遙控車(chē)最終停在“微笑大本營(yíng)”(第20格),則沒(méi)有任何優(yōu)優(yōu)惠券.已知硬幣出現(xiàn)正?反面的概率都是,遙控車(chē)開(kāi)始在第0格,客戶(hù)每擲一次硬幣,遙控車(chē)向前移動(dòng)一次:若擲出正面,遙控車(chē)向前移動(dòng)一格(從到;若擲出反面,遙控車(chē)向前移動(dòng)兩格(從到),直到遙控車(chē)移到“勝利大本營(yíng)”或“微笑大本營(yíng)”時(shí),游戲結(jié)束.設(shè)遙控車(chē)移到第格的概率為,試證明是等比數(shù)列,并求參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券全額的期望值(精確到萬(wàn)元).15.冬奧會(huì)的成功舉辦極大鼓舞了人們體育強(qiáng)國(guó)的熱情,掀起了青少年鍛煉身體的熱潮.某校為了解全校學(xué)生“體能達(dá)標(biāo)”的情況,從高三年級(jí)1000名學(xué)生中隨機(jī)選出40名學(xué)生參加“體能達(dá)標(biāo)”測(cè)試,并且規(guī)定“體能達(dá)標(biāo)”預(yù)測(cè)成績(jī)小于60分的為“不合格”,否則為合格.若高三年級(jí)“不合格”的人數(shù)不超過(guò)總?cè)藬?shù)的5%,則該年級(jí)體能達(dá)標(biāo)為“合格”;否則該年級(jí)體能達(dá)標(biāo)為“不合格”,需要重新對(duì)高三年級(jí)學(xué)生加強(qiáng)訓(xùn)練.現(xiàn)將這40名學(xué)生隨機(jī)分成甲、乙兩個(gè)組,其中甲組有24名學(xué)生,乙組有16名學(xué)生.經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè)后,兩組各自將預(yù)測(cè)成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析如下:甲組的平均成績(jī)?yōu)?0,標(biāo)準(zhǔn)差為4;乙組的平均成績(jī)?yōu)?0,標(biāo)準(zhǔn)差為6.(數(shù)據(jù)的最后結(jié)果都精確到整數(shù))(1)求這40名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差s;(2)假設(shè)高三學(xué)生的體能達(dá)標(biāo)預(yù)測(cè)成績(jī)服從正態(tài)分布N(μ,),用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值.利用估計(jì)值估計(jì),高三學(xué)生體能達(dá)標(biāo)預(yù)測(cè)是否“合格”;(3)為增強(qiáng)趣味性,在體能達(dá)標(biāo)的跳繩測(cè)試項(xiàng)目中,同學(xué)們可以向體育特長(zhǎng)班的強(qiáng)手發(fā)起挑戰(zhàn).每場(chǎng)挑戰(zhàn)賽都采取七局四勝制.積分規(guī)則如下:以4:0或4:1獲勝隊(duì)員積4分,落敗隊(duì)員積0分;以4:2或4:3獲勝隊(duì)員積3分,落敗隊(duì)員積1分.假設(shè)體育生王強(qiáng)每局比賽獲勝的概率均為,求王強(qiáng)在這輪比賽中所得積分為3分的條件下,他前3局比賽都獲勝的概率.附:①n個(gè)數(shù)的方差;②若隨機(jī)變量Z~N(μ,),則,,.16.為調(diào)查禽類(lèi)某種病菌感染情況,某養(yǎng)殖場(chǎng)每周都定期抽樣檢測(cè)禽類(lèi)血液中指標(biāo)的值.養(yǎng)殖場(chǎng)將某周的5000只家禽血液樣本中指標(biāo)的檢測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,繪成如下頻率分布直方圖(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這5000只家禽血液樣本中指標(biāo)值的中位數(shù)(結(jié)果保留兩位小數(shù));(2)通過(guò)長(zhǎng)期調(diào)查分析可知,該養(yǎng)殖場(chǎng)家禽血液中指標(biāo)的值服從正態(tài)分布(i)若其中一個(gè)養(yǎng)殖棚有1000只家禽,估計(jì)其中血液指標(biāo)的值不超過(guò)的家禽數(shù)量(結(jié)果保留整數(shù));(ii)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,把發(fā)生概率小于的事件稱(chēng)為小概率事件,通常認(rèn)為小概率事件的發(fā)生是不正常的.該養(yǎng)殖場(chǎng)除定期抽檢外,每天還會(huì)隨機(jī)抽檢20只,若某天發(fā)現(xiàn)抽檢的20只家禽中恰有3只血液中指標(biāo)的值大于,判斷這一天該養(yǎng)殖場(chǎng)的家禽健康狀況是否正常,并分析說(shuō)明理由.參考數(shù)據(jù):①;②若,則17.(2023屆廣東省模擬數(shù)學(xué)試題)某工廠一臺(tái)設(shè)備生產(chǎn)一種特定零件,工廠為了解該設(shè)備的生產(chǎn)情況,隨機(jī)抽檢了該設(shè)備在一個(gè)生產(chǎn)周期中的100件產(chǎn)品的關(guān)鍵指標(biāo)(單位:),經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到下面的頻率分布直方圖:(1)由頻率分布直方圖估計(jì)抽檢樣本關(guān)鍵指標(biāo)的平均數(shù)和方差.(用每組的中點(diǎn)代表該組的均值)(2)已知這臺(tái)設(shè)備正常狀態(tài)下生產(chǎn)零件的關(guān)鍵指標(biāo)服從正態(tài)分布,用直方圖的平均數(shù)估計(jì)值作為的估計(jì)值,用直方圖的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值s作為估計(jì)值.(i)為了監(jiān)控該設(shè)備的生產(chǎn)過(guò)程,每個(gè)生產(chǎn)周期中都要隨機(jī)抽測(cè)10個(gè)零件的關(guān)鍵指標(biāo),如果關(guān)鍵指標(biāo)出現(xiàn)了之外的零件,就認(rèn)為生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常,需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備.下面是某個(gè)生產(chǎn)周期中抽測(cè)的10個(gè)零件的關(guān)鍵指標(biāo):利用和判斷該生產(chǎn)周期是否需停止生產(chǎn)并檢查設(shè)備.(ii)若設(shè)備狀態(tài)正常,記X表示一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)抽取的10個(gè)零件關(guān)鍵指標(biāo)在之外的零件個(gè)數(shù),求及X的數(shù)學(xué)期望.參考公式:直方圖的方差,其中為各區(qū)間的中點(diǎn),為各組的頻率.參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,則,,,,.18.(2023屆安徽省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)為貫徹落實(shí)《健康中國(guó)行動(dòng)(2019—2030年)》《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時(shí)代學(xué)校體育工作的意見(jiàn)》等文件精神,確保2030年學(xué)生體質(zhì)達(dá)到規(guī)定要求,各地將認(rèn)真做好學(xué)生的體制健康監(jiān)測(cè).某市決定對(duì)某中學(xué)學(xué)生的身體健康狀況進(jìn)行調(diào)查,現(xiàn)從該校抽取200名學(xué)生測(cè)量他們的體重,得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.(1)求這200名學(xué)生體重的平均數(shù)和方差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).(2)由頻率分布直方圖可知,該校學(xué)生的體重服從正態(tài)分布,其中μ近似為平均數(shù),近似為方差.①利用該正態(tài)分布,求;②若從該校隨機(jī)抽取50名學(xué)生,記表示這50名學(xué)生的體重位于區(qū)間內(nèi)的人數(shù),利用①的結(jié)果,求.參考數(shù)據(jù):.若,則,,.19.張先生到一家公司參加面試,面試的規(guī)則是;面試官最多向他提出五個(gè)問(wèn)題,只要正確回答出三個(gè)問(wèn)題即終止提問(wèn),通過(guò)面試根據(jù)經(jīng)驗(yàn),張先生能夠正確回答面試官提出的任何一個(gè)問(wèn)題的概率為,假設(shè)回答各個(gè)問(wèn)題正確與否互不干擾.(1)求張先生通過(guò)面試的概率;(2)記本次面試張先生回答問(wèn)題的個(gè)數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望20.為了讓人民群眾過(guò)一個(gè)歡樂(lè)祥和的新春佳節(jié),某地疫情防控指揮部根據(jù)當(dāng)?shù)匾咔榉揽毓ぷ鞑渴?,安?名干部和三個(gè)部門(mén)(A,B,C)的16名職工到該地的四個(gè)高速路口擔(dān)任疫情防控志愿者,其中16名職工分別是A部門(mén)8人,B部門(mén)4人,C部門(mén)4人.(1)若從這16名職工中選出4人作為組長(zhǎng),求至少有2個(gè)組長(zhǎng)來(lái)自A部門(mén)的概率;(2)若將這4名干部隨機(jī)安排到四個(gè)高速路口(假設(shè)每名干部安排到各高速路口是等可能的,且各位干部的選擇是相互獨(dú)立的),記安排到第一個(gè)高速路口的干部人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.21.致敬百年,讀書(shū)筑夢(mèng),某學(xué)校組織全校學(xué)生參加“學(xué)黨史頌黨恩,黨史網(wǎng)絡(luò)知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng).并對(duì)某年級(jí)的100位學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如下人數(shù)分布表.規(guī)定:成績(jī)?cè)趦?nèi),為成績(jī)優(yōu)秀.成績(jī)?nèi)藬?shù)510152520205(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為此次競(jìng)賽成績(jī)與性別有關(guān);優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男10女35合計(jì)(2)某班級(jí)實(shí)行學(xué)分制,為鼓勵(lì)學(xué)生多讀書(shū),推出“讀書(shū)抽獎(jiǎng)?lì)~外賺學(xué)分”趣味活動(dòng)方案:規(guī)定成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的同學(xué),可抽獎(jiǎng)2次,每次中獎(jiǎng)概率為(每次抽獎(jiǎng)互不影響,且的值等于成績(jī)分布表中不低于80分的人數(shù)頻率),中獎(jiǎng)1次學(xué)分加5分,中獎(jiǎng)2次學(xué)分加10分.若學(xué)生甲成績(jī)?cè)趦?nèi),請(qǐng)列出其本次讀書(shū)活動(dòng)額外獲得學(xué)分?jǐn)?shù)的分布列并求其數(shù)學(xué)期望.參考公式:,.附表:22.(2023屆安徽省、云南省、吉林省、黑龍江省適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試題)某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布.質(zhì)量指標(biāo)介于99至101之間的產(chǎn)品為良品,為使這種產(chǎn)品的良品率達(dá)到,則需調(diào)整生產(chǎn)工藝,使得至多為.(若,則)23.對(duì)一個(gè)物理量做次測(cè)量,并以測(cè)量結(jié)果的平均值作為該物理量的最后結(jié)果.已知最后結(jié)果的誤差,為使誤差在的概率不小于,至少要測(cè)量次(若,則).24.(2023屆重慶市模擬數(shù)學(xué)試題)重慶八中某次數(shù)學(xué)考試中,學(xué)生成績(jī)服從正態(tài)分布.若,則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生,至少有2名學(xué)生的成績(jī)高于120的概率是.25.(2023屆廣東省模擬數(shù)學(xué)試題)若,則(精確到0.01).參考數(shù)據(jù):若,則,.【能力提升】1.已知隨機(jī)變量,若最大,則.2.若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,則使取得最大值時(shí),.3.(2023年湖南省模擬數(shù)學(xué)試題)統(tǒng)計(jì)與概率主要研究現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)和客觀世界中的隨機(jī)現(xiàn)象,通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的收集、整理、分析、描述及對(duì)事件發(fā)生的可能性刻畫(huà),來(lái)幫助人們作出合理的決策.(1)現(xiàn)有池塘甲,已知池塘甲里有50條魚(yú),其中A種魚(yú)7條,若從池塘甲中捉了2條魚(yú).用表示其中A種魚(yú)的條數(shù),請(qǐng)寫(xiě)出的分布列,并求的數(shù)學(xué)期望;(2)另有池塘乙,為估計(jì)池塘乙中的魚(yú)數(shù),某同學(xué)先從中捉了50條魚(yú),做好記號(hào)后放回池塘,再?gòu)闹凶搅?0條魚(yú),發(fā)現(xiàn)有記號(hào)的有5條.(ⅰ)請(qǐng)從分層抽樣的角度估計(jì)池塘乙中的魚(yú)數(shù).(ⅱ)統(tǒng)計(jì)學(xué)中有一種重要而普遍的求估計(jì)量的方法─最大似然估計(jì),其原理是使用概率模型尋找能夠以較高概率產(chǎn)生觀察數(shù)據(jù)的系統(tǒng)發(fā)生樹(shù),即在什么情況下最有可能發(fā)生已知的事件.請(qǐng)從條件概率的角度,采用最大似然估計(jì)法估計(jì)池塘乙中的魚(yú)數(shù).4.為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布.(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù),求及X的數(shù)學(xué)期望;(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.(?。┰囌f(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性;(ⅱ)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸:經(jīng)計(jì)算得,,其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸,.用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查?剔除之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ(精確到).附:若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布,則,,.5.(2023屆重慶市模擬數(shù)學(xué)試題(適用新高考))某網(wǎng)絡(luò)在平臺(tái)開(kāi)展了一項(xiàng)有獎(jiǎng)闖關(guān)活動(dòng),并對(duì)每一關(guān)根據(jù)難度進(jìn)行賦分,競(jìng)猜活動(dòng)共五關(guān),規(guī)定:上一關(guān)不通過(guò)則不進(jìn)入下一關(guān),本關(guān)第一次未通過(guò)有再挑戰(zhàn)一次的機(jī)會(huì),兩次均未通過(guò),則闖關(guān)失敗,且各關(guān)能否通過(guò)相互獨(dú)立,已知甲、乙、丙三人都參加了該項(xiàng)活動(dòng).(1)若甲第一關(guān)通過(guò)的概率為,第二關(guān)通過(guò)的概率為,求甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率;(2)已知該闖關(guān)活動(dòng)累計(jì)得分服從正態(tài)分布,且滿(mǎn)分為分,現(xiàn)要根據(jù)得分給共名參加者中得分前名發(fā)放獎(jiǎng)勵(lì),①假設(shè)該闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為分,分以上共有人,已知甲的得分為分,問(wèn)甲能否獲得獎(jiǎng)勵(lì),請(qǐng)說(shuō)明理由;②丙得知他的分?jǐn)?shù)為分,而乙告訴丙:“這次闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為分,分以上共有人”,請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)幫助丙辨別乙所說(shuō)信息的真?zhèn)危剑喝綦S機(jī)變量,則;;.6.足球比賽全場(chǎng)比賽時(shí)間為90分鐘,在90分鐘結(jié)束時(shí)成績(jī)持平,若該場(chǎng)比賽需要決出勝負(fù),需進(jìn)行30分鐘的加時(shí)賽,若加時(shí)賽仍是平局,則采取“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的方式?jīng)Q定勝負(fù).“點(diǎn)球大戰(zhàn)”的規(guī)則如下:①兩隊(duì)?wèi)?yīng)各派5名隊(duì)員,雙方輪流踢點(diǎn)球,累計(jì)進(jìn)球個(gè)數(shù)多者勝:②如果在踢滿(mǎn)5輪前,一隊(duì)的進(jìn)球數(shù)已多于另一隊(duì)踢滿(mǎn)5次可能射中的球數(shù),則不需再踢,譬如:第4輪結(jié)束時(shí),雙方進(jìn)球數(shù)比為2:0,則不需再踢第5輪了;③若前5輪點(diǎn)球大戰(zhàn)中雙方進(jìn)球數(shù)持平,則采用“突然死亡法”決出勝負(fù),即從第6輪起,雙方每輪各派1人罰點(diǎn)球,若均進(jìn)球或均不進(jìn)球,則繼續(xù)下一輪,直到出現(xiàn)一方進(jìn)球另一方不進(jìn)球的情況,進(jìn)球方勝.(1)已知小明在點(diǎn)球訓(xùn)練中射進(jìn)點(diǎn)球的概率是.在一次賽前訓(xùn)練中,小明射了3次點(diǎn)球,且每次射點(diǎn)球互不影響,記X為射進(jìn)點(diǎn)球的次數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.(2)現(xiàn)有甲、乙兩校隊(duì)在淘汰賽中(需要分出勝負(fù))相遇,120分鐘比賽后雙方仍舊打平,須互罰點(diǎn)球決出勝負(fù).設(shè)甲隊(duì)每名球員射進(jìn)點(diǎn)球的概率為,乙隊(duì)每名球員射進(jìn)點(diǎn)球的概率為.每輪點(diǎn)球中,進(jìn)球與否互不影響,各輪結(jié)果也互不影響.求在第4輪結(jié)束時(shí),甲隊(duì)進(jìn)了3個(gè)球并剛好勝出的概率.7.(2023屆福建省適應(yīng)性練習(xí)卷(省質(zhì)檢)數(shù)學(xué)試題)已知,則,,.今有一批數(shù)量龐大的零件.假設(shè)這批零件的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)引單位:毫米)服從正態(tài)分布,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取N個(gè),這N個(gè)零件中恰有K個(gè)的質(zhì)量指標(biāo)ξ位于區(qū)間.若,試以使得最大的N值作為N的估計(jì)值,則N為(

)A.45 B.53 C.54 D.908.學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)中有兩項(xiàng)競(jìng)賽答題活動(dòng),一項(xiàng)為“雙人對(duì)戰(zhàn)”,另一項(xiàng)為“四人賽”.活動(dòng)規(guī)則如下:一天內(nèi)參與“雙人對(duì)戰(zhàn)”活動(dòng),僅首局比賽可獲得積分,獲勝得2分,失敗得1分;一天內(nèi)參與“四人賽”活動(dòng),僅前兩局比賽可獲得積分,首局獲勝得3分

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