陜西省西安市濱河學校2023-2024學年八年級下冊第一次月考數(shù)學試題（含解析）

2023-2024-2單元學情調查（一）八年級數(shù)學（總分：120分時間：110分鐘）一、選擇題（共10小題，每小題3分，共計30分）1．在一個直角三角形中，一個銳角等于，則另一個銳角的度數(shù)是(

)A． B． C． D．2．若，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．3．下列命題：①同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；②若，則；③銳角與鈍角互為補角；④相等的角是對頂角．它們的逆命題是真命題的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個4．若等腰三角形的兩邊長分別為2和5，則它的周長為（）A．9 B．7 C．12 D．9或125．將不等式組的解集表示在數(shù)軸上，下列正確的是（）A． B．C． D．6．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，且分別交BC，AC于點D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，則∠BAD為（

）A．50° B．70° C．75° D．80°7．如圖，在中，，點是、平分線的交點，且，，則點到邊的距離為（

）

A． B． C． D．8．把一些圖書分給幾名同學，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同學分5本，那么最后一人至少有一本，但不到3本．那么這些圖書有（

）．A．26本 B．25本 C．24本 D．23本9．關于x的不等式組有且只有2個整數(shù)解，則符合要求的所有整數(shù)a的和為（

）A． B． C．0 D．710．如圖，中，，，O為中點，點P在邊上，且，點Q為邊上一動點，將沿直線翻折，使得點B落在點M，連接，則長的最小值為（

）A．1.5 B．2 C． D．二、填空題（共6小題，每小題3分，共計18分）11．已知：在中，，求證：．若用反證法來證明這個結論，可以假設．12．如圖，直線與直線交于點，則關于x的不等式的解集是.13．關于x，y的方程組的解中x與y的和不小于5，則k的取值范圍為．14．如圖，在中，，，，，以為圓心，為半徑畫弧，交斜邊于點，，則下列說法正確的是．（填序號）①是等邊三角形，②，③，④15．商店為了對某種商品促銷，將定價為3元的商品，以下列方式優(yōu)惠銷售：若購買不超過5件，按原價付款；若一次性購買5件以上，超過部分打八折．現(xiàn)有27元錢，最多可以購買該商品的件數(shù)是．16．如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，點P是線段的中點．若動點C在x軸上，連接，以為直角邊，點B為直角頂點作等腰直角，連接，則長度的最小值是．三、解答題（共8小題，共計72分）17．解不等式：(1)；(2)．18．解不等式組：(1)；(2)．19．已知中，，，請你利用尺規(guī)在邊上找一點P，使得．（不寫作法，保留作圖痕跡）

20．已知關于x的方程．(1)若該方程的解滿足，求a的取值范圍；(2)若該方程的解是不等式的最大整數(shù)解，求a的值．21．在中，，，F(xiàn)為延長線上一點，點E在上，且．(1)求證：；(2)若，求度數(shù)．22．已知函數(shù)，（m為常數(shù)，）．(1)若點在的圖象上，求m的值．(2)如圖，當時，求自變量x的取值范圍．23．為積極響應國家“雙減政策”，某校特開展了一系列豐富學生課余生活的活動?；顒又坏摹八囆g周特賣”中，八年級一班購進學習用品類和文娛玩具類商品共200件，在活動中學習用品的平均售賣價為元/件，文娛玩具的平均售價為元/件.(1)若商品全部售完，營業(yè)額為元，其中有多少件學習用品？（用方程或方程組求解）(2)若購進的商品總價不高于1440元，其中學習用品的平均進價為6元/件，文娛玩具的平均進價為8元/件，商品全部售完，請求出利潤最大的采購方案以及最大利潤.24．已知，和都是以為斜邊的直角三角形，連接．(1)如圖1，和在兩側時，若，過點D作交CA的延長線于點E．．①猜想：______；（請?zhí)钊搿埃尽?、“＝”或“＜”）②證明：；(2)如圖2，和在同側時，若，猜想線段AC、BC、CD三者之間的數(shù)量關系，并說明理由．

參考答案與解析1．A【分析】根據(jù)直角三角形中兩個銳角互余即可求解．【解答】在一個直角三角形中，一個銳角等于，∴另一個銳角的度數(shù)是：．故選：A【點撥】本題考查了直角三角形的性質，掌握在直角三角形中兩個銳角互余是解題的關鍵．2．D【分析】根據(jù)不等式的性質判斷選擇即可．本題考查了不等式的性質，熟練掌握性質是解題的關鍵．【解答】∵，∴不一定成立，故A不符合題意；∵，∴，故B不符合題意；∵，∴，故C不符合題意；∵，∴，故D符合題意；故選D．3．B【分析】根據(jù)所學的定理對各小題進行分析判斷，然后再計算真命題的個數(shù)．【解答】①同旁內(nèi)角互補，兩直線平行的逆命題是：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補,它是真命題；②若，則的逆命題是：若，則，它是真命題；③銳角與鈍角互為補角的逆命題是：互補的角是銳角與鈍角，它是假命題；④相等的角是對頂角的逆命題是：對頂角相等，它是真命題；故選：B．【點撥】此題主要考查了命題與逆命題，正確把握相關性質是解題關鍵．4．C【分析】此題考查了求等腰三角形的周長，即是確定等腰三角形的腰與底的長求周長；題目給出等腰三角形有兩條邊長為2和5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．【解答】解：（1）若2為腰長，5為底邊長，由于，則三角形不存在；（2）若5為腰長，則，符合三角形的兩邊之和大于第三邊．所以這個三角形的周長為．故選：C．5．B【分析】直接在數(shù)軸上表示兩個不等式的解集即可．【解答】解：不等式組的解集為無解，在數(shù)軸上表示為：．故選：B．【點撥】本題考查了不等式組的解集在數(shù)軸上表示的方法，解題的關鍵是把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（，向右畫；，向左畫），“”，“”要用實心圓點表示；“”，“”要用空心圓點表示．6．B【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質得到DA=DC，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠DAC=∠C，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，計算即可．【解答】∵DE是AC的垂直平分線，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=25°，∵∠B=60°，∠C=25°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°，故選B．【點撥】本題考查的是線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．7．A【分析】連接，根據(jù)角平分線的性質可得點到三邊的距離相等，利用即可求解．【解答】解：如圖，連接，

點是、平分線的交點，點到三邊的距離相等，設點到邊的距離為h，，，，根據(jù)勾股定理得：，∴即，即，解得：，點到邊的距離為．故本題選：A．【點撥】本題考查角平分線的性質，解題的關鍵是作出輔助線，三角形的面積被分割成三個小三角形的面積，再進行求解．8．A【分析】設有x本圖書，有y名同學，根據(jù)題意列出方程和不等式，由于x、y只能取正整數(shù)，可得到y(tǒng)的值，代入方程求出x的值．【解答】解：設有x本圖書，有y名同學，根據(jù)題意得解得：∵x、y只能為正整數(shù)∴y=6則x=3×6+8=26即有26本圖書，故選A【點撥】本題考查了二元一次方程和不等式，利用代入消元法，把方程的一個未知數(shù)代入不等式變成一元一次方程求解是解題的關鍵．9．D【分析】分別表示出不等式組兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分表示出不等式組的解集，由不等式組有且只有2個整數(shù)解確定出a的范圍，進而求出整數(shù)a的值，求出和即可．【解答】解：，解不等式①，得，解不等式②，得，所以不等式組的解集為：，∵關于x的不等式組有且只有2個整數(shù)解，∴，解得，∵a為整數(shù)，∴a為3，4，∴和為，故選：D．【點撥】本題考查了根據(jù)不等式組的解集求參數(shù)，根據(jù)不等式的解集得出參數(shù)的取值范圍是解本題的關鍵．10．D【分析】本題考查折疊的性質，勾股定理，連接，根據(jù)，進行求解即可．【解答】解：連接，則：，∵，，O為中點，∴，∵，∴，∴，∵翻折，∴，∴；即：的最小值為；故選D．11．≠【分析】反證法的步驟中，第一步是假設結論不成立，反面成立，可據(jù)此解答．【解答】解：∠B＝∠C的反面是∠B≠∠C，故可以假設∠B≠∠C，故答案為：∠B≠∠C．【點撥】本題主要考查了反證法的基本步驟，正確確定∠B＝∠C的反面，是解決本題的關鍵．12．【分析】本題考查了一次函數(shù)與不等式，與解析式構成不等式解集的關系，確定交點的橫坐標，結合不等式，利用數(shù)形結合思想解答即可．熟練掌握數(shù)形結合思想解決問題是解題的關鍵．【解答】解：依題意得：的解集是：，故答案為：．13．【分析】把兩個方程相減，可得，x與y的和不小于5，即可求出答案．【解答】把兩個方程相減，可得x與y的和不小于5解得：k的取值范圍為．故答案為．【點撥】本題考查了解一元一次不等式，解二元一次方程組，掌握解一元一次不等式知識點是解題的關鍵．14．①③【分析】根據(jù)作圖可得，根據(jù)等邊三角形的判定可判斷①；在中利用三邊關系定理可判斷②；根據(jù)等邊三角形的性質和的直角三角形可判斷③；根據(jù)勾股定理可判斷④【解答】解：∵，，∴，∵以為圓心，為半徑畫弧，交斜邊于點，，∴，∴是等邊三角形，故說法①正確；在中，，，，∴，故說法②錯誤；∵是等邊三角形，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，故說法③正確；∵，，，，，∴，∴，故說法④錯誤，∴說法正確的是①③．故答案為：①③．【點撥】本題考查尺規(guī)作圖—作一條線段等于已知線段，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，的直角三角形，三角形三邊關系定理等知識點，掌握等邊三角形的判定和性質和直角三角形的性質是解題的關鍵．15．10件【分析】設購買該商品x件，先判斷購買件數(shù)在5件之上，再根據(jù)總價=3×5+3×0.8×超過5件的數(shù)量，結合總價不超過27元，即可得出關于x的一元一次不等式，求出x的解集即可得出結論．【解答】解：設購買該商品x件，因為共有27元，所以最多購買的件數(shù)超過5件，依題意得：3×5+3×0.8(x-5)≤27，解得：x≤10，故答案為：10件．【點撥】本題考查了一元一次不等式的應用，根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式是解題的關鍵．16．【分析】作軸且，連接，作軸于點，求出點坐標為，點坐標為，得出，得出點，設點，則，證明得出，，得出，，三點共線，從而得到，得出，再由勾股定理表示出，即可得出答案．【解答】解：如圖，作軸且，連接，作軸于點，，直線與軸交于點，與軸交于點，令，則，解得，令，，點坐標為，點坐標為，，軸，，，點坐標為，設點，則，是等腰直角三角形，，，，，在和中，，，，，，，，，三點橫坐標相同，都為，，，三點共線，，，點是線段的中點，，，，當即時，最小，為，的最小值為，故答案為：．【點撥】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理等知識點，綜合程度較高，難度大，屬于填空題中的壓軸題，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關鍵．17．(1)(2)【分析】本題考查解一元一次不等式：（1）移項，合并，系數(shù)化1，求解即可；（2）去分母，去括號，移項，合并，系數(shù)化1，求解即可．【解答】（1）解：，，，∴；（2），，，，∴．18．(1)(2)【分析】本題考查求不等式組的解集：（1）先求出每一個不等式的解集，找到它們的公共部分，即可；（2）先求出每一個不等式的解集，找到它們的公共部分，即可．【解答】（1）解：，由①，得：；由②，得：，∴不等式組的解集為；（2），由①，得：；由②，得：；∴不等式組的解集為．19．作圖見解析【分析】以為圓心，長為半徑畫弧交于，則是等邊三角形，，，分別以、為圓心，大于長為半徑畫弧，交點為，連接與交點為，則，，，則，由可得，，則，進而可得，如圖，點即為所求．【解答】解：如圖，點即為所求；

【點撥】本題考查了等邊三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，含的直角三角形，三角形外角的性質等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．20．(1)(2)【分析】本題考查解一元一次方程，解一元一次不等式：（1）先求出方程的解，再根據(jù)，求出a的取值范圍即可；（2）求出的最大整數(shù)解，代入方程，求出a的值即可．【解答】（1）解：∵，∴，∵，∴，解得：；（2）解，得：∴不等式的最大整數(shù)解為，∴當時，，解得：．21．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)可證明，從而得出答案；（2）由全等三角形的性質得出，則可得出答案．【解答】（1）證明：∵，∴，在和中，∴，∴．（2）解：∵，，∴，又∵，由（1）知：，∴，∴．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵．22．(1)(2)【分析】本條考查一次函數(shù)與不等式：（1）將點代入解析式進行求解即可；（2）圖象法求自變量x的取值范圍即可．【解答】（1）解：把代入，得到，∴；（2）聯(lián)立，解得，∴兩條直線的交點的橫坐標為，∵，∴當時：，解得：，由圖可知：當時，．23．(1)有件學習用品(2)利潤最大的采購方案是購買件學習用品，購買120件文娛玩具，最大利潤為1160元【分析】本題考查了一次函數(shù)的應用、二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用：（1）設有件學習用品，文娛玩具有件，根據(jù)等量關系列出二元一次方程組，解方程組即可求解；（2）設利潤為元，學習用品有件，則文娛玩具有件，根據(jù)數(shù)量關系得，根據(jù)一元一次不等式得，再根據(jù)一次函數(shù)的性質得當時，有最大值，最大為，進而可求解；理清題意，根據(jù)等量關系列出方程組及根據(jù)數(shù)量關系列出函數(shù)表達式是解題的關鍵．【解答】（1）解：設有件學習用品，文娛玩具有件，依題意得：，解得：，答：有件學習用品．（2）設利潤為元，學習用品有件，則文娛玩具有件，依題意得：，隨的增大而減小，購進的商