易錯拔尖：加減消元法解二元一次方程組（解析版）

易錯拔尖：加減消元法解二元一次方程組易錯點(diǎn)加減消元時易發(fā)生符號錯誤1．（2022春?澗西區(qū)期中）解方程組x-2y=2①4x-2y=5②解法一：由①﹣②，得3x＝﹣3；解法二：由②得3x+（x﹣2y）＝5③，把①代入③得3x+2＝5．（1）反思：上述兩種解題過程中你發(fā)現(xiàn)解法的解題過程有錯誤（填“一”或“二”）；解二元一次方程組的基本思想是．（2）請選擇你喜歡的方法解方程組x2-3y思路引領(lǐng)：（1）讀懂題意按照解二元一次方程組的方法一一判斷即可；（2）利用加減消元或代入消元法解方程組即可．解（1）由①﹣②，得﹣3x＝﹣3；故解法一錯誤；解二元一次方程組的基本思想是把二元變?yōu)橐辉?，即消元，故答案為：一，消元；?）整理化簡原方程得x-3y=4①2x-3y=7②①﹣②得﹣x＝﹣3，∴x＝3，把x＝3代入①得3﹣3y＝4，解得y=-1∴方程組的解為x=3y=-總結(jié)提升：本題考查了解二元一次方程組，做題關(guān)鍵要掌握加減消元、代入消元法解二元一次方程組．拔尖角度角度1利用“換元法”解方程組（轉(zhuǎn)化思想）2．（2022秋?吉安月考）先閱讀，再解方程組．解方程組x+y2+x-y3=64(x+y)-5(x-y)=2時，設(shè)a＝x+y，b＝x﹣y，則原方程組變?yōu)閍2+b請用這種方法解下面的方程組：5(x+y)-3(x-y)=163(x+y)-5(x-y)=0思路引領(lǐng)：仿照所給的方法進(jìn)行求解即可．解：設(shè)m＝x+y，n＝x﹣y，則原方程組變?yōu)椋?m-3n=16①3m-5n=0②①×3得：15m﹣9n＝48③，②×5得：15m﹣25n＝0④，③﹣④得：16n＝48，解得n＝3，把n＝3代入①得：5m﹣9＝16，解得m＝5，則方程組的解：m=5n=3則可得到：x+y=5①x-y=3②①+②得：2x＝8，解得x＝4，把x＝4代入①得：4+y＝5，解得y＝1，故原方程組的解是：x=4y=1總結(jié)提升：本題主要考查解二元一次方程組，解答的關(guān)鍵是熟練掌握解二元一次方程組的方法．角度2利用“整體加減法”解方程組（整體思想）3．（2022?開封模擬）已知x，y滿足方程組x+6y=123x-2y=8，則x+y的值為思路引領(lǐng)：方程組兩方程相加即可求出所求．解：x+6y=12①3x-2y=8②①+②得：4x+4y＝20，則x+y＝5，故答案為：5總結(jié)提升：此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．4．閱讀下列內(nèi)容，回答問題：解方程組時，有時可根據(jù)方程的未知數(shù)的系數(shù)特征，將幾個方程直接進(jìn)行整體加減．如解方程組3x+8y=14解：由①+②，得10x+10y＝30，即x+y＝3，③將①變形為3x+3y+5y＝14，即3（x+y）+5y＝14．④把③代入④，得3×3+5y＝14，求得y＝1，再把y＝1代入③，得x+1＝3，∴x＝2．從而比較簡便地求得原方程組的解為x=2上述這種方法我們稱它為“整體加減法”，你若留心觀察，有很多方程組都可采用此法解，請你用這種方法解方程組2019x-2020y=2018思路引領(lǐng)：仿照例題，用①+②得x﹣y＝1，代入2019（x﹣y）﹣y＝2018消去x．解：由①+②，得x﹣y＝1③，將①變形為2019x﹣2019y﹣y＝2018，即2019（x﹣y）﹣y＝2018④，把③代入④，得2019﹣y＝2018，∴y＝1．把y＝1代入③，得x＝2，∴x=2y=1總結(jié)提升：本題主要考查的是解二元一次方程組的知識，熟練掌握用加減消元法解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．5．（2012春?惠安縣校級期中）閱讀理解題：閱讀例子：已知：關(guān)于x、y的方程組a1x+b1y=c1a2解：方程組2a1∵方程組a1x+b∴2∴x=3∴方程組2a1通過對上面材料的認(rèn)真閱讀后，解方程組：已知：關(guān)于x、y的方程組a1x+b1y=c1a2思路引領(lǐng)：首先分析題干中給的例子得到解題規(guī)律：將求解方程組的未知量系數(shù)化成與已知方程組未知量的系數(shù)相同，除去相同的系數(shù)部分即等于已知方程組的解，由此等式求出需求解的方程組的解．解：方程組a1x+2b∵方程組a1x+b∴13∴x=-3y=3∴方程組a1x+2b總結(jié)提升：本題難點(diǎn)在于根據(jù)題干的例子得出求解規(guī)律．對于需求解的方程組，將其未知量的系數(shù)化成和已知解的方程組未知量系數(shù)相同．然后讓需求解方程組未知量除去相同部分等于已知方程組的解進(jìn)而求出需求解的方程組的解．角度3利用解二元一次方程組求字母的值6．（2022春?泌陽縣月考）數(shù)學(xué)活動課上，小云和小輝在討論老師出示的一道二元一次方程組的問題：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組3x+4y=3①x+2y=2-3m②的解滿足2x+3y＝1③，求m請結(jié)合他們的對話，解答下列問題：（1）按照小云的方法，x的值為，y的值為．（2）老師說小輝的方法體現(xiàn)了整體代入的思想，請按照小輝的思路求出m的值．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)題意列方程組求解即可；（2）利用整體代入的方法求解即可．解：（1）③×3﹣①×2，得y＝﹣3，把y＝﹣3代入①，得3x﹣12＝3，解得x＝5，故答案為：5；﹣3；（2）①+②，得4x+6y＝5﹣3m，即2（2x+3y）＝5﹣3m，∴2x+3y=5-3m∵2x+3y＝1，∴5-3m2解得m＝1．總結(jié)提升：本題考查了二元一次方程組的解以及解二元一次方程組，掌握消元以及整體代入的思想方法是解答本題的關(guān)鍵．7．（2017春?順慶區(qū)校級期中）k為正整數(shù)，已知關(guān)于x，y的二元一次方程組kx+2y=103x-2y=0有整數(shù)解，求2k+x+y思路引領(lǐng)：利用加減消元法易得x、y的解，由x、y均為整數(shù)可解得k的值于是得到結(jié)論．解：關(guān)于x、y的方程組：x=103+k，y∵方程的解x、y均為整數(shù)，k是正整數(shù)，∴3+k既能整除10也能整除15，即3+k＝5，解得k＝2．∴x＝2，y＝3，∴2k+x+y＝9，∴2k+x+y的平方根＝±3．總結(jié)提升：本題考查了二元一次方程組的解法，平方根，解二元一次方程組有加減法和代入法兩種，一般選用加減法解二元一次方程組較簡單．角度4利用二元一次方程組模型解實(shí)際應(yīng)用問題8．（2022?東坡區(qū)校級模擬）為了更好治理內(nèi)河水質(zhì)，保護(hù)環(huán)境，市治污公司決定購買10臺污水處理設(shè)備，現(xiàn)有A，B兩種型號的設(shè)備，A，B單價分別為a萬元/臺、b萬元/臺，月處理污水分別為240噸/月、200噸/月，經(jīng)調(diào)查買一臺A型設(shè)備比購買一臺B型設(shè)備多2萬元，購買2臺A型設(shè)備比購買3臺B型設(shè)備少6萬元．（1）求a，b的值．（2）經(jīng)預(yù)算：市治污公司購買污水處理設(shè)備的資金不超過105萬元，你認(rèn)為該公司有哪幾種購買方案？思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)“買一臺A型設(shè)備比購買一臺B型設(shè)備多2萬元，購買2臺A型設(shè)備比購買3臺B型設(shè)備少6萬元”，即可得出關(guān)于a，b的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)該公司購買x臺A型設(shè)備，則購買（10﹣x）臺B型設(shè)備，根據(jù)總價＝單價×數(shù)量結(jié)合購買設(shè)備的資金不超過105萬元，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，結(jié)合x為非負(fù)整數(shù)，即可得出各購買方案；解：（1）依題意，得：a-b=23b-2a=6解得：a=12b=10答：a的值為12，b的值為10．（2）設(shè)該公司購買x臺A型設(shè)備，則購買（10﹣x）臺B型設(shè)備，依題意，得：12x+10（10﹣x）≤105，解得：x≤212∵x為非負(fù)整數(shù)，∴x＝0，1，2，∴該公司有3種購買方案：①購進(jìn)10臺B型設(shè)備；②購進(jìn)1臺A型設(shè)備，9臺B型設(shè)備；③購進(jìn)2臺A型設(shè)備，8臺B型設(shè)備．總結(jié)提升：本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式；9．如圖①，在3×3的方格中，填寫了一些整式，使得每行3個數(shù)、每列3個數(shù)、對角線上3個數(shù)的和均相等．（1）求x，y的值；（2）根據(jù)求得的x，y，a，b，c的值完成圖②．思路引領(lǐng)：（1）要求x，y的值，找到只含有x，y的行或列，根據(jù)題意列出方程組，然后求解即可；（2）根據(jù)（1）中求得的x，y的值和每行的3個數(shù)、每列的3個數(shù)、斜對角的3個數(shù)之和均相等得到方程組，解所列方程組，即可完成表格的填寫．解：（1）由題意，得：3+4+x=x+y+2y-x3-2+2y-x=3+4+x解得：x=-1y=2（2）由（1）知x＝﹣1，∴3+4+x＝6，∴4+2+c=6-2+2+a=6∴a=6b=1填表結(jié)果如下：總結(jié)提升：本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組是解題的關(guān)鍵．角度6利用圖形情境中的信息解實(shí)際應(yīng)用問題10．（2022秋?廣州期末）請根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：（1）一個暖瓶與一個水杯分別是多少元？（2）甲、乙兩家商場同時出售同樣的暖瓶和水杯，為了迎接新年，兩家商場都在搞促銷活動，甲商場規(guī)定：這兩種商品都打九折；乙商場規(guī)定：買一個暖瓶贈送一個水杯．若某單位想要買4個暖瓶和28個水杯，請問選擇哪家商場購買更合算，并說明理由．思路引領(lǐng)：（1）等量關(guān)系為：2×暖瓶單價+3×（38﹣暖瓶單價）＝84；（2）甲商場付費(fèi)：暖瓶和水杯總價之和×90%；乙商場付費(fèi)：4×暖瓶單價+（15﹣4）×水杯單價．解：（1）設(shè)一個暖瓶x元，則一個水杯（38﹣x）元，根據(jù)題意得：2x+3（38﹣x）＝84．解得：x＝30．一個水杯